1
一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；
常用大写字母 A,B,C 等表示集合；
当 a是集合 A的元素时，就说 a 属于 A，记作,；aA?
当 a不是集合 A的元素时，就说 a不属于 A，记作,aA?
1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．
用小写字母 a,b,c 等表示集合的元素．
☆
2
◇ 注：关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是 19世纪中期德国数学家康托尔（ G,Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果 ;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性,
3
☆ 集合的表示方法一般有两种,描述法,列举法描述法,给出这个集合的元素所具有的特征性质,
列举法,把构成集合的全部元素一一列举出来,
例 1 22{ (,) 4,,}M x y x y x y R
例 2 N＝,{ 0,1,2,3,}{ 0,2,4,6,}2Z＝
M＝｛ x | x具有性质 P｝
M＝｛ a1,a2,…,an｝
4
2、集合间的关系
☆ 如果 B中的每一个元素都是 A中的元素，则称 B是
A的 子集,记作,（读作 B包含于 A）BA?
BA? 当且仅当 x B x A
☆ 空集：不含任何元素的集合,记为 υ．
注意：｛ υ｝ ≠υ
☆ 如果 A,B两集合含有完全相同的元素，则称 A与
B相等,记作 A＝ B.
A＝ B当且仅当 且AB? BA?
约定：空集是任意集合的子集合,
5
3、集合间的运算交,； {}A B x x A x B且并,A B x x A x B或显然有,;A B A A A B
6
二,映射设 M,M′是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则 σ，通过这个法则 σ对于 M中的每一个元素 a，
都有 M′中一个唯一确定的元素 a′与它对应,则称 σ为称 a′为 a 在映射 σ下的 象,而 a 称为 a ′在映射 σ下的
M到 M′的一个 映射,记作,或:'MM 'MM
原象,记作 σ(a)＝ a′ 或,.aa
1、定义
7
注,① 设映射,集合,:'MM ( ) { ( ) }M a a M
称之为 M在映射 σ下的 象,通常记作 Imσ．
② 集合 M 到 M 自身的映射称为 M 的一个 变换,
例 3 判断下列 M 到 M ′对应法则是否为映射
1） M＝｛ a,b,c｝,M′＝｛ 1,2,3,4｝
σ,σ(a)＝ 1,σ(b)＝ 1,σ(c)＝ 2
δ,δ(a)＝ 1,δ(b)＝ 2,δ(c)＝ 3,δ(c)＝ 4
τ,τ(b)＝ 2,τ(c)＝ 4
Im 'M显然，
（ 不是 ）
（ 是 ）
（ 不是 ）
8
2） M＝,M′＝ P,（ P为数域）nnP?
σ,σ(A)＝ |A|,nnAP
3） M＝ P,M′＝,（ P为数域 ）nnP?
τ,τ(a)＝ aE,（ E为 n级单位矩阵）aP
4） M,M′为任意两个非空集合,a0是 M′中的一个固定元素,σ,σ(a)＝ a0,aM
（ 是 ）
（ 是 ）
（ 是 ）
9
例 4 M是一个集合，定义 I：
I(a)＝ a,aM
即 I 把 M 上的元素映到它自身,I 是一个映射，
例 5 任意一个在实数集 R上的函数 y＝ f(x)
都是实数集 R到自身的映射，即，函数可以看成是称为 M 上的 恒等映射 或 单位映射,
映射的一个特殊情形．
10
2,映射的乘积设映射,,',,' ''M M M M乘积
定义为,(a)＝ τ(σ(a)) aM
即相继施行 σ和 τ的结果,是 M 到 M" 的一个
映射．
① 对于任意映射,有:'MM
MMII
② 设映射,',,' '',,'' '''M M M M M M，
有 ( ) ( )
注：
11
3、映射的性质,设映射,'MM
1）若 Im 'M,即对于任意 'yM?,均存在
（或称 σ为 映上的 ）；
2）若 M中不同元素的象也不同，即
1 2 1 2 1 2,,,( ) ( )a a M a a a a若 则
（或 1 2 1 2 1 2,,( ) ( ),a a M a a a a若 则），
则称 σ是 M到 M′的一个 单射 （或称 σ为 1— 1的 ）；
3）若 σ既是单射，又是满射，则称 σ为 双射,
xM?,使,则称 σ是 M到 M′的一个 满射()yx
（或称 σ为 1— 1对应 ）
12
例 6 判断下列映射的性质
1） M＝｛ a,b,c｝,M′＝｛ 1,2,3｝
σ,σ(a)＝ 1,σ(b)＝ 1,σ(c)＝ 2 （ 既不单射，也不是满射 ）
τ,τ(a)＝ 3,τ(b)＝ 2,τ(c)＝ 1
2） M＝ nnP?,M′＝ P，（ P为数域）
σ,σ(A)＝ |A|,nnAP （ 是满射，但不是单射 ）
（ 双射 ）
13
3） M＝ P,M′＝,nnP? P为数域,E为 n级单位矩阵
τ,τ(a)＝ aE,aP （ 是单射，但不是满射 ）
σ,σ(a)＝ a0,aM （ 既不单射，也不是满射 ）
5） M是一个集合，定义 I：
I(a)＝ a,aM （ 双射 ）
4） M,M′为任意非空集合,为固定元素0aM
6） M=Z,M′＝ 2Z，
σ,σ(n)＝ 2n,nZ （ 双射 ）
14
① 对于有限集来说，两集合之间存在 1— 1对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集 A及其子集 B，若 B≠A（即 B为 A
的真子集），则 A,B之间不可能存在 1— 1对应；但是对于无限集未必如此,
注：
如例 6中的 6）,σ是 1— 1对应，但 2Z是 Z的真子集．
M=Z,M′＝ 2Z，
σ,σ(n)＝ 2n,nZ
15
4、可逆映射定义,设映射,',MM若有映射,',MM
使得,MMII
则称 σ为 可逆映射,τ为 σ的 逆映射,
① 若 σ为可逆映射，则 σ－ 1也为可逆映射，且
（ σ－ 1） － 1＝ σ．
注：
1 ( ),aa则 有
②,'MM为可逆映射,aM?,若 ( ) ',aa
σ的逆映射是由 σ唯一确定的记作 σ－ 1．
③ σ为可逆映射的充要条件是 σ为 1— 1对应．
16
1 1 1 1()h g f f g
:,:f A B g B C h g f?,令3、设映射,证明：
1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；
2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；
3）如果 f,g 都是双射，那么 h 也是双射，并且
12( ) ( ),f a f a?但
1 1 1 2( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )h a g f a g f a g f a
这与 h是单射矛盾,∴ f 是单射．
1 2 1 2,,,a a A a a且证,1）若 f 不是单射，则存在
22( ) ( )g f a h a
于是有
17
( ) ( ) ( ( ) )c h a g f a g f a
,,( )c C a A h a c使2） ∵ h 是满射，,即
()f a B?,∴ g 是满射．又 ∵
3）,因为 g 是满射，存在,使cC bB?
( ),g b c?
又因为 f 是满射，存在,使aA? ()f a b?
h是满射．
( ) ( ) ( ( ) ) ( ),h a g f a g f a g b c∴
18
∵ 若 1 2 1 2,,a a A a a且，由于 f 是单射，有
12( ) ( ),f a f a?
又因为 g 是单射，有 12( ( ) ) ( ( ) )g f a g f a?
即,12( ) ( )g f a g f a?
∴ 12( ) ( ),h a h a?
因而 h 是双射．
h 是单射,
1 1 1 1( ) ( ) ( ) Ch f g g f f g I又
11( ),Af g h I同 理 1 1 1h f g
一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；
常用大写字母 A,B,C 等表示集合；
当 a是集合 A的元素时，就说 a 属于 A，记作,；aA?
当 a不是集合 A的元素时，就说 a不属于 A，记作,aA?
1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．
用小写字母 a,b,c 等表示集合的元素．
☆
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◇ 注：关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是 19世纪中期德国数学家康托尔（ G,Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果 ;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性,
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☆ 集合的表示方法一般有两种,描述法,列举法描述法,给出这个集合的元素所具有的特征性质,
列举法,把构成集合的全部元素一一列举出来,
例 1 22{ (,) 4,,}M x y x y x y R
例 2 N＝,{ 0,1,2,3,}{ 0,2,4,6,}2Z＝
M＝｛ x | x具有性质 P｝
M＝｛ a1,a2,…,an｝
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2、集合间的关系
☆ 如果 B中的每一个元素都是 A中的元素，则称 B是
A的 子集,记作,（读作 B包含于 A）BA?
BA? 当且仅当 x B x A
☆ 空集：不含任何元素的集合,记为 υ．
注意：｛ υ｝ ≠υ
☆ 如果 A,B两集合含有完全相同的元素，则称 A与
B相等,记作 A＝ B.
A＝ B当且仅当 且AB? BA?
约定：空集是任意集合的子集合,
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3、集合间的运算交,； {}A B x x A x B且并,A B x x A x B或显然有,;A B A A A B
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二,映射设 M,M′是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则 σ，通过这个法则 σ对于 M中的每一个元素 a，
都有 M′中一个唯一确定的元素 a′与它对应,则称 σ为称 a′为 a 在映射 σ下的 象,而 a 称为 a ′在映射 σ下的
M到 M′的一个 映射,记作,或:'MM 'MM
原象,记作 σ(a)＝ a′ 或,.aa
1、定义
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注,① 设映射,集合,:'MM ( ) { ( ) }M a a M
称之为 M在映射 σ下的 象,通常记作 Imσ．
② 集合 M 到 M 自身的映射称为 M 的一个 变换,
例 3 判断下列 M 到 M ′对应法则是否为映射
1） M＝｛ a,b,c｝,M′＝｛ 1,2,3,4｝
σ,σ(a)＝ 1,σ(b)＝ 1,σ(c)＝ 2
δ,δ(a)＝ 1,δ(b)＝ 2,δ(c)＝ 3,δ(c)＝ 4
τ,τ(b)＝ 2,τ(c)＝ 4
Im 'M显然，
（ 不是 ）
（ 是 ）
（ 不是 ）
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2） M＝,M′＝ P,（ P为数域）nnP?
σ,σ(A)＝ |A|,nnAP
3） M＝ P,M′＝,（ P为数域 ）nnP?
τ,τ(a)＝ aE,（ E为 n级单位矩阵）aP
4） M,M′为任意两个非空集合,a0是 M′中的一个固定元素,σ,σ(a)＝ a0,aM
（ 是 ）
（ 是 ）
（ 是 ）
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例 4 M是一个集合，定义 I：
I(a)＝ a,aM
即 I 把 M 上的元素映到它自身,I 是一个映射，
例 5 任意一个在实数集 R上的函数 y＝ f(x)
都是实数集 R到自身的映射，即，函数可以看成是称为 M 上的 恒等映射 或 单位映射,
映射的一个特殊情形．
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2,映射的乘积设映射,,',,' ''M M M M乘积
定义为,(a)＝ τ(σ(a)) aM
即相继施行 σ和 τ的结果,是 M 到 M" 的一个
映射．
① 对于任意映射,有:'MM
MMII
② 设映射,',,' '',,'' '''M M M M M M，
有 ( ) ( )
注：
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3、映射的性质,设映射,'MM
1）若 Im 'M,即对于任意 'yM?,均存在
（或称 σ为 映上的 ）；
2）若 M中不同元素的象也不同，即
1 2 1 2 1 2,,,( ) ( )a a M a a a a若 则
（或 1 2 1 2 1 2,,( ) ( ),a a M a a a a若 则），
则称 σ是 M到 M′的一个 单射 （或称 σ为 1— 1的 ）；
3）若 σ既是单射，又是满射，则称 σ为 双射,
xM?,使,则称 σ是 M到 M′的一个 满射()yx
（或称 σ为 1— 1对应 ）
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例 6 判断下列映射的性质
1） M＝｛ a,b,c｝,M′＝｛ 1,2,3｝
σ,σ(a)＝ 1,σ(b)＝ 1,σ(c)＝ 2 （ 既不单射，也不是满射 ）
τ,τ(a)＝ 3,τ(b)＝ 2,τ(c)＝ 1
2） M＝ nnP?,M′＝ P，（ P为数域）
σ,σ(A)＝ |A|,nnAP （ 是满射，但不是单射 ）
（ 双射 ）
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3） M＝ P,M′＝,nnP? P为数域,E为 n级单位矩阵
τ,τ(a)＝ aE,aP （ 是单射，但不是满射 ）
σ,σ(a)＝ a0,aM （ 既不单射，也不是满射 ）
5） M是一个集合，定义 I：
I(a)＝ a,aM （ 双射 ）
4） M,M′为任意非空集合,为固定元素0aM
6） M=Z,M′＝ 2Z，
σ,σ(n)＝ 2n,nZ （ 双射 ）
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① 对于有限集来说，两集合之间存在 1— 1对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集 A及其子集 B，若 B≠A（即 B为 A
的真子集），则 A,B之间不可能存在 1— 1对应；但是对于无限集未必如此,
注：
如例 6中的 6）,σ是 1— 1对应，但 2Z是 Z的真子集．
M=Z,M′＝ 2Z，
σ,σ(n)＝ 2n,nZ
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4、可逆映射定义,设映射,',MM若有映射,',MM
使得,MMII
则称 σ为 可逆映射,τ为 σ的 逆映射,
① 若 σ为可逆映射，则 σ－ 1也为可逆映射，且
（ σ－ 1） － 1＝ σ．
注：
1 ( ),aa则 有
②,'MM为可逆映射,aM?,若 ( ) ',aa
σ的逆映射是由 σ唯一确定的记作 σ－ 1．
③ σ为可逆映射的充要条件是 σ为 1— 1对应．
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1 1 1 1()h g f f g
:,:f A B g B C h g f?,令3、设映射,证明：
1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；
2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；
3）如果 f,g 都是双射，那么 h 也是双射，并且
12( ) ( ),f a f a?但
1 1 1 2( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )h a g f a g f a g f a
这与 h是单射矛盾,∴ f 是单射．
1 2 1 2,,,a a A a a且证,1）若 f 不是单射，则存在
22( ) ( )g f a h a
于是有
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( ) ( ) ( ( ) )c h a g f a g f a
,,( )c C a A h a c使2） ∵ h 是满射，,即
()f a B?,∴ g 是满射．又 ∵
3）,因为 g 是满射，存在,使cC bB?
( ),g b c?
又因为 f 是满射，存在,使aA? ()f a b?
h是满射．
( ) ( ) ( ( ) ) ( ),h a g f a g f a g b c∴
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∵ 若 1 2 1 2,,a a A a a且，由于 f 是单射，有
12( ) ( ),f a f a?
又因为 g 是单射，有 12( ( ) ) ( ( ) )g f a g f a?
即,12( ) ( )g f a g f a?
∴ 12( ) ( ),h a h a?
因而 h 是双射．
h 是单射,
1 1 1 1( ) ( ) ( ) Ch f g g f f g I又
11( ),Af g h I同 理 1 1 1h f g
