4-1叠加定理一、叠加定理的导出：以右图为例
(a)中独立源 us1,is求 i2和 u1
对（ a）,us1=R1（ i2-is） +R2i2
us1=（ R1+R2） i2-R1is
（ R1+R2） i2=us1+R1is
＋
－ us1 R2
R1
i?
isi2u1＋
－
（ a）
＋
－
us1
i?
＋ －
R1
R2
)1(1u )2(2i
R1＋ －
iR1
)2(1u
R2
1
2i i
s
（ b） （ c）
第四章 电路定理
与电流反向注意负号由图由图单独作用时产的响应聘图时的值是单独作用时产生的响应图时的值是的线性组合写成和分别是和看出从
u i
RR
RR
u i
RR
R
i c
u
RR
R
u
RR
u
i b
I c 0u u i uuu
U b 0i ui iii
i u u i(1 )
(1 ) i
RR
RR
u
RR
R
)i
RR
RR
i
RR
R
(Ru
RR
R
)ii
RR
R
RR
u
(R)ii(Ru
is
RR
R
RR
u
i
2
1S
21
21
2
1S
21
1
2
2
S
21
1
1
1
21
s
1
2
Cs
2
2
2
2
2
2
1
22
Ss
1
2
1
2
2
2
1
22
ss12
S
21
21
S
21
1
S
21
21
S
21
1
1S
21
1
sS
21
1
21
s
1s211
21
1
21
s
2
、
、
与（ 1）式一致
＋
－
us1
i?
＋ －
R1
R2
)1(1u12i
（ b）
)2(2i
R1＋ －
iR1
)2(1u
R2 is
（ c）
叠 加定理：线性电阻电路中，任一电压或电流，都是电路中各独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。
*含有受控电源叠加定理仍然成立，只是受控源保流在分电路图中。
例 4-2如图所示，求 u3
+10V单独作用的电路图（ b）
由（ b）知：
)v(6.196.256uuu
6.25
4.24)6.1(10i4i10u
4.2i4i
A6.14
46
4
i
6410i4i - 1 0 u
1A
46
10
i i
2
3
1
33
2
2
2
1
2
3
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
由（ c）知：
＋
－
10V R2=4
R1=6i
1?
i2u1＋ －
（ a）
4A＋
－ u3
＋ －10i1
10
)2(2i
R1＋ －
)2(1u R
2
)2(1i
)2(3u
＋
－
4A
＋ －
＋
－
10
＋ －
R1
R2)1(1u 12i
)1(1i ＋ －
10
＋
－
)1(3u
)1(1i
（ b）
)2(1i
（ c）
齐次定理：
当所有激励（电压源和电流源）都同时增大 K培或同时缩小 K培，则响应（电压和电流）也同样扩大 K倍或缩小 K倍。
（有关内容自学）
4-2替代定理（可推广到非线性电路）
以例说明：图示（ a）可求得 u3=8V,i3=1A，现将支路分别以
us=u3=8V的电压源或 is=i3=1A的电流源替代，如（ b）（ c）。由
（ a）、（ b）、（ c）求得的各电压均一样，可得 i1=2A,i2=1A
20 4V
6 4
8
i1 i3
i2
＋
－
u3
（ a）
20
8V
6 8
i1 i3
i2 u
s=uk
（ b）
20
6 8
i1 i3
i2 i
s=1
A
（ c）
替代定理：第 K条支路的电压 uk和电流 ik为已知，那么此支路就可以用一个 us=uk或 is=ik的电压源或电流源替代，前后电路其余各量均不变
8i2-20+6i1=0得,i3=1
4i3+4-8i2=0 u3=8V
i1=i2+i3 i2=1,i1=2
+
- -
由（ b）和（ c）求出的 i1=2,i2=1A
与（ a）一样注,is方向,us方向第四周三上
--
-
4-3戴维宁定理和诺顿定理
1、对于不含独立源的一端口网络：
由齐次定理可知,U/I=常数（即输入电阻）此二端口可用 R代替
2、戴维定理：对于含独立源的一端口网络怎样替代？含独立源的一端口称“含源一端口”
设 NS含独立源的一端口，在 1-1`与外电路连接，现在将外电路移去，
NS内的独立源在 1-1`处产生的电压 U0C----开路电压
NS内的所有独立源置 0，得 N0,1-1`看进去的电阻 Reg— 等效电阻定理：“一个含独立源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，
可以用一个电压源和一个电阻串联等效置换” us=uoc R=Reg
NS 外电路
（ a）
1`
uoc
＋
-
Reg
＋
－
外电路
1
NS
1`
1
（ b）
uoc
N0
1`
1
（ c）
Req
1
1`
（ d）
＋
戴维定理证明如下：
证明：设外电路只有一个 R0，
（ 1）用替代定理，用 is=i代 R0，如图（ b）
（ 2）叠加定理,NS作用,is不作用（ c），此时 u1=u0c; is作用，
NS内电源不作用 (d) N0（电源置 0），此时,u2=-Regi
所以 u=u1+u2=uoc-Regi 即（ e）图，毕
R0
i
u
＋
－
（ a）
NS is=i
i
u
＋
－
（ b）
NS
Reg
i1=0
u1=uoc
＋
－
（ c）
NS
i2=i
u2
＋
－
（ d）
N0
is=i
u
＋
－
Req
us=uoc
R0
＋
－
i
（ e）
1
1` 1
1`
解,ab左边用戴维定理
u0c=R2i+us2=40v
因为 i=0
例,4-5已知 US1=40V,US2=40V,R1=4Ω,R2=2 Ω,R3=5
Ω,R4=10 Ω,R5=8 Ω,R6=2 Ω,求 i3
us2u
s1
R3＋
－
R1 R2 R
4
R5
R6
a
b
us2us1
＋
－
R1 R2
a
b
A53.3
33.155
40
RRR
u
i
5
)RR(R
)RR(R
R
33.1
24
24
RR
RR
gRe
eg3
oc
3
654
654
21
21
NS
+
- -
+
NS
+
- -
+
i3
uoc
Req
R
R3
+
-
a
b
i3
NS
解：开路电压 uoc：在 1-1`开路时：
i2=i1+ic=1.75i1
对回路 1列方程有：
5× 103× i1+20× 103i2=40代入 i2=1.75i1
可得 i1=10mA,i2=1.75× 10mA=17,5mA
uoc=20× 103× i2=35v
诺顿定理：一个含有独立源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路等效，可用一个电流源和电导并联替代,isc---短路电流,Geg—
等效电导例 8求含源一端口的戴维宁和诺顿等效电路，含有控制源 ic=0.75i1
。
。
＋
＋
－
－
40V
50Ki1 i
2 ic uoc20K
isc
1-1`短路电流 isc=i1+ic=1.75i1，而 i1=40/5× 103=8mA
所以 isc=1.75i1=14mA,Reg=uoc/isc=35/14× 10-3=2.5KΩ
2.5K
＋
－
35V
戴维宁 诺顿
14mA 2.5K
1
1`
。
。
＋
－
40V
50K
i1
i2 ic20K
1
1`
。
。
。
。
eg
oc
sc
sc
oc
eg
egc0
R
u
i
i
u
R
0u iRuu
由图（ b）可知 R吸收的功率：
P=i2R=u2OCR/（ Reg+R） 2
dP/dR=0 R=Reg Pmax=u2oc/4Reg=0.2mw
匹配：当外电阻 R=输入电阻时,R吸收功率最大例 4-9一含源一端口外接 R可调，问 R多少时,R获得功率最大？ Pmax=？
10v
i1
uoc5k
3mA
20K
16K
R
i
＋
－
。
。
＋
－
解：先求出等效电路：开路电压 uoc，
i=-（ 60+10） /（ 5+20） =-
70/25,i1=-70/25+3=1/5mA
所以 uoc=20× 103× 0.2× 10-3=4V,
令,10V为 0,3mA为 0，电阻串、并联，
公式,Reg=5× 20/（ 5+20） +16=20K?
20K
4V
＋
－
R
i
(b)
本章小结,1、叠加定理 2、替代定理
3、戴维宁定理和诺顿定理,最大功率作业,4-1,4-2,4-5,4-7,4-9,4-10,4-11
(a)中独立源 us1,is求 i2和 u1
对（ a）,us1=R1（ i2-is） +R2i2
us1=（ R1+R2） i2-R1is
（ R1+R2） i2=us1+R1is
＋
－ us1 R2
R1
i?
isi2u1＋
－
（ a）
＋
－
us1
i?
＋ －
R1
R2
)1(1u )2(2i
R1＋ －
iR1
)2(1u
R2
1
2i i
s
（ b） （ c）
第四章 电路定理
与电流反向注意负号由图由图单独作用时产的响应聘图时的值是单独作用时产生的响应图时的值是的线性组合写成和分别是和看出从
u i
RR
RR
u i
RR
R
i c
u
RR
R
u
RR
u
i b
I c 0u u i uuu
U b 0i ui iii
i u u i(1 )
(1 ) i
RR
RR
u
RR
R
)i
RR
RR
i
RR
R
(Ru
RR
R
)ii
RR
R
RR
u
(R)ii(Ru
is
RR
R
RR
u
i
2
1S
21
21
2
1S
21
1
2
2
S
21
1
1
1
21
s
1
2
Cs
2
2
2
2
2
2
1
22
Ss
1
2
1
2
2
2
1
22
ss12
S
21
21
S
21
1
S
21
21
S
21
1
1S
21
1
sS
21
1
21
s
1s211
21
1
21
s
2
、
、
与（ 1）式一致
＋
－
us1
i?
＋ －
R1
R2
)1(1u12i
（ b）
)2(2i
R1＋ －
iR1
)2(1u
R2 is
（ c）
叠 加定理：线性电阻电路中，任一电压或电流，都是电路中各独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。
*含有受控电源叠加定理仍然成立，只是受控源保流在分电路图中。
例 4-2如图所示，求 u3
+10V单独作用的电路图（ b）
由（ b）知：
)v(6.196.256uuu
6.25
4.24)6.1(10i4i10u
4.2i4i
A6.14
46
4
i
6410i4i - 1 0 u
1A
46
10
i i
2
3
1
33
2
2
2
1
2
3
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
由（ c）知：
＋
－
10V R2=4
R1=6i
1?
i2u1＋ －
（ a）
4A＋
－ u3
＋ －10i1
10
)2(2i
R1＋ －
)2(1u R
2
)2(1i
)2(3u
＋
－
4A
＋ －
＋
－
10
＋ －
R1
R2)1(1u 12i
)1(1i ＋ －
10
＋
－
)1(3u
)1(1i
（ b）
)2(1i
（ c）
齐次定理：
当所有激励（电压源和电流源）都同时增大 K培或同时缩小 K培，则响应（电压和电流）也同样扩大 K倍或缩小 K倍。
（有关内容自学）
4-2替代定理（可推广到非线性电路）
以例说明：图示（ a）可求得 u3=8V,i3=1A，现将支路分别以
us=u3=8V的电压源或 is=i3=1A的电流源替代，如（ b）（ c）。由
（ a）、（ b）、（ c）求得的各电压均一样，可得 i1=2A,i2=1A
20 4V
6 4
8
i1 i3
i2
＋
－
u3
（ a）
20
8V
6 8
i1 i3
i2 u
s=uk
（ b）
20
6 8
i1 i3
i2 i
s=1
A
（ c）
替代定理：第 K条支路的电压 uk和电流 ik为已知，那么此支路就可以用一个 us=uk或 is=ik的电压源或电流源替代，前后电路其余各量均不变
8i2-20+6i1=0得,i3=1
4i3+4-8i2=0 u3=8V
i1=i2+i3 i2=1,i1=2
+
- -
由（ b）和（ c）求出的 i1=2,i2=1A
与（ a）一样注,is方向,us方向第四周三上
--
-
4-3戴维宁定理和诺顿定理
1、对于不含独立源的一端口网络：
由齐次定理可知,U/I=常数（即输入电阻）此二端口可用 R代替
2、戴维定理：对于含独立源的一端口网络怎样替代？含独立源的一端口称“含源一端口”
设 NS含独立源的一端口，在 1-1`与外电路连接，现在将外电路移去，
NS内的独立源在 1-1`处产生的电压 U0C----开路电压
NS内的所有独立源置 0，得 N0,1-1`看进去的电阻 Reg— 等效电阻定理：“一个含独立源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，
可以用一个电压源和一个电阻串联等效置换” us=uoc R=Reg
NS 外电路
（ a）
1`
uoc
＋
-
Reg
＋
－
外电路
1
NS
1`
1
（ b）
uoc
N0
1`
1
（ c）
Req
1
1`
（ d）
＋
戴维定理证明如下：
证明：设外电路只有一个 R0，
（ 1）用替代定理，用 is=i代 R0，如图（ b）
（ 2）叠加定理,NS作用,is不作用（ c），此时 u1=u0c; is作用，
NS内电源不作用 (d) N0（电源置 0），此时,u2=-Regi
所以 u=u1+u2=uoc-Regi 即（ e）图，毕
R0
i
u
＋
－
（ a）
NS is=i
i
u
＋
－
（ b）
NS
Reg
i1=0
u1=uoc
＋
－
（ c）
NS
i2=i
u2
＋
－
（ d）
N0
is=i
u
＋
－
Req
us=uoc
R0
＋
－
i
（ e）
1
1` 1
1`
解,ab左边用戴维定理
u0c=R2i+us2=40v
因为 i=0
例,4-5已知 US1=40V,US2=40V,R1=4Ω,R2=2 Ω,R3=5
Ω,R4=10 Ω,R5=8 Ω,R6=2 Ω,求 i3
us2u
s1
R3＋
－
R1 R2 R
4
R5
R6
a
b
us2us1
＋
－
R1 R2
a
b
A53.3
33.155
40
RRR
u
i
5
)RR(R
)RR(R
R
33.1
24
24
RR
RR
gRe
eg3
oc
3
654
654
21
21
NS
+
- -
+
NS
+
- -
+
i3
uoc
Req
R
R3
+
-
a
b
i3
NS
解：开路电压 uoc：在 1-1`开路时：
i2=i1+ic=1.75i1
对回路 1列方程有：
5× 103× i1+20× 103i2=40代入 i2=1.75i1
可得 i1=10mA,i2=1.75× 10mA=17,5mA
uoc=20× 103× i2=35v
诺顿定理：一个含有独立源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路等效，可用一个电流源和电导并联替代,isc---短路电流,Geg—
等效电导例 8求含源一端口的戴维宁和诺顿等效电路，含有控制源 ic=0.75i1
。
。
＋
＋
－
－
40V
50Ki1 i
2 ic uoc20K
isc
1-1`短路电流 isc=i1+ic=1.75i1，而 i1=40/5× 103=8mA
所以 isc=1.75i1=14mA,Reg=uoc/isc=35/14× 10-3=2.5KΩ
2.5K
＋
－
35V
戴维宁 诺顿
14mA 2.5K
1
1`
。
。
＋
－
40V
50K
i1
i2 ic20K
1
1`
。
。
。
。
eg
oc
sc
sc
oc
eg
egc0
R
u
i
i
u
R
0u iRuu
由图（ b）可知 R吸收的功率：
P=i2R=u2OCR/（ Reg+R） 2
dP/dR=0 R=Reg Pmax=u2oc/4Reg=0.2mw
匹配：当外电阻 R=输入电阻时,R吸收功率最大例 4-9一含源一端口外接 R可调，问 R多少时,R获得功率最大？ Pmax=？
10v
i1
uoc5k
3mA
20K
16K
R
i
＋
－
。
。
＋
－
解：先求出等效电路：开路电压 uoc，
i=-（ 60+10） /（ 5+20） =-
70/25,i1=-70/25+3=1/5mA
所以 uoc=20× 103× 0.2× 10-3=4V,
令,10V为 0,3mA为 0，电阻串、并联，
公式,Reg=5× 20/（ 5+20） +16=20K?
20K
4V
＋
－
R
i
(b)
本章小结,1、叠加定理 2、替代定理
3、戴维宁定理和诺顿定理,最大功率作业,4-1,4-2,4-5,4-7,4-9,4-10,4-11
