,
01
nAR
xAn nm

矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组定理第五节 线性方程组有解判别定理的解．讨论线性方程组的秩，和增广矩阵如何利用系数矩阵
bAx
BA
问题：
证 必要性
,,nDnAnAR 阶非零子式中应有一个则在设?
,根据 Cramer定理个方程只有零解所对应的 nDn
从而有非零解，设方程组 0?Ax
这与原方程组有非零解相矛盾，
,nAR?即 不能成立．nAR )(
充分性,nrAR设
.个自由未知量从而知其有 rn-
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，
即可得方程组的一个非零解,
个非零行，的行阶梯形矩阵只含则 rA
证 必要性,有解设方程组 bAx?
,BRAR?设则 B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，
,,
2
的秩阵的秩等于增广矩矩阵的充分必要条件是系数有解元非齐次线性方程组定理
bAB
A
bxAn nm

这与方程组有解相矛盾,.BRAR?因此并令 个自由未知量全取 0，rn-
即可得方程组的一个解．
充分性,BRAR?设
,nrrBRAR设证毕个非零行，的行阶梯形矩阵中含则 rB
其余 个作为自由未知量,rn-
把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,
r
小结 有唯一解bAx nBRAR
nBRAR 有无穷多解,bAx?
方程组的通解．
性程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方齐次线性方程组,系数矩阵化成行最简形矩阵，
便可写出其通解；
非齐次线性方程组,增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
例 1 求解齐次线性方程组
.
034
0222
02
4321
4321
4321
---
--?

xxxx
xxxx
xxxx
解
---
--?
3411
2212
1221
A
---
---
4630
4630
1221
线性方程组的解法施行初等行变换：对系数矩阵 A
13
12 2
rr
rr
-
-
0000
3
4
210
1221
)3(2
23
-?
-
r
rr 21 2rr -
--
0000
3
4
210
3
5
201
即得与原方程组同解的方程组

--
,0
3
4
2
,0
3
5
2
432
431
xxx
xxx
--?

,
,
,
3
4
2
,
3
5
2
24
13
222
221
cx
cx
ccx
ccx
).,( 43 可任意取值xx
由此即得?
--?

,
3
4
2
,
3
5
2
432
431
xxx
xxx
形式，把它写成通常的参数令 2413,cxcx
.
1
0
3
4
3
5
0
1
2
2
21
4
3
2
1
-?
-
cc
x
x
x
x
例２ 求解非齐次线性方程组
-
-?-
-?-
.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，
-
--
--
32212
23513
11321
B
13
12 2
rr
rr
-
-
-
--
10450
10450
11321
23 rr - 200
,3)(,2)( BRAR显然,故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321
---
-?-
--
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换
---
--
--
213211
13111
01111
B
--
-
--
212100
14200
01111
~
.
00000
212100
211011
~
-
--
,2 BRAR由于 故方程组有解，且有



212
21
43
421
xx
xxx




424
423
422
421
0
2120
0
21
xxx
xxx
xxx
xxx
.
0
21
0
21
1
2
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1








xx
x
x
x
x
.,42 任意其中 xx
所以方程组的通解为例４
求出它的一切解．
在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组
.0
54321
515
454
343
232
121

-
-
-
-
-
aaaaa
axx
axx
axx
axx
axx
解证 对增广矩阵 B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
-
-
-
-
-
5
4
3
2
1
10001
11000
01100
00110
00011
a
a
a
a
a
B
-
-
-
-
5
1
4
3
2
1
00000
11000
01100
00110
00011
~
i
i
a
a
a
a
a

0
5
1

i
ia
BRAR由
.0
5
1

i
ia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组
-
-
-
-
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
由此得通解：




544
5433
54322
543211
xax
xaax
xaaax
xaaaax
.5 为任意实数x
例５ 设有线性方程组



2
321
321
321 1


xxx
xxx
xxx
,有无穷多个解有解取何值时问?
解
211
11
111


B
111
11
11
~
2


作初等行变换，对增广矩阵 ),( bAB?
---
---
22
2
2
1110
110
11
~



--?--
---
322
2
2
1200
110
11
~





-?-
---?
2
2
112100
1110
11



,11 时当
0000
0000
1111
~B
,,3 方程组有无穷多解 BRAR
其通解为?
--?
33
22
321 1
xx
xx
xxx
.,32 为任意实数xx
,12 时当


--
2
2
1200
110
11
~


B
这时又分两种情形：
,,3,2)1 方程组有唯一解时-? BRAR?
,
2
1,
2
1,
2
1 2
321?


-?

xxx
,,故方程组无解BRAR?
,2)2 时-
--
-
3000
6330
4211
~B
nBRAR
nBRAR 有无穷多解,bAx?
非齐次线性方程组 bAx?
齐次线性方程组 0?Ax
nAR ;0 只有零解?Ax
nAR,0 有非零解?Ax
小结;有唯一解bAx?
思考题
.,
,,
12105
,3153
,363
,132
4321
4321
4321
4321
求出一般解况下情在方程组有无穷多解的有无穷多解有唯一解方程组无解取何值时当讨论线性方程组
tp
txxxx
xxpxx
xxxx
xxxx
--
--


思考题解答
--
--
t
p
B
121051
31513
31631
13211
解
---
---
-
191260
06640
22420
13211
~
t
p


-
-
53000
42200
11210
13211
~
t
p;,4)()(,2)1( 方程组有唯一解时当 BRARp


-
-


-
10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
~~
tt
B 有时当,2)2(?p;,4)(3)(,1 方程组无解时当 BRARt
-
-
00000
21000
30210
80001
00000
21000
11210
13211
~~B
且
.,3)()(,1 方程组有无穷多解时当 BRARt
组为与原方程组同解的方程
).(
2
0
3
8
0
1
2
0
4
3
2
1
Rkk
x
x
x
x


-


-



-?
,2
,32
,8
4
32
1
x
xx
x
故原方程组的通解为