1
考察一般线性方程组
）（ 1
2211
22222121
11212111
,
snsnss
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.,,,21 为方程个数为未知量，其中 sxxx n?
(
(
.),,2,1
),,2,1;,,2,1
称为常数项称为方程组系数；
sib
njsia
i
ij
第三章 线性方程组
2
所谓 方程组（ 1）的一个解 就是指由 n个数组成的有序数组,
当 分别用 代入后,（ 1）
中的等式为恒等式,
nkkk,,,21? ),,,( 21 nkkk?
nxxx,,,21? nkkk,,,21?
方程组（ 1）的解的全体称为它的 解集合,
两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的 。
3
引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2?
4
解
)( 1B
)2(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
5
)( 3B
)( 4B
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
6
于是解得
,
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作令,3 cx?
,
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
3
4
0
1
1
1
cx 即 （ 3）
7
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换，称为线性方程组的 初等变换,
（ 3）交换方程次序；
（ 1）以不等于０的数乘某个方程；
（ 2）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
8
3．上述三种变换都是可逆的．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的（证明），
故这三种变换是同解变换．
9
对于线性方程组初等变换的作用：求解一般线性方程组．
）（ 1
2211
22222121
11212111
snsnss
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
首先检查 的系数，如果 的系数全部为零，那么方程组（ 1）的未知数仅为
1x
12111,,,saaa?
1x
nxxx,,,32?
10
1x
011?a
如果 的系数不全为零，那么可以利用初等变换 3，
可以设 利用初等变换 2，分别把第一个方程的倍加到第 i 个方程,方程组（ 1）
变为 11
1
a
ai? ),,3,2( ni
）（ 2
22
22222
11212111
snsns
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
,n,,j,s ;,,ia
a
aaa
j
i
ijij 32321
11
1 其中
,s ;,,ibaabb iii?321
11
1
11
）（ 3
22
2222
bxaxa
bxaxa
nsns
nn
则可将方程组（ 3）的解代入（ 2）的第一个方程中，求出 的值，这就得到（ 2）的解,
1x
若我们能够求解如下方程组注意：由于上述求解过程都是互逆的，因此方程组（ 2）与方程组（ 1）是同解方程,
12
对方程组（ 3）再进行上述变换，并一步步作下去，
如果
1,得到如下的阶梯形方程组（ r < n）：
( 4 )
00
00
0
1
222222
111212111
r
rnrnrrr
nnrr
nnrr
d
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
.,,2,10 ric ii 其中
13
）无解；（
）无解，从而方程组（）易见，当（
1
4,01
Ird
）可以化为，此时方程组（）若（ 401rdII
( 5 )
nrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xcxcdxc
xcxcdxcxc
xcxcdxcxcxc
11,
211,222222
111,111212111
）的一个解。组（的值，也就是得到方程一组值，就唯一给出任给
5
,,,,,211 rnr xxxxx
14
未知量。
称为自由）的一般解，其中方程组（
称为的值，这样一组表达式表示出可以），通过一般地，对于方程组（
nr
r
nr
xx
xxx
xx
,,1
,,,
,,5
1
21
1
15
）（ 6
22222
11212111
nnnn
nn
nn
dxc
dxaxc
dxcxcxc
这时方程组（ 6）有唯一解，从而（ 1）有唯一解,
2,如果方程组（ 3）经过初等变换后化为如下方程组 ( r = n)：
.,,2,10 nic ii,其中
16
1、若方程组（ 1）化为如下阶梯形方程组（ r < n）
00
00
0
1
222222
111212111
r
rnrnrrr
nnrr
nnrr
d
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
)(
.10
10)(
1
1
有自由未知量这是由于解的表达式中
）有无穷多组解，方程组（如果）（
）无解；，方程组（如果
II
I
r
r
d
d
综上所述，有如下结果：
17
）有唯一解；这时（ 1
nnnn
nn
nn
dxc
dxaxc
dxcxcxc
22222
11212111
2,如果方程组（ 1）化为如下方程组 ( r = n)：
.,,2,10 nic ii,其中
18
方程组（ 1）由系数和常数项确定，所以（ 1）
还可以表为
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
分别称矩阵 A,B 为 方程组（ 1）的 系数矩阵 和 增广矩阵 。
ssnss
n
n
baaa
baaa
baaa
bAB
21
222221
111211
)|(
19
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
20
例题 求解下列线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 1
x x x
x x x
x x x
（ 1）
（ 2） 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 0
x x x
x x x
x x x
答案,（ 1）,,2,72 132 cxxcx
（ 2） 无解
21
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次线性方程组可有如下结论：
定理 在齐次方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
s s s n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
.，则该方程组有非零解中，如果 ns?
考察一般线性方程组
）（ 1
2211
22222121
11212111
,
snsnss
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.,,,21 为方程个数为未知量，其中 sxxx n?
(
(
.),,2,1
),,2,1;,,2,1
称为常数项称为方程组系数；
sib
njsia
i
ij
第三章 线性方程组
2
所谓 方程组（ 1）的一个解 就是指由 n个数组成的有序数组,
当 分别用 代入后,（ 1）
中的等式为恒等式,
nkkk,,,21? ),,,( 21 nkkk?
nxxx,,,21? nkkk,,,21?
方程组（ 1）的解的全体称为它的 解集合,
两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的 。
3
引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2?
4
解
)( 1B
)2(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
5
)( 3B
)( 4B
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
6
于是解得
,
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作令,3 cx?
,
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
3
4
0
1
1
1
cx 即 （ 3）
7
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换，称为线性方程组的 初等变换,
（ 3）交换方程次序；
（ 1）以不等于０的数乘某个方程；
（ 2）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
8
3．上述三种变换都是可逆的．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的（证明），
故这三种变换是同解变换．
9
对于线性方程组初等变换的作用：求解一般线性方程组．
）（ 1
2211
22222121
11212111
snsnss
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
首先检查 的系数，如果 的系数全部为零，那么方程组（ 1）的未知数仅为
1x
12111,,,saaa?
1x
nxxx,,,32?
10
1x
011?a
如果 的系数不全为零，那么可以利用初等变换 3，
可以设 利用初等变换 2，分别把第一个方程的倍加到第 i 个方程,方程组（ 1）
变为 11
1
a
ai? ),,3,2( ni
）（ 2
22
22222
11212111
snsns
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
,n,,j,s ;,,ia
a
aaa
j
i
ijij 32321
11
1 其中
,s ;,,ibaabb iii?321
11
1
11
）（ 3
22
2222
bxaxa
bxaxa
nsns
nn
则可将方程组（ 3）的解代入（ 2）的第一个方程中，求出 的值，这就得到（ 2）的解,
1x
若我们能够求解如下方程组注意：由于上述求解过程都是互逆的，因此方程组（ 2）与方程组（ 1）是同解方程,
12
对方程组（ 3）再进行上述变换，并一步步作下去，
如果
1,得到如下的阶梯形方程组（ r < n）：
( 4 )
00
00
0
1
222222
111212111
r
rnrnrrr
nnrr
nnrr
d
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
.,,2,10 ric ii 其中
13
）无解；（
）无解，从而方程组（）易见，当（
1
4,01
Ird
）可以化为，此时方程组（）若（ 401rdII
( 5 )
nrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xcxcdxc
xcxcdxcxc
xcxcdxcxcxc
11,
211,222222
111,111212111
）的一个解。组（的值，也就是得到方程一组值，就唯一给出任给
5
,,,,,211 rnr xxxxx
14
未知量。
称为自由）的一般解，其中方程组（
称为的值，这样一组表达式表示出可以），通过一般地，对于方程组（
nr
r
nr
xx
xxx
xx
,,1
,,,
,,5
1
21
1
15
）（ 6
22222
11212111
nnnn
nn
nn
dxc
dxaxc
dxcxcxc
这时方程组（ 6）有唯一解，从而（ 1）有唯一解,
2,如果方程组（ 3）经过初等变换后化为如下方程组 ( r = n)：
.,,2,10 nic ii,其中
16
1、若方程组（ 1）化为如下阶梯形方程组（ r < n）
00
00
0
1
222222
111212111
r
rnrnrrr
nnrr
nnrr
d
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
)(
.10
10)(
1
1
有自由未知量这是由于解的表达式中
）有无穷多组解，方程组（如果）（
）无解；，方程组（如果
II
I
r
r
d
d
综上所述，有如下结果：
17
）有唯一解；这时（ 1
nnnn
nn
nn
dxc
dxaxc
dxcxcxc
22222
11212111
2,如果方程组（ 1）化为如下方程组 ( r = n)：
.,,2,10 nic ii,其中
18
方程组（ 1）由系数和常数项确定，所以（ 1）
还可以表为
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
分别称矩阵 A,B 为 方程组（ 1）的 系数矩阵 和 增广矩阵 。
ssnss
n
n
baaa
baaa
baaa
bAB
21
222221
111211
)|(
19
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
20
例题 求解下列线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 1
x x x
x x x
x x x
（ 1）
（ 2） 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 0
x x x
x x x
x x x
答案,（ 1）,,2,72 132 cxxcx
（ 2） 无解
21
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次线性方程组可有如下结论：
定理 在齐次方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
s s s n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
.，则该方程组有非零解中，如果 ns?
