二,n 维向量空间定义 2
成的数组，
所组个有次序的数中数域维向量就是由上一个所谓数域
naaanP
nP
,,,
21?
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
1,n 维向量的概念
,
个分量称为第个数个分量，第个数称为该向量的这
iai
nn
i
例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii
n维实向量
n维复向量第 1个分量第 n个分量第 2个分量
n维向量通常用 等表示,例如,,,,,ba
),,,( 21 naaaa
2,向量的运算
),,,( 21 naaaa
定义 3 如果 n维向量
),,,( 21 n
的对应分量相等，即 niii,,2,1
就称为这两个向量 相等 。记作
定义 4 n维向量
),,,( 2211 nn
称为向量
),,,( 21 naaaa ),,,( 21 n
的 和,记为
由定义有 向量加法满足交换律
结合律 )( )(
定义 5 分量全为零的向量
)0,,0,0(?
称为 零向量,记为 0 ；
显然，对于任意向量 都有a
),,,( 21 naaa
),,,( 21 naaaa a?
的 负向量，记为向量称为向量
0)(
0
a
定义 6 )(a
定义 7 设 k为 数域 P中的数，向量
),,,( 21 nkakaka?
称为向量 与数 k的 数量乘积，),,,(
21 naaaa
由定义立即有
( 9 ) 1
( 8 ) )()(
( 7 ) )(
( 6 ) )(
kllk
lklk
kkak
ka记为由 (6)— (9)或由定义有
00
)1(
00
k
0
,00
k
k 那么且若定义 8 以数域 P中的数作为分量的 n维向量的全体，
同时考虑定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P上的 n 维向量空间。
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
),,,( 21 nT aaaa
坐标系空 间
)3(?n解析几何 线性代数点空间,点的集合 向量空间,向量的集合坐标系代数形象,向量空间 中 的 平 面
dczbyaxzyxr T ),,(
几何形象,空间直线、曲线、空间平面或曲面
dczbyaxzyx),,(
),,( zyxP ),,( zyxr T?一 一 对 应
RxxxxxxxR nnn T,,,),,,( 2121
bxaxaxaxxxx nnn T 221 121 ),,,(?
叫做 维向量空间,n
时,维向量没有直观的几何形象．n3?n
叫做 维向量空间 中的 维超平面,Rnn 1?n
确定飞机的状态，需要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20(
机身的仰角 )
22(
机翼的转角 )(
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,(zyxa?
维向量的实际意义n
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３,向量空间：
解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念；
四、小结
１,维向量的概念，实向量、复向量；n
成的数组，
所组个有次序的数中数域维向量就是由上一个所谓数域
naaanP
nP
,,,
21?
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
1,n 维向量的概念
,
个分量称为第个数个分量，第个数称为该向量的这
iai
nn
i
例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii
n维实向量
n维复向量第 1个分量第 n个分量第 2个分量
n维向量通常用 等表示,例如,,,,,ba
),,,( 21 naaaa
2,向量的运算
),,,( 21 naaaa
定义 3 如果 n维向量
),,,( 21 n
的对应分量相等，即 niii,,2,1
就称为这两个向量 相等 。记作
定义 4 n维向量
),,,( 2211 nn
称为向量
),,,( 21 naaaa ),,,( 21 n
的 和,记为
由定义有 向量加法满足交换律
结合律 )( )(
定义 5 分量全为零的向量
)0,,0,0(?
称为 零向量,记为 0 ；
显然，对于任意向量 都有a
),,,( 21 naaa
),,,( 21 naaaa a?
的 负向量，记为向量称为向量
0)(
0
a
定义 6 )(a
定义 7 设 k为 数域 P中的数，向量
),,,( 21 nkakaka?
称为向量 与数 k的 数量乘积，),,,(
21 naaaa
由定义立即有
( 9 ) 1
( 8 ) )()(
( 7 ) )(
( 6 ) )(
kllk
lklk
kkak
ka记为由 (6)— (9)或由定义有
00
)1(
00
k
0
,00
k
k 那么且若定义 8 以数域 P中的数作为分量的 n维向量的全体，
同时考虑定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P上的 n 维向量空间。
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
),,,( 21 nT aaaa
坐标系空 间
)3(?n解析几何 线性代数点空间,点的集合 向量空间,向量的集合坐标系代数形象,向量空间 中 的 平 面
dczbyaxzyxr T ),,(
几何形象,空间直线、曲线、空间平面或曲面
dczbyaxzyx),,(
),,( zyxP ),,( zyxr T?一 一 对 应
RxxxxxxxR nnn T,,,),,,( 2121
bxaxaxaxxxx nnn T 221 121 ),,,(?
叫做 维向量空间,n
时,维向量没有直观的几何形象．n3?n
叫做 维向量空间 中的 维超平面,Rnn 1?n
确定飞机的状态，需要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20(
机身的仰角 )
22(
机翼的转角 )(
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,(zyxa?
维向量的实际意义n
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３,向量空间：
解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念；
四、小结
１,维向量的概念，实向量、复向量；n
