第十五章 电路方程的矩阵形式
15-1 割集前面讨论了电路的分析方法：回路分析法、结点电压法、建立方程
，当方程的个数少时，人工解可求出未知量，当电路方程多，只有依靠计算机进行了 ----电路的计算机辅助分析与设计。
就要求方程以矩阵的形式表示，怎样建立这种以矩阵表示的方程呢？
割集：连通图 G的一个割集是 G的一个支路集合,1、当移去割集时，
G分成两部分,2、若少一个，则图 G仍将是连通的。
例如：图 G的割集,Q1 Q2 Q3。。。 Q7
Q1,a,d,f若移去 a,d,f则节点（ 1）与 c,b,e构成两部分，移去支路并不移去连接的两个节点。
但支路集合 （ a,d,e,f）和（ a,b,c,d,e）则不是 G 的割集。
因为（ a,d,e,f）若少移去一条支路，则 G 仍分成两部分，也即必须加两条才变成连通的。
第十五章 电路方程的矩阵形式
a b
cd
e
F
Q1
b
c
e
a b
cd
e
少移去一个仍连通移去割集 G分成两部分
a b
cd
e
f
Q3
a b
cd
e
f
Q4
a b
cd
e
f
Q5
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
a b
cd
e
f
Q6 a b
cd
e
f
Q7
找割集的方法：用闭合曲面包某几个结点（但不可全包），则切割的那些支路是一个割集。
独立割集：方程数与割集数相等，因为 KCL方程适合于任何曲面。
一个包含若干个结点的曲面可列一个 KCL方程，总共可列出与割集数相等的方程数，但这些方程数并不一定是线性独立的。
与线性独立相对应的那些割集称为独立割集，
借助树确定独立割集的方法：
①
②
④
③
①
②
③
④
（ 1）与树对应的连支集合不能构成割 集：
因为移去全部连支，则剩下的是树，而树是连通的，不能分成两个部分
T1 T
2G
bt
L1
L2
L3
（ 2）基本割集：（又称单树支割集）
一条树支 +相应的一些连支构成支路集合。
对于下图中移去 bt，则树分成两部分 T1和 T2，所以连支 L1,L2,L3
和树支 bt构成割集。
对于 n个结点，有 n-1树支，所以有（ n-1）个基本割集，基本割集是独立割集组。
对于 n个结点，独立割集数有（ n-1）个独立割集组不唯一，因为选树不唯一?
例：选（ 2346）为树，则基本割集组为 Q1 （ 21578）,Q2（ 3158）、
Q3（ 415）,Q4（ 6578）
独立割集数 =树支数
1
23
4 5
6
7
8
1
23
4 5
6
7
8
Q1
1
23
4 5
6
7
8
Q2
1
23
4 5
6
7
8
Q3
1
23
4 5
6
7
8
Q4
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、关联矩阵及有关方程：
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
相关联：一条支路连接两个结点，
称该支路与这两个结点相关联关联矩阵,Aa它的行 -----结点列 -----支路每个元素定义如下,ajk=+1表示支路 K与结点 j关联且它的方向背离结点。
ajk=-1表示支路 k与结点 j关联且它的方向指向结点。
ajk=0表示支路 k与结点 j无关联。
例：对于图 15-4所示的有向图，
它的关联矩阵为：
1 2 3 4 5 6
1 -1 -1 +1 0 0 0
2 0 0 -1 -1 0 +1
3 +1 0 0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1 -1
Aa=
结点支路
①
②
③
④
关联矩阵特点,1、每一列只有两个非零元素 +1或 -1
2,n个不是独立的降阶关联矩阵,Aa的任一行划去而剩下的元素构成的矩阵例：上面 划去 An第 4行
A=
1 2 3 4 5 6
1 -1 -1 +1 0 0 0
2 0 0 -1 -1 0 +1
3 +1 0 0 +1 +1 0
此时,A中某一此列只有 +1
或 -1，这列必与划去的结点相关联一支路，相对应。被划去的行（结点），可当作参考结点。
电路中 b 个支路电流用 b阶列向量表示：
用 A（ n-1） × b左乘 ib× 1得（ n-1）行的列向量
Tb21
b
2
1
i...i,i
i
i
i
i?
.................
i2
i1
Ai
的结点的结点
矩阵右边是数和为任何一个结点的电流代而
00iA
00K C L
和上关联的支路电流代数即每一元素为对应结点例：上面的 A 则 0iii
0
0
0
iii
iii
iii
Ai 32
541
643
32
1
1
即
的矩阵表示点相关联情况表示每一支路与对应结的每一行的每一列即阶列向量表示个结点电压用个阶列向量表示个支路电压可用电路中
K V LuAu
AA
.,,u u uu1-n)1n(
.,,u u uubb
n
T
T
T
1)-n ( nn2n1n
T
b21
2n
3n
3n2n
2n1n
1n
3n1n
3n
2n
1n
u
u
uu
uu
u
uu
u
u
u
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 0 1
u6
u5
u4
u3
u2
u1
上面例
（ 1）
（ 3）
u1
取 -1
取 +1○
○
---
Bf
1 1- 1 0 0 0 3
1 0 0 1 1 0 2
1 1- 0 1 0 1 1
6 5 4 3 2 1
B 3
B j k
1B
1B B
jk
jk
构成一个回路其它为树支一个连支一个回路中只有连支回路组回路组对应一个树的单基本回路矩阵个选独立回路独立回路的矩阵独立回路矩阵无且方向相反回路中有该支路且方向一致回路中有该支路定义回路矩阵则称这些与回路相关联回路由这些支路构成支路与回路相关联
0
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
3 6 5
11
3 6
2 2
6
4
5
3
①
②
③
④
1 1- 0 1 0 0 3
1 0 1 0 1 0 2
1 1- 1 0 0 1 1
6 5 3 4 2 1
fB
124 356
即为连支则支路为树支上图选例
1、连支放在前面
2、取连支方向为绕向
3、将出现一个单位子矩阵
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
3 6 5
1
1 3
6
2 6
4
53
2
①
②
③
④
0
0
0
uu-u
uuu
uu-uu
Bu
K V L0Bu
...,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
u2
u1
Bu
0 Bu
LBu B
BtIBf
654
632
6531
L
有对于上图独立回路的矩阵形式中的回路中的回路应为路中的支路电压代数和中的每一元素是一个回阶列向量是支路的关联情况的每一行反应了回路与因为
321
31
3
21
2
1
3
2
1
111
101
100
011
010
001
LLL
LL
L
LL
L
L
L
l
L
6
5
4
3
2
1
L
T
T
T
LL L2L1L
iii
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
K C LiBi
B
i i ii
LL
由上面例方程用矩阵表示的按矩阵的乘法规则有支路与回路的关联情况的每一行表示每一对应每一列也即阶列向量表示个独立回路电流可用
不含该支路且两个方向相反表示该支路在割集中且两个方向一致表示该支路在割集中定义如下其中元素割集矩阵的矩阵这样能的方向每一个割集只有两个可向称为割集的方向一部分指向另一部的方从其中分成两部分后移去割集所有的支路定一个割集方向并指割集编号对每一个则独立割集数为设结点数独立割集矩阵与割集关联构成割集的支路称支路与割集关联
0?
k
j
k
j
k
j
ik
q
1q
1q
q b1-n
G
1-nn
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
例
3
2 i2
1
Q1? 4
5 i5
1 i1
Q2
4
2
6
1
Q3
独立割集数 =3，选一组割集如图，则对应的割集矩阵为：
列对应支路行对应割集
1010113
0110012
0001111
654321
（ b）
①
②
③
④
基本割集矩阵：选一组单树支割集为一组独立割集，用 Qf表示写 Qf时，把（ n-1）树支放在前 n-1列，后写连支，树支方向为割集方向。则 Qf=〔 It︰ QL〕
例：上例中选 3,5,6为树支，一组单树支割集见（ b）
列对应支路行对应割集
1111003
1010102
0110011
421653
f
因为属于一个割集所有支路电流的代数和等于零，曲面包结点，流入出结点电流和为 0
所以,Qi=0------Q矩阵表示的 KCL方程例：上例独立割集（ b）则列对应支路行对应割集
iiii
iii
iii
i
i
i
i
i
i
0
0
0
101011
011001
000111
6421
541
321
6
5
4
3
2
1
电路中（ n-1）个树支电压，可用（ n-1）阶列向量表示，即：
ut=（ ut1 ut2。。。 ut（ n-1） ） T
因为选独立割 集一般是选单树支割集，所以树支电压又是独立割集电压。
因为 Q反映了支路与割集的关联情况，所以由矩阵相乘规则有：
u=QfTut--------Q矩阵形式表示的 KvL方程例：上例中若选 3,5,6为树支，则 u=[u3 u5 u6 u1 u2 u4]
3t2t
3t1t
3t2t1t
3t
2t
1t
3t
2t
1t
T
f
uu
uu
uuu
u
u
u
u
u
u
110
101
111
100
010
001
uQu
t
支路电压列向量支路电流列向量设条支路有第合时当电路中电感之间无耦应的运算形式若是运算电路则采用相不含它们的组合阻抗即复合支路和内容如下本课程规定支路的结构支路电路约束方程由前面知式回路电流方程的矩阵形
T
bk21
T
bk21
skskkkk
k
kkk
L
T
U,,,U,,,U UU
I.,,I,,,I II
UIIZU
K
)(
)
cj
1
Lj (R---Z
0Bu K V L
iBi K C L
1
415
○ ○
＋ －U
k
·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· ·
· ·
Usk独立电压源
Isk独立电流源
·
·
＋－
sge2
2
ge1g1g
s2eg2ge1212
s1eg1ge212e111
sb
ks
s
s
sbb
S
S
b
k
b
k
T
sbksss
T
sbksss
U-IMj.,,IMjU
.,,
U-IMj.,,IMjU
U-IMj.,,IMjIzU
q
1 1
)(---z -(1 )-----sU-s)II(ZU
U
U
U
U
II
.,,
II
II
z
z
z
z
U
U
U
U
]U,,,U U U[sU
]I,,,I I I[sI
则有支路之间相互均有耦合路至第支设第式还应计及耦合电压合时当电路中电感之间有耦对角阵支路阻抗矩阵即对整个电路有量支路电压源的电压列向量支路电流源的电流列向
2
000
000
000
000
2
1
22
11
2
1
2
1
21
21
b
h
ggg
g
g
b
h
g
2
1
sbebbb
skehhk
1212se
z.,,
z.,,
.,,zMjMj
.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,
.,,Mj.,,.,,ZMj
.,,Mj.,,Mj.,,z
U
U
U
U
U
UIzU
.,,
UIzU
---MM III
00
000
000
00
00
21
2221
1121
111
用下列式表示支路电压和电流的关系合其余支路之间由于无耦
sbb
shh
sgg
2S2
1s1
II
...
II
II
...
II
II
不再是对角阵写成 ---z UIIZU
U
U
U
...
U
U
ss
sb
sh
sg
s2
s1
称回路阻抗方阵回路方程的矩阵形式代入代入支路方程
T
L
ssL
T
L
T
B Z BZ
B Z I-BUIB Z B4( 1 )
( 4 ) 0sUB-sIBZIBZ
0s]U-s)IIB [ Z ( ( 2 )( 3 ) ( 3 ) sU-s)IIZ(U
( 2 ) 0UB K V L
( 1 ) IBI k c L
·· ·
例：电路如图 15-9。用矩阵形式列出回路的回路电流方程
Is1
R1
jωL4
jωL3
1/jωC5 Us2
R2
＋
－
(a)
1 2
3
4
5
1 2
(b)
解；有向图见 b选取 1,2,5为树支，两个单连支回路 1,2见（ b）
矩阵形式代入回路方程对角阵
T
T
2s
5
4321
00001sIsI
000U0sU
cj
1
Lj Lj R RZ
110102
101011
54321
B
·
·
0
0
0
0
1Is
Cj
1
Lj
Lj
R
1R
11010
10101
0
0
0
2Us
0
11010
10101
I
I
11
10
01
10
01
Cj
1
Lj
Lj
R
1R
11010
10101
5
4
3
2
2L
1L
5
4
3
2
回路方程的矩阵形式
2s
1s1
2L
1L
5
42
5
55
331
U
IR
I
I
Cj
1
jR
Cj
1
Cj
1
Cj
1
LjR
15-5 结点电压方程的矩阵形式由前面可知,u=ATun
Ai=0 i-----支路电流列向量采用复合支路为：（仅增加了受控电流源，不允许受控电压源）
1、当支路中无受控电流源时，无电感耦合
IK=YKUek-Isk=YK(UK+Usk)-Isk
对整个电路有,I=Y（ U+US） -IS Y---导纳矩阵
○ ○
＋ －
Uk·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· ·
· ·
·
＋－Uek＋ －
Idk
·
····
······
2、当无受控源，但有耦合时，
由前面的讨论知：支路阻抗矩阵 Z不再是对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，其余的为互感阻抗。若令 Y=Z-1，
则由 U=Z（ I+IS） -US得
YU=I+IS-YUS 或 I=Y（ U+US） -IS与上式形式同，但 Y不同。
3、含有受控源时：设第 K支路含有受控源并受第 j支路的电压 Uej
或电流 Iej控制，如图,Idk=gkjUej或 Idk=βkjIej
○ ○
＋ －
Uk·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· · ·· ＋
－Uek＋ －
Idk
○ ○
＋ －U
j
·
Ij
Iej
Zj(Yj)Isj
Usj
· ·
· ·
·
·
＋－Uej＋ －
· · · ·
· · · · · · · ·
· · · · ·
此时，第 K支路有； Ik=Yk（ UK+USK） +Idk-Isk
在 VCCS情况下，上式 Idk=gkj（ Uj+Usj）
因为 Iej=YjUej=Yj（ Uj+Usj）
在 CCCS情况下，上式 Idk=βkjYj（ Uj+Usj）
sb
sk
sj
s
s
sbb
skk
sjj
s
s
b
kkj
j
b
k
j
I
.
I
.
I
.
I
I
UU
.
UU
.
UU
.
UU
UU
Y
.
YY
.
Y
.
Y
Y
I
.
I
.
I
.
I
I
2
1
22
11
2
1
2
1
0000000
0000000
000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
· · · · ·
· · ·
·
·
· · ·
· · · 内容不同时为当时为当式中
Y sI)sUU(YI
)CCCSI(Y
)VCCSI(g
Y
dkjkj
dkkj
jk
式结点电压方程的矩阵形代入代入支路方程
----UAY-IAUA Y A
2 0IA-UAYUAY
sI-s)UUY(A
3 3---sI-s)UUY(I
2 ---UAU K V L
1 ---0I Ak c L
ssn
T
ss
n
T
0
1
重点，必考例：电路如图 15-12所示，图中元件的数字下标代表支路编号。列出电路的结点电压方程（矩阵形式）
3
1
6
2
5
4
R5R3
C6
is4
R4
is3
L1
L2
解：有向图（ b），选 4为参考结点，关联矩阵；
(a) (b)
0110103
1000112
0011011
654321
A
① ③②
④ ④
② ③①
3
2
1
25424
2
6
211
41143
6
543
11111
1111
11111
n
n
n
sn
T
21
T
s4s3s
U
U
U
LjRRLjR
Lj
Cj
LjLjLj
RLjLjRR
IAUYA A
Cj,
R
1
,
R
1
,
R
1
,
Lj
1
,
Lj
1
d i a gY
0) 0 I I 0 (0I
0sU
结点电压方程支路导纳矩阵为电流源列向量为电压源向量
4
43
0
s
ss
I
II
=
支路导纳矩阵解式写出支路方程的矩阵形设是它的有向图号图中元件的下标代表编所示电路如图例
II UgI
b
13-15
646d4121d2
1
5
3
6
2
4
0
R2R1
C3
is4
is1 u
s2
0
L5
L6
＋
－
u1 ＋
－
id2
·C4
id4
i6
us4＋
－
① ② ③ ②① ③
电流控制?
6
j
Lj
1
Y
Lj
Lj
Lj
cj
cj
R
g
R
Y
6
5
6
46
4
3
2
21
1
1
00000
0
1
0000
0000
00000
0000
1
00000
1
电流源向量,IS=[IS1 0 0 -IS4 0 0]T
US=[0 -US2 0 US4 0 0]T
支路方程的矩阵形式为：
· ·
· · ·
6
5
4
3
2
1
I
I
I
I
I
I
6
5
6
46
4
3
2
21
1
1
00000
0
1
0000
0000
00000
0000
1
00000
1
Lj
Lj
Lj
cj
cj
R
g
R
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
6
5
44
3
22
1
s
s
s
s
I
I
U
U
UU
U
UU
U
23234231
4223421
4223331
42231
4223
331
1
T
4223
331
1
gGGGGg
GGgGGG
11
10
01
GGgGg
GGgG
11
10
01
GGg0
0Gg
00G
110
101
AYA
0
GGg0
0Gg
00G
Y
11
10
01
110
101
A
SS1S
T
U 0II
A
G4
G2
G1 G3
+
_
+
_
g23u3
g31u1
u3u1is1
例：对于图示电路，试写出节点电压的矩阵形式。
①
② ③
1
3
2
0
i
U
U
gGGGGg
GGgGGG 1s
2n
1n
23234231
4223421
其矩阵方程为
15-6 割集电压方程的矩阵形式由前知 u=Qtfut 即支路电压可用树支电压表示。但当所选独立割集不是基本割集组时（含一个树支），这时割集电压系指被割集划分的两部分结点之间的电压，可理解为一种假想的电压，像回路电流一样，以割集电压为独立变量的分析法称为割集电压法。
前面已导出； KCL QfI=0 （ 1）
KvL U=QTfUf (2)
支路方程,I=YU+YUs-Is （ 3） （ 3）代入（ 1）
Qf（ YU+YUs-Is） =0 （ 2）代入 Qf[YQfTUf+YUs-Is]=0
QfYQfTUt=QfIs-QfYUs--------割集电压法方程例：以运算形式写出图 15-14所示电路的割集电压方程的矩阵形式，
设 L3,L4,C5的初始条件为零。
·
· ·
· · · ·
· · · · · ·
· · ·
jωL3
Is1
R1
jωL4
1/jωC5
is2R
2
(a)
1 2
3
4
5
1
(b)
Q1
Q3
Q2Ut1
Ut2
Ut3
解：有向图（ b）选 1,2,3为树支,3个单树支割集如虚线示，树支电压 Ut1,Ut2,Ut3也就是割集电压，它们的方向也是割集的方向，
基本割集矩阵 Qf为：
SC
SL
1
SL
1
R
1
R
1
d i a gY ( S )
0U s ( s ) Qf
5
4321
支路导纳矩阵为用拉氏变换表示有
11100
01010
11001
jω S
S(t=0)
0
2
1
)s(I
)s(I
( S )U
( s )U
( s )U
SC
SL
1
SL
1
SL
1
SC
SL
1
SL
1
SL
1
R
1
SL
1
SC
SL
1
SL
1
-SC
SL
1
R
1
000( S )I( s )I( S )I
s
s
t2
t2
t1
5
434
5
4
4424
5
44
5
41
T
s2s1s
代入割集方程
R
＋
－ u（ t）
L
iL
Cuc
＋
－
。 。
15-8 状态方程状态变量：电路中一组独立的动态变量例；以电容电压为变量的微分方程
)(0i )(0u
uu
dt
duRC
dt
udLC
Lc
sc
c
2
c
2
二阶线性方程
L
B
L
R
L
C
AuB
x
x
A
X
X
dt
di
X
dt
du
X ix ux
u
L
i
u
L
R
L
C
dt
di
dt
du
i u
)(u
L
i
L
R
u
Ldt
di
uRiu
dt
di
L
i
Cdt
du
i
dt
du
C
iu
s
2
1
2
1
L
2
c
1L2c1
s
L
c
L
c
Lc
sLc
L
cLs
L
L
c
L
c
Lc
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
2015
11
0
1
0
则令用矩阵表示这就是状态方程方程式一组变量的一阶的微分以程则有作为变量列上述电路方和若以
向量微分方程方程的标准形式状态则令
BAXX
u X2X X
xx x
s
T
1
T
21
BAXx
i
u
L
R
L
L
i
i
u
L
RR
L
R
L
L
R
L
R
L
cc
dt
di
dt
di
dt
du
u)ii(Ru)ii(Ruuuu
dt
di
L
uu)ii(Ruuu
dt
di
L
K V L
ii
dt
duc
C
K C L1
i i u
K V LL K C LC *
s
s
c
c
sscsRcR
scscR
21c
或写成矩阵形式回路方程列结点为状态变量写状态方程以例回路写含点结点含状态方程对于简单电路直观法写
2
2
2
1
2
1
2
21
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2221121
2
2
2111
1
1
21
1
0
1
00
1
1
11
0
1
＋
－
us
R1
① ＋－
uC
i2
i1
L1
L2
R2
is
② ③2
I
II
对于复杂的电路用“特有树”写状态方程：
特有树：树支 --电压源支路和电容支路，对单电容树支割集写 KCL
方程，
连支 ---电流源支路和电感支路，对单电感树连支回路写 KVL方程，
消除中间变量，写成矩阵形式，得状态方程。
例 15-6列出图 15-19所示电路的状态方程
①
0
② ③
④
C3 C4C2
＋ －
us1 R6
G5
is9
L8
L7
·
1
2 3 4 5
67
8 9（ b）
一条支路只含有一个元件解：选树 b，单树支 2,3,4分别确定的割集 Q2,Q3,Q4（只含有电容）写
KCL方程
86447633722 iidt
duc ii
dt
duc i
dt
duc
⑤
由连支 7,8确定的基本回路（一个连支一条回路）
1
64
8
3
4
64
3
64
4
1
63
7
3
4
63
3
63
3
8
7
2
2
7
431
6
6
6
6
98
5
5
5
5
54
8
8
32
7
7
1111
1111
1
11
11
s
s
S9
85
8
85
4
8
3
7
2
7
s
65
u
Rc
i
c
u
Rc
u
Rcdt
du
u
Rc
i
c
u
Rc
u
Rcdt
du
i
LG
1
-i
LG
1
-u
L
1
-
dt
di
i
cdt
du
u
L
1
-u
L
1
-
dt
di
)uuu(
R
u
R
i
)ii(
G
i
G
u
u uuu
dt
di
L
uu
dt
di
L
消除非状态变量
9
1
85
64
63
858
77
46464
36363
2
1
0
00
0
1
0
1
00
1
0
1
00
000
11
1
0
11
0
0
111
0
0
1
000
s
s
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
8574433221
i
u
LG
Rc
Rc
x
x
x
x
x
LGL
LL
cRcRc
cRcRc
c
x
x
x
x
x
ix ix ux ux ux
有如
--------状态方程输出 方程：某些感兴趣的量与状态变量及输入量的关系式上例中，若以结点 1,2,3,4的电压作输出，则有状态变量输出输入一般等式写成矩阵形式
Dcxy
i
u
G
i
i
u
u
u
G
u
u
u
u
u)ii(
G
uuu
uu
uu
uu
s
s
7
4
3
2
n4
n3
n2
n1
sn
n
n
n
9
1
5
8
5
498
5
454
43
32
21
1
0
00
00
00
1
0100
00100
00010
00001
1
作业； 17-8
本章小结,1、回路电流方程的矩阵形式
2、结点电压方程的矩阵形式
3、割集电压方程的矩阵形式
4、状态方程
15-1 割集前面讨论了电路的分析方法：回路分析法、结点电压法、建立方程
，当方程的个数少时，人工解可求出未知量，当电路方程多，只有依靠计算机进行了 ----电路的计算机辅助分析与设计。
就要求方程以矩阵的形式表示，怎样建立这种以矩阵表示的方程呢？
割集：连通图 G的一个割集是 G的一个支路集合,1、当移去割集时，
G分成两部分,2、若少一个，则图 G仍将是连通的。
例如：图 G的割集,Q1 Q2 Q3。。。 Q7
Q1,a,d,f若移去 a,d,f则节点（ 1）与 c,b,e构成两部分，移去支路并不移去连接的两个节点。
但支路集合 （ a,d,e,f）和（ a,b,c,d,e）则不是 G 的割集。
因为（ a,d,e,f）若少移去一条支路，则 G 仍分成两部分，也即必须加两条才变成连通的。
第十五章 电路方程的矩阵形式
a b
cd
e
F
Q1
b
c
e
a b
cd
e
少移去一个仍连通移去割集 G分成两部分
a b
cd
e
f
Q3
a b
cd
e
f
Q4
a b
cd
e
f
Q5
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
a b
cd
e
f
Q6 a b
cd
e
f
Q7
找割集的方法：用闭合曲面包某几个结点（但不可全包），则切割的那些支路是一个割集。
独立割集：方程数与割集数相等，因为 KCL方程适合于任何曲面。
一个包含若干个结点的曲面可列一个 KCL方程，总共可列出与割集数相等的方程数，但这些方程数并不一定是线性独立的。
与线性独立相对应的那些割集称为独立割集，
借助树确定独立割集的方法：
①
②
④
③
①
②
③
④
（ 1）与树对应的连支集合不能构成割 集：
因为移去全部连支，则剩下的是树，而树是连通的，不能分成两个部分
T1 T
2G
bt
L1
L2
L3
（ 2）基本割集：（又称单树支割集）
一条树支 +相应的一些连支构成支路集合。
对于下图中移去 bt，则树分成两部分 T1和 T2，所以连支 L1,L2,L3
和树支 bt构成割集。
对于 n个结点，有 n-1树支，所以有（ n-1）个基本割集，基本割集是独立割集组。
对于 n个结点，独立割集数有（ n-1）个独立割集组不唯一，因为选树不唯一?
例：选（ 2346）为树，则基本割集组为 Q1 （ 21578）,Q2（ 3158）、
Q3（ 415）,Q4（ 6578）
独立割集数 =树支数
1
23
4 5
6
7
8
1
23
4 5
6
7
8
Q1
1
23
4 5
6
7
8
Q2
1
23
4 5
6
7
8
Q3
1
23
4 5
6
7
8
Q4
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、关联矩阵及有关方程：
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
相关联：一条支路连接两个结点，
称该支路与这两个结点相关联关联矩阵,Aa它的行 -----结点列 -----支路每个元素定义如下,ajk=+1表示支路 K与结点 j关联且它的方向背离结点。
ajk=-1表示支路 k与结点 j关联且它的方向指向结点。
ajk=0表示支路 k与结点 j无关联。
例：对于图 15-4所示的有向图，
它的关联矩阵为：
1 2 3 4 5 6
1 -1 -1 +1 0 0 0
2 0 0 -1 -1 0 +1
3 +1 0 0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1 -1
Aa=
结点支路
①
②
③
④
关联矩阵特点,1、每一列只有两个非零元素 +1或 -1
2,n个不是独立的降阶关联矩阵,Aa的任一行划去而剩下的元素构成的矩阵例：上面 划去 An第 4行
A=
1 2 3 4 5 6
1 -1 -1 +1 0 0 0
2 0 0 -1 -1 0 +1
3 +1 0 0 +1 +1 0
此时,A中某一此列只有 +1
或 -1，这列必与划去的结点相关联一支路，相对应。被划去的行（结点），可当作参考结点。
电路中 b 个支路电流用 b阶列向量表示：
用 A（ n-1） × b左乘 ib× 1得（ n-1）行的列向量
Tb21
b
2
1
i...i,i
i
i
i
i?
.................
i2
i1
Ai
的结点的结点
矩阵右边是数和为任何一个结点的电流代而
00iA
00K C L
和上关联的支路电流代数即每一元素为对应结点例：上面的 A 则 0iii
0
0
0
iii
iii
iii
Ai 32
541
643
32
1
1
即
的矩阵表示点相关联情况表示每一支路与对应结的每一行的每一列即阶列向量表示个结点电压用个阶列向量表示个支路电压可用电路中
K V LuAu
AA
.,,u u uu1-n)1n(
.,,u u uubb
n
T
T
T
1)-n ( nn2n1n
T
b21
2n
3n
3n2n
2n1n
1n
3n1n
3n
2n
1n
u
u
uu
uu
u
uu
u
u
u
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 0 1
u6
u5
u4
u3
u2
u1
上面例
（ 1）
（ 3）
u1
取 -1
取 +1○
○
---
Bf
1 1- 1 0 0 0 3
1 0 0 1 1 0 2
1 1- 0 1 0 1 1
6 5 4 3 2 1
B 3
B j k
1B
1B B
jk
jk
构成一个回路其它为树支一个连支一个回路中只有连支回路组回路组对应一个树的单基本回路矩阵个选独立回路独立回路的矩阵独立回路矩阵无且方向相反回路中有该支路且方向一致回路中有该支路定义回路矩阵则称这些与回路相关联回路由这些支路构成支路与回路相关联
0
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
3 6 5
11
3 6
2 2
6
4
5
3
①
②
③
④
1 1- 0 1 0 0 3
1 0 1 0 1 0 2
1 1- 1 0 0 1 1
6 5 3 4 2 1
fB
124 356
即为连支则支路为树支上图选例
1、连支放在前面
2、取连支方向为绕向
3、将出现一个单位子矩阵
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
3 6 5
1
1 3
6
2 6
4
53
2
①
②
③
④
0
0
0
uu-u
uuu
uu-uu
Bu
K V L0Bu
...,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
u2
u1
Bu
0 Bu
LBu B
BtIBf
654
632
6531
L
有对于上图独立回路的矩阵形式中的回路中的回路应为路中的支路电压代数和中的每一元素是一个回阶列向量是支路的关联情况的每一行反应了回路与因为
321
31
3
21
2
1
3
2
1
111
101
100
011
010
001
LLL
LL
L
LL
L
L
L
l
L
6
5
4
3
2
1
L
T
T
T
LL L2L1L
iii
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
K C LiBi
B
i i ii
LL
由上面例方程用矩阵表示的按矩阵的乘法规则有支路与回路的关联情况的每一行表示每一对应每一列也即阶列向量表示个独立回路电流可用
不含该支路且两个方向相反表示该支路在割集中且两个方向一致表示该支路在割集中定义如下其中元素割集矩阵的矩阵这样能的方向每一个割集只有两个可向称为割集的方向一部分指向另一部的方从其中分成两部分后移去割集所有的支路定一个割集方向并指割集编号对每一个则独立割集数为设结点数独立割集矩阵与割集关联构成割集的支路称支路与割集关联
0?
k
j
k
j
k
j
ik
q
1q
1q
q b1-n
G
1-nn
3 i3 4 i4
5 i52 i2
6 i6
1 i1
例
3
2 i2
1
Q1? 4
5 i5
1 i1
Q2
4
2
6
1
Q3
独立割集数 =3，选一组割集如图，则对应的割集矩阵为：
列对应支路行对应割集
1010113
0110012
0001111
654321
（ b）
①
②
③
④
基本割集矩阵：选一组单树支割集为一组独立割集，用 Qf表示写 Qf时，把（ n-1）树支放在前 n-1列，后写连支，树支方向为割集方向。则 Qf=〔 It︰ QL〕
例：上例中选 3,5,6为树支，一组单树支割集见（ b）
列对应支路行对应割集
1111003
1010102
0110011
421653
f
因为属于一个割集所有支路电流的代数和等于零，曲面包结点，流入出结点电流和为 0
所以,Qi=0------Q矩阵表示的 KCL方程例：上例独立割集（ b）则列对应支路行对应割集
iiii
iii
iii
i
i
i
i
i
i
0
0
0
101011
011001
000111
6421
541
321
6
5
4
3
2
1
电路中（ n-1）个树支电压，可用（ n-1）阶列向量表示，即：
ut=（ ut1 ut2。。。 ut（ n-1） ） T
因为选独立割 集一般是选单树支割集，所以树支电压又是独立割集电压。
因为 Q反映了支路与割集的关联情况，所以由矩阵相乘规则有：
u=QfTut--------Q矩阵形式表示的 KvL方程例：上例中若选 3,5,6为树支，则 u=[u3 u5 u6 u1 u2 u4]
3t2t
3t1t
3t2t1t
3t
2t
1t
3t
2t
1t
T
f
uu
uu
uuu
u
u
u
u
u
u
110
101
111
100
010
001
uQu
t
支路电压列向量支路电流列向量设条支路有第合时当电路中电感之间无耦应的运算形式若是运算电路则采用相不含它们的组合阻抗即复合支路和内容如下本课程规定支路的结构支路电路约束方程由前面知式回路电流方程的矩阵形
T
bk21
T
bk21
skskkkk
k
kkk
L
T
U,,,U,,,U UU
I.,,I,,,I II
UIIZU
K
)(
)
cj
1
Lj (R---Z
0Bu K V L
iBi K C L
1
415
○ ○
＋ －U
k
·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· ·
· ·
Usk独立电压源
Isk独立电流源
·
·
＋－
sge2
2
ge1g1g
s2eg2ge1212
s1eg1ge212e111
sb
ks
s
s
sbb
S
S
b
k
b
k
T
sbksss
T
sbksss
U-IMj.,,IMjU
.,,
U-IMj.,,IMjU
U-IMj.,,IMjIzU
q
1 1
)(---z -(1 )-----sU-s)II(ZU
U
U
U
U
II
.,,
II
II
z
z
z
z
U
U
U
U
]U,,,U U U[sU
]I,,,I I I[sI
则有支路之间相互均有耦合路至第支设第式还应计及耦合电压合时当电路中电感之间有耦对角阵支路阻抗矩阵即对整个电路有量支路电压源的电压列向量支路电流源的电流列向
2
000
000
000
000
2
1
22
11
2
1
2
1
21
21
b
h
ggg
g
g
b
h
g
2
1
sbebbb
skehhk
1212se
z.,,
z.,,
.,,zMjMj
.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,
.,,Mj.,,.,,ZMj
.,,Mj.,,Mj.,,z
U
U
U
U
U
UIzU
.,,
UIzU
---MM III
00
000
000
00
00
21
2221
1121
111
用下列式表示支路电压和电流的关系合其余支路之间由于无耦
sbb
shh
sgg
2S2
1s1
II
...
II
II
...
II
II
不再是对角阵写成 ---z UIIZU
U
U
U
...
U
U
ss
sb
sh
sg
s2
s1
称回路阻抗方阵回路方程的矩阵形式代入代入支路方程
T
L
ssL
T
L
T
B Z BZ
B Z I-BUIB Z B4( 1 )
( 4 ) 0sUB-sIBZIBZ
0s]U-s)IIB [ Z ( ( 2 )( 3 ) ( 3 ) sU-s)IIZ(U
( 2 ) 0UB K V L
( 1 ) IBI k c L
·· ·
例：电路如图 15-9。用矩阵形式列出回路的回路电流方程
Is1
R1
jωL4
jωL3
1/jωC5 Us2
R2
＋
－
(a)
1 2
3
4
5
1 2
(b)
解；有向图见 b选取 1,2,5为树支，两个单连支回路 1,2见（ b）
矩阵形式代入回路方程对角阵
T
T
2s
5
4321
00001sIsI
000U0sU
cj
1
Lj Lj R RZ
110102
101011
54321
B
·
·
0
0
0
0
1Is
Cj
1
Lj
Lj
R
1R
11010
10101
0
0
0
2Us
0
11010
10101
I
I
11
10
01
10
01
Cj
1
Lj
Lj
R
1R
11010
10101
5
4
3
2
2L
1L
5
4
3
2
回路方程的矩阵形式
2s
1s1
2L
1L
5
42
5
55
331
U
IR
I
I
Cj
1
jR
Cj
1
Cj
1
Cj
1
LjR
15-5 结点电压方程的矩阵形式由前面可知,u=ATun
Ai=0 i-----支路电流列向量采用复合支路为：（仅增加了受控电流源，不允许受控电压源）
1、当支路中无受控电流源时，无电感耦合
IK=YKUek-Isk=YK(UK+Usk)-Isk
对整个电路有,I=Y（ U+US） -IS Y---导纳矩阵
○ ○
＋ －
Uk·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· ·
· ·
·
＋－Uek＋ －
Idk
·
····
······
2、当无受控源，但有耦合时，
由前面的讨论知：支路阻抗矩阵 Z不再是对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，其余的为互感阻抗。若令 Y=Z-1，
则由 U=Z（ I+IS） -US得
YU=I+IS-YUS 或 I=Y（ U+US） -IS与上式形式同，但 Y不同。
3、含有受控源时：设第 K支路含有受控源并受第 j支路的电压 Uej
或电流 Iej控制，如图,Idk=gkjUej或 Idk=βkjIej
○ ○
＋ －
Uk·
Ik
Iek
Zk(Yk)Isk
Usk
· ·
· · ·· ＋
－Uek＋ －
Idk
○ ○
＋ －U
j
·
Ij
Iej
Zj(Yj)Isj
Usj
· ·
· ·
·
·
＋－Uej＋ －
· · · ·
· · · · · · · ·
· · · · ·
此时，第 K支路有； Ik=Yk（ UK+USK） +Idk-Isk
在 VCCS情况下，上式 Idk=gkj（ Uj+Usj）
因为 Iej=YjUej=Yj（ Uj+Usj）
在 CCCS情况下，上式 Idk=βkjYj（ Uj+Usj）
sb
sk
sj
s
s
sbb
skk
sjj
s
s
b
kkj
j
b
k
j
I
.
I
.
I
.
I
I
UU
.
UU
.
UU
.
UU
UU
Y
.
YY
.
Y
.
Y
Y
I
.
I
.
I
.
I
I
2
1
22
11
2
1
2
1
0000000
0000000
000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
· · · · ·
· · ·
·
·
· · ·
· · · 内容不同时为当时为当式中
Y sI)sUU(YI
)CCCSI(Y
)VCCSI(g
Y
dkjkj
dkkj
jk
式结点电压方程的矩阵形代入代入支路方程
----UAY-IAUA Y A
2 0IA-UAYUAY
sI-s)UUY(A
3 3---sI-s)UUY(I
2 ---UAU K V L
1 ---0I Ak c L
ssn
T
ss
n
T
0
1
重点，必考例：电路如图 15-12所示，图中元件的数字下标代表支路编号。列出电路的结点电压方程（矩阵形式）
3
1
6
2
5
4
R5R3
C6
is4
R4
is3
L1
L2
解：有向图（ b），选 4为参考结点，关联矩阵；
(a) (b)
0110103
1000112
0011011
654321
A
① ③②
④ ④
② ③①
3
2
1
25424
2
6
211
41143
6
543
11111
1111
11111
n
n
n
sn
T
21
T
s4s3s
U
U
U
LjRRLjR
Lj
Cj
LjLjLj
RLjLjRR
IAUYA A
Cj,
R
1
,
R
1
,
R
1
,
Lj
1
,
Lj
1
d i a gY
0) 0 I I 0 (0I
0sU
结点电压方程支路导纳矩阵为电流源列向量为电压源向量
4
43
0
s
ss
I
II
=
支路导纳矩阵解式写出支路方程的矩阵形设是它的有向图号图中元件的下标代表编所示电路如图例
II UgI
b
13-15
646d4121d2
1
5
3
6
2
4
0
R2R1
C3
is4
is1 u
s2
0
L5
L6
＋
－
u1 ＋
－
id2
·C4
id4
i6
us4＋
－
① ② ③ ②① ③
电流控制?
6
j
Lj
1
Y
Lj
Lj
Lj
cj
cj
R
g
R
Y
6
5
6
46
4
3
2
21
1
1
00000
0
1
0000
0000
00000
0000
1
00000
1
电流源向量,IS=[IS1 0 0 -IS4 0 0]T
US=[0 -US2 0 US4 0 0]T
支路方程的矩阵形式为：
· ·
· · ·
6
5
4
3
2
1
I
I
I
I
I
I
6
5
6
46
4
3
2
21
1
1
00000
0
1
0000
0000
00000
0000
1
00000
1
Lj
Lj
Lj
cj
cj
R
g
R
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
6
5
44
3
22
1
s
s
s
s
I
I
U
U
UU
U
UU
U
23234231
4223421
4223331
42231
4223
331
1
T
4223
331
1
gGGGGg
GGgGGG
11
10
01
GGgGg
GGgG
11
10
01
GGg0
0Gg
00G
110
101
AYA
0
GGg0
0Gg
00G
Y
11
10
01
110
101
A
SS1S
T
U 0II
A
G4
G2
G1 G3
+
_
+
_
g23u3
g31u1
u3u1is1
例：对于图示电路，试写出节点电压的矩阵形式。
①
② ③
1
3
2
0
i
U
U
gGGGGg
GGgGGG 1s
2n
1n
23234231
4223421
其矩阵方程为
15-6 割集电压方程的矩阵形式由前知 u=Qtfut 即支路电压可用树支电压表示。但当所选独立割集不是基本割集组时（含一个树支），这时割集电压系指被割集划分的两部分结点之间的电压，可理解为一种假想的电压，像回路电流一样，以割集电压为独立变量的分析法称为割集电压法。
前面已导出； KCL QfI=0 （ 1）
KvL U=QTfUf (2)
支路方程,I=YU+YUs-Is （ 3） （ 3）代入（ 1）
Qf（ YU+YUs-Is） =0 （ 2）代入 Qf[YQfTUf+YUs-Is]=0
QfYQfTUt=QfIs-QfYUs--------割集电压法方程例：以运算形式写出图 15-14所示电路的割集电压方程的矩阵形式，
设 L3,L4,C5的初始条件为零。
·
· ·
· · · ·
· · · · · ·
· · ·
jωL3
Is1
R1
jωL4
1/jωC5
is2R
2
(a)
1 2
3
4
5
1
(b)
Q1
Q3
Q2Ut1
Ut2
Ut3
解：有向图（ b）选 1,2,3为树支,3个单树支割集如虚线示，树支电压 Ut1,Ut2,Ut3也就是割集电压，它们的方向也是割集的方向，
基本割集矩阵 Qf为：
SC
SL
1
SL
1
R
1
R
1
d i a gY ( S )
0U s ( s ) Qf
5
4321
支路导纳矩阵为用拉氏变换表示有
11100
01010
11001
jω S
S(t=0)
0
2
1
)s(I
)s(I
( S )U
( s )U
( s )U
SC
SL
1
SL
1
SL
1
SC
SL
1
SL
1
SL
1
R
1
SL
1
SC
SL
1
SL
1
-SC
SL
1
R
1
000( S )I( s )I( S )I
s
s
t2
t2
t1
5
434
5
4
4424
5
44
5
41
T
s2s1s
代入割集方程
R
＋
－ u（ t）
L
iL
Cuc
＋
－
。 。
15-8 状态方程状态变量：电路中一组独立的动态变量例；以电容电压为变量的微分方程
)(0i )(0u
uu
dt
duRC
dt
udLC
Lc
sc
c
2
c
2
二阶线性方程
L
B
L
R
L
C
AuB
x
x
A
X
X
dt
di
X
dt
du
X ix ux
u
L
i
u
L
R
L
C
dt
di
dt
du
i u
)(u
L
i
L
R
u
Ldt
di
uRiu
dt
di
L
i
Cdt
du
i
dt
du
C
iu
s
2
1
2
1
L
2
c
1L2c1
s
L
c
L
c
Lc
sLc
L
cLs
L
L
c
L
c
Lc
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
2015
11
0
1
0
则令用矩阵表示这就是状态方程方程式一组变量的一阶的微分以程则有作为变量列上述电路方和若以
向量微分方程方程的标准形式状态则令
BAXX
u X2X X
xx x
s
T
1
T
21
BAXx
i
u
L
R
L
L
i
i
u
L
RR
L
R
L
L
R
L
R
L
cc
dt
di
dt
di
dt
du
u)ii(Ru)ii(Ruuuu
dt
di
L
uu)ii(Ruuu
dt
di
L
K V L
ii
dt
duc
C
K C L1
i i u
K V LL K C LC *
s
s
c
c
sscsRcR
scscR
21c
或写成矩阵形式回路方程列结点为状态变量写状态方程以例回路写含点结点含状态方程对于简单电路直观法写
2
2
2
1
2
1
2
21
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2221121
2
2
2111
1
1
21
1
0
1
00
1
1
11
0
1
＋
－
us
R1
① ＋－
uC
i2
i1
L1
L2
R2
is
② ③2
I
II
对于复杂的电路用“特有树”写状态方程：
特有树：树支 --电压源支路和电容支路，对单电容树支割集写 KCL
方程，
连支 ---电流源支路和电感支路，对单电感树连支回路写 KVL方程，
消除中间变量，写成矩阵形式，得状态方程。
例 15-6列出图 15-19所示电路的状态方程
①
0
② ③
④
C3 C4C2
＋ －
us1 R6
G5
is9
L8
L7
·
1
2 3 4 5
67
8 9（ b）
一条支路只含有一个元件解：选树 b，单树支 2,3,4分别确定的割集 Q2,Q3,Q4（只含有电容）写
KCL方程
86447633722 iidt
duc ii
dt
duc i
dt
duc
⑤
由连支 7,8确定的基本回路（一个连支一条回路）
1
64
8
3
4
64
3
64
4
1
63
7
3
4
63
3
63
3
8
7
2
2
7
431
6
6
6
6
98
5
5
5
5
54
8
8
32
7
7
1111
1111
1
11
11
s
s
S9
85
8
85
4
8
3
7
2
7
s
65
u
Rc
i
c
u
Rc
u
Rcdt
du
u
Rc
i
c
u
Rc
u
Rcdt
du
i
LG
1
-i
LG
1
-u
L
1
-
dt
di
i
cdt
du
u
L
1
-u
L
1
-
dt
di
)uuu(
R
u
R
i
)ii(
G
i
G
u
u uuu
dt
di
L
uu
dt
di
L
消除非状态变量
9
1
85
64
63
858
77
46464
36363
2
1
0
00
0
1
0
1
00
1
0
1
00
000
11
1
0
11
0
0
111
0
0
1
000
s
s
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
8574433221
i
u
LG
Rc
Rc
x
x
x
x
x
LGL
LL
cRcRc
cRcRc
c
x
x
x
x
x
ix ix ux ux ux
有如
--------状态方程输出 方程：某些感兴趣的量与状态变量及输入量的关系式上例中，若以结点 1,2,3,4的电压作输出，则有状态变量输出输入一般等式写成矩阵形式
Dcxy
i
u
G
i
i
u
u
u
G
u
u
u
u
u)ii(
G
uuu
uu
uu
uu
s
s
7
4
3
2
n4
n3
n2
n1
sn
n
n
n
9
1
5
8
5
498
5
454
43
32
21
1
0
00
00
00
1
0100
00100
00010
00001
1
作业； 17-8
本章小结,1、回路电流方程的矩阵形式
2、结点电压方程的矩阵形式
3、割集电压方程的矩阵形式
4、状态方程
