1
第七节 Cramer 法则一 n 元线性方程组



nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?
则称此方程组为 非齐次线性方程组 ;,,,,
21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
2
二 Cramer 法则如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111



nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D

21
22221
11211
0?
3
,,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
.
1,1,1
11,111,111
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D





那么线性方程组（ 1）有解，并且解是唯一的，
解可以表为
4
证明



.
2211
2222222121
1111212111



njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa

得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj?
再把 个方程依次相加，得n
5
,
1
11
1
1
1




n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知,
.,,2,1 njDDx jj
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
,Dx j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jix i?,jD又等式右端为于是?2
当 时,方程组 有唯一的一个解0?D2
6
由于方程组 与方程组 等价,21 故
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
也是方程组的 解,1
注
.
10)1(
只有唯一解
）有解且，（的系数行列式方程组
( 1 )?D
.0
11)2(
D的系数行列式
）解，则（）无解或有两个不同的若方程组（
7
例 1 用 Cramer 法则解方程组




.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512

D
21 2rr?
24 rr?
12770
2120
6031
13570

8
1277
212
1357

21 2cc?
23 2cc? 277
010
353


27
33


,27?
6740
2125
6039
1518
1


D
,81?
6701
2150
6091
1582
2

D
,108
9
6041
2520
6931
1812
3

D
,27
0741
5120
9031
8512
4

D
,27?
,3278111 DDx,42710822 DDx
,1272733 DDx,1272744 DDx
10
三 齐次方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
(3 )
0
nn
nn
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x



注
1,齐次方程组（ 3）总有解；
称为零解；）的一个解，为方程组（ 30.2 21 nxxx?
11
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
，则齐次线性方程组 只有零解,0?D
3
3
证明 利用 Cramer 法则,
推论 如果齐次线性方程组（ 3）有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式为零,
12
例 问 取何值时，齐次方程组






,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
解

111
132
421
D


101
112
431
3121431 3
3121 23
13
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3
作业
P19 （ 2）
注 Cramer 法则的重要作用是理论推导,