§ 1.3 整除的概念一、带余除法二、综合除法三、整除对 ( ),( ) [ ],( ) 0,f x g x P x g x
一定存在 ( ),( ) [ ],q x r x P x?使
( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
成立，其中 ( ( ) ) ( ( ) )r x g x或 ( ) 0,rx?
一、带余除法定理并且这样的 ( ),( )g x r x是唯一决定的．
称 为 除 的 商,为 除()qx ()gx ()fx ()rx ()gx ()fx
的 余式,
① 若 ( ) 0,fx? 则令 ( ) ( ) 0,q x r x结论成立．
② 若 ( ) 0,fx? 设 ( ),( )f x g x的次数分别为,,nm
Proof：
当 时，nm?
结论成立．
显然取 即有( ) 0,( ) ( )q x r x f x
( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x
下面讨论 的情形，nm?
假设 对 次数小于 n的,()fx 结论已成立．
先证存在性．
对 n作数学归纳法．
次数为０时结论显然成立．
设 的首项为()fx,nax ()gx,( )mb x n m?的首项为则 与 首项相同，1 nmb ax g x ()fx 因而，多项式
1 ( ) ( ) -1= - gn - mf x f x b a x x
的次数小于 n或 f1为 0．
若1 = 0,fx 令 1( ),( ) 0nmq x b a x r x即可．
若1,f x n由归纳假设，存在 11( ),( )q x r x
使得1 1 1f x q x g x r x
现在来看次数为 n的情形．
其中1 ()r x < g x或者 1 ( ) 0,rx?于是
1 11,nmf x b ax q x g x r x
即有1 11( ),nmq x b a x q x r x r x使
( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x
成立．
的存在性得证．
由归纳法原理，对 ( ),( ) 0,f x g x( ),( )q x r x
再证唯一性．
,f x q x g x r x若同时有
0.r x g x r x 或 ＝其中
0.r x g x r x 或 ＝其中
,f x q x g x r x和则q x g x r x q x g x r x
即,q x q x g x r x r x－ ＝ －
0,0q x q x g x r x r x若,由 有 －
q x q x g x r x r x－ ＋ ＝ －
m a x,rr
但,q x q x g x g x－ ＋矛盾．
gx
所以,q x q x 从而,r x r x? =
唯一性得证．
a 0 1 2 1nna a a a a?
0 1 2 1nna b a b a b a b＋ )
0 0 1 2 1nb a b b b r
二、综合除法的商式 101() n nq x b x b和余式 r
可按下列计算格式求得：
这里，
若 1( ),n n - 10nf x a x + a x + + a?则 xa? ()fx除
1 1 0 2 2 1,,,b a a b b a a b
1,nnr a a b1 1 2,n n nb a a b
去除① 求一次多项式 xafx的商式及余式．
② 把fx表成 xa? 的方幂和，即表成
20 1 2( ) ( ) ( )f x c c x a c x a
的形式．
Remark,综合除法用于
32,1 2f x x x x g x x i
例 1．求 除 的商式和余式gxfx
解,由
＋ )
12i? １ －１ －１ ０
12i? 42i 98i
98i52i2i?１
有2( ) ( ) 2 5 2 9 8,f x g x x i x i i
１
4
１
解,∵ 1 ０ ０ ０ ０ ０
例２,把 5()f x x?表成 1x? 的方幂和．
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１ = 0c
１ 2 3
2 3 4 5= 1c
１
１
１
1 3 6
１ 3 6
1 4
１ 4
1
1
10= 2c
5= 4c
10= 3c
5 5 4 3 2( 1 ) 5 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )x x x x x
5 ( 1 ) 1x
三,整除
1．定义设 ( ),( ) [ ],f x g x P x?若存在 ( ) [ ]h x P x? 使
( ) ( ) ( )f x g x h x?
则称 ()gx整除 ( ),fx 记作 ( ) | ( ),g x f x
① 时,称( ) | ( )g x f x ()gx为 ()fx的 因式,()fx
为 ()gx的 倍式,
② ()gx不能整除 ()fx时记作,( ) | ( ),g x f x
２．说明
③ 允许 ( ) 0gx?，此时有 0 0 ( ),( ) [ ]h x h x P x
即 00.
区别,
零多项式整除零多项式，有意义．00
除数为零，无意义．00
④ 当 时,如果( ) | ( )g x f x ( ) 0,gx? 则 除()gx
所得的商可表成()fx ().()fxgx
定理 1 ( ),( ) [ ],( ) 0,f x g x P x g x
３．整除的判定
( ) | ( ) ( ) ( ) 0,g x f x g x f x r x?除 的 余 式
４．整除的性质
1) 对 ( ) [ ],f x P x 有 ( ) | ( ),( ) | 0 ;f x f x f x
对 ( ) [ ],,0,f x P x a P a有 | ( ).a f x
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除；
零次多项式整除任一多项式．
时,与 有相同的因式和倍式．0a? ()fx ()a f x
2) 若,则 ( ) | ( ),,( 0 ),a f x b g x a b P a ( ) | ( )f x g x
3) 若 ( ) | ( ) ( ) | ( ),g x f x f x g x，则
( ) ( ) 0.f x c g x c?＝,
证,( ) | ( )f x g x
( ) | ( )g x f x
12( ) ( ),f x h x h x f x
若 ( ) 0,fx? 则
( ) ( ) P 0f x c g x c c＝,,
使得1( ) ( ) ;g x f x h x1hx
使得2( ) ( ),f x g x h x2hx
( ) 0,gx ＝
( ) 0fx?,若12 1h x h x ＝则
12 0.h x h x＝ ＝
12 0h x h x＋ ＝
12,h x h x? 皆为非空常数．
4) 若( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) |f x g x g x h x f x h x，,
（整除关系的传递性）
( ) ( ) 0f x c g x c?＝,成立．故有
5) 若 ( ) | ( ) 1,2,,if x g x i = r，
则对 ( ) [ ],1,2,,iu x P x i = r 有
1 1 2 2( ) | ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )rrf x u x g x u x g x u x g x
注,反之不然．如
212( ) 1,( ) 2 3,g x x g x x
1 1 2 2( ( ) ( ) ( ) 2 3,u x g x u x g x x
1 1 2 2( ) | ( ) ( ) ( ) ( )f x u x g x u x g x
( ) 3 2,f x x
2,( ),u x u x x
12( ) | ( ),( ) | ( ),f x g x f x g x但
6) 整除不变性：
两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．
例 3．求实数 满足什么条件时多项式,,m p q
整除多项式 3,x p x q2 1x m x
一定存在 ( ),( ) [ ],q x r x P x?使
( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x
成立，其中 ( ( ) ) ( ( ) )r x g x或 ( ) 0,rx?
一、带余除法定理并且这样的 ( ),( )g x r x是唯一决定的．
称 为 除 的 商,为 除()qx ()gx ()fx ()rx ()gx ()fx
的 余式,
① 若 ( ) 0,fx? 则令 ( ) ( ) 0,q x r x结论成立．
② 若 ( ) 0,fx? 设 ( ),( )f x g x的次数分别为,,nm
Proof：
当 时，nm?
结论成立．
显然取 即有( ) 0,( ) ( )q x r x f x
( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x
下面讨论 的情形，nm?
假设 对 次数小于 n的,()fx 结论已成立．
先证存在性．
对 n作数学归纳法．
次数为０时结论显然成立．
设 的首项为()fx,nax ()gx,( )mb x n m?的首项为则 与 首项相同，1 nmb ax g x ()fx 因而，多项式
1 ( ) ( ) -1= - gn - mf x f x b a x x
的次数小于 n或 f1为 0．
若1 = 0,fx 令 1( ),( ) 0nmq x b a x r x即可．
若1,f x n由归纳假设，存在 11( ),( )q x r x
使得1 1 1f x q x g x r x
现在来看次数为 n的情形．
其中1 ()r x < g x或者 1 ( ) 0,rx?于是
1 11,nmf x b ax q x g x r x
即有1 11( ),nmq x b a x q x r x r x使
( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x
成立．
的存在性得证．
由归纳法原理，对 ( ),( ) 0,f x g x( ),( )q x r x
再证唯一性．
,f x q x g x r x若同时有
0.r x g x r x 或 ＝其中
0.r x g x r x 或 ＝其中
,f x q x g x r x和则q x g x r x q x g x r x
即,q x q x g x r x r x－ ＝ －
0,0q x q x g x r x r x若,由 有 －
q x q x g x r x r x－ ＋ ＝ －
m a x,rr
但,q x q x g x g x－ ＋矛盾．
gx
所以,q x q x 从而,r x r x? =
唯一性得证．
a 0 1 2 1nna a a a a?
0 1 2 1nna b a b a b a b＋ )
0 0 1 2 1nb a b b b r
二、综合除法的商式 101() n nq x b x b和余式 r
可按下列计算格式求得：
这里，
若 1( ),n n - 10nf x a x + a x + + a?则 xa? ()fx除
1 1 0 2 2 1,,,b a a b b a a b
1,nnr a a b1 1 2,n n nb a a b
去除① 求一次多项式 xafx的商式及余式．
② 把fx表成 xa? 的方幂和，即表成
20 1 2( ) ( ) ( )f x c c x a c x a
的形式．
Remark,综合除法用于
32,1 2f x x x x g x x i
例 1．求 除 的商式和余式gxfx
解,由
＋ )
12i? １ －１ －１ ０
12i? 42i 98i
98i52i2i?１
有2( ) ( ) 2 5 2 9 8,f x g x x i x i i
１
4
１
解,∵ 1 ０ ０ ０ ０ ０
例２,把 5()f x x?表成 1x? 的方幂和．
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１
１ = 0c
１ 2 3
2 3 4 5= 1c
１
１
１
1 3 6
１ 3 6
1 4
１ 4
1
1
10= 2c
5= 4c
10= 3c
5 5 4 3 2( 1 ) 5 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )x x x x x
5 ( 1 ) 1x
三,整除
1．定义设 ( ),( ) [ ],f x g x P x?若存在 ( ) [ ]h x P x? 使
( ) ( ) ( )f x g x h x?
则称 ()gx整除 ( ),fx 记作 ( ) | ( ),g x f x
① 时,称( ) | ( )g x f x ()gx为 ()fx的 因式,()fx
为 ()gx的 倍式,
② ()gx不能整除 ()fx时记作,( ) | ( ),g x f x
２．说明
③ 允许 ( ) 0gx?，此时有 0 0 ( ),( ) [ ]h x h x P x
即 00.
区别,
零多项式整除零多项式，有意义．00
除数为零，无意义．00
④ 当 时,如果( ) | ( )g x f x ( ) 0,gx? 则 除()gx
所得的商可表成()fx ().()fxgx
定理 1 ( ),( ) [ ],( ) 0,f x g x P x g x
３．整除的判定
( ) | ( ) ( ) ( ) 0,g x f x g x f x r x?除 的 余 式
４．整除的性质
1) 对 ( ) [ ],f x P x 有 ( ) | ( ),( ) | 0 ;f x f x f x
对 ( ) [ ],,0,f x P x a P a有 | ( ).a f x
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除；
零次多项式整除任一多项式．
时,与 有相同的因式和倍式．0a? ()fx ()a f x
2) 若,则 ( ) | ( ),,( 0 ),a f x b g x a b P a ( ) | ( )f x g x
3) 若 ( ) | ( ) ( ) | ( ),g x f x f x g x，则
( ) ( ) 0.f x c g x c?＝,
证,( ) | ( )f x g x
( ) | ( )g x f x
12( ) ( ),f x h x h x f x
若 ( ) 0,fx? 则
( ) ( ) P 0f x c g x c c＝,,
使得1( ) ( ) ;g x f x h x1hx
使得2( ) ( ),f x g x h x2hx
( ) 0,gx ＝
( ) 0fx?,若12 1h x h x ＝则
12 0.h x h x＝ ＝
12 0h x h x＋ ＝
12,h x h x? 皆为非空常数．
4) 若( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) |f x g x g x h x f x h x，,
（整除关系的传递性）
( ) ( ) 0f x c g x c?＝,成立．故有
5) 若 ( ) | ( ) 1,2,,if x g x i = r，
则对 ( ) [ ],1,2,,iu x P x i = r 有
1 1 2 2( ) | ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )rrf x u x g x u x g x u x g x
注,反之不然．如
212( ) 1,( ) 2 3,g x x g x x
1 1 2 2( ( ) ( ) ( ) 2 3,u x g x u x g x x
1 1 2 2( ) | ( ) ( ) ( ) ( )f x u x g x u x g x
( ) 3 2,f x x
2,( ),u x u x x
12( ) | ( ),( ) | ( ),f x g x f x g x但
6) 整除不变性：
两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．
例 3．求实数 满足什么条件时多项式,,m p q
整除多项式 3,x p x q2 1x m x
