一、复系数多项式二、实系数多项式
1,代数基本定理一、复系数多项式若 则 在复数域( ) [ ],f x C x ( ( ) ) 1,fx()fx
上必有一根．C
推论 1
( ) [ ],f x C x ( ( ) ) 1,fx若 则存在 [ ],x a C x
( ) | ( ),x a f x?使即,()fx在复数域上必有一个一次因式．
推论 2
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即则 可约．( ) [ ],f x C x ( ( ) ) 1,fx ()fx
2,复系数多项式因式分解 定理若 则 在复数域( ) [ ],f x C x ( ( ) ) 1,fx()fx
C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
推论 1
推论 2
若 则 在( ) [ ],f x C x ( ( ) ) 1,fx()fx C
1212( ) ( ) ( ) ( ) srr rsf x a x x x
12,,Zsr r r +,其中 是不同的复数，12,,,s
上具有标准分解式复根（重根按重数计算 ）,
若,则 有 n个( ) [ ]f x C x,( ( ) )f x n ()fx
二、实系数多项式命题,若 是实系数多项式 的复根，则的共轭复数 也是 的复根．
()fx?
()fx
若 为根，则?
110( ) 0nnnnf a a a
两边取共轭有
∴ 也是为 复根． ()fx
1
10( ) 0
nn
nnf a a a

证,110( ),nnn n if x a x a x a a R设实系数多项式因式分解定理
，若,则 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
( ) [ ]f x R x ( ( ) ) 1fx ()fx
证：对 的次数作数学归纳,()fx
① 时，结论显然成立,( ( ) ) 1fx
② 假设对次数 <n的多项式结论成立．
设,由代数基本定理,有一复根,( ( ) )f x n ()fx?
若 为实数,则,其中? 1( ) ( ) ( )f x x f x 1( ) 1,fn
若 不为实数，则 也是 的复根，于是 ()fx
222( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )f x x x f x x x f x
设,则a bi,a b i
22a b R
即在 R上 是 一个二次不可约多项式．2 ()xx
2 aR,
从而 2( ) 2,fn
由归纳假设,可分解成一次因式与二次1()fx 2()fx
不可约多项式的乘积,由归纳原理，定理得证．
在 R上具有标准分解式( ) [ ],f x R x ()fx
1 2 121 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )sk k kknsf x a x c x c x c x p x q
推论 1
1 2 1 1,,,,,,,,,,s r rc c c p p q q R 其中
11,,,,,,ssk k l l Z
且,即 为2 4 0,1,2p q i r2 ix p x q i
R上的不可约多项式,
2() rkrrx p x q
推论 2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例 1 求 在 上与在 上的标准分解式,1nx? C R
1) 在复数范围内 有 n个复根，1nx?
次不可约多项式，所有次数 ≥3的多项式皆可约,
解：
211,,,,n
22c os sin,1ni
nn

22c o s sin,1,2,,k kk i k n
nn

∴ 211 ( 1 ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x
2) 在实数域范围内这里
,k n k∵ 22 c os 1,k k k kkn
1,2,,kn
∴ 当 n为奇数时
2 1 11 ( 1 ) [ ( ) ]n n nx x x x
1 1 1 1
2 2 2 2 2[ ( ) ]
n n n n
xx


22 21( 1 ) ( 2 c o s 1 ) [ 2 c o s 1 ]nx x x x x
nn

当 n为偶数时
2 1 11 ( 1 ) ( 1 ) [ ( ) ]n n nx x x x x
2 2 2 22
2 2 2 2[ ( ) ]
n n n nxx
22 22( 1 ) ( 1 ) ( 2 c o s 1 ) [ 2 c o s 1 ]nx x x x x x
nn