1
第六节 行列式按一行（列）展开先回忆一下三阶行列式的计算：
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
31 3232 33 31 33
31 32 33
a a a
a a a a aa
a a a a a a
aaa a a a
a a a

可以观察到如下事实：
行列式；的行和列后剩下的二阶行列式划去该元素所在后面的行列式是由三阶
ja 1)1(
.)1()2( 11 决定前面的符号由 jja
2
按照上述思想，我们引入余子式和代数余子式的概念：
定义阶行列式列划去后，留下来的第行和所在的第中，把元素阶行列式在
1
||
nj
iaan ijij
.
,)1(
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作叫做元素
ijij
ij
ji
ijijij
aA
MAMa
11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
j j n
i i j i j i n
i i j i j i n
n n j n j nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a




3
引理
.ijij
ij
AaD
aiDn
都为零，则外行所有元素除，如果其中第阶行列式一个证明分析
D
nnjnnjjnn
nijijijii
ij
nijijijii
njjj
aaaaa
aaaaa
a
aaaaa
aaaaa






1,1,1
,11,1,11,11,1
,11,1,11,11,1
11,111,111
0000




4
0000
)1(
1,1,1
,11,1,11,11,1
,11,1,11,11,1
11,111,111







ij
nnjnnjjnn
nijijijii
nijijijii
njjj
in
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa





ij
njnnjnjnn
jinijijii
jinijijii
jnjj
jnin
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
0000
)1(
1,1,1
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111
)()(













5
ij
njnnjnjnn
jinijijii
jinijijii
jnjj
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
0000
1,1,1
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111











由于

nn
nn
nn
jjjj
njjnjj
jjjj bbbb
121
121
121
,121
)()1(


121
121
121
,121
)()1(
n
n
n
jjj
ijjnjj
jjj abbb

ijijMa?
6
所以
.)1()1( 2 ijijijijjiijijjin AaaMMaD
定理公式成立：
的代数余子式，则下列表示元素，设 ijijnnij aAaD ||

ik
ikDAaAaAa
inknikik
，
，
02211?

jl
jlDAaAaAa
njnljljl
，
，
02211?即
,

ik
ikDAan
s
isks,
，
01?

jl
jlDAan
s
sjsl
，
，
01
7
证明
1 1 1 2 1
12
12
0 0 0 0 0 0
n
i i in
n n n n
a a a
D a a a
a a a

行列式 D 可以表示为
120 0 0 0 0 0 0i i ina a a
1 1 2 2i i i i i n i na A a A a A
.
由行列式性质 3 得
（引理）
8
的情形，这是因为对于 ik?
,
nnn
knk
n
n
knnkk
aa
aa
xx
aa
AxAxAx



1
1
1
111
2211

，则有，，，令 knnkk axaxax2211
9
同理可以证明列的情形,
1 1 2 2k i k i k n i na A a A a A
.
1 1 1
1
1
1
()
0
()
n
k k n
k k n
n n n
aa
aa i
aa k
aa

10
例 1 计算
.
3351
0002
4315
2113


D （ 答案,32）
11
例 2 证明 Vandermonde行列式证明 对 n 用数学归纳法,
.
11
2)1( 12
21
aa
aa
n 时，当
(2) 假设对于 n-1 阶 Vandermonde行列式结论成立，下证 n 阶的情形也成立,




nij
ji
n
n
n
n
nn
nn
nn
n
aa
aaaa
aaaa
aaaa
D
1
11
1
1
2
1
1
22
1
2
2
2
1
121
).(
1111

12
2
22
2 1 1 2
22
2
11
( ) ( )
n
nn
nn
n
aa
a a a a a a
aa


2 1 1
2
( ) ( ) ( )n i j
j i n
a a a a a a


1
()ij
j i n
aa


2
1
12
21
1
2
1
2
21
2
2
112
0
0
0
111




n
n
n
n
nn
nn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaa
D





13
实例：
.12)45)(35)(34)(25)(24)(23(
12564278
251694
5432
1111

14
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D



1
111
1
111
1
111
0
设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD

,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD


.21 DDD?证明
15
证明;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D?
设为化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkccD ji?
.
0
11
1
11
2 nn
nnn
qq
qq
q
D?
设为
16
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
cc
cc
pp
p
D



化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
nnkk qqppD 1111故,21 DD?
17
例 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a f
b b b f
D
c c c f
d d d f
已知,求
1 1 2 1 3 1 4 1A A A A
.
（答案,0）
18
作业：
P99 16（ 4）
17（ 1）（ 3）（ 4）（ 5）
18（ 1）（ 2）（ 4）