一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理因式分解与多项式系数所在数域有关如,4 2 24 2 2x x x
22 2 2x x x
（在有理数域上）
2 2 2 2x x x i x i
问题的引入
（在实数域上）
（在复数域上）
设,且,若( ) [ ]p x P x 1px()px
不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的()px
Def.
乘积，则称 为数域 P上的 不可约多项式,()px
Remark
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域,
② 一次多项式总是不可约多项式,
一、不可约多项式
③ 多项式 不可约( ) ( ( ) ) 1p x p x
()px? 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍,
( ) ( ) ( ),( ) 1,p x f x p x f x?或
④ 多项式 不可约，对 有( ) [ ]f x P x()px
证：设 则( ( ),( ) ) ( ),p x f x d x?( ) ( )d x p x
或 ( ) ( ),0d x c p x c
( ) ( )d x c p x?
( ( ),( ) ) 1p x f x?( ) ( )p x f x
( ) 0d x a
即 或( ) 1,dx?
不可约,,若()px ( ),( ) [ ]f x g x P x
( ) ( ) ( ),p x f x g x则 或( ) (p x f x ( ) ( ),p x g x
证：若 结论成立,( ) ( ),p x f x
4Th
若 不整除,则 ( ( ),( ) ) 1p x f x?( ) ( )p x f
Th,5
( ) ( ),p x g x
不可约，()px 12( ) ( ) ( ) ( ),sp x f x f x f x
则必有某个 使得( ),ifx ( ) ( ),ip x f x
Cor.
( ) ( ),p x P x 若,则 可( ( ) ) 1fx ()fx
唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积,
所谓唯一性是说，若有两个分解式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )stf x p x p x p x q x q x q x
1,Th.
则,且适当排列因式的次序后，有st?
( ) ( )i i ip x c q x?
其中 是一些非零常数．( 1,2,,)ic i s?
二、因式分解及唯一性定理证：对 的次数作数学归纳,()fx
1 ( ( ) ) 1fx时，结论成立．
下证 的情形,()f x n
设对次数低于 n的多项式结论成立．2
（一次多项式都不可约）
若 是不可约多项式,()fx
若 不是不可约多项式，则存在()fx 12( ),( ),f x f x
且 使( ( ) ),1,2if x n i12( ) ( ) ( )f x f x f x?
结论显然成立．
由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积,12( ),( )f x f x
再证唯一性,
12( ) ( ) ( )tq x q x q x? ⑴
()fx? 可分解为一些不可约多项式的积,
( ),( ) 1,2,,; 1,2,,.ijp x q x i s j t都是不可约设 有两个分解式()fx
12( ) ( ) ( ) ( )sf x p x p x p x?
多项式,
对 作归纳法．s
若 则必有1,s? 1,st 11( ) ( ) ( )f x p x q x
假设不可约多项式个数为 时唯一性已证,1s?
由 (１ ) 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )tp x q x q x q x
不妨设 则 1( ) ( ),jq x q x? 11( ) ( )p x q x
1 1 1 1( ) ( ),0q x c p x c
1 ( ) ( ),jp x q x使得( ),jqx
(1)两边消去 1( ),qx
12 1 2( ) ( ) ( ) ( )stp x p x c q x q x
由归纳假设有 1 1,st
即得
.st
()fx总可表成
1212( ) ( ) ( ) ( )srrr sf x c p x p x p x?
( ) [ ],( ) 1,f x P x f x对其中 为 的首项系数,为互不相同的，c ()fx ()ipx
首项系数为 1的不可约多项式,.irZ
的 标准分解式,
称之为 ()fx
2,标准分解式：
Remark
① 若已知两个多项式 的标准分解式,( ),( )f x g x
( ),( ),f x g x则可直接写出就是那些同时在 的标准( ),( )f x g x( ),( )f x g x
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在 中所带的方幂指数( ),( )f x g x
中较小的一个．
( ) ( ),1,2,,iif x g x r l i s
E,g,若 的标准分解式分别为( ),( )f x g x
1212( ) ( ) ( ) ( ),0srrr sif x ap x p x p x r
1212( ) ( ) ( ) ( ),0slll sig x b p x p x p x l
则有 1212( ),( ) ( ) ( ) ( ),ssf x g x p x p x p x
m in,,1,2,,i i ir l i s
1212( ),( ) ( ) ( ) ( ),suuu sf x g x p x p x p x?
ma x,,1,2,,i i iu r l i s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，
但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式 的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．
22 2 2x x x
（在有理数域上）
2 2 2 2x x x i x i
问题的引入
（在实数域上）
（在复数域上）
设,且,若( ) [ ]p x P x 1px()px
不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的()px
Def.
乘积，则称 为数域 P上的 不可约多项式,()px
Remark
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域,
② 一次多项式总是不可约多项式,
一、不可约多项式
③ 多项式 不可约( ) ( ( ) ) 1p x p x
()px? 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍,
( ) ( ) ( ),( ) 1,p x f x p x f x?或
④ 多项式 不可约，对 有( ) [ ]f x P x()px
证：设 则( ( ),( ) ) ( ),p x f x d x?( ) ( )d x p x
或 ( ) ( ),0d x c p x c
( ) ( )d x c p x?
( ( ),( ) ) 1p x f x?( ) ( )p x f x
( ) 0d x a
即 或( ) 1,dx?
不可约,,若()px ( ),( ) [ ]f x g x P x
( ) ( ) ( ),p x f x g x则 或( ) (p x f x ( ) ( ),p x g x
证：若 结论成立,( ) ( ),p x f x
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若 不整除,则 ( ( ),( ) ) 1p x f x?( ) ( )p x f
Th,5
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不可约，()px 12( ) ( ) ( ) ( ),sp x f x f x f x
则必有某个 使得( ),ifx ( ) ( ),ip x f x
Cor.
( ) ( ),p x P x 若,则 可( ( ) ) 1fx ()fx
唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积,
所谓唯一性是说，若有两个分解式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )stf x p x p x p x q x q x q x
1,Th.
则,且适当排列因式的次序后，有st?
( ) ( )i i ip x c q x?
其中 是一些非零常数．( 1,2,,)ic i s?
二、因式分解及唯一性定理证：对 的次数作数学归纳,()fx
1 ( ( ) ) 1fx时，结论成立．
下证 的情形,()f x n
设对次数低于 n的多项式结论成立．2
（一次多项式都不可约）
若 是不可约多项式,()fx
若 不是不可约多项式，则存在()fx 12( ),( ),f x f x
且 使( ( ) ),1,2if x n i12( ) ( ) ( )f x f x f x?
结论显然成立．
由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积,12( ),( )f x f x
再证唯一性,
12( ) ( ) ( )tq x q x q x? ⑴
()fx? 可分解为一些不可约多项式的积,
( ),( ) 1,2,,; 1,2,,.ijp x q x i s j t都是不可约设 有两个分解式()fx
12( ) ( ) ( ) ( )sf x p x p x p x?
多项式,
对 作归纳法．s
若 则必有1,s? 1,st 11( ) ( ) ( )f x p x q x
假设不可约多项式个数为 时唯一性已证,1s?
由 (１ ) 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )tp x q x q x q x
不妨设 则 1( ) ( ),jq x q x? 11( ) ( )p x q x
1 1 1 1( ) ( ),0q x c p x c
1 ( ) ( ),jp x q x使得( ),jqx
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由归纳假设有 1 1,st
即得
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首项系数为 1的不可约多项式,.irZ
的 标准分解式,
称之为 ()fx
2,标准分解式：
Remark
① 若已知两个多项式 的标准分解式,( ),( )f x g x
( ),( ),f x g x则可直接写出就是那些同时在 的标准( ),( )f x g x( ),( )f x g x
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在 中所带的方幂指数( ),( )f x g x
中较小的一个．
( ) ( ),1,2,,iif x g x r l i s
E,g,若 的标准分解式分别为( ),( )f x g x
1212( ) ( ) ( ) ( ),0srrr sif x ap x p x p x r
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② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，
但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式 的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．
