一、多项式函数与根二、多项式函数的有关性质一、多项式函数与根
1,多项式函数
101( ),nn nf x a x a x a设 数,p
将 的表示式里的 用 代替，得到 P中的数()fx x?
101,nn na a a
称为当 时 的 值,记作()fx ( ).f?x
这样，对 P中的每一个数,由多项式 确定 P
中唯一的一个数 与之对应，于是称 为 P上的一个 多项式函数,
()fx
()f? ()fx
若多项式函数 在 处的值为 0，即()fx x
( ) 0,f
则称 为 的一个 根 或 零点,? ()fx
2,多项式函数的根 (或零点 )
易知，若
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),h x f x g x h x f x g x
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),h f g h f g
则，
（ 余数定理 ）：用一次多项式 去除多项式x
所得余式是一个常数，这个常数等于函数( ),fx
值 ( ).f?
二、多项式函数的有关性质
1,定理 7
是 的根? ()fx ( ) | ( ),x f x推论,
例 1 求 在 处的函数值,42( ) 4 9f x x x x3x
法一,把 代入 求3x ( ),fx ( 3).f?
用 去除 所得余数就是3x? ( ),fx ( 3).f?法二：
( 3 ) 6 9,f答案：
若 是 的 重因式,则称 为x ()fx k?
的 重根,()fx k
当 时，称 为 的单根．1k ()fx
当 时，称 为 的重根．1k ()fx
2,多项式函数的 k重根定义注：
① 是 的重根 是 的重因式． ()fx x ()fx
② 有重根 必有重因式．()fx ()fx?
反之不然，即 有重因式未必 有重根．()fx ()fx
22( ) ( 1 ) [ ],f x x R x例如，
为 的重因式，但在 R上 没有根．()fx ()fx2 1x?
3,定理 8 (根的个数定理 )
任一 中的 次多项式 在 中的根[]Px n ( 0),n? P
不可能多于 个，重根按重数计算．n
4,定理 9
且( ),( ) [ ],f x g x P x( ),( ),f x g x n
若有 使1 2 1,,,n P
( ) ( ),1,2,,1iif g i n
则 ( ) ( ),f x g x?
证：设( ) [ ],( ) 0f x P x f x
若 即( ) 0,fx ( ) 0,f x c
()f x n时，由因式分解及唯一性定理，
()fx可分解成不可约多项式的乘积，
由推论,的根的个数等于 分解式中()fx ()fx
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数,n?
此时对 有,P ( ) 0.fc即 有 0个根,()fx
定理 8
证：令 则有( ) ( ) ( ),h x f x g x
( ) 0,1,2,,1,ih i n
由定理８，若 的话，则( ) 0hx( ),h x n
矛盾,
所以,( ) 0,hx?
即 有()hx 1 2 1,,,1n n个根，
( ) ( ),f x g x?即定理 9
解：
例 2 求 t 值，使 32( ) 3 1f x x x tx有重根．
3231x x tx236x x t
()fx()fx?
13x
32 132x x tx
2 23 1x tx
13?
2 132x x t
21 133( 2 ) ( 1 ) ( )t x t r x
3 133,( ) 2 1tt r x x
32x 154?
2 323 xx?
152 xt
1 5 1 524x
154t?
1i ) ( ) 0,rx?若 即 3,t? 则
213( ),( ) ( ) ( 1 ),f x f x f x x
此时,有重根，()fx 为 的三重根．()fx1x?
151 4i i ) ( ) 0,0,r x t若 即 154,t 则
12( ),( )f x f x x
此时,有重根，()fx 为 的二重根．()fx12x
例 3 举例说明下面命题是不对的．
'" ( ) ( ) 1 "f x n f x n是 的 重 根 是 的 重 根解：令 则 321( ) 5,3f x x x x
' 2 2( ) 2 1 ( 1 ),f x x x x
但 1( 1 ) 1 1 5 0,3f
是 的 2重根，'()fx1x
1 不是 的根，从而不是 的 3重根．()fx ()fx
例 4 若 求2 4 2( 1 ) | 1,x A x B x,.AB
解,2 4 2( 1 ) | 1x A x B x
从而,1为 的根,'()fx
于是有,'
( 1 ) 1 0
( 1 ) 4 2 0
f A B
f A B
42( ) 1f x A x B x1为 的重根，?
1
2
A
B
1,多项式函数
101( ),nn nf x a x a x a设 数,p
将 的表示式里的 用 代替，得到 P中的数()fx x?
101,nn na a a
称为当 时 的 值,记作()fx ( ).f?x
这样，对 P中的每一个数,由多项式 确定 P
中唯一的一个数 与之对应，于是称 为 P上的一个 多项式函数,
()fx
()f? ()fx
若多项式函数 在 处的值为 0，即()fx x
( ) 0,f
则称 为 的一个 根 或 零点,? ()fx
2,多项式函数的根 (或零点 )
易知，若
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),h x f x g x h x f x g x
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),h f g h f g
则，
（ 余数定理 ）：用一次多项式 去除多项式x
所得余式是一个常数，这个常数等于函数( ),fx
值 ( ).f?
二、多项式函数的有关性质
1,定理 7
是 的根? ()fx ( ) | ( ),x f x推论,
例 1 求 在 处的函数值,42( ) 4 9f x x x x3x
法一,把 代入 求3x ( ),fx ( 3).f?
用 去除 所得余数就是3x? ( ),fx ( 3).f?法二：
( 3 ) 6 9,f答案：
若 是 的 重因式,则称 为x ()fx k?
的 重根,()fx k
当 时，称 为 的单根．1k ()fx
当 时，称 为 的重根．1k ()fx
2,多项式函数的 k重根定义注：
① 是 的重根 是 的重因式． ()fx x ()fx
② 有重根 必有重因式．()fx ()fx?
反之不然，即 有重因式未必 有重根．()fx ()fx
22( ) ( 1 ) [ ],f x x R x例如，
为 的重因式，但在 R上 没有根．()fx ()fx2 1x?
3,定理 8 (根的个数定理 )
任一 中的 次多项式 在 中的根[]Px n ( 0),n? P
不可能多于 个，重根按重数计算．n
4,定理 9
且( ),( ) [ ],f x g x P x( ),( ),f x g x n
若有 使1 2 1,,,n P
( ) ( ),1,2,,1iif g i n
则 ( ) ( ),f x g x?
证：设( ) [ ],( ) 0f x P x f x
若 即( ) 0,fx ( ) 0,f x c
()f x n时，由因式分解及唯一性定理，
()fx可分解成不可约多项式的乘积，
由推论,的根的个数等于 分解式中()fx ()fx
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数,n?
此时对 有,P ( ) 0.fc即 有 0个根,()fx
定理 8
证：令 则有( ) ( ) ( ),h x f x g x
( ) 0,1,2,,1,ih i n
由定理８，若 的话，则( ) 0hx( ),h x n
矛盾,
所以,( ) 0,hx?
即 有()hx 1 2 1,,,1n n个根，
( ) ( ),f x g x?即定理 9
解：
例 2 求 t 值，使 32( ) 3 1f x x x tx有重根．
3231x x tx236x x t
()fx()fx?
13x
32 132x x tx
2 23 1x tx
13?
2 132x x t
21 133( 2 ) ( 1 ) ( )t x t r x
3 133,( ) 2 1tt r x x
32x 154?
2 323 xx?
152 xt
1 5 1 524x
154t?
1i ) ( ) 0,rx?若 即 3,t? 则
213( ),( ) ( ) ( 1 ),f x f x f x x
此时,有重根，()fx 为 的三重根．()fx1x?
151 4i i ) ( ) 0,0,r x t若 即 154,t 则
12( ),( )f x f x x
此时,有重根，()fx 为 的二重根．()fx12x
例 3 举例说明下面命题是不对的．
'" ( ) ( ) 1 "f x n f x n是 的 重 根 是 的 重 根解：令 则 321( ) 5,3f x x x x
' 2 2( ) 2 1 ( 1 ),f x x x x
但 1( 1 ) 1 1 5 0,3f
是 的 2重根，'()fx1x
1 不是 的根，从而不是 的 3重根．()fx ()fx
例 4 若 求2 4 2( 1 ) | 1,x A x B x,.AB
解,2 4 2( 1 ) | 1x A x B x
从而,1为 的根,'()fx
于是有,'
( 1 ) 1 0
( 1 ) 4 2 0
f A B
f A B
42( ) 1f x A x B x1为 的重根，?
1
2
A
B
