第五节 矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算，经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
A
A
A
,
3
2
1
B
B
B
b
b
a
a
A
110
101
000
001
例
A
001a
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000
b
a
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2B
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1
4
有相同的分块法采用列数相同的行数相同与设矩阵
,
,,1 BA
那末列数相同的行数相同与其中,,ijij BA
.
11
111111
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rr
BABA
BABA
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二、分块矩阵的运算规则
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r
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BB
B
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AA
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1
111
1
111
,
那末为数设,,2
1
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2
.
12108
246
644
分块成矩阵为矩阵为设,,3 nlBlmA
,,
1
111
1
111
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r
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t
BB
BB
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A
那末的行数的列数分别等于其中
,
,,,,,,2121 tjjjitii BBBAAA
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CC
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1
111
,,,1;,,1
1
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t
k
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其中
即块都是方阵且非零子其余子块都为零矩阵上有非零子块角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设
5
.
,,
,AnA
,
2
1
s
A
A
A
A
O
O
,4
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A
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A
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则
,
2
1
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A
A
A
A
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.
,,2,1
对角矩阵为分块那末称都是方阵其中 AsiA i
.21 sAAAA
分块对角矩阵的行列式具有下述性质,
并有则若,0,,,2,10 AsiA i?.2
1
s
A
A
A
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,6 2
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00
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11
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BA
BA
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例 1 设,
1011
0121
0010
0001
A,
0211
1401
1021
0101
B
.AB求解 分块成把 BA,
1011
0121
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又 21111 BBA
11
01
21
01
11
21
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01
20
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11
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14
11
21
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于是
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11
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.
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,
120
130
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A
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32
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2
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1
2
1
11
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320
110
00
5
1
三、小结在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法 采用相同的分块法同型矩阵,
(2) 数乘 的每个子块乘需乘矩阵数 AkAk,
(3) 乘法
.,的行的划分相一致的列的划分与需相乘与若 BABA
分块矩阵之间的运算,
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(4) 转置
srA
A
A
11
rA1
1sA
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A
A
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11
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
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A
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且可逆可逆作业
P201 21
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AO
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110
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1
三、小结在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法 采用相同的分块法同型矩阵,
(2) 数乘 的每个子块乘需乘矩阵数 AkAk,
(3) 乘法
.,的行的划分相一致的列的划分与需相乘与若 BABA
分块矩阵之间的运算,
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
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A
A
11
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1sA
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且可逆可逆作业
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