1
§ 2 线性变换的运算
§ 3 线性变换的矩阵
§ 4 特征值与特征向量
§ 1 线性变换的定义
§ 5 对角矩阵
§ 7 不变子空间
§ 8 若当标准形简介
§ 6 线性变换的值域与核小结与习题
2
一,线性变换的定义二,线性变换的简单性质
3
引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应,我们常称线性变换,
映射,本节要讨论的是在线性空间 V上的线性映射两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为 线性
4
一,线性变换的定义设 V为数域 P上的线性空间，若变换,VV
满足：,,V k P
kk
则称 为线性空间 V上的 线性变换,?
5
注,几个特殊线性变换由数 k决定的 数乘变换：,,,K V V k V
事实上，,,,V m P
( ),K k k k K K
,K m km m k m K
单位变换 (恒等变换 )：,,,E V V V
零变换,0,,0,V V V
6
例 1,(实数域上二维向量空间 )，把 V中每2VR?
一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，?
表示，即用 T
22:,xxT R R yy
这里，
易验证：
T T T
T k kT
2,,R k R
c os sinsin c osxxyy
7
例 2,为一固定非零向量，把 V中每3,V R V
一个向量 变成它在 上的内射影是 V上的一个线
3 3 3(,):,,
(,)R R R?
性变换,用 表示，即
这里 表示内积,(,),(,)
易验证：
kk
3,,R k R
()
8
例 3,上的求微商是一个 线性变换，[ ] [ ] nV P x P x? 或用 D表示，即
:,( ( ) ) ( ),( )D V V D f x f x f x V
例 4,闭区间 上的全体连续函数构成的线性空间[,]ab
:,,,xaJ C a b C a b J f x f t d t
是一个线性变换,
,C a b上的变换
9
1,为 V的线性变换，则?
0 0,.
2,线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 1 1 2 2,rrk k k
则1 1 2 2,rrk k k
3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关二,线性变换的简单性质的向量组,即
10
若 线性相关，则12,,,r12,,,r
也线性相关,
事实上，若有不全为零的数 使12,,,rk k k
1 1 2 2 0rrk k k
则由 2即有,1 1 2 2 0.rrk k k
线性相关的向量组,如零变换,
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意,3的逆不成立，即12,,,r
线性相关,未必线性相关,12,,,r
11
练习,下列变换中，哪些是线性变换？
3．在 线性空间 V中,,V非零固定,
4．在 中，nnP,nnX AX A P固定,
2．在 中，[]nPx 2( ) ( ),f x f x
1．在 中，3R1 2 3 1 2 2 3,,( 2,,),x x x x x x x
5．复数域 C看成是自身上的线性空间,( ),xx
6,C看成是实数域 R上的线性空间,( ),xx
√
√
√
§ 2 线性变换的运算
§ 3 线性变换的矩阵
§ 4 特征值与特征向量
§ 1 线性变换的定义
§ 5 对角矩阵
§ 7 不变子空间
§ 8 若当标准形简介
§ 6 线性变换的值域与核小结与习题
2
一,线性变换的定义二,线性变换的简单性质
3
引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应,我们常称线性变换,
映射,本节要讨论的是在线性空间 V上的线性映射两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为 线性
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一,线性变换的定义设 V为数域 P上的线性空间，若变换,VV
满足：,,V k P
kk
则称 为线性空间 V上的 线性变换,?
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注,几个特殊线性变换由数 k决定的 数乘变换：,,,K V V k V
事实上，,,,V m P
( ),K k k k K K
,K m km m k m K
单位变换 (恒等变换 )：,,,E V V V
零变换,0,,0,V V V
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例 1,(实数域上二维向量空间 )，把 V中每2VR?
一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，?
表示，即用 T
22:,xxT R R yy
这里，
易验证：
T T T
T k kT
2,,R k R
c os sinsin c osxxyy
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例 2,为一固定非零向量，把 V中每3,V R V
一个向量 变成它在 上的内射影是 V上的一个线
3 3 3(,):,,
(,)R R R?
性变换,用 表示，即
这里 表示内积,(,),(,)
易验证：
kk
3,,R k R
()
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例 3,上的求微商是一个 线性变换，[ ] [ ] nV P x P x? 或用 D表示，即
:,( ( ) ) ( ),( )D V V D f x f x f x V
例 4,闭区间 上的全体连续函数构成的线性空间[,]ab
:,,,xaJ C a b C a b J f x f t d t
是一个线性变换,
,C a b上的变换
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1,为 V的线性变换，则?
0 0,.
2,线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 1 1 2 2,rrk k k
则1 1 2 2,rrk k k
3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关二,线性变换的简单性质的向量组,即
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若 线性相关，则12,,,r12,,,r
也线性相关,
事实上，若有不全为零的数 使12,,,rk k k
1 1 2 2 0rrk k k
则由 2即有,1 1 2 2 0.rrk k k
线性相关的向量组,如零变换,
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意,3的逆不成立，即12,,,r
线性相关,未必线性相关,12,,,r
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练习,下列变换中，哪些是线性变换？
3．在 线性空间 V中,,V非零固定,
4．在 中，nnP,nnX AX A P固定,
2．在 中，[]nPx 2( ) ( ),f x f x
1．在 中，3R1 2 3 1 2 2 3,,( 2,,),x x x x x x x
5．复数域 C看成是自身上的线性空间,( ),xx
6,C看成是实数域 R上的线性空间,( ),xx
√
√
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