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一、子空间的交二、子空间的和三,子空间交与和的有关性质
2
也为 V的子空间，
1 2 1 2{ | }V V a a V a V且设 V1,V2为线性空间 V的子空间，则集合一,子空间的交
1,定义任取 1 2 1 2,,,,,,V V V V即 且
1 2 1 2,,V V V V则有同时有 1 2 1 2,,,k V k V k V V k P
故 为 V的子空间,12VV
1 2 1 20,0,0V V V V事实上，
称之为 V1与 V2的 交空间,
3
显然有,
2,推广 多个子空间的交
12
1
|,1,2,3,,
s
s i i
i
V V V V V i s

1 2 2 1,V V V V?
为线性空间 V的子空间，则集合12,,,sV V V
1 2 3 1 2 3( ) ( )V V V V V V?
也为 V的子空间，称为 的交空间,12,,,sV V V
4
二,子空间的和
1,定义其中,则有1 1 1 2 2 2,,,,VV
1 2 1 2 1 2( ),k k k k V V k P
设 V1,V2为线性空间 V的子空间，则集合也为 V的子空间，
1 2 1 2 1 1 2 2{ |,}V V a a a V a V
称之为 V1与 V2的 和空间,
1 2 1 2( ) ( )
任取 设 12,,VV 1 2 1 2,,
1 1 2 2 1 2( ) ( ) VV
1 2 1 20,0,0 0 0V V V V事实上，
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显然有,
2,推广 多个子空间的和
12 |,1,2,3,,s i iV i s
1 2 2 1,V V V V
为线性空间 V的子空间，则集合12,,,sV V V
1 2 3 1 2 3( ) ( )V V V V V V
也为 V的子空间，称为 的和空间,12,,,sV V V
12
1
s
is
i
V V V V

6
V的两子空间的并集未必为 V的子空间,例如注意,
12{ (,0,0 ) },{ ( 0,,0 ) }V a a R V b b R
皆为 R3的子空间，但是它们的并集
12 { (,0,0 ),( 0,,0 ),}V V a b a b R
并不是 R3的子空间,因为它对 R3的运算不封闭，如
12( 1,0,0) ( 0,1,0) ( 1,1,0) VV
12( 1,0,0),( 0,1,0) VV?
但是
{ (,,0 ),,}a b a b R a b 且 中 至 少 有 一 是 0
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三,子空间的交与和的有关性质
1 2 12) V V V?
1 2 23) V V V
121) VV?
2,设 为线性空间 V的子空间,则以下三12,VV
1,设 为线性空间 V的子空间12,,V V W
1）若 则12,,W V W V 12,V V?
2）若 则 12,V V W12,,V W W
条件等价,
8
1 2 1 2,(,,,) (,,)stLL
1 2 1 2,(,,,,,,)stL
3,为线性空间 V中两组1 2 1 2,,,,;,,st
向量，则
4,维数公式 （定理 7）
设 为线性空间 V的两个子空间,则12,VV
1 2 1 2 1 2d i m d i m d i m ( ) d i m ( )V V V V V V
或 1 2 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i m d i m ( )V V V V V V
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注,从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小,
例如，在 R3中，设子空间
12d i m ( ) 3VV
1 1 2 2 2 3(,),(,)V L V L
1 2 3( 1,0,0),( 0,1,0),( 0,0,1 )其中，
31 2 1 2 2 3 1 2 3(,) (,) (,,)V V L L L R但，
则,12d i m 2,d i m 2VV
由此还可得到,12d i m ( ) 1,VV?12VV是一直线,
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推论,设 为 n维线性空间 V的两个子空间，12,VV
1 2 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i m d i m ( )V V V V V V
若,则 必含非零的公共12d i m d i mV V n12,VV
向量,即 中必含有非零向量,12VV
证：由维数公式有又 是 V的子空间,∴12VV? 12d i m ( )V V n
12d i m d i m,V V n若 则 12d i m ( ) 0,VV?
故 中含有非零向量,12VV
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①
与 ②
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
ns s sn
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x



11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
t t tn n
b x b x b x
b x b x b x
b x b x b x



的解空间，则 就是齐次线性方程组 ③12WW
例 1,在 中,用 分别表示齐次线性方程组12,WWnP
12
③
的解空间,
证：设方程组 ①,②,③分别为
11 1 12 2 1
1 1 2 2
11 1 12 2 1
1 1 2 2
0
0
0
0
nn
s s sn n
nn
t t t n n
a x a x a x
a x a x a x
b x b x b x
b x b x b x




0,0,0AAX BX XB
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即设 W为③的解空间，任取,有0XW?
0 0,A XB?从而 00 0,AXBX
00 0.A X B X 0 1 2X W W
反之，任 取,则有0 1 2,X W W?
00 0,A X B X从而
0 0
0
0,AX A XB X B
0XW
故 12,W W W?
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12( 1,2,1,0),( 1,1,1,1 )
例 2,在 中,设4P
( 2,1,0,1 ),( 1,1,3,7 )
1） 求 的维数的与一组基 ；,,1 2 1 2( ) ( )LL
2） 求 的维数的与一组基,,,1 2 1 2( ) ( )LL
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解,1) 任取,,1 2 1 2( ) ( )LL
设 1 1 2 2 1 1 2 2,x x y y
则有 1 1 2 2 1 1 2 2 0,x x y y
(＊ )解 得 （ t 为任意数 ）
1
2
1
2
4
3
xt
xt
yt
yt




(＊ )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 2
1 1 2
20
20
30
70
x x y y
x x y y
x x y
x y y




即
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令 t=1,则得 的一组基,,1 2 1 2( ) ( )LL
12 4 5,2,3,4
为一维的,,,1 2 1 2( ) ( ) ( )L L L
2) 1 2 1 2 1 2 1 2(,) (,) (,,,)L L L
对以 为列向量的矩阵 A作初等行变换1 2 1 2,,,
1 2 2 1( 4 ) ( 3 )tt
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为 3维的,1 2 1 2 1 2 1(,) (,) (,,)L L L
1 1 2 1
2 1 1 1
1 1 0 3
0 1 1 7
A




1 2 1
0 3 5 3
0 2 2 2
0 1 1 7



1 1 2 1
0 0 2 6
0 1 1 1
0 0 2 6




1 1 2 1
0 1 1 1
0 0 1 3
0 0 0 0
B




由 B知,为 的一个极大无关组,1 2 1 2,,,1 2 1,,
为其一组基,1 2 1,,