1
级行列式第三节 n
定义
,)1(
21
21
21
22221
11211
2

n
nppp
t
nnnn
n
n
aaa
n
aaa
aaa
aaa
nn

乘积的代数和个元素的同列的等于所有取自不同行不阶行列式个数组成的由为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
2
注,!)1( 项有级行列式的展开式中共 nn
例
21
2 ( 3 ) ( 1 ) 4 6 4 2
43

1 2 3
2 1 3 1 18 12 9 4 6 12
3 2 1

.
)2(
个元素的乘积构成位于不同行和不同列的阶行列式的每一项是由
n
n
.||)3( 号混淆，注意不要与绝对值符一阶行列式 aa?
3
例 求解下列行列式
6
5
4
3
2
1
)2(
4
3
2
1
)1(,
4
( 1 2 3 4 )
1 1 2 2 3 3 4 4
1
2
( 1 ) 2 4
3
4
a a a a

( 654321 )
16 25 34 43 52 61
1
2
3
( 1 ) 6 ! 720
4
5
6
a a a a a a

解
5
一般的，
1
2
12 n
n
d
d
d d d
d
（对角线行列式）
1
( 1 )
2
2
12
( 1 )
nn
n
n
d
d
d d d
d

6
例 计算 上三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa

00
0
222
11211
展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa

00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解
7
类似的，对于 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a

321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
8
练习：
.
0
1
20
10
)1(
n
n
计算答案,!)1( 1 nn
9
.
1211
123
111
211
)()2(
3
的系数，求已知 x
x
x
x
x
xf
解
,3
)(
且最高次幂为的多项式函数，为一个级行列式的定义，由 xxfn
.2
)1()1(
33
43342211
)1 2 4 3(
44332211
)1 2 3 4(
3
项和－即
，和的项仅有两项：显然含
xx
aaaaaaaa
x

.1)( 3?的系数为中所以 xxf
10
级行列式的等价定义n
定义
12
12
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 ()
12
12
( 1 ) n
n
n
n
n i i i
i i i n
j j j
n n n n
a a a
a a a
a a a
a a a

.,321
21
的所有排列，、、表示对其中 n
niii
由于行列式的行和列的地位是一样的，我们交换行列式表达式中的行和列的位置，可以得到另外一种等价定义,
11
转置行列式
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
,行列式
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
.TDD 的转置行列式，记为称为行列式试用行列式的等价定义证明：
.TDD?
12
作业：
P96 1（ 2）； 5； 6
8（ 3）； 10