1
一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和
2
引入有 两种情形：
由维数公式设 为线性空间 V的两个子空间,12,VV
1 2 1 2 1 2d i m d i m d i m ( ) d i m ( )V V V V V V
1 2 1 21 ) d i m ( ) d i m d i mV V V V
此时 12d i m ( ) 0,VV?
即,必含非零向量,12VV
3
情形 2）是子空间的和的一种特殊情况直和
1 2 1 22) d i m ( ) d i m d i mV V V V
此时 12d i m ( ) 0,VV?
不含非零向量，即12VV12 0VV?
4
一、直和的定义设 为线性空间 V的两个子空间,若和12,VV 12VV?
1 2 1 1 2,,VV
是唯一的，和 就称为 直和,记作 12.VV?12VV?
注,
若有,,,1 2 1 2 1 1 1 2 2 2,VV
则 1 1 2 2,.
① 分解式 唯一的，意即12
中每个向量 的分解式?
5
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立,例如,R3的子空间
1 1 2 2 2 3 3 3(,),(,),( )V L V L V L
1 2 3( 1,0,0),( 0,1,0),( 0,0,1 )这里，
在和 中，向量的分解式不唯一，如12VV?
( 2,2,2 ) ( 2,3,0 ) ( 0,1,2 ) ( 2,1,0 ) ( 0,1,2 )
所以和 不是直和,12VV?
6
而在和 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，13VV?
( 2,2,2 ) ( 2,2,0 ) ( 0,0,2 )
事实上，对 1 2 3 1 3(,,),a a a V V
故 是直和,
1 2 3(,,0) ( 0,0,),a a a都只有唯一分解式：
31 VV?
7
二、直和的判定分解式唯一，即若 1 2 1 1 2 20,,VV
1,(定理 8) 和 是直和的充要条件是零向量12VV?
则必有 12 0.
1 2 1 1 2 20,,VV若证：必要性,12VV?是直和,
12,VV的分解式唯一,
120,0,
而 0有分解式?0= 0 0,
8
充分性,
故 是直和,12VV?
,,,1 2 1 2 1 1 1 2 2 2,VV
设,它有两个分解式12VV
有 1 1 2 20,0,
其中 1 1 1 2 2 2,VV
于是 1 1 2 2( ) ( ) 0
由零向量分解成唯一，且?0= 0 0,
即 1 1 2 2,的分解式唯一,
9
2,和 是直和12VV12 0VV,
则有1 2 1 2 0VV
12 0,即 12VV? 是直和,
,” 任取 12,VV
证：,” 若 1 2 1 1 2 20,,.VV
于是零向量可表成
1 20 ( ),,.VV
由于 是直和，零向量分解式唯一，12VV?
0.故12 0.VV?
10
证：由维数公式
3,和 是直和12VV?
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
1 2 1 2 1 2d i m d i m d i m ( ) d i m ( )V V V V V V
有,1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
12d i m ( ) 0VV
12 0VV
12VV是直和,（由 2,得之）
11
总之,设 为线性空间 V的子空间，则下面12,VV
四个条件等价,
2） 零向量分解式唯一
1） 是直和12VV?
3）12 0VV?
4） 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
4,(定理 10) 设 U是线性空间 V的一个子空间，
称这样的 W为 U的一个 余子空间,
则必存在一个子空间 W，使,V U W
12
证：取 U的一组基,,,12 m
把它扩充为 V的一组基,,,,,,1 2 1m m n
,,,12( ),m m nWL令 则,V U W
余子空间 一般不是唯一的 (除非 U是平凡子空间 ).
注意：
如，在 R3中，设
1 2 1 1 2 2(,),( ),( ),U L W L W L令
1 2 1 2( 1,1,0),( 1,0,0),( 0,1,1 ),( 0,0,1 )
3 1 2 1 2,R U W U W W W则 但
13
5,设 分别是 线性子空间 ;1 2 1 2,,,,,,rs
12,VV 的一组基，则是直和12VV? 1 2 1 2,,,,,,,rs 线性无关,
证：由题设，,,1 1 2 1(,),d i mrV L V r
2 1 2 2(,,,),d i msV L V s
,,1 2 1 2 1 2(,,,,,),rsV V L
若 线性无关，1 2 1 2,,,,,,,rs
则它是 的一组基,12VV? 从而有
14
反之,若 直和，则12VV?
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V r s
从而 的秩为 r＋ s,1 2 1 2,,,,,,,rs
所以 线性无关,1 2 1 2,,,,,,,rs
是直和,12VV
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V r s V V
15
1、定义中每个向量 的分解式12
1
s
is
i
V V V V
三、推广 多个子空间的直和都是线性空间 V的子空间，若和12,,,sV V V
是唯一的，则和 就称为直和，记作
1
s
i
i
V
12 sV V V
,,12 1,2,,s i iV i s
16
四个条件等价,
2） 零向量分解式唯一，即
3）0,1,2,,ij
ji
V V i s
4）
1
d i m d i m
s
i
i
WV
2、判定设 都是线性空间 V的子空间，则下面12,,,sV V V
1） 是直和
1
s
i
i
WV
0,1,2,,i is必 有,12 0,s i iV
17
例 1 设 V1,V2分别是齐次线性方程组 ① 与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系 1
2
1
( 1,0,,0,1 )
( 0,1,,0,1 )
( 0,0,,1,1 )n
①12 0nx x x
②12 nx x x
解空间：
证明,12nP V V
18
再解齐次线性方程组②,
,,,1 1 2 1( ),nVL
由 12 nx x x
即
1
2
1
0
0
0
n
n
nn
xx
xx
xx?
得②的一个基础解系 ( 1,1,,1 )
2 ( ),VL
考虑向量组,,,1 2 1,n
19
由于
1 0 0 1
0 1 0 1
00 0 1 1
1 1 1 1
,,,,,,,1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )n n n n nP L L L
线性无关，即它为 Pn的一组基,,,,1 2 1,n
12nP V V
12VV
12d i m d i m ( 1 ) 1 d i m nV V n n P又
一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和
2
引入有 两种情形：
由维数公式设 为线性空间 V的两个子空间,12,VV
1 2 1 2 1 2d i m d i m d i m ( ) d i m ( )V V V V V V
1 2 1 21 ) d i m ( ) d i m d i mV V V V
此时 12d i m ( ) 0,VV?
即,必含非零向量,12VV
3
情形 2）是子空间的和的一种特殊情况直和
1 2 1 22) d i m ( ) d i m d i mV V V V
此时 12d i m ( ) 0,VV?
不含非零向量，即12VV12 0VV?
4
一、直和的定义设 为线性空间 V的两个子空间,若和12,VV 12VV?
1 2 1 1 2,,VV
是唯一的，和 就称为 直和,记作 12.VV?12VV?
注,
若有,,,1 2 1 2 1 1 1 2 2 2,VV
则 1 1 2 2,.
① 分解式 唯一的，意即12
中每个向量 的分解式?
5
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立,例如,R3的子空间
1 1 2 2 2 3 3 3(,),(,),( )V L V L V L
1 2 3( 1,0,0),( 0,1,0),( 0,0,1 )这里，
在和 中，向量的分解式不唯一，如12VV?
( 2,2,2 ) ( 2,3,0 ) ( 0,1,2 ) ( 2,1,0 ) ( 0,1,2 )
所以和 不是直和,12VV?
6
而在和 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，13VV?
( 2,2,2 ) ( 2,2,0 ) ( 0,0,2 )
事实上，对 1 2 3 1 3(,,),a a a V V
故 是直和,
1 2 3(,,0) ( 0,0,),a a a都只有唯一分解式：
31 VV?
7
二、直和的判定分解式唯一，即若 1 2 1 1 2 20,,VV
1,(定理 8) 和 是直和的充要条件是零向量12VV?
则必有 12 0.
1 2 1 1 2 20,,VV若证：必要性,12VV?是直和,
12,VV的分解式唯一,
120,0,
而 0有分解式?0= 0 0,
8
充分性,
故 是直和,12VV?
,,,1 2 1 2 1 1 1 2 2 2,VV
设,它有两个分解式12VV
有 1 1 2 20,0,
其中 1 1 1 2 2 2,VV
于是 1 1 2 2( ) ( ) 0
由零向量分解成唯一，且?0= 0 0,
即 1 1 2 2,的分解式唯一,
9
2,和 是直和12VV12 0VV,
则有1 2 1 2 0VV
12 0,即 12VV? 是直和,
,” 任取 12,VV
证：,” 若 1 2 1 1 2 20,,.VV
于是零向量可表成
1 20 ( ),,.VV
由于 是直和，零向量分解式唯一，12VV?
0.故12 0.VV?
10
证：由维数公式
3,和 是直和12VV?
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
1 2 1 2 1 2d i m d i m d i m ( ) d i m ( )V V V V V V
有,1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
12d i m ( ) 0VV
12 0VV
12VV是直和,（由 2,得之）
11
总之,设 为线性空间 V的子空间，则下面12,VV
四个条件等价,
2） 零向量分解式唯一
1） 是直和12VV?
3）12 0VV?
4） 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V
4,(定理 10) 设 U是线性空间 V的一个子空间，
称这样的 W为 U的一个 余子空间,
则必存在一个子空间 W，使,V U W
12
证：取 U的一组基,,,12 m
把它扩充为 V的一组基,,,,,,1 2 1m m n
,,,12( ),m m nWL令 则,V U W
余子空间 一般不是唯一的 (除非 U是平凡子空间 ).
注意：
如，在 R3中，设
1 2 1 1 2 2(,),( ),( ),U L W L W L令
1 2 1 2( 1,1,0),( 1,0,0),( 0,1,1 ),( 0,0,1 )
3 1 2 1 2,R U W U W W W则 但
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5,设 分别是 线性子空间 ;1 2 1 2,,,,,,rs
12,VV 的一组基，则是直和12VV? 1 2 1 2,,,,,,,rs 线性无关,
证：由题设，,,1 1 2 1(,),d i mrV L V r
2 1 2 2(,,,),d i msV L V s
,,1 2 1 2 1 2(,,,,,),rsV V L
若 线性无关，1 2 1 2,,,,,,,rs
则它是 的一组基,12VV? 从而有
14
反之,若 直和，则12VV?
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V V V r s
从而 的秩为 r＋ s,1 2 1 2,,,,,,,rs
所以 线性无关,1 2 1 2,,,,,,,rs
是直和,12VV
1 2 1 2d i m ( ) d i m d i mV V r s V V
15
1、定义中每个向量 的分解式12
1
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is
i
V V V V
三、推广 多个子空间的直和都是线性空间 V的子空间，若和12,,,sV V V
是唯一的，则和 就称为直和，记作
1
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i
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V
12 sV V V
,,12 1,2,,s i iV i s
16
四个条件等价,
2） 零向量分解式唯一，即
3）0,1,2,,ij
ji
V V i s
4）
1
d i m d i m
s
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2、判定设 都是线性空间 V的子空间，则下面12,,,sV V V
1） 是直和
1
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0,1,2,,i is必 有,12 0,s i iV
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例 1 设 V1,V2分别是齐次线性方程组 ① 与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系 1
2
1
( 1,0,,0,1 )
( 0,1,,0,1 )
( 0,0,,1,1 )n
①12 0nx x x
②12 nx x x
解空间：
证明,12nP V V
18
再解齐次线性方程组②,
,,,1 1 2 1( ),nVL
由 12 nx x x
即
1
2
1
0
0
0
n
n
nn
xx
xx
xx?
得②的一个基础解系 ( 1,1,,1 )
2 ( ),VL
考虑向量组,,,1 2 1,n
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由于
1 0 0 1
0 1 0 1
00 0 1 1
1 1 1 1
,,,,,,,1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )n n n n nP L L L
线性无关，即它为 Pn的一组基,,,,1 2 1,n
12nP V V
12VV
12d i m d i m ( 1 ) 1 d i m nV V n n P又
