1
一、同构映射的定义二、同构的有关结论
2
我们知道，在数域 P上的 n维线性空间 V中取定一组基后,V中每一个向量 有唯一确定的坐标
，向量的坐标是 P上的 n元数组，因此属于 Pn,这样一来，取定了 V的一组基对于 V中每一个向量,令 在这组基下的坐标与 对应，就得到 V到 Pn的一个单射反过来，对于 Pn中的任一元素是 V中唯一确定的元素，
并且 即 也是满射,
因此,是 V到 Pn的一一对应,
引入
12,,,n
12(,,,)na a a
12(,,,)na a a
12:,(,,,)n nV P a a a
12(,,,)na a a
1 1 2 2 nna a a
12( ) (,,,),na a a
3
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上,
任取 设,,V
12( ) (,,,)nb b b
1 1 2 2,nna a a1 1 2 2 nnb b b
12( ) (,,),na a a则
1 1 2 2( ) (,,)nna b a b a b
12( ) (,,)nk k a k a k a k P
归结为它们的坐标的运算,
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
1 2 1 2(,,) (,,,) ( ) ( )nna a a b b b
12(,,) ( ),nk a a a k
从而
4
一、同构映射的定义设 都是数域 P上的线性空间，如果映射,VV?
具有以下性质：VV：
则称 的一个 同构映射,并称线性空间VV是 到同构,记作VV?与,VV
ii) ( ) ( ) ( ),,V
iii),,k k k P V
i) 为双射?
5
为 V的一组基，则前面 V到 Pn的一一对应例 1,V为数域 P上的 n维线性空间,12,,,n
:,nVP
12(,,,)na a a? V
这里 为 在 基下的坐标，?12(,,,)na a a12,,,n
就是一个 V到 Pn的同构映射，所以,nVP?
6
1,数域 P上任一 n维线性空间都与 Pn同构,
二、同构的有关结论同构映射，则有
0 0,.1）
2,设 是数域 P上的线性空间,的VV是 到,VV?
2） 1 1 2 2() rrk k k
1 1 2 2( ) ( ) ( ),rrk k k
,,1,2,,.iiV k P i r
7
线性相关（线性无关）,
3） V中向量组 线性相关（线性无关）12,,,r
的充要条件是它们的象 12( ),( ),,( )r
4） d i m d i m,VV
5） 的逆映射 为 的同构映射,VV,1 VV?到是的 子空间，且V? di m di m ( ),WW
( ) { ( ) }WW
6） 若 W是 V的子空间，则 W在 下的象集?
8
中分别取 即得0 1,kk与
0 0,
证,1） 在同构映射定义的条件 iii)kk
2） 这是同构映射定义中条件 ii)与 iii)结合的结果,
3） 因为由 1 1 2 2 0rrk k k
可得 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0rrk k k
反过来，由 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0rrk k k
可得 1 1 2 2( ) 0,rrk k k
9
而 是一一对应，只有? ( 0 ) 0,
所以可得 1 1 2 2 0.rrk k k
因此,线性相关（线性无关）12,,,r
12( ),( ),,( )r 线性相关（线性无关）,
4） 设 为 V 中任意一组基,12,d,,i m,nVn
由 2） 3） 知,为 的一组基,?12( ),( ),,( )n
所以 d i m d i m,V n V
10
11( ( ) ) ( )
任取,,V
11,,VVIII为恒等变换,
1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
11( ( ) ( ) )
5） 首先 是 1－ 1对应，并且1,VV
同理，有 11( ) ( ),,k k V k P
所以,为 的同构映射,1 VV?到
再由 是单射，有 1 1 1( ) ( ) ( )
11
6） 首先,W V V
,WW且 0= 0
其次，对 有 W中的向量,,W,
使,.
于是有
,k k k k P
由于 W为子空间，所以,.W k W
从而有,.W k W
12
由 2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合
d im d im ( ),WW故所以 是 的子空间,VW?
WW
显然,也为 W到 的同构映射，即W
注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间,
13
证：设 为线性空间的同构,:V V V V：
3,两个同构映射的乘积还是同构映射,
k k k
kk
任取,,V k P,有映射，则乘积 是 的 1－ 1对应,VV到
所以，乘积 是 的同构映射,VV到
14
同构关系具有：
反身性：
对称性：
传递性：
注
,V V V V V V
VIVV?
1V V V V
15
4,数域 P上的两个有限维线性空间 同构12,VV
12d i m d i m,VV
证,""?
""?
若 由性质 2之 4） 即得12,VV?
12d i m d i m,VV?
若 12d i m d i m,VV?
12.VV
由性质 1,有 12,nnV P V P
16
例 2,把复数域看成实数域 R上的线性空间，
证：证维数相等,
证明,2CR?
首先,可表成 1,,x a b i a b R,x C x
其次，若 则 0.a b i a b?1 + = 0,=
所以,1,i 为 C的一组基,dim 2,C?
又,2d im 2R?
2d i m d i m,CR?所以,12.VV?故，
17
作成实数域 R上的线性空间,
把实数域 R看成是自身上的线性空间,
,ka b a b k a a
例 3,全体正实数 R+关于加法 ⊕ 与数量乘法,
证明,并写出一个同构映射,,RR
证：作对应:,ln,R R a a a R
易证 为 的 1－ 1对应,? RR?到且对 有,,,a b R k R
18
ln ln lna b a b a b a b a b
l n l nkkk a a a k a k a
所以,为 的同构映射,? RR?到 故,RR
方法二：作对应:,,xR R x e x R
易证,为 的 1－ 1对应，而且也为同构映射,RR?到?
事实上,为 的逆同构映射,
一、同构映射的定义二、同构的有关结论
2
我们知道，在数域 P上的 n维线性空间 V中取定一组基后,V中每一个向量 有唯一确定的坐标
，向量的坐标是 P上的 n元数组，因此属于 Pn,这样一来，取定了 V的一组基对于 V中每一个向量,令 在这组基下的坐标与 对应，就得到 V到 Pn的一个单射反过来，对于 Pn中的任一元素是 V中唯一确定的元素，
并且 即 也是满射,
因此,是 V到 Pn的一一对应,
引入
12,,,n
12(,,,)na a a
12(,,,)na a a
12:,(,,,)n nV P a a a
12(,,,)na a a
1 1 2 2 nna a a
12( ) (,,,),na a a
3
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上,
任取 设,,V
12( ) (,,,)nb b b
1 1 2 2,nna a a1 1 2 2 nnb b b
12( ) (,,),na a a则
1 1 2 2( ) (,,)nna b a b a b
12( ) (,,)nk k a k a k a k P
归结为它们的坐标的运算,
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
1 2 1 2(,,) (,,,) ( ) ( )nna a a b b b
12(,,) ( ),nk a a a k
从而
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一、同构映射的定义设 都是数域 P上的线性空间，如果映射,VV?
具有以下性质：VV：
则称 的一个 同构映射,并称线性空间VV是 到同构,记作VV?与,VV
ii) ( ) ( ) ( ),,V
iii),,k k k P V
i) 为双射?
5
为 V的一组基，则前面 V到 Pn的一一对应例 1,V为数域 P上的 n维线性空间,12,,,n
:,nVP
12(,,,)na a a? V
这里 为 在 基下的坐标，?12(,,,)na a a12,,,n
就是一个 V到 Pn的同构映射，所以,nVP?
6
1,数域 P上任一 n维线性空间都与 Pn同构,
二、同构的有关结论同构映射，则有
0 0,.1）
2,设 是数域 P上的线性空间,的VV是 到,VV?
2） 1 1 2 2() rrk k k
1 1 2 2( ) ( ) ( ),rrk k k
,,1,2,,.iiV k P i r
7
线性相关（线性无关）,
3） V中向量组 线性相关（线性无关）12,,,r
的充要条件是它们的象 12( ),( ),,( )r
4） d i m d i m,VV
5） 的逆映射 为 的同构映射,VV,1 VV?到是的 子空间，且V? di m di m ( ),WW
( ) { ( ) }WW
6） 若 W是 V的子空间，则 W在 下的象集?
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中分别取 即得0 1,kk与
0 0,
证,1） 在同构映射定义的条件 iii)kk
2） 这是同构映射定义中条件 ii)与 iii)结合的结果,
3） 因为由 1 1 2 2 0rrk k k
可得 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0rrk k k
反过来，由 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0rrk k k
可得 1 1 2 2( ) 0,rrk k k
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而 是一一对应，只有? ( 0 ) 0,
所以可得 1 1 2 2 0.rrk k k
因此,线性相关（线性无关）12,,,r
12( ),( ),,( )r 线性相关（线性无关）,
4） 设 为 V 中任意一组基,12,d,,i m,nVn
由 2） 3） 知,为 的一组基,?12( ),( ),,( )n
所以 d i m d i m,V n V
10
11( ( ) ) ( )
任取,,V
11,,VVIII为恒等变换,
1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
11( ( ) ( ) )
5） 首先 是 1－ 1对应，并且1,VV
同理，有 11( ) ( ),,k k V k P
所以,为 的同构映射,1 VV?到
再由 是单射，有 1 1 1( ) ( ) ( )
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6） 首先,W V V
,WW且 0= 0
其次，对 有 W中的向量,,W,
使,.
于是有
,k k k k P
由于 W为子空间，所以,.W k W
从而有,.W k W
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由 2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合
d im d im ( ),WW故所以 是 的子空间,VW?
WW
显然,也为 W到 的同构映射，即W
注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间,
13
证：设 为线性空间的同构,:V V V V：
3,两个同构映射的乘积还是同构映射,
k k k
kk
任取,,V k P,有映射，则乘积 是 的 1－ 1对应,VV到
所以，乘积 是 的同构映射,VV到
14
同构关系具有：
反身性：
对称性：
传递性：
注
,V V V V V V
VIVV?
1V V V V
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4,数域 P上的两个有限维线性空间 同构12,VV
12d i m d i m,VV
证,""?
""?
若 由性质 2之 4） 即得12,VV?
12d i m d i m,VV?
若 12d i m d i m,VV?
12.VV
由性质 1,有 12,nnV P V P
16
例 2,把复数域看成实数域 R上的线性空间，
证：证维数相等,
证明,2CR?
首先,可表成 1,,x a b i a b R,x C x
其次，若 则 0.a b i a b?1 + = 0,=
所以,1,i 为 C的一组基,dim 2,C?
又,2d im 2R?
2d i m d i m,CR?所以,12.VV?故，
17
作成实数域 R上的线性空间,
把实数域 R看成是自身上的线性空间,
,ka b a b k a a
例 3,全体正实数 R+关于加法 ⊕ 与数量乘法,
证明,并写出一个同构映射,,RR
证：作对应:,ln,R R a a a R
易证 为 的 1－ 1对应,? RR?到且对 有,,,a b R k R
18
ln ln lna b a b a b a b a b
l n l nkkk a a a k a k a
所以,为 的同构映射,? RR?到 故,RR
方法二：作对应:,,xR R x e x R
易证,为 的 1－ 1对应，而且也为同构映射,RR?到?
事实上,为 的逆同构映射,
