６－１ 动态电路的方程及其初始条件
１、动态电路：含有Ｃ或Ｌ的电路，因为列出的方程含有微分积分特征：当电路的突然变化（电源的断开等），可使电路由一个状态变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程，这种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝０时刻进行的。
o
o
－－换路前的最后的时刻
－－换路后的最初的时刻换路经历的时间为,到?o ＋o
２、经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ）
３、初始条件：ｔ＝０ ＋ 时电路中所求变量的值和（ｎ－１）阶导数的值，ｕ ｃ （０ ＋ ）和 iＬ （０ ＋ ）的值称为独立的初始条件，其它称非独立初立条件。
(1),电容 C 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻 t，
电荷、电压、与电流的关系为：
第六章 一阶电路若在 0-到 0+间,uL为有限值，则积分值为 0，所以电容电压不能跳变为有限值时积分项为当令
)(ou)(ou
0i )(
1
)0()0(
)()0()0(
0t -0t )(
1
)()(
)()()(
cc
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dic
c
uu
diqq
di
c
tutu
ditqtq
cc
t
t
ccc
t
t
2、电感 L的初始条件：由前面可知；
)0()0(
)o(i)0(i LL
不能跳变，电感的初始条件动态电路的独立条件为,uc（ o+）和 iL（ o+），一般根椐 uc（ 0-）和
iL（ 0-）求得
0
0
t
0t
0L
0
0
t
0t
0
t
0t
0tt
ud)0(ud)t()t(
ud
L
1
)0(iud
L
1
)t(iud
L
1
ud
L
1
ud
L
1
udt
L
1
i
令 t0=0- t=0+
S（ t=0）
例 1：图中直流电压源的电压为 U0
当电路的电压和电流恒定不变时，
打开 S开关，试求
R1
。
。 R2
iL
L
U0
＋
－
＋C
uC
uc（ o+）,iL（ o+）
ic（ o+） uL（ o+） uR2（ o+）
解：根据 t=0-，时刻电路状态计算
uc（ o-） iL（ o-）
＋
－
＋
－
uL(0+)
21
0
RR
U
R2
ic(0+)
21
02
RR
UR
因为 S 打开前,i和 u已恒定不变，所以
0dtdi 0dtdu Lc
在换路时：
uc（ 0+） =uc（ 0-），
iL（ 0+） =iL（ 0-）
可把 0+时刻电路画出,C和 L用电压源和电流源代替（ b）
＋
－
uR2(0+)
-
iC
（ b）iL(0+)
R2 上的电压极性上负下正这是人为规定的,
0
RR
RU
RR
RU
)(0u)0(u)0(u
RR
RU
)0(iR)0(u
)0(i
RR
U
)0(i
RR
U
0i
)(0uR
RR
U
)(0u
0( 0 - )u 0( 0 - )i
dt
di
Lu
dt
du
ci
21
20
21
20
c2RL
21
20
L22R
L
21
0
c
21
0
L
c2
21
0
-
c
Lc
L
L
c
c
＋
－
＋
－
uL(0+)
21
0
RR
U
R2
ic(0+)
21
02
RR
UR
＋
－
uR2(0+)
（ b）iL(0+)
一阶齐次微分方程
0u
dt
du
RC
uR
dt
du
c
c
c
c
c
6-2 一阶电路的零输入响应 (第 6周讲 )
零输入响应：即外界的激励为 0，在动态元件的初始储能作用下的响应。
1,RC电路的零输入响应：在 S 闭合前,C已充电，其上电压 U0
闭合后：因为 uC=uR，而 uR=Ri
所以：
。 。S（ t=0）
uRucU
0
＋
－
＋
-
i
初始条件,uc（ 0-） =uc（ 0+） =U0，令此方程的通解为,uc=Aept代入上式：（ RCP+1） Aept=0
特征方程为,RCP+1=0 特征根 P=-1/RC 因为 U（ 0+） =U0代入
uc（ t） =Aept A=U0
uc（ t） =U0e-1/RC t----放电过程中电容电压表达式。
电容上电流由负到正，所以有负号
0863
)t(u368.0)t(ueeeU
eU)(tutt
U368.oeU)(u t
U(0 )u 0t
R
eU
)t(i
eU)t(u
----RC
---eUuu
R
eU
e)
RC
1
(cU
dt
)eU(d
c
dt
du
ci
0c0c
1
t
1
1
0
t
)
0
t(
00c0
0
1-
0c
0c
t
1
0
t
1
0c
t
RC
1
0cR
t
RC
1
0
t
RC
1
0
t
RC
1
0c
后衰减了即经过时间常数后再过时间常数指数规律误衰减的电阻上的电压电路中电流
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ
uc(t) U0 0.368
U0
0.135
U0
0.05U0 0.D18
U0
0.0067
U0
工程上认为经过 3τ ----5τ 衰减过程结束
U0 uc uR
0 τ 2τ t
0.368U0
0.135U0
2ττ
0.368U0/R
0135U0/R
t
U0/R i
放电过程中，电容放能量,R吸收能量，全部吸收的能量：
0
2
0
2
0
RC
t2
0
2
0
RC
t2
2
0
0
RC
t2
0
2
02
t
0
0
2
R
cU
2
1
)10(cU
2
1
-
)e(cU
2
1
-)
2
RC
- )(
RC
2t
- (de
R
U
dte
R
U
R d t)e
R
U
(R d t)t(iW
例：图中所示开关 S原在位置 1，且电路已达稳态。 t=0时开关由 1合向 2，试求 的电流 i（ t）
。 。
。 S（ t=0）
1
2
R R1=4
R2uc＋
－
10V
＋
－
2Ω 4Ω
C=1F
解：在 t= 时,C开路相当于?o
t5.0c
t5.0
t
cc
21
21
21
cc
c
e
4
)t(u
)t(i
e4e)0(u)t(u
S2C`R
2
RR
RR
`R
R Rcb ),(
v4)0(u)0(u
v4
442
410
)0(u
并联等效电阻放电通过换路后见
Ω
R1=4
R2uc＋
－
4Ω
C=1F
Ω
i
（ b）
0t?
注意：负号
2,R,L电路的零输入响应,S倒向 2之前，电压和电流已恒定，
电感中电流 I0=U0/R0=iL（ 0-），
在 t=0+时倒向 2，由（ b）知：
。 。
。
S（ t=0）
1 2
R0
uL ＋
－
U0
＋
－
uR
i
LuL
＋
－
R
＋
－
（ a） （ b）?
R
i
时间常数代入上式得令电路微分方程
R
L
eRI
dt
di
Lu eRIRiu
eI)ei (0i
I)0(iAI)0(i)0(iAei
L
R
-P 0RLpAei
0Ri
dt
di
L
dt
di
Lu Riu 0uu
t
L
R
-
0L
t
L
R
-
0R
t
L
R
-
0
t
L
R
-
00
t
L
R
-
pt
LRLR
uR
i
uL
t
例 6-3已知励磁绕组的电阻 R=0.189欧，电感 L=0.398H，直流电压 U=35V，电压表量程为 50V，内阻 RV=5K欧，开关未断开时，电路中电流已恒定不变。在 t=0时断开开关，求：
1、电阻、电感回路时间常数。
2、电流 i的初始值和开关断开后电流 I的最终值。
3、电流 i和电压表处电压 uv
4、开关刚断开时，电压表处的电压。
V
＋
－
R。。
。
。 S
RVuv L
i
U
＋
－
v9 2 6)0(u
e9 2 6e2.1 8 5105iRu
e2.1 8 5i e)0(ii
0)i( 2.1 8 5)0(i)0(i
A2.1 8 5
1 8 9.0
35
R
U
)0(i
s6.79
1051 8 9.0
3 9 8.0
RvR
L
v
t1 2 5 6 0t1 2 5 6 0
3
vv
t1 2 5 6 0t
3
解,1、
2、
3、
4、
6-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：指初始条件为 0（无储能），在外激励作用下的响应在 t=0时，闭合 S，电路接入直流电压 US 。 uR+uc=Us
而 uR=Ri RC +uc=US----一阶非齐次线性微分方程通解,uc=uc`+uc``显然 UC`=US
由上式知：齐次方程解,＋
－
R。。 S
US C uc
uRi
（ t=0）
0)0(u c dtducCi? dtduc
＋ -
＋
-
t
Sc
c
t
S
t
SSc
SSc
c
t
Sc
t
c
e
R
U
dt
du
ci
)e1(UeU-U(t)u
-U A0AU( 0 - )u
0( 0 - )u AeUu
Aeu
US
US/R uc
i
UC充电以指数规律直到 US（终值）
i=0（最终）称稳态，所以特解 UC`=US----称稳态分量
UC``----齐次解称自由分量（瞬态分量）在充电过程中，部分能量储存在 C 中，另一部分被 R消耗了,R消耗的：
50% C
CU
2
1e)
2
RC(
R
UR d t)e
R
U(R d tiw 2
S0
t
Rc
22
S2
0
t
S
0
2
R
中充电效率只有一半存储在
2,RL电路：打开开关前 iL（ 0-） =0、打开关后 iL（ 0+） = iL（ 0-） =0
电流源 IS
)e-I s ( 1i
- I s)(0i- AIsi Aeii
dt
di
R
L
iRi
dt
di
L Riu 0)(0i Isi
dt
di
R
L
t
L
LL
t
L
R
LL
L
RR
L
RLLL
L
。
。
S（ t=0）
IS
R
iL＋
－
uL
iR
*：讨论在正弦电压激励下的零状态响应（ RL电路）若用正弦表示一样 us=Umcos（ + ）初相角t? u?
接通后，电路方程为：
])tL s i n (-)tR c o s (I
)tc o s (U)ts i n (LI-)tc o s (RI
-----)tc o s (Ii
R
L
Aei
--i iii )tc o s (URi
dt
di
L
m
ummm
m
t
-
um
左边代入方程特解自由分量
＋
－
uS
+
－
R i。 。
uL LS（ t=0）
t
u
m
u
m
u
m
u
m
t
u
m
u
m
uu
22
m
mmm
umm
m
22
m
2222
22
m
m
e)c o s (
z
U
-)tc o s (
z
U
i
)c o s (
z
U
- AA)c o s (
z
U
0
0)0(i)0(iAe)tc o s (
z
U
i
)tc o s (
z
U
i
)L(R
U
I UZI
)tc o s (U)tc o s (ZI
)tc o s (ZI)s i nts i n (-c o s)tc o s ()L(RI
)L(R
L
)ts i n (
)L(R
R
)tc o s ()L(RI
)tL s i n (-)tR c o s (I
代入初始条件通解特解待定常数左边
0it
dt
diLu
Riu
L
R
时自由分量当电感上的电压为电阻上的电压刻有关过渡过程与开关动作时通后串联电路与正弦电压接所以则有若开关闭合时有则当开关闭合时若有量是与激励同频率的正弦强制分量特解
,RL
e
z
U
-)tc o s (
z
U
i
e
z
U
-i
z
U
-)c o s (
z
U
-A
)
2
tc o s (
z
U
ii
0i 0)c o s (
z
U
-A
2
i
t
mm
t
m
m
u
m
u
m
u
m
u
开关闭合后，电路中不发生过渡过程立即进入稳态，其波形图
。 i R
uR＋
－
uS uC C
+
－
。
6-4一阶电路的全响应全响应：既有激励，又有储能时的响应设 c原充电其电压为 U0，闭合后，方程初始条件,uc（ 0+） = uc（ 0-） =U0
cc
c
c
sc
Uu
dt
du
Rc
dt
du
Ci UuRi
通解：
特解：
为对应齐次方程的通解：
ccc uuu
Usuc
cu?
tc Aeu Rc
第七周讲三个要素决定时间常数特解初值全响应由瞬时分量稳态分量全响应又写成零状态响应零输入响应全响应零状态响应零输入响应写成时全响应电容电压在代入
*
)e1(UeU(t )u
0te)U-(UU(t )u
U-UA AUU
U)(0u)(0u AeUu
t
s
t
0c
t
s0sc
s0s0
0
-
cc
t
sc
*若激励是直流电源，若初值 f（ 0+），特解为稳态量 f（ ∞），时常则全响应为,f（ t） = f（ ∞） +﹝ f（ 0+ ） -f（ ∞） ﹞ 三要素若激励是正弦量，则上述公式写成：
f（ t） = f`（ t） +﹝ f（ 0+ ） -f`（ 0+ ） ﹞/te
特解（稳态分量） 稳态响应的初值
/te
τ
初始值
*若电路仅含有 C,L，则把 C,L以外的部分用戴维宁定理等效例：图示电路中,US=10V,IS=2A,R=2Ω L=4H，试求 S闭合后电路中的电流 iL和 i
。
＋
－
Uoc
Reg a
b。
＋
－
US
R
b
a
Is
。 。
S(t=0)
iL
解：戴维宁等效电路（ b）
Uoc=Us-RIs=（ 10-2× 2）
=6
Reg=R=2 Ω
iL（ 0+） =iL（ 0-） =-2A
特解,iL`=6/2=3，
=L/Reg=2S?
i
按三要素法,iL（ t） =〔 3+（ -2-3） e-1/2t〕
=（ 3-5e-1/2t〕
i=IS+iL= （ 5-5e-1/2t〕
iL
t
(b)
L L
iL
。
4Ω iL
uL
例：电路如图所示，开关合在 1时，
已达稳定状态,t=0时，开关由 1合向 2，求 时的电压 uL
解,iL（ 0+） =iL（ 0-） =-8/2=-4
换路后的电路图为 (b)
a,b左边戴等效电路 (c)
注,4欧上无电流，所以
i1=2，
Uoc=Uab=4i1+2i1=4× 2+2× 2=12V
Reg=Uoc/isc isc求法,L短路
i1+iSC=2
4i1+2i1-4isc=0,由这两式可得：
isc=6/5所以 Reg =12/5/6=10
。 。
。 S（ t=0）1
2
＋
－
2A
＋
－
i1
4
2
8V 0.1H
＋ －
2i1
＋
－
＋
－R
eg
。
a
b
uoc
所求等效电路如图
0t?
4Ω iL
uL
。 2
2A
＋
－
i1
4?
0.1H
＋ －
2i1
(b)
a
b
iLu
L
(c)
iL（ 0+） =-4A iL（ ∞ ） =12/10=1.2A =L/Reg=0.01S
所以 iL=〔 1.2+（ -4-1.2） e-1/0.01t〕 =（ 1.2-5.2e-100t）
uL=LdiL/dt=52e-100t
uL
tt
iL
0 0
＋
6-5 一阶电路的阶跃响应单位阶跃响应：电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应。
t
1
0
ε （ t）
。 。
。
S（ t=0） R
u（ t）1V
－
C
单位阶跃函数是分段函数，可定义为：
-0t 0 0t 1)t(
它在 (0-,0+)时域内发生了单位跳变,可描述 S接入 1V直流电压（ t=0）的动作定义时刻 t0起始的阶跃函数为：
t0t 1 -t0t 0 0t-t
如：在 t=t0，接入 2A的直流电流源，可写成,A)0tt(2
t
ε（ t-t0）
t00
1
f（ t）
t0 t
f（ t） ε（ t-t0）
单位阶跃函数可起始任一函数设 f（ t）任意区间有定义，则
-
0 t0t 0
t0t tftttf
tt0
*矩形脉冲,f（ t） =ε（ t） - ε（ t-t0）
矩形脉冲,f（ t） =ε（ t-τ1） - ε（ t- τ2 ）
f（ t）
τ1 τ2
*当电路的激励为单位阶跃 ε（ t） V 或 ε（ t） A时相当于在电路接入（ t=0） 1V或 1A直流电源，响应与直流激励一样，
*若 s（ t）表示单位响应。那么激励 us（ t） =U0
ε（ t）
响应为 U0S（ t）
f(t)
t0
t
uc c1
。 。
。 S（ t=0）
2
－
R
＋
－
＋
－
Us
例：如图开关 S 合在位置 1时电路已达稳态,t=0时，开关由 1 2，在 t=τ 时，又
2 1，求 时的电容电压 uc（ t）
解：方法一：将电路分成两个时间段在 0 t< τ 区间为 RC电路的零状态响应 uc（ 0-） =uc（ 0+） =0,
uc（ t） =US（ 1-e-t/ τ ）
在 τ t<∞ 为零输入响应：
t=t0=τ 初始值 u（ τ ） =us（ 1-e-τ /τ ） =0.632Us
0t?
uc(t)=o.632Use-(t-τ )/τ
ε（ t）
ε（ t） -Us（ 1-e-（ t-τ） /τ） ε（ t-τ）
0.632Us
uc（ t）
RC电路的单位阶跃响应为,S（ T） =（ 1-e-t/τ）
所以,uc（ t） =Us（ 1-e-t/τ）
ε（ t） - Usε（ t-τ）
方法二：用阶跃表示激励求阶跃响应外界激励,uS（ t） =Us
Us
t0?
t?0
因为输入为单位值
)e1(U(t)u tSc
6-6 一阶电路的冲激响应单位冲激响应：电路对于单位冲函数输入的零状态响应
1、单位冲激函数 （ δ 函数） 定义为：
δ （ t)=0
0t
0t
1dt)t(
δ 函数可用矩脉冲的极限表示,设高为 1/Δ,
1?
p
t
tp tlim
t 0
-t0
1
-0t 0
p
δ
Kδ δ （ t-t0）
t0
冲激函数（ δ （ t）函数）的两个重要性质：
（ 1）单位冲激函数 δ （ t）对时间的积分 =单位阶跃函数 ε （ t）
的值取样出来筛选出来在把即一般有对于任何时在的筛分性质反之
0t)t(f)t(
)t(fdt)tt()t(f
)0(fdt)t()0(fdt)t()t(f
)t(f ( 0 ))t(f(t)
f(t)0)t(0t)t(
)t(
)t(
dt
)t(d
)t(d)(
00
t
(2)
0
*当冲激函数作用于零状态的一阶 RC或 RL电路，在 t=0-到 0+内，它使电容电压或电感发生突变。这与前面的不同
*当把一个单位冲激电流 δ i（ t）加到 uC（ 0-） =0且 C=1F的电容电容两端的电压：
v1c1dt)t(c1u 00 ic
1δ （ t）
uc(t)
电压由 0跳到 1
*当把一个单位冲激电压 δ u(t)加到 iL（ 0-） =0且 L=1H的电感时：
iL（ t） =1/L A1L1dt)t(00 u
uc(0-) ≠ uc(0+)
iL(0-) ≠ iL(0+)
因为有 δi(t)
因为有 δu(t)
2、响应的求法：
当冲激函数作用于零状态的一阶 RC或 RL电路，在 t=0-到 t=0+的区间内它使电容电压或电感电流发生突变。在 t 0+时，冲激函数为
0，且 uc（ 0+）或 ic（ 0+）不等于 0，所以电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。所以一阶电路冲激响应的求解，在于计算在冲激函数作用下的 uc（ 0+）或 iL（ 0+）的值。
*：一个单位冲激电流 δi（ t） 激励 RC电路，求该电路的零状态响应，
由 KCL方程式不成立不能是冲激函数否则上把上式积分而
c
0
-0
i
0
-0
c
0
-0
c
0
-0
ci
cc
u )t(
R
u
dt
du
c
0(0 -)u-0t ),t(
R
u
dt
du
c
δi（ t）
R uc＋
－
uC不能是冲激函数，否则上式不成立
C
1
)(0u
1( 0 - )u-)(0uC 0
R
u
c
0
-0
cc
c
上式变成
t-t-
cc
i
e
c
1)e(0u(t)u
0t0(t)0t 的电容电压开路则时当
R uc＋
－
同理,RL电路在单位冲激电压 δu（ t） 激励下的零状态响应 iL为：
t-
L eL
1(t)i
iL（ 0-） =0,iL（ t）发生了跃变 iL（ 0+） =1/L
*ε（ t） ---S（ t） δ（ t） ----h（ t）
则 dtds)t(h?
为 0
dt
td
t
td
t
当 t小于 0时，积分为 0，当 t
大于 0时，积分为 1，所以积分结果为阶跃函数对于线性电路：因描述电路的方程是线性常系数方程。
dt
tdr
dt
tde
trte
*ε（ t） ---S（ t） δ（ t） ----h（ t）
dt
ds)t(h?
Ae40)e(0i)t(i 40
L
4
)(0i
0(0 -)i 4(0 -) ]i-)(0iL 0dtRi
i )t(4Ri
dt
di
L
)t(4Ri
dt
di
L
4.2
1
4.2
RR
RR
R )t(4U
)t(4
46
)t(104
R
RR
)t(10
U
t24
t
3-
101 0 0
2,4
-
LLL
LLLL
0
-0
L
0
-0
L
0
-0
L0
-0
0
-0
L
L
21
21
egoc
2
21
ab
不能为冲激函数两边积分对戴电路列方程例：已知,iL（ 0-） =0
R1=6Ω,R2=4 Ω
L=100mH求冲激响应 iL和 UL
解：先求戴维宁电路
R1
R2uL
＋
－
10δ （ t） ＋
－
Reg
uL
＋
－
＋
－
u0c 4δ （ t）
iL
－
iL
－
本章小结,1、零状态响应（ RC,RL）
2、零输入响应
3、全响应：三要素法
4、阶跃响应和 δ响应作业,7-3,4,5,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18、
１、动态电路：含有Ｃ或Ｌ的电路，因为列出的方程含有微分积分特征：当电路的突然变化（电源的断开等），可使电路由一个状态变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程，这种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝０时刻进行的。
o
o
－－换路前的最后的时刻
－－换路后的最初的时刻换路经历的时间为,到?o ＋o
２、经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ）
３、初始条件：ｔ＝０ ＋ 时电路中所求变量的值和（ｎ－１）阶导数的值，ｕ ｃ （０ ＋ ）和 iＬ （０ ＋ ）的值称为独立的初始条件，其它称非独立初立条件。
(1),电容 C 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻 t，
电荷、电压、与电流的关系为：
第六章 一阶电路若在 0-到 0+间,uL为有限值，则积分值为 0，所以电容电压不能跳变为有限值时积分项为当令
)(ou)(ou
0i )(
1
)0()0(
)()0()0(
0t -0t )(
1
)()(
)()()(
cc
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dic
c
uu
diqq
di
c
tutu
ditqtq
cc
t
t
ccc
t
t
2、电感 L的初始条件：由前面可知；
)0()0(
)o(i)0(i LL
不能跳变，电感的初始条件动态电路的独立条件为,uc（ o+）和 iL（ o+），一般根椐 uc（ 0-）和
iL（ 0-）求得
0
0
t
0t
0L
0
0
t
0t
0
t
0t
0tt
ud)0(ud)t()t(
ud
L
1
)0(iud
L
1
)t(iud
L
1
ud
L
1
ud
L
1
udt
L
1
i
令 t0=0- t=0+
S（ t=0）
例 1：图中直流电压源的电压为 U0
当电路的电压和电流恒定不变时，
打开 S开关，试求
R1
。
。 R2
iL
L
U0
＋
－
＋C
uC
uc（ o+）,iL（ o+）
ic（ o+） uL（ o+） uR2（ o+）
解：根据 t=0-，时刻电路状态计算
uc（ o-） iL（ o-）
＋
－
＋
－
uL(0+)
21
0
RR
U
R2
ic(0+)
21
02
RR
UR
因为 S 打开前,i和 u已恒定不变，所以
0dtdi 0dtdu Lc
在换路时：
uc（ 0+） =uc（ 0-），
iL（ 0+） =iL（ 0-）
可把 0+时刻电路画出,C和 L用电压源和电流源代替（ b）
＋
－
uR2(0+)
-
iC
（ b）iL(0+)
R2 上的电压极性上负下正这是人为规定的,
0
RR
RU
RR
RU
)(0u)0(u)0(u
RR
RU
)0(iR)0(u
)0(i
RR
U
)0(i
RR
U
0i
)(0uR
RR
U
)(0u
0( 0 - )u 0( 0 - )i
dt
di
Lu
dt
du
ci
21
20
21
20
c2RL
21
20
L22R
L
21
0
c
21
0
L
c2
21
0
-
c
Lc
L
L
c
c
＋
－
＋
－
uL(0+)
21
0
RR
U
R2
ic(0+)
21
02
RR
UR
＋
－
uR2(0+)
（ b）iL(0+)
一阶齐次微分方程
0u
dt
du
RC
uR
dt
du
c
c
c
c
c
6-2 一阶电路的零输入响应 (第 6周讲 )
零输入响应：即外界的激励为 0，在动态元件的初始储能作用下的响应。
1,RC电路的零输入响应：在 S 闭合前,C已充电，其上电压 U0
闭合后：因为 uC=uR，而 uR=Ri
所以：
。 。S（ t=0）
uRucU
0
＋
－
＋
-
i
初始条件,uc（ 0-） =uc（ 0+） =U0，令此方程的通解为,uc=Aept代入上式：（ RCP+1） Aept=0
特征方程为,RCP+1=0 特征根 P=-1/RC 因为 U（ 0+） =U0代入
uc（ t） =Aept A=U0
uc（ t） =U0e-1/RC t----放电过程中电容电压表达式。
电容上电流由负到正，所以有负号
0863
)t(u368.0)t(ueeeU
eU)(tutt
U368.oeU)(u t
U(0 )u 0t
R
eU
)t(i
eU)t(u
----RC
---eUuu
R
eU
e)
RC
1
(cU
dt
)eU(d
c
dt
du
ci
0c0c
1
t
1
1
0
t
)
0
t(
00c0
0
1-
0c
0c
t
1
0
t
1
0c
t
RC
1
0cR
t
RC
1
0
t
RC
1
0
t
RC
1
0c
后衰减了即经过时间常数后再过时间常数指数规律误衰减的电阻上的电压电路中电流
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ
uc(t) U0 0.368
U0
0.135
U0
0.05U0 0.D18
U0
0.0067
U0
工程上认为经过 3τ ----5τ 衰减过程结束
U0 uc uR
0 τ 2τ t
0.368U0
0.135U0
2ττ
0.368U0/R
0135U0/R
t
U0/R i
放电过程中，电容放能量,R吸收能量，全部吸收的能量：
0
2
0
2
0
RC
t2
0
2
0
RC
t2
2
0
0
RC
t2
0
2
02
t
0
0
2
R
cU
2
1
)10(cU
2
1
-
)e(cU
2
1
-)
2
RC
- )(
RC
2t
- (de
R
U
dte
R
U
R d t)e
R
U
(R d t)t(iW
例：图中所示开关 S原在位置 1，且电路已达稳态。 t=0时开关由 1合向 2，试求 的电流 i（ t）
。 。
。 S（ t=0）
1
2
R R1=4
R2uc＋
－
10V
＋
－
2Ω 4Ω
C=1F
解：在 t= 时,C开路相当于?o
t5.0c
t5.0
t
cc
21
21
21
cc
c
e
4
)t(u
)t(i
e4e)0(u)t(u
S2C`R
2
RR
RR
`R
R Rcb ),(
v4)0(u)0(u
v4
442
410
)0(u
并联等效电阻放电通过换路后见
Ω
R1=4
R2uc＋
－
4Ω
C=1F
Ω
i
（ b）
0t?
注意：负号
2,R,L电路的零输入响应,S倒向 2之前，电压和电流已恒定，
电感中电流 I0=U0/R0=iL（ 0-），
在 t=0+时倒向 2，由（ b）知：
。 。
。
S（ t=0）
1 2
R0
uL ＋
－
U0
＋
－
uR
i
LuL
＋
－
R
＋
－
（ a） （ b）?
R
i
时间常数代入上式得令电路微分方程
R
L
eRI
dt
di
Lu eRIRiu
eI)ei (0i
I)0(iAI)0(i)0(iAei
L
R
-P 0RLpAei
0Ri
dt
di
L
dt
di
Lu Riu 0uu
t
L
R
-
0L
t
L
R
-
0R
t
L
R
-
0
t
L
R
-
00
t
L
R
-
pt
LRLR
uR
i
uL
t
例 6-3已知励磁绕组的电阻 R=0.189欧，电感 L=0.398H，直流电压 U=35V，电压表量程为 50V，内阻 RV=5K欧，开关未断开时，电路中电流已恒定不变。在 t=0时断开开关，求：
1、电阻、电感回路时间常数。
2、电流 i的初始值和开关断开后电流 I的最终值。
3、电流 i和电压表处电压 uv
4、开关刚断开时，电压表处的电压。
V
＋
－
R。。
。
。 S
RVuv L
i
U
＋
－
v9 2 6)0(u
e9 2 6e2.1 8 5105iRu
e2.1 8 5i e)0(ii
0)i( 2.1 8 5)0(i)0(i
A2.1 8 5
1 8 9.0
35
R
U
)0(i
s6.79
1051 8 9.0
3 9 8.0
RvR
L
v
t1 2 5 6 0t1 2 5 6 0
3
vv
t1 2 5 6 0t
3
解,1、
2、
3、
4、
6-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：指初始条件为 0（无储能），在外激励作用下的响应在 t=0时，闭合 S，电路接入直流电压 US 。 uR+uc=Us
而 uR=Ri RC +uc=US----一阶非齐次线性微分方程通解,uc=uc`+uc``显然 UC`=US
由上式知：齐次方程解,＋
－
R。。 S
US C uc
uRi
（ t=0）
0)0(u c dtducCi? dtduc
＋ -
＋
-
t
Sc
c
t
S
t
SSc
SSc
c
t
Sc
t
c
e
R
U
dt
du
ci
)e1(UeU-U(t)u
-U A0AU( 0 - )u
0( 0 - )u AeUu
Aeu
US
US/R uc
i
UC充电以指数规律直到 US（终值）
i=0（最终）称稳态，所以特解 UC`=US----称稳态分量
UC``----齐次解称自由分量（瞬态分量）在充电过程中，部分能量储存在 C 中，另一部分被 R消耗了,R消耗的：
50% C
CU
2
1e)
2
RC(
R
UR d t)e
R
U(R d tiw 2
S0
t
Rc
22
S2
0
t
S
0
2
R
中充电效率只有一半存储在
2,RL电路：打开开关前 iL（ 0-） =0、打开关后 iL（ 0+） = iL（ 0-） =0
电流源 IS
)e-I s ( 1i
- I s)(0i- AIsi Aeii
dt
di
R
L
iRi
dt
di
L Riu 0)(0i Isi
dt
di
R
L
t
L
LL
t
L
R
LL
L
RR
L
RLLL
L
。
。
S（ t=0）
IS
R
iL＋
－
uL
iR
*：讨论在正弦电压激励下的零状态响应（ RL电路）若用正弦表示一样 us=Umcos（ + ）初相角t? u?
接通后，电路方程为：
])tL s i n (-)tR c o s (I
)tc o s (U)ts i n (LI-)tc o s (RI
-----)tc o s (Ii
R
L
Aei
--i iii )tc o s (URi
dt
di
L
m
ummm
m
t
-
um
左边代入方程特解自由分量
＋
－
uS
+
－
R i。 。
uL LS（ t=0）
t
u
m
u
m
u
m
u
m
t
u
m
u
m
uu
22
m
mmm
umm
m
22
m
2222
22
m
m
e)c o s (
z
U
-)tc o s (
z
U
i
)c o s (
z
U
- AA)c o s (
z
U
0
0)0(i)0(iAe)tc o s (
z
U
i
)tc o s (
z
U
i
)L(R
U
I UZI
)tc o s (U)tc o s (ZI
)tc o s (ZI)s i nts i n (-c o s)tc o s ()L(RI
)L(R
L
)ts i n (
)L(R
R
)tc o s ()L(RI
)tL s i n (-)tR c o s (I
代入初始条件通解特解待定常数左边
0it
dt
diLu
Riu
L
R
时自由分量当电感上的电压为电阻上的电压刻有关过渡过程与开关动作时通后串联电路与正弦电压接所以则有若开关闭合时有则当开关闭合时若有量是与激励同频率的正弦强制分量特解
,RL
e
z
U
-)tc o s (
z
U
i
e
z
U
-i
z
U
-)c o s (
z
U
-A
)
2
tc o s (
z
U
ii
0i 0)c o s (
z
U
-A
2
i
t
mm
t
m
m
u
m
u
m
u
m
u
开关闭合后，电路中不发生过渡过程立即进入稳态，其波形图
。 i R
uR＋
－
uS uC C
+
－
。
6-4一阶电路的全响应全响应：既有激励，又有储能时的响应设 c原充电其电压为 U0，闭合后，方程初始条件,uc（ 0+） = uc（ 0-） =U0
cc
c
c
sc
Uu
dt
du
Rc
dt
du
Ci UuRi
通解：
特解：
为对应齐次方程的通解：
ccc uuu
Usuc
cu?
tc Aeu Rc
第七周讲三个要素决定时间常数特解初值全响应由瞬时分量稳态分量全响应又写成零状态响应零输入响应全响应零状态响应零输入响应写成时全响应电容电压在代入
*
)e1(UeU(t )u
0te)U-(UU(t )u
U-UA AUU
U)(0u)(0u AeUu
t
s
t
0c
t
s0sc
s0s0
0
-
cc
t
sc
*若激励是直流电源，若初值 f（ 0+），特解为稳态量 f（ ∞），时常则全响应为,f（ t） = f（ ∞） +﹝ f（ 0+ ） -f（ ∞） ﹞ 三要素若激励是正弦量，则上述公式写成：
f（ t） = f`（ t） +﹝ f（ 0+ ） -f`（ 0+ ） ﹞/te
特解（稳态分量） 稳态响应的初值
/te
τ
初始值
*若电路仅含有 C,L，则把 C,L以外的部分用戴维宁定理等效例：图示电路中,US=10V,IS=2A,R=2Ω L=4H，试求 S闭合后电路中的电流 iL和 i
。
＋
－
Uoc
Reg a
b。
＋
－
US
R
b
a
Is
。 。
S(t=0)
iL
解：戴维宁等效电路（ b）
Uoc=Us-RIs=（ 10-2× 2）
=6
Reg=R=2 Ω
iL（ 0+） =iL（ 0-） =-2A
特解,iL`=6/2=3，
=L/Reg=2S?
i
按三要素法,iL（ t） =〔 3+（ -2-3） e-1/2t〕
=（ 3-5e-1/2t〕
i=IS+iL= （ 5-5e-1/2t〕
iL
t
(b)
L L
iL
。
4Ω iL
uL
例：电路如图所示，开关合在 1时，
已达稳定状态,t=0时，开关由 1合向 2，求 时的电压 uL
解,iL（ 0+） =iL（ 0-） =-8/2=-4
换路后的电路图为 (b)
a,b左边戴等效电路 (c)
注,4欧上无电流，所以
i1=2，
Uoc=Uab=4i1+2i1=4× 2+2× 2=12V
Reg=Uoc/isc isc求法,L短路
i1+iSC=2
4i1+2i1-4isc=0,由这两式可得：
isc=6/5所以 Reg =12/5/6=10
。 。
。 S（ t=0）1
2
＋
－
2A
＋
－
i1
4
2
8V 0.1H
＋ －
2i1
＋
－
＋
－R
eg
。
a
b
uoc
所求等效电路如图
0t?
4Ω iL
uL
。 2
2A
＋
－
i1
4?
0.1H
＋ －
2i1
(b)
a
b
iLu
L
(c)
iL（ 0+） =-4A iL（ ∞ ） =12/10=1.2A =L/Reg=0.01S
所以 iL=〔 1.2+（ -4-1.2） e-1/0.01t〕 =（ 1.2-5.2e-100t）
uL=LdiL/dt=52e-100t
uL
tt
iL
0 0
＋
6-5 一阶电路的阶跃响应单位阶跃响应：电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应。
t
1
0
ε （ t）
。 。
。
S（ t=0） R
u（ t）1V
－
C
单位阶跃函数是分段函数，可定义为：
-0t 0 0t 1)t(
它在 (0-,0+)时域内发生了单位跳变,可描述 S接入 1V直流电压（ t=0）的动作定义时刻 t0起始的阶跃函数为：
t0t 1 -t0t 0 0t-t
如：在 t=t0，接入 2A的直流电流源，可写成,A)0tt(2
t
ε（ t-t0）
t00
1
f（ t）
t0 t
f（ t） ε（ t-t0）
单位阶跃函数可起始任一函数设 f（ t）任意区间有定义，则
-
0 t0t 0
t0t tftttf
tt0
*矩形脉冲,f（ t） =ε（ t） - ε（ t-t0）
矩形脉冲,f（ t） =ε（ t-τ1） - ε（ t- τ2 ）
f（ t）
τ1 τ2
*当电路的激励为单位阶跃 ε（ t） V 或 ε（ t） A时相当于在电路接入（ t=0） 1V或 1A直流电源，响应与直流激励一样，
*若 s（ t）表示单位响应。那么激励 us（ t） =U0
ε（ t）
响应为 U0S（ t）
f(t)
t0
t
uc c1
。 。
。 S（ t=0）
2
－
R
＋
－
＋
－
Us
例：如图开关 S 合在位置 1时电路已达稳态,t=0时，开关由 1 2，在 t=τ 时，又
2 1，求 时的电容电压 uc（ t）
解：方法一：将电路分成两个时间段在 0 t< τ 区间为 RC电路的零状态响应 uc（ 0-） =uc（ 0+） =0,
uc（ t） =US（ 1-e-t/ τ ）
在 τ t<∞ 为零输入响应：
t=t0=τ 初始值 u（ τ ） =us（ 1-e-τ /τ ） =0.632Us
0t?
uc(t)=o.632Use-(t-τ )/τ
ε（ t）
ε（ t） -Us（ 1-e-（ t-τ） /τ） ε（ t-τ）
0.632Us
uc（ t）
RC电路的单位阶跃响应为,S（ T） =（ 1-e-t/τ）
所以,uc（ t） =Us（ 1-e-t/τ）
ε（ t） - Usε（ t-τ）
方法二：用阶跃表示激励求阶跃响应外界激励,uS（ t） =Us
Us
t0?
t?0
因为输入为单位值
)e1(U(t)u tSc
6-6 一阶电路的冲激响应单位冲激响应：电路对于单位冲函数输入的零状态响应
1、单位冲激函数 （ δ 函数） 定义为：
δ （ t)=0
0t
0t
1dt)t(
δ 函数可用矩脉冲的极限表示,设高为 1/Δ,
1?
p
t
tp tlim
t 0
-t0
1
-0t 0
p
δ
Kδ δ （ t-t0）
t0
冲激函数（ δ （ t）函数）的两个重要性质：
（ 1）单位冲激函数 δ （ t）对时间的积分 =单位阶跃函数 ε （ t）
的值取样出来筛选出来在把即一般有对于任何时在的筛分性质反之
0t)t(f)t(
)t(fdt)tt()t(f
)0(fdt)t()0(fdt)t()t(f
)t(f ( 0 ))t(f(t)
f(t)0)t(0t)t(
)t(
)t(
dt
)t(d
)t(d)(
00
t
(2)
0
*当冲激函数作用于零状态的一阶 RC或 RL电路，在 t=0-到 0+内，它使电容电压或电感发生突变。这与前面的不同
*当把一个单位冲激电流 δ i（ t）加到 uC（ 0-） =0且 C=1F的电容电容两端的电压：
v1c1dt)t(c1u 00 ic
1δ （ t）
uc(t)
电压由 0跳到 1
*当把一个单位冲激电压 δ u(t)加到 iL（ 0-） =0且 L=1H的电感时：
iL（ t） =1/L A1L1dt)t(00 u
uc(0-) ≠ uc(0+)
iL(0-) ≠ iL(0+)
因为有 δi(t)
因为有 δu(t)
2、响应的求法：
当冲激函数作用于零状态的一阶 RC或 RL电路，在 t=0-到 t=0+的区间内它使电容电压或电感电流发生突变。在 t 0+时，冲激函数为
0，且 uc（ 0+）或 ic（ 0+）不等于 0，所以电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。所以一阶电路冲激响应的求解，在于计算在冲激函数作用下的 uc（ 0+）或 iL（ 0+）的值。
*：一个单位冲激电流 δi（ t） 激励 RC电路，求该电路的零状态响应，
由 KCL方程式不成立不能是冲激函数否则上把上式积分而
c
0
-0
i
0
-0
c
0
-0
c
0
-0
ci
cc
u )t(
R
u
dt
du
c
0(0 -)u-0t ),t(
R
u
dt
du
c
δi（ t）
R uc＋
－
uC不能是冲激函数，否则上式不成立
C
1
)(0u
1( 0 - )u-)(0uC 0
R
u
c
0
-0
cc
c
上式变成
t-t-
cc
i
e
c
1)e(0u(t)u
0t0(t)0t 的电容电压开路则时当
R uc＋
－
同理,RL电路在单位冲激电压 δu（ t） 激励下的零状态响应 iL为：
t-
L eL
1(t)i
iL（ 0-） =0,iL（ t）发生了跃变 iL（ 0+） =1/L
*ε（ t） ---S（ t） δ（ t） ----h（ t）
则 dtds)t(h?
为 0
dt
td
t
td
t
当 t小于 0时，积分为 0，当 t
大于 0时，积分为 1，所以积分结果为阶跃函数对于线性电路：因描述电路的方程是线性常系数方程。
dt
tdr
dt
tde
trte
*ε（ t） ---S（ t） δ（ t） ----h（ t）
dt
ds)t(h?
Ae40)e(0i)t(i 40
L
4
)(0i
0(0 -)i 4(0 -) ]i-)(0iL 0dtRi
i )t(4Ri
dt
di
L
)t(4Ri
dt
di
L
4.2
1
4.2
RR
RR
R )t(4U
)t(4
46
)t(104
R
RR
)t(10
U
t24
t
3-
101 0 0
2,4
-
LLL
LLLL
0
-0
L
0
-0
L
0
-0
L0
-0
0
-0
L
L
21
21
egoc
2
21
ab
不能为冲激函数两边积分对戴电路列方程例：已知,iL（ 0-） =0
R1=6Ω,R2=4 Ω
L=100mH求冲激响应 iL和 UL
解：先求戴维宁电路
R1
R2uL
＋
－
10δ （ t） ＋
－
Reg
uL
＋
－
＋
－
u0c 4δ （ t）
iL
－
iL
－
本章小结,1、零状态响应（ RC,RL）
2、零输入响应
3、全响应：三要素法
4、阶跃响应和 δ响应作业,7-3,4,5,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18、
