一、本原多项式二、整系数多项式的因式分解问题的引入
1,由因式分解定理,作为一个特殊情形：
对 则 可唯一分解( ) [ ],( ) 1,f x Q x f x()fx
成不可约的有理系数多项式的积,
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法,
2,我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约C
多项式；
在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些R
二次多项式；
但在 上有任意次数的不可约多项式．如Q
2,.nx n Z
如何判断 上多项式的不可约性呢?Q
3,有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
110( ),nnnnf x a x a x a事实上，设则可选取适当整数,c 使 为整系数多项式．()cf x
( ) ( ),c f x dg x?
()cf x若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得也即 ( ) ( ),df x g xc?
其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于()gx
的公因子．1?
一、本原多项式设 11 1 0( ) 0,nnnng x b x b x b x b定义
,0,1,2,,.ib Z i n 若 没有1 1 0,,,,nnb b b b?
则称 为 本原多项式,()gx
异于 的公因子，即 1 1 0,,,,nnb b b b?1? 是互素的，
有关性质
1,( ) [ ],,f x Q x r Q使 ( ) ( ),f x rg x?
其中 为本原多项式．()gx
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2,Gauss引理定理 10 两个本原多项式的积仍是本原多项式,
设 110( ),nnnnf x a x a x a
110() mmmmg x b x b x b
是两个本原多项式,
110( ) ( ) ( ) n m n mn m n mh x f x g x d x d x d
若 不是本原的，则存在素数()hx,p
证：
|,0,1,,.rp d r n m
又 是本原多项式，所以 不能整除 的()fx p ()fx
每一个系数．
反证法．
令 为 中第一个不能被 整除的数，即ia 01,,,na a a p
11|,,,.|| iip a p a p a?
同理,本原，令 为 中第一个不能被()gx jb 0,,mbb
p 整除的数，即 0 1 1|,|,| |,,.jjp b p b p b p b?
又 11,i j i j i jd a b a b
矛盾,11|,,|,|i j i j i jp d p a b p a b在这里故 是本原的．()hx
定理 11 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
二、整系数多项式的因式分解设整系数多项式 有分解式()fx
( ) ( ) ( )f x g x h x?
其中 且( ),( ) [ ],g x h x Q x( ),( ) ( ),g x h x f x
证：
令 1 1 1( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )f x a f x g x r g x h x s h x
这里,皆为本原多项式，1 1 1( ),( ),( )f x g x h x,aZ?
,.r s Q? 于是 1 1 1( ) ( ) ( ),a f x r s g x h x?
由定理 10,本原，11( ) ( )g x h x
即,rs Z11( ) ( ) ( ),f x rsg x h x
,a r s从而有得证．
设 是整系数多项式，且 是本原( ),( )f x g x ()gx
推论的，若 则( ) ( ) ( ),( ) [ ],f x g x h x h x Q x()hx
必为整系数多项式．
令 11( ) ( ),( ) ( ),f x a f x h x c h x
11( ),( )f x h x本原，
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f x g x c h x c g x h x
即,cZ?
1( ) ( )h x c h x为整系数多项式．
证：
,,a Z c Q
于是有，
,ca
定理 12 设 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a
是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，rs
其中 是互素的，则必有,rs
0|,|,ns a r a
是 的有理根，rs ()fx
从而 ( ) | ( ),sx r f x?
又 互素，,rs
11 1 0( ) ( ) ( )nnf x s x r b x b x b
,0,1,,1,ib Z i n比较两端系数，得证：
( ) | ( ),rx f xs?∴ 在有理数域上，
由上推论，有sx r本原．
1 0 0,.nna s b a r b所以,|,|,ns a r a
定理 12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，
而非充分条件,
例 1 求方程 的有理根,432 2 3 0x x x
可能有理根为 131,3,,,22
用综合除法可知，只有 1为根．
注意解：
例 2 证明,在 上不可约,3( ) 5 1f x x xQ
若 可约，()fx
但 的有理根只可能是()fx 1,?
所以 不可约．()fx
证,则 至少有一个一次因式，()fx
也即有一个有理根．
而
(1 ) 3,f ( 1 ) 5.f 矛盾．
定理 13 艾森斯坦因 Eisenstein判别法设 11 1 0( ),nnnnf x a x a x a x a
是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,p
1 | npa
1 2 02 |,,,nnp a a a
2 03 |p a
则 在有理数域上是不可约的．()fx
若 在 上可约，由定理 11，()fx Q
()fx可分解为两次数较低的整系数多项式积
111 0 1 0( ) ( ) ( )l l m ml l m mf x b x b x b c x c x c
,,,,ijb c Z l m n l m n
证：
0 0 0,.n l ma b c a b c
0|,pa
又 2 0|,pa
不妨设 但0|pb 0|.pc
0|pb? 0|,pc或
00,.bcp? 不能同时整除另一方面,|.npa
假设 中第一个不能被 整除的数为01,,,lb b b p,kb
比较两端 的系数，得kx
0 1 1 0k k k ka b c b c b c
上式中 皆能被 整除，10,,,kka b b? p
矛盾,0| |,kp b p c? 或
|,|,lmp b p c?
0| kp b c?
故 不可约．()fx
例 3 证明,在 上不可约．2nx? Q
证：（令 即可）．2p?
(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式 )
例 4 判断
23
( ) 1,2 ! 3 ! !
px x x
f x x p
（ 为素数）在 上是否可约．Qp
令 ( ) ! ( ),g x p f x?
21!!( ) ! !,
2 ( 1 ) !
ppppg x p p x x x x
p
则 为整系数多项式．()gx
!!| 1,|,,!,
( 1 ) ! ( 2 ) !
ppp p p
pp,
但 2 | !,pp
解：
()gx? 在 上不可约，Q 从而 在 上不可约．()fx Q
即
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件,
注意也就是说，如果一个整系数多项式不满足 Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，
也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 不能直接用 Eisenstein
判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换 使 满足
Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约．
()fx
(,,0 ),a x b a b Z a( ) ( )f a y b g y
()fx
有理系数多项式 在有理系数上不可约()fx
命题在有理数域上不可约．
,( 0),a b Q a对 ( ) ( )g x f ax b多项式例 5 证明,在 上不可约,2( ) 1f x xQ
取 2,p?
证,1,xy作变换
2( ) 2 2,f x y y
则在Ｑ上不可约，2 22yy
所以 在Ｑ上不可约．()fx
由 Eisenstein判别法知，
对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后Q
再用 Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的多项式 无论作怎样的代换 都不能( ),fx,x a y b
使 满足爱森斯坦因判别法的条件，( ) ( )f ay b g y
即找不到相应的素数,p
说明,
办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的Q
如,3( ) 1,f x x x
练习
P 为素数,证明,( ) 1,pf x x p x
()fx在Ｑ上不可约．
1,由因式分解定理,作为一个特殊情形：
对 则 可唯一分解( ) [ ],( ) 1,f x Q x f x()fx
成不可约的有理系数多项式的积,
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法,
2,我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约C
多项式；
在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些R
二次多项式；
但在 上有任意次数的不可约多项式．如Q
2,.nx n Z
如何判断 上多项式的不可约性呢?Q
3,有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
110( ),nnnnf x a x a x a事实上，设则可选取适当整数,c 使 为整系数多项式．()cf x
( ) ( ),c f x dg x?
()cf x若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得也即 ( ) ( ),df x g xc?
其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于()gx
的公因子．1?
一、本原多项式设 11 1 0( ) 0,nnnng x b x b x b x b定义
,0,1,2,,.ib Z i n 若 没有1 1 0,,,,nnb b b b?
则称 为 本原多项式,()gx
异于 的公因子，即 1 1 0,,,,nnb b b b?1? 是互素的，
有关性质
1,( ) [ ],,f x Q x r Q使 ( ) ( ),f x rg x?
其中 为本原多项式．()gx
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2,Gauss引理定理 10 两个本原多项式的积仍是本原多项式,
设 110( ),nnnnf x a x a x a
110() mmmmg x b x b x b
是两个本原多项式,
110( ) ( ) ( ) n m n mn m n mh x f x g x d x d x d
若 不是本原的，则存在素数()hx,p
证：
|,0,1,,.rp d r n m
又 是本原多项式，所以 不能整除 的()fx p ()fx
每一个系数．
反证法．
令 为 中第一个不能被 整除的数，即ia 01,,,na a a p
11|,,,.|| iip a p a p a?
同理,本原，令 为 中第一个不能被()gx jb 0,,mbb
p 整除的数，即 0 1 1|,|,| |,,.jjp b p b p b p b?
又 11,i j i j i jd a b a b
矛盾,11|,,|,|i j i j i jp d p a b p a b在这里故 是本原的．()hx
定理 11 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
二、整系数多项式的因式分解设整系数多项式 有分解式()fx
( ) ( ) ( )f x g x h x?
其中 且( ),( ) [ ],g x h x Q x( ),( ) ( ),g x h x f x
证：
令 1 1 1( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )f x a f x g x r g x h x s h x
这里,皆为本原多项式，1 1 1( ),( ),( )f x g x h x,aZ?
,.r s Q? 于是 1 1 1( ) ( ) ( ),a f x r s g x h x?
由定理 10,本原，11( ) ( )g x h x
即,rs Z11( ) ( ) ( ),f x rsg x h x
,a r s从而有得证．
设 是整系数多项式，且 是本原( ),( )f x g x ()gx
推论的，若 则( ) ( ) ( ),( ) [ ],f x g x h x h x Q x()hx
必为整系数多项式．
令 11( ) ( ),( ) ( ),f x a f x h x c h x
11( ),( )f x h x本原，
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f x g x c h x c g x h x
即,cZ?
1( ) ( )h x c h x为整系数多项式．
证：
,,a Z c Q
于是有，
,ca
定理 12 设 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a
是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，rs
其中 是互素的，则必有,rs
0|,|,ns a r a
是 的有理根，rs ()fx
从而 ( ) | ( ),sx r f x?
又 互素，,rs
11 1 0( ) ( ) ( )nnf x s x r b x b x b
,0,1,,1,ib Z i n比较两端系数，得证：
( ) | ( ),rx f xs?∴ 在有理数域上，
由上推论，有sx r本原．
1 0 0,.nna s b a r b所以,|,|,ns a r a
定理 12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，
而非充分条件,
例 1 求方程 的有理根,432 2 3 0x x x
可能有理根为 131,3,,,22
用综合除法可知，只有 1为根．
注意解：
例 2 证明,在 上不可约,3( ) 5 1f x x xQ
若 可约，()fx
但 的有理根只可能是()fx 1,?
所以 不可约．()fx
证,则 至少有一个一次因式，()fx
也即有一个有理根．
而
(1 ) 3,f ( 1 ) 5.f 矛盾．
定理 13 艾森斯坦因 Eisenstein判别法设 11 1 0( ),nnnnf x a x a x a x a
是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,p
1 | npa
1 2 02 |,,,nnp a a a
2 03 |p a
则 在有理数域上是不可约的．()fx
若 在 上可约，由定理 11，()fx Q
()fx可分解为两次数较低的整系数多项式积
111 0 1 0( ) ( ) ( )l l m ml l m mf x b x b x b c x c x c
,,,,ijb c Z l m n l m n
证：
0 0 0,.n l ma b c a b c
0|,pa
又 2 0|,pa
不妨设 但0|pb 0|.pc
0|pb? 0|,pc或
00,.bcp? 不能同时整除另一方面,|.npa
假设 中第一个不能被 整除的数为01,,,lb b b p,kb
比较两端 的系数，得kx
0 1 1 0k k k ka b c b c b c
上式中 皆能被 整除，10,,,kka b b? p
矛盾,0| |,kp b p c? 或
|,|,lmp b p c?
0| kp b c?
故 不可约．()fx
例 3 证明,在 上不可约．2nx? Q
证：（令 即可）．2p?
(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式 )
例 4 判断
23
( ) 1,2 ! 3 ! !
px x x
f x x p
（ 为素数）在 上是否可约．Qp
令 ( ) ! ( ),g x p f x?
21!!( ) ! !,
2 ( 1 ) !
ppppg x p p x x x x
p
则 为整系数多项式．()gx
!!| 1,|,,!,
( 1 ) ! ( 2 ) !
ppp p p
pp,
但 2 | !,pp
解：
()gx? 在 上不可约，Q 从而 在 上不可约．()fx Q
即
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件,
注意也就是说，如果一个整系数多项式不满足 Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，
也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 不能直接用 Eisenstein
判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换 使 满足
Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约．
()fx
(,,0 ),a x b a b Z a( ) ( )f a y b g y
()fx
有理系数多项式 在有理系数上不可约()fx
命题在有理数域上不可约．
,( 0),a b Q a对 ( ) ( )g x f ax b多项式例 5 证明,在 上不可约,2( ) 1f x xQ
取 2,p?
证,1,xy作变换
2( ) 2 2,f x y y
则在Ｑ上不可约，2 22yy
所以 在Ｑ上不可约．()fx
由 Eisenstein判别法知，
对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后Q
再用 Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的多项式 无论作怎样的代换 都不能( ),fx,x a y b
使 满足爱森斯坦因判别法的条件，( ) ( )f ay b g y
即找不到相应的素数,p
说明,
办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的Q
如,3( ) 1,f x x x
练习
P 为素数,证明,( ) 1,pf x x p x
()fx在Ｑ上不可约．
