若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
第三节 线性相关性
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
T
B
2
1
),,,( 21 mA
b xaxaxa nn?2211
线性方程组的向量表示
.
,
,
2211
22222121
11212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应,
定义 9
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
mmb 2211
，使，，一组数如果存在和向量给定向量组
m
m bA
,
,,,,,
21
21
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示．
b
A
定义 10
向量组 能由向量组 线性表示向量组等价,
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
B A
例
.
,
)1,,0,0(
)0,,1,0(
)0,,0,1(
),,,
21
21
n21
n
2
1
( n
n
n
因为的一个线性组合向量组都是单位维向量任一个使在数存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
sm
kkk
sjbA
BbbbBA
mmjjjj kkkb2211,),,,
2
1
21
mj
j
j
m
k
k
k
（
),,,21 sbbb?（
从而
msmm
s
s
m
kkk
kkk
kkk
21
22221
11211
21
),,,（
,)( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立才有时则只有当线性无关若
nn
n
n
.
,2,
线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义 11
二、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．
m,,,21? 2?m
m,,,21?
1?m
证明 充分性设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21? ma
即有
112211 mmma
三、线性相关性的判定故 01112211 mmm a
因 这 个数不全为 0,1,,,,121mm
故 线性相关,m,,,21?
必要性 设 线性相关,m,,,21?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk?
.02211 mmkkk
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21?
不妨设 则有,0
1?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程
).,,(
0,0
21
2211
m
mm
A
Axxxx
A
其中有非零解即性方程组线性相关可推出齐次线向量组
,
结论
.,
,.,,,,
,,,,( 1 )
11
21
也线性无关（显然）向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
定理
）设（ 2
),,,2,1(,,
,1
2
1
2
1
mj
a
a
a
a
b
a
a
a
jr
rj
j
j
j
rj
j
j
j
.)123122(
,.
,,,,,
,,.
21
21
页的说明性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：则向量组线性无关
：若向量组添上一个分量后得向量即
AB
bbbB
Ab
mm
jj
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（ 说明
).3(,
,,,,:
,,,,,( 3 )
1
21
习题且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
.,
12
结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明定理 2
.,,,:
sr2
,,:,,,:1
,,,:,,,,
r21
121
121
必线性相关那么，向量组
）（
性表示，
线可以由）向量组（
如果是两个向量组与设
A
BA
BA
sr
sr
证明
.0
,,,
.,,2,1
2211
21
1
rr
r
s
j
jjii
xxx
xxx
rit
( 1 )
使数下面欲找到不全为零的有由为此，作线性组合
)(
1 11 1
11
r2211
s
j
r
i
jiji
r
i
s
j
jiji
s
j
jji
r
i
ir
xtxt
txxxx
.;,,2,1 0
1
时有非零解当线性方程组注意
sr
sjxt
r
i
iji
定理 2 的推论推论 1
s.r,,,:
,,:,,,,
r21
121
线性无关，那么线性表示，且可以由如果向量组
A
BA sr
推论 2,1 线性相关维向量必个任意 nn?
.1
n
nn
组线性表示，又维向量都能由单位向量每个证明推论 3
.1
）个数的向量（据推论向量组，必含有相同两个线性无关的等价的极大线性无关组定义 13 一个向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的，
并且从这个向量组中任意添一个向量（如果有的话），所得的部分向量组都线性相关,
例线性无关组，这是因为大组成的向量组是一个极，由向量组
213
21
),1,4,1,2(
),4,5,2,4( ),1,3,1,2(
).4,53,2,42(21 2121212121 kkkkkkkkkk
得线性齐次方程组
)4,53,2,42( 212121212211 kkkkkkkkkk
，就有 021 kk
04
053
02
042
21
21
21
21
kk
kk
kk
kk
线性相关；还有 321321,,,03
.,31 组也是一个极大线性无关可以验证,
定理 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价,
,
,,,:,,,,,,,2121
关组是它的一个极大线性无而设向量组为证明 srs AA
线性表示，可以由显然，向量组 AA
使数即存在一组不全为零的线性相关，向量组反之，由定义
,,,,,
,,,,,13
21
21
lkkk s
js
,0 2211 jss lkkk
.0?l反证法可以证明，必有
,2211 ssj lklklk于是线性相关向量组的极大线性无关组是不唯一的,
但是每一个极大线性无关组都与向量组等价,
一个线性无关向量组的极大线性无关组是其本身,
定理 3 一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量,
定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,
一个向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同,
等价的向量组必有相同的秩,
１,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
四、小结
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
第三节 线性相关性
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
T
B
2
1
),,,( 21 mA
b xaxaxa nn?2211
线性方程组的向量表示
.
,
,
2211
22222121
11212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应,
定义 9
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
mmb 2211
，使，，一组数如果存在和向量给定向量组
m
m bA
,
,,,,,
21
21
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示．
b
A
定义 10
向量组 能由向量组 线性表示向量组等价,
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
B A
例
.
,
)1,,0,0(
)0,,1,0(
)0,,0,1(
),,,
21
21
n21
n
2
1
( n
n
n
因为的一个线性组合向量组都是单位维向量任一个使在数存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
sm
kkk
sjbA
BbbbBA
mmjjjj kkkb2211,),,,
2
1
21
mj
j
j
m
k
k
k
（
),,,21 sbbb?（
从而
msmm
s
s
m
kkk
kkk
kkk
21
22221
11211
21
),,,（
,)( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立才有时则只有当线性无关若
nn
n
n
.
,2,
线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义 11
二、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．
m,,,21? 2?m
m,,,21?
1?m
证明 充分性设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21? ma
即有
112211 mmma
三、线性相关性的判定故 01112211 mmm a
因 这 个数不全为 0,1,,,,121mm
故 线性相关,m,,,21?
必要性 设 线性相关,m,,,21?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk?
.02211 mmkkk
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21?
不妨设 则有,0
1?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程
).,,(
0,0
21
2211
m
mm
A
Axxxx
A
其中有非零解即性方程组线性相关可推出齐次线向量组
,
结论
.,
,.,,,,
,,,,( 1 )
11
21
也线性无关（显然）向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
定理
）设（ 2
),,,2,1(,,
,1
2
1
2
1
mj
a
a
a
a
b
a
a
a
jr
rj
j
j
j
rj
j
j
j
.)123122(
,.
,,,,,
,,.
21
21
页的说明性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：则向量组线性无关
：若向量组添上一个分量后得向量即
AB
bbbB
Ab
mm
jj
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（ 说明
).3(,
,,,,:
,,,,,( 3 )
1
21
习题且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
.,
12
结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明定理 2
.,,,:
sr2
,,:,,,:1
,,,:,,,,
r21
121
121
必线性相关那么，向量组
）（
性表示，
线可以由）向量组（
如果是两个向量组与设
A
BA
BA
sr
sr
证明
.0
,,,
.,,2,1
2211
21
1
rr
r
s
j
jjii
xxx
xxx
rit
( 1 )
使数下面欲找到不全为零的有由为此，作线性组合
)(
1 11 1
11
r2211
s
j
r
i
jiji
r
i
s
j
jiji
s
j
jji
r
i
ir
xtxt
txxxx
.;,,2,1 0
1
时有非零解当线性方程组注意
sr
sjxt
r
i
iji
定理 2 的推论推论 1
s.r,,,:
,,:,,,,
r21
121
线性无关，那么线性表示，且可以由如果向量组
A
BA sr
推论 2,1 线性相关维向量必个任意 nn?
.1
n
nn
组线性表示，又维向量都能由单位向量每个证明推论 3
.1
）个数的向量（据推论向量组，必含有相同两个线性无关的等价的极大线性无关组定义 13 一个向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的，
并且从这个向量组中任意添一个向量（如果有的话），所得的部分向量组都线性相关,
例线性无关组，这是因为大组成的向量组是一个极，由向量组
213
21
),1,4,1,2(
),4,5,2,4( ),1,3,1,2(
).4,53,2,42(21 2121212121 kkkkkkkkkk
得线性齐次方程组
)4,53,2,42( 212121212211 kkkkkkkkkk
，就有 021 kk
04
053
02
042
21
21
21
21
kk
kk
kk
kk
线性相关；还有 321321,,,03
.,31 组也是一个极大线性无关可以验证,
定理 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价,
,
,,,:,,,,,,,2121
关组是它的一个极大线性无而设向量组为证明 srs AA
线性表示，可以由显然，向量组 AA
使数即存在一组不全为零的线性相关，向量组反之，由定义
,,,,,
,,,,,13
21
21
lkkk s
js
,0 2211 jss lkkk
.0?l反证法可以证明，必有
,2211 ssj lklklk于是线性相关向量组的极大线性无关组是不唯一的,
但是每一个极大线性无关组都与向量组等价,
一个线性无关向量组的极大线性无关组是其本身,
定理 3 一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量,
定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,
一个向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同,
等价的向量组必有相同的秩,
１,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
四、小结
