1
第四节 n 级行列式的性质性质 1 行列式与其转置行列式相等，即
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
nn
nn
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
.
2
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa


21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k


21
21
11211
行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即性质 2
推论行列式某一行（列）为零，则行列式为零,
3
性质 3 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D




)(
)(
)(
21
2222221
1111211



则 D 等于下列两个行列式之和,
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D









1
2221
1111
1
2221
1111
4
性质 4 如果行列式的两行（列）对应于元素都相等，则行列式为零,
证明 设
,)1(
1
1
1
1
)(
21
21
21
11211

n
nki
nki
jj
njkjijj
jjjj
nnnn
knkk
inii
n
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaa





.,,2,1 njaaki kjij,行相同，即行和第且第
5
.
.
11
项的和为零正好相反，所以上述两奇偶性和另外，由于排列同，所以两项的绝对值相，并且因为
niknki
ijkjkjij
jjjjjjjj
aaaa
kkii


同时出现，
和由于展开式中，项
nik
nik
nki
nki
njkjijj
jjjj
njkjijj
jjjj
aaaa
aaaa




1
1
1
1
1
)(
1
)(
)1(
)1(
.的值为零两两配对，从而行列式形式式中的项总可以按上述容易推知，行列式展开
6
性质 5 行列式两行（列）对应成比例，则行列式为零,
性质 6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变,
性质 7 交换行列式的两行（列），行列式反号,
7
证明
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in i k i k in k n
ik
k k k n k k k n
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a a a a a a a
rr
a a a a a a
a a a a a a

性 质 6
8
11 12 1
12
12
12
n
k n k n
i i in
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a

1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 1 1 2
1 1 2
1 2 1 2
nn
i k in k n k k k n
k i i k
i in i i in
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a a a a a
r r r r
a a a a a
a a a a a a



性 质 6 性 质 6
9
例 1 求
n
a b b b
b a b b
D b b a b
b
b b b a
解
nD
abb
bab
bnabnabna
rrr
n

)1()1()1(
21


10
abbb
babb
bbab
bna

1111
])1([
bab
bab
bab
bna


00
00
00
0001
])1([
1)]()1([ nbabna
11
例 2 求
1
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
D?
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 3 4 1 0 1 1 3 0 1 1 3
1 0 1 0 1 0 1 6 0
1 4 1 2 0 2 2 2 0 0 4 4
1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 4




解
1D
12
.0
,2,1,||

n
ijjiijn
Dn
njiaaaDn
为奇数时，反对称行列式），则当
（称为，满足级行列式若?
例 3
证明
.)1()1(||)1(||)1(
)1(||
n
nT
n
n
ji
n
ij
n
n
ijn
DDaaD
aD


得的每一行提出将行列式
.0?

n
nn
D
DD
n
即
，
为奇数，所以由于
13
作业：
P98 13(2) (4) (5) (6)
14