一,一元多项式的概念二、多项式环
§ 1.2 一元多项式
1,定义个非负整数，形式表达式设 是一个符号（或称文字）,是一x n
11 1 0nnnna x a x a x a
称为数域 P上的 一元多项式,其中 01,,,na a a P
等表示．常用 ( ),( ),( )f x g x h x
一、一元多项式的概念系数,n 称为多项式 的 次数,记作()fx ( ( ) ),=f x n?
③ 若,即,则称之01 0na a a( ) 0fx?
为 零多项式,零多项式不定义次数,
区别,零次多项式 ( ),0,f x a a
多项式 中,11 1 0() nnnnf x a x a x a x a
称为 i次项,称为 i次项系数．iiax① ia
注：
② 若 则称 为 的 首项,为 首项()fxnnax0,na? na
零多项式 ( ) 0fx
( ( ) ) 0,=fx?
2,多项式的相等若多项式 与 的同次项系数全相等，则()fx ()gx
称 与 相等,记作()fx ()gx ( ) ( ),f x g x?
即，
11 1 0( ),mmmng x b x b x b x b
( ) ( ),,0,1,2,,,iif x g x m n a b i n
11 1 0( ),nnnnf x a x a x a x a
3,多项式的运算：加法（减法）、乘法
1
1 1 0
0
( ),ii
n
nn
nn
i
f x a x a x a x a a x

1
1 1 0
0
( ),jj
m
mm
mm
j
g x b x b x b x b b x

加法,若 在 中令,nm? ()gx
11 0n n mb b b
则
0
( ) ( ) ( ),ii
n
i
i
f x g x a b x

0
( ) ( ) ( ) ii
n
i
i
f x g x a b x
减法,
1 0 1 0 0() oa b a b x a b
1
()
nm
i
ij
s i j s
a b x


( ) ( )f x g x中 s 次项的系数为
1 1 1 1 0,s o s s s i j
i j s
a b a b a b a b a b


注,
乘法：
( ) ( )f x g x? 111()n m n mn m n m n ma b x a b a b x
4,多项式运算性质
1) 为数域 P上任意两个多项式，则( ) ( )f x g x
( ) ( ),( ) ( )f x g x f x g x?仍为数域 P上的多项式．
2) ( ),( ) [ ]f x g x P x
① ( ) ( ) 0,( ) m a x ( ( ),( ) )f x g x f g f g
② 若 ( ) 0,( ) 0,f x g x则 ( ) ( ) 0,f x g x?且
( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )f x g x f x g x
( ) ( )f x g x的首项系数
()fx? 的首项系数 × ()gx的首项系数,
3) 运算律
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f x g x h x f x g x h x
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x?
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f x g x h x f x g x h x?
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x f x h x
( ) ( ) ( ) ( ),( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x h x f x g x h x
例 1 设 ( ),( ),( ) ( )f x g x h x R x?
(1) 证明,若 2 2 2( ) ( ) ( ),f x x g x x h x则
( ) ( ) ( ) 0f x g x h x=
(2) 在复数域上 (1)是否成立？
(1) 证：若 ( ) 0,fx? 则
2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) 0,x g x h x f x
于是
2 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ) )x g x x h x x g x h x为奇数,
故 ( ) 0,fx?
从而 22( ) ( ) 0,g x h x
从而 22( ) ( ) 0,g x h x
2( ( ))fx?但 为偶数,
这与已知矛盾,
2 2 2( ( ) ( ) ) ( ),x g x h x f x
(2) 在 C上不成立．如取
( ) 0,( ),( )f x g x ix h x x
从而必有 ( ) ( ) 0.g x h x
( ) ( ) ( ) 0,f x g x h x
又 均为实系数多项式,( ),( )f x g x
所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
P上的 一元多项式环,记作 [ ],Px
P称为 的系数域．[]Px
二、多项式环定义