一、公因式 最大公式二、最大公因式的存在性与求法三、互素四、多个多项式的最大公因式
i) ( ) ( ),( ) ( ) ;d x f x d x g x
1,公因式,( ) ( ) [ ],f x g x P x?,()x P x [ ],若满足,( ) ( ),x g x?( ) ( )x f x? 且
2,最大公因式,( ) ( ) [ ],f x g x P x?,( ) [ ]d x P x?若满足：
ii) 若,且,则( ) [ ]x P x ( ) ( )x f x? ( ) ( )x g x?
( ) ( ),x d x?
则称 为 的 最大公因式,()dx ( ) ( )、f x g x
则称 为 的 公因式,( ) ( )f x g x、()x?
一、公因式 最大公因式
① 的首项系数为 1的最大公因式记作,( ) ( )、f x g x
( ( ) ) ),(f x g x、
注：
②,是 与零多项式 0的最( ) [ ]f x P x ()fx()fx
大公因式．
③ 两个零多项式的最大公因式为 0．
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为 1的最大公因式是唯一的,若 为12( ) ( )d x d x,( ) ( )、f x g x?
的最大公因式，则,c为非零常数．12( ) c ( )d x d x=?
若 不全为零，则( ),( )f x g x ( ( ),( ) ) 0.f x g x?
二、最大公因式的存在性与求法若等式 成立，则与 有相同的公因式,从而
．
( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
( ) ( )、f x g x( ) ( )、g x r x
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ),,f x g x g x f x?
引理：
定理 2 对,在 中存在一个最大公因式,且 可表成的一个组合，即,使
．
( ) ( ) [ ]f x g x P x,[]Px
()dx ()dx ( ) ( )、f x g x
( ) ( ) [ ]u x v x P x、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),d x u x f x v x g x?=
若 有一为 0，如,则( ) ( )、f x g x ( ) 0gx? ()fx
就是一个最大公因式．且 ( ) 1 ( ) 0 ( ),f x f x g x
考虑一般情形,( ) 0,( ) 0,f x g x
用 除 得：()gx ()fx
11( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
其中 或,1( ( ) ) ( ( ) )r x g x1 ( ) 0rx?
2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x q x r x r x
若,用 除,得：1()rx ()gx1 ( ) 0rx?
证：
若,用 除,得2 ( ) 0rx? 2()rx 1()rx
1 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ),r x q x r x r x
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，
因此，有限次后，必然有余式为 0．设
1 ( ) 0,srx
其中 或,21( ( ) ) ( ( ) )r x r x2 ( ) 0rx?
… …
12( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) … …g x r x r x即于是我们有一串等式
2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x q x r x r x
1 3 2 3( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
… … … … … …
… … … … … …
i 2 i i - 1 i( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 3 s 1 s 2 s 1( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 2 s s 1 s( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 1 s 1 s( ) ( ) ( ) 0r x q x r x
11( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
1( ( ) ( ) )= ( ( ) ( ) )f x g x g x r x,,
s 1 s= ( ( ) ( ) )r x r x?,
s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),r x u x f x v x g x?=
从而有
12= ( ( ) ( ) )r x r x,
=…
s= ( ( ) 0)rx,
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
s 1 1( ),,( )r x r x? 再并项就得到说明,
① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法,
② 定理２中最大公因式 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )d x u x f x v x g x
中的 不唯一,( ) ( )、u x v x
③ 对于,
使,但是 未必是的最大公因式,
( ),( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]d x f x g x P x u x v x P x,,,
( ) ( ) ( ) ( )( ) =d x u x f x v x g x?()dx
( ) ( ),f x g x
如,,则 2( ) = 1,( ) = 1f x x g x?( ( ) ( ) ) = 1.f x g x、
取,有 2( ) = 1,( ) =u x v x x? ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1,u x f x v x g x
取,也有( ) = 0,( ) = 1u x v x( ) ( ) + ( ) ( ) = 1,u x f x v x g x
取,也有 2( ) = 2,( ) = 2 1u x v x x( ) ( ) + ( ) ( ) = 1.u x f x v x g x
成立．
[ ( ) ( ) g ( ) ] ( ) [ ( ) + ( ) ( ) ] g ( ) = ( )u x h x x f x v x h x f x x d x
事实上,若 则对,()hx?( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ),u x f x v x g x d x
④ 若,且( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x u x f x v x g x?=
( ) ( ),( ) ( )d x f x d x g x
则 为 的最公因式．()dx ( ) ( )、f x g x
设 为 的任一公因式，则()x? ( ) ( )、f x g x
( ) ( ),( ) ( ),x f x x g x
证：
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ),x u x f x v x g x从而
( ) ( ),x d x?即
∴ 为 的最大公因式．()dx ( ) ( )、f x g x
例 1 4 3 2( ) 2 4 2,f x x x x x-
4 3 2( ) 2,g x x x x x-2
求,并求 使( ( ) ( ) )、f x g x( ),( )u x v x
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x u x f x v x g x、
4 3 22 4 2x x x x-4 3 2 22x x x x -
()fx()gx
4 3 2 22x x x x-
1
1()qx?
3 2xx?1()rx?
1?x
422xx?
32 22x x x
3 2xx?
2 2x?2()rx?
2 ()qx?
x
3 ()qx?3 2xx?
0
2( ( ),( ) ) 2f x g x x -
2 2 ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ),x x f x x g x
解,
且由 1
12
( ) ( ) ( ),
( ) ( 1 ) ( ) ( )
f x g x r x
g x x r x r x
得例 2,设 4 3 2( ) 3 4 3f x x x x x
32( ) 3 1 0 2 3g x x x x
求,并求 使( ( ) ( ) )、f x g x( ),( )u x v x
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x u x f x v x g x、
因式，即就可以 )，这是因为 和 具有完全相同的()fx ()cf x
若仅求,为了避免辗转相除时出现( ( ) ( ) )、f x g x
注,
分数运算，可用一个数乘以除式或被除式 (从一开始
1( ( ),( ) ) ( ( ),( ) )f x g x c f x g x?
2 1 2( ( ),( ) ) ( ( ),( ) ),f x c g x c f x c g x
为非零常数．12,cc
( ),( ) [ ],f x g x P x?
则称 为 互素的,( ),( )f x g x
1．定义,
三、互素
( ( ),( ) ) 1,f x g x?若互素( ) ( ),f x g x ( ( ),( ) ) 1f x g x
( ),( )f x g x? 除去零次多项式外无说明,由定义，
其它公因式．
定理 3 互素
,使
( ),( ) [ ],f x g x P x?( ),( )f x g x
( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x
( ),( ) [ ]u x v x P x
2,互素的判定与性质证,显然．""?
""? 设 为 的任一公因式，则( ) ( ),( )x f x g x?
( ) ( ),( ) ( ),x f x x g x从而 ( ) 1,x? 又 1 ( ),x?
( ),0.x c c故 ( ( ),( ) ) 1,f x g x?
定理 4 若,且,
则
( ),( ) 1f x g x?( ) | ( ) ( )f x g x h x
( ) | ( ),f x h x
( ),( ) 1,f x g x?
( ),( ) [ ],u x v x P x
证：
使
( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x f x h x v x g x h x h x于是有又 ( ) | ( ) ( ),f x g x h x( ) | ( ) ( )f x f x h x
( ) | ( ),f x h x?
1 ( ) | ( )f x g x
推论 若,且12( ) | ( ) ( ) | ( ),f x g x f x g x
又 2 ( ) | ( ),f x g x 2 1 1( ) | ( ) ( ),f x f x h x?
12( ( ),( ) ) 1f x f x?12( ) ( ) | ( ),f x f x g x，则证,11( ) ( ) ( ),g x f x h x?,使1 ()hx
于是,使2 ()hx? 1 2 2( ) ( ) ( ),h x f x h x?
12( ) ( ) | ( )f x f x g x?
12( ( ),( ) ) 1,f x f x?而 21( ) | ( )f x h x由定理 4有
1 2 2( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x h x?从而
12( ),( ),,( ) [ ] ( 2)sf x f x f x P x s
若 满足,( ) [ ]d x P x?
定义
i) ( ) ( ),1,2,,…id x f x i s?
则称 为 的 最大公因式,()dx 12( ),( ),,( )sf x f x f x
( ) [ ],x P xii) ( ) ( ),1,2,,…ix f x i s若
( ) ( ),x d x?则四、多个多项式的最大公因式注：
12( ),( ),,( )sf x f x f x表示首 1最大公因式．
1 2 1 1,.s s sf f f u f u f,=
②,使12,[ ]su u u P x
1 2 1 2 1,,,,,s s sf f f f f f f=,③
11,,,,,,1 1k k sf f f f k s=
① 的最大公因式一定存在．12( ),( ),,( )sf x f x f x
11 1.ssu f u f
④ 互素 使12,,,sf f f 12,,,[ ],su u u P x
i) ( ) ( ),( ) ( ) ;d x f x d x g x
1,公因式,( ) ( ) [ ],f x g x P x?,()x P x [ ],若满足,( ) ( ),x g x?( ) ( )x f x? 且
2,最大公因式,( ) ( ) [ ],f x g x P x?,( ) [ ]d x P x?若满足：
ii) 若,且,则( ) [ ]x P x ( ) ( )x f x? ( ) ( )x g x?
( ) ( ),x d x?
则称 为 的 最大公因式,()dx ( ) ( )、f x g x
则称 为 的 公因式,( ) ( )f x g x、()x?
一、公因式 最大公因式
① 的首项系数为 1的最大公因式记作,( ) ( )、f x g x
( ( ) ) ),(f x g x、
注：
②,是 与零多项式 0的最( ) [ ]f x P x ()fx()fx
大公因式．
③ 两个零多项式的最大公因式为 0．
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为 1的最大公因式是唯一的,若 为12( ) ( )d x d x,( ) ( )、f x g x?
的最大公因式，则,c为非零常数．12( ) c ( )d x d x=?
若 不全为零，则( ),( )f x g x ( ( ),( ) ) 0.f x g x?
二、最大公因式的存在性与求法若等式 成立，则与 有相同的公因式,从而
．
( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
( ) ( )、f x g x( ) ( )、g x r x
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ),,f x g x g x f x?
引理：
定理 2 对,在 中存在一个最大公因式,且 可表成的一个组合，即,使
．
( ) ( ) [ ]f x g x P x,[]Px
()dx ()dx ( ) ( )、f x g x
( ) ( ) [ ]u x v x P x、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),d x u x f x v x g x?=
若 有一为 0，如,则( ) ( )、f x g x ( ) 0gx? ()fx
就是一个最大公因式．且 ( ) 1 ( ) 0 ( ),f x f x g x
考虑一般情形,( ) 0,( ) 0,f x g x
用 除 得：()gx ()fx
11( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
其中 或,1( ( ) ) ( ( ) )r x g x1 ( ) 0rx?
2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x q x r x r x
若,用 除,得：1()rx ()gx1 ( ) 0rx?
证：
若,用 除,得2 ( ) 0rx? 2()rx 1()rx
1 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ),r x q x r x r x
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，
因此，有限次后，必然有余式为 0．设
1 ( ) 0,srx
其中 或,21( ( ) ) ( ( ) )r x r x2 ( ) 0rx?
… …
12( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) … …g x r x r x即于是我们有一串等式
2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x q x r x r x
1 3 2 3( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
… … … … … …
… … … … … …
i 2 i i - 1 i( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 3 s 1 s 2 s 1( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 2 s s 1 s( ) ( ) ( ) ( )r x q x r x r x
s 1 s 1 s( ) ( ) ( ) 0r x q x r x
11( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
1( ( ) ( ) )= ( ( ) ( ) )f x g x g x r x,,
s 1 s= ( ( ) ( ) )r x r x?,
s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),r x u x f x v x g x?=
从而有
12= ( ( ) ( ) )r x r x,
=…
s= ( ( ) 0)rx,
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
s 1 1( ),,( )r x r x? 再并项就得到说明,
① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法,
② 定理２中最大公因式 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )d x u x f x v x g x
中的 不唯一,( ) ( )、u x v x
③ 对于,
使,但是 未必是的最大公因式,
( ),( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]d x f x g x P x u x v x P x,,,
( ) ( ) ( ) ( )( ) =d x u x f x v x g x?()dx
( ) ( ),f x g x
如,,则 2( ) = 1,( ) = 1f x x g x?( ( ) ( ) ) = 1.f x g x、
取,有 2( ) = 1,( ) =u x v x x? ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1,u x f x v x g x
取,也有( ) = 0,( ) = 1u x v x( ) ( ) + ( ) ( ) = 1,u x f x v x g x
取,也有 2( ) = 2,( ) = 2 1u x v x x( ) ( ) + ( ) ( ) = 1.u x f x v x g x
成立．
[ ( ) ( ) g ( ) ] ( ) [ ( ) + ( ) ( ) ] g ( ) = ( )u x h x x f x v x h x f x x d x
事实上,若 则对,()hx?( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ),u x f x v x g x d x
④ 若,且( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x u x f x v x g x?=
( ) ( ),( ) ( )d x f x d x g x
则 为 的最公因式．()dx ( ) ( )、f x g x
设 为 的任一公因式，则()x? ( ) ( )、f x g x
( ) ( ),( ) ( ),x f x x g x
证：
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ),x u x f x v x g x从而
( ) ( ),x d x?即
∴ 为 的最大公因式．()dx ( ) ( )、f x g x
例 1 4 3 2( ) 2 4 2,f x x x x x-
4 3 2( ) 2,g x x x x x-2
求,并求 使( ( ) ( ) )、f x g x( ),( )u x v x
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x u x f x v x g x、
4 3 22 4 2x x x x-4 3 2 22x x x x -
()fx()gx
4 3 2 22x x x x-
1
1()qx?
3 2xx?1()rx?
1?x
422xx?
32 22x x x
3 2xx?
2 2x?2()rx?
2 ()qx?
x
3 ()qx?3 2xx?
0
2( ( ),( ) ) 2f x g x x -
2 2 ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ),x x f x x g x
解,
且由 1
12
( ) ( ) ( ),
( ) ( 1 ) ( ) ( )
f x g x r x
g x x r x r x
得例 2,设 4 3 2( ) 3 4 3f x x x x x
32( ) 3 1 0 2 3g x x x x
求,并求 使( ( ) ( ) )、f x g x( ),( )u x v x
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x u x f x v x g x、
因式，即就可以 )，这是因为 和 具有完全相同的()fx ()cf x
若仅求,为了避免辗转相除时出现( ( ) ( ) )、f x g x
注,
分数运算，可用一个数乘以除式或被除式 (从一开始
1( ( ),( ) ) ( ( ),( ) )f x g x c f x g x?
2 1 2( ( ),( ) ) ( ( ),( ) ),f x c g x c f x c g x
为非零常数．12,cc
( ),( ) [ ],f x g x P x?
则称 为 互素的,( ),( )f x g x
1．定义,
三、互素
( ( ),( ) ) 1,f x g x?若互素( ) ( ),f x g x ( ( ),( ) ) 1f x g x
( ),( )f x g x? 除去零次多项式外无说明,由定义，
其它公因式．
定理 3 互素
,使
( ),( ) [ ],f x g x P x?( ),( )f x g x
( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x
( ),( ) [ ]u x v x P x
2,互素的判定与性质证,显然．""?
""? 设 为 的任一公因式，则( ) ( ),( )x f x g x?
( ) ( ),( ) ( ),x f x x g x从而 ( ) 1,x? 又 1 ( ),x?
( ),0.x c c故 ( ( ),( ) ) 1,f x g x?
定理 4 若,且,
则
( ),( ) 1f x g x?( ) | ( ) ( )f x g x h x
( ) | ( ),f x h x
( ),( ) 1,f x g x?
( ),( ) [ ],u x v x P x
证：
使
( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x f x h x v x g x h x h x于是有又 ( ) | ( ) ( ),f x g x h x( ) | ( ) ( )f x f x h x
( ) | ( ),f x h x?
1 ( ) | ( )f x g x
推论 若,且12( ) | ( ) ( ) | ( ),f x g x f x g x
又 2 ( ) | ( ),f x g x 2 1 1( ) | ( ) ( ),f x f x h x?
12( ( ),( ) ) 1f x f x?12( ) ( ) | ( ),f x f x g x，则证,11( ) ( ) ( ),g x f x h x?,使1 ()hx
于是,使2 ()hx? 1 2 2( ) ( ) ( ),h x f x h x?
12( ) ( ) | ( )f x f x g x?
12( ( ),( ) ) 1,f x f x?而 21( ) | ( )f x h x由定理 4有
1 2 2( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x h x?从而
12( ),( ),,( ) [ ] ( 2)sf x f x f x P x s
若 满足,( ) [ ]d x P x?
定义
i) ( ) ( ),1,2,,…id x f x i s?
则称 为 的 最大公因式,()dx 12( ),( ),,( )sf x f x f x
( ) [ ],x P xii) ( ) ( ),1,2,,…ix f x i s若
( ) ( ),x d x?则四、多个多项式的最大公因式注：
12( ),( ),,( )sf x f x f x表示首 1最大公因式．
1 2 1 1,.s s sf f f u f u f,=
②,使12,[ ]su u u P x
1 2 1 2 1,,,,,s s sf f f f f f f=,③
11,,,,,,1 1k k sf f f f k s=
① 的最大公因式一定存在．12( ),( ),,( )sf x f x f x
11 1.ssu f u f
④ 互素 使12,,,sf f f 12,,,[ ],su u u P x
