Re〔 F〕 =a Im 〔 F〕 =b
2、复数的矢量表示
3、复数的三角式：
4、指数式：
5、复数的极坐标式
6、复数加减用代数形式进行，若
8-1 复数
1、复数的代数式,F=a+jb j= 1?
F
a
b
+j
+1
F
j s i nc o se
ba F ins F b c o s Fa
-- ---F )s i nj( c o sFF
j
22
欧拉公式辐角复数的模
222111 jbaF jbaF
FF
eFF j
第八章 相量法
21
2
1
22
11
2
1
)21j(
21
2j
2
1j
121
2121
221121
F
F
F
F
F
F
eFFe Fe FFF
)bj ( b)a(a
)jb(a) jba(FF
也可用平行四边形法则
F=F1+F2
F1F2
8-2 正弦量
1、正弦量：电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量对正弦量的描述可以采用正弦，也可采用余弦描述，本课程用 cos
i=Imcos（ ωt+ψ i）
Im---振幅（极大值）
峰峰值 2Im
ω t+ψ i---相角（相位） ω---角频率 ψ i--初相（ t=0时的相角）
2、有效值：周期量的有效值定义为：
i
u＋
－
Im
-Im
T
0
2 dti
T
1I
i
t
)tc o s (Ii
I.
I
I
I
dt
)t(c o s
I
T
dt)t(c o sI
T
I
)tc o s (Ii
i
m
m
m
T
i
m
T
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2
m
i
m
2
7070
2
2
2
2111
0
2
0
2
对于正弦量
*交流电器、交流电压表、电流表标出的数值都是 有效值
3、相位差：两个同频正弦量的相位之差如,)tc o s (Ii i 11 2 )tc o s (U2u u22
则 i1与 u2之间的相位差 uiui12 )t(t 等于初相差超前：若 则称 i1超前，否则 i1落后若 则称 i1和 u2同相若 正交 若 称 i1,u2反相。
1212
12
12
2
0
0
示波器观察相位差,YA和 YB通道，
先达到极值点的为超前。
φ12
i1
u2
i1落后 u2
8-3 相量法基础
1、正弦稳态电路：在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。若有多个激励
（都是同频正弦量）则叠加性质决定了电路中的电压、电流稳态响应都是同频正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路。
相量法是分析正弦电流电路稳态响应的一种有力工具。
2、复指数函数：
但它反映了正弦电流复常数无关是常数是一个复数且与电流相量其中为例子则以电流对应复指数函数的实部一一正弦量取实部欧拉公式
)(tIe
IeI
eI2ReeIe2Rei
)tc o s (I2i
)tc o s (FFRe
)ts i n (Fj)tc o s (FeFF
eFF
i
i
i
j
j
tjtjj
)t(j
)t(j
3、相量
电流相量正弦量一一对应复数指数
i
j
tj
i
j
i1
ii
i
jtj
i
tj
1
IeI
eIe2Re
tc o sI2IRe
ts i njtc o sI2
eIe2
Ie2I
（有效值和初相），因为 ω往往是给定的,I和 ψ定了，则 i就定了，
所以给 取一个名字 ------相量（电流）
相量是一个复数，它可用一个矢量表示，该矢量称矢量图，
相量可代表正弦量，因为一一对应
ijIe?
I?+j
+1
i?
I
4、正弦电流 i用一个以角速度的旋转相量在实轴上投影表示，
画一个相量,以旋转逆时针转，在实轴的投影为 i
I?
2 I?
+1
2 I?
+j t1 t2 t
tjeI2Rei
Ij
dt
di
）eIj(2Re
eIj2ReeI2
dt
d
ReeI2Re
dt
d
dt
di
)tc o s (I2i
.,,III
eI2Rei e.,,)II(2Re
.,,eI2ReeI2Re
.,,iiii,
.,,)tc o s (I2i )tc o s (I2i
tj
tjtjtj
i
21
tjtj
21
tj
2
tj
1
21
222111
的相量为即各个分量相加合相量但那么这些正弦量的和设为设
1、同频正弦量的代数和：
2、正弦量的微分：
3、正弦量的积分：设
dte
j
I
2RedteI2RedteI2Rei d t
)tc o s ( I2i
tjtjtj
i
则
j
I?积分的相量例：已知两个同频正弦电流分别为
i
0
00
21
2
1
21
21
)54.170t314c o s (224.14i
54.17024.14)34.2j05.14()11j05.19()66.8j5(
A15022A6010III( 1 )
dti( 3 )
dt
di
)2( ii ( 1 )
)
6
5
t314c o s (222i )
3
t314c o s (210i
有效值解求
α
-14.05
2,34
+1
j
(2)求
0
0
0
2
2
000
1k
k
1
001
1 2 007.0
903 1 4
1 5 022
j
I
dti
90603 1 4 060103 1 4jIjk
k
dt
di
)9060t3 1 4c o s (23 1 4 0)60t3 1 4s i n (3 1 4210
dt
di
的相量为则有的相量为设用相量形式求解
的表达式求得换成将方程也成立去掉成立对任何变换同频率的正弦量对上式是与解其特方程如图所示电路中设在正弦激励下相量法解微分方程特解
iiI
c
1
j-LjR
sU
I
U2()
I
2()ILj2()I2R(
)eU2()e
I
2()eILj2()eI2R(
Re t
)eU2(Re)e
I
2(Re)eILj2(Re)eI2R(Re
u
ui d t
c
1
dt
di
LRi
)tc o s (Us2u
)(*
sCj
tj
s
tj
Cj
tjtj
tj
s
tj
Cj
tjtj
s
s
us
i R L
CUs
＋
－
IR R
UR
iR R
uR
8-4 电路定律的相量形式
1、电流定律（ KCL）对任一结点有,∑i=0，因为所有支路电流都是同频正弦量，所以其相量形式为,∑I=0
2、对任一回路有 KVL,∑u=0，因为所有支路电压都是正弦量（同频） 所以其相量形式：
0U?
3、电阻 VCR相量形式：
＋ － ＋ －
·
·
当 R中有电流 iR通过时，电阻两端电压 uR uR=RiR
uR与 iR同频正弦量，相量形式为：
所以 Ψi= Ψu 相位同（ iR与 uR）
UR
IR
Ψi Ψu4、电感 VCR相量形式：
IRU R
iL L
uL＋ － L
L
U
Lj I
i?
u?
正弦电流 iL通过 L时
uL=L dtdi
相量形式为,LL ILjU
2IU 2 LIU LLiuuiLL
超前
=0 UL=0电感短路
5、电容 C上电压 uc为正弦量时，则电流 ic
2
cUcI Ic
c
1
Uc
cj
cI
cUcUcjcI
dt
du
ci
c
c
超前或相量形式为当 相当于开路0cI 0隔直作用
ic C
uC
＋ －
＋ －
cI?
c
u?
c?
LI?
＋ －
LU?
cU?
CI? cj
1
cU?
6、受控源：若控制量是正弦量，则受控源的电压（或电流）也是同频率的正弦量。
。
。
＋
－
uK
。
＋
－
guk=ij
电压控制电流源
ik=0 u
j 。
。
＋
－
UK 。
＋
－
gUK=Ij
电压控制电流源相量形式
· · ·
ij=guk Ij=gUk· ·
相量形式方程与电阻的有关关系形式完全相似。
例,is为正弦电流源的电流，其有效值 IS=5A,=103rad/S,R=3 Ω
L=1H,C=1F，求电压 uad和 ubd
相量形式的电路
is
· · ·
·
a i R
+ -uR
b L
+ -uL
c
+
-
uC
· · ·
·
a R
+ -
b jωL
+ -
c
+
-SI?
I?
RU?
LU?
CU? cj
1
d
d
v)t10c o s (215u
0u
015UUU
0cUUU
905000I
c
1
-jcU
905000ILjU
015IRU
A05III
3
ad
bd
0
bdRad
Lbd
0
0
L
0
R
0
s
为参考相量即令设电流相量相量形式的电路
· · ·
·
a R
+ -
b jωL
+ -
c
+
-SI?
I?
RU?
LU?
CU? cj
1
d
例：图示的仪器为交流电表，其仪器表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表 A1的读数为 5A，电流表 A2的读数为 20A，电流表 A3的读数为 25A。求 A和 A4的读数。
I3
A A3A4
A2A
1Us·
＋
－ R
I1·
I2
I4
解：选并联支路电压为参考相量令 US=US∠0 0确定各电流的初相
I1=5 ∠0 0,I2=-j20A,I3=j25A
I=I1+I2+I3=（ 5+j5） =7.07 ∠45 0
·
·
· ·
·
· · ·
I4=I2+I3=j5= 5 ∠90 0· · ·
所以 A表读数为,7.07A,A4,5A
I? ·
· ·
电感的电压超前电流 900度电容的电流超前电压 900度本章小结,1、正弦量用相量代表
2、基尔霍夫定律的相量形式
3、电阻、电感、电容、受控源的相量形式，
以及初相关系。
4 电表的读数 (有效值 )
作业,10-2（ 2） 3 4 6
2、复数的矢量表示
3、复数的三角式：
4、指数式：
5、复数的极坐标式
6、复数加减用代数形式进行，若
8-1 复数
1、复数的代数式,F=a+jb j= 1?
F
a
b
+j
+1
F
j s i nc o se
ba F ins F b c o s Fa
-- ---F )s i nj( c o sFF
j
22
欧拉公式辐角复数的模
222111 jbaF jbaF
FF
eFF j
第八章 相量法
21
2
1
22
11
2
1
)21j(
21
2j
2
1j
121
2121
221121
F
F
F
F
F
F
eFFe Fe FFF
)bj ( b)a(a
)jb(a) jba(FF
也可用平行四边形法则
F=F1+F2
F1F2
8-2 正弦量
1、正弦量：电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量对正弦量的描述可以采用正弦，也可采用余弦描述，本课程用 cos
i=Imcos（ ωt+ψ i）
Im---振幅（极大值）
峰峰值 2Im
ω t+ψ i---相角（相位） ω---角频率 ψ i--初相（ t=0时的相角）
2、有效值：周期量的有效值定义为：
i
u＋
－
Im
-Im
T
0
2 dti
T
1I
i
t
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I.
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i
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m
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i
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i
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m
i
m
2
7070
2
2
2
2111
0
2
0
2
对于正弦量
*交流电器、交流电压表、电流表标出的数值都是 有效值
3、相位差：两个同频正弦量的相位之差如,)tc o s (Ii i 11 2 )tc o s (U2u u22
则 i1与 u2之间的相位差 uiui12 )t(t 等于初相差超前：若 则称 i1超前，否则 i1落后若 则称 i1和 u2同相若 正交 若 称 i1,u2反相。
1212
12
12
2
0
0
示波器观察相位差,YA和 YB通道，
先达到极值点的为超前。
φ12
i1
u2
i1落后 u2
8-3 相量法基础
1、正弦稳态电路：在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。若有多个激励
（都是同频正弦量）则叠加性质决定了电路中的电压、电流稳态响应都是同频正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路。
相量法是分析正弦电流电路稳态响应的一种有力工具。
2、复指数函数：
但它反映了正弦电流复常数无关是常数是一个复数且与电流相量其中为例子则以电流对应复指数函数的实部一一正弦量取实部欧拉公式
)(tIe
IeI
eI2ReeIe2Rei
)tc o s (I2i
)tc o s (FFRe
)ts i n (Fj)tc o s (FeFF
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i
i
i
j
j
tjtjj
)t(j
)t(j
3、相量
电流相量正弦量一一对应复数指数
i
j
tj
i
j
i1
ii
i
jtj
i
tj
1
IeI
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tc o sI2IRe
ts i njtc o sI2
eIe2
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（有效值和初相），因为 ω往往是给定的,I和 ψ定了，则 i就定了，
所以给 取一个名字 ------相量（电流）
相量是一个复数，它可用一个矢量表示，该矢量称矢量图，
相量可代表正弦量，因为一一对应
ijIe?
I?+j
+1
i?
I
4、正弦电流 i用一个以角速度的旋转相量在实轴上投影表示，
画一个相量,以旋转逆时针转，在实轴的投影为 i
I?
2 I?
+1
2 I?
+j t1 t2 t
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di
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i
21
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222111
的相量为即各个分量相加合相量但那么这些正弦量的和设为设
1、同频正弦量的代数和：
2、正弦量的微分：
3、正弦量的积分：设
dte
j
I
2RedteI2RedteI2Rei d t
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i
则
j
I?积分的相量例：已知两个同频正弦电流分别为
i
0
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21
2
1
21
21
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54.17024.14)34.2j05.14()11j05.19()66.8j5(
A15022A6010III( 1 )
dti( 3 )
dt
di
)2( ii ( 1 )
)
6
5
t314c o s (222i )
3
t314c o s (210i
有效值解求
α
-14.05
2,34
+1
j
(2)求
0
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1
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1 2 007.0
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dt
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的相量为则有的相量为设用相量形式求解
的表达式求得换成将方程也成立去掉成立对任何变换同频率的正弦量对上式是与解其特方程如图所示电路中设在正弦激励下相量法解微分方程特解
iiI
c
1
j-LjR
sU
I
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I
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uR
8-4 电路定律的相量形式
1、电流定律（ KCL）对任一结点有,∑i=0，因为所有支路电流都是同频正弦量，所以其相量形式为,∑I=0
2、对任一回路有 KVL,∑u=0，因为所有支路电压都是正弦量（同频） 所以其相量形式：
0U?
3、电阻 VCR相量形式：
＋ － ＋ －
·
·
当 R中有电流 iR通过时，电阻两端电压 uR uR=RiR
uR与 iR同频正弦量，相量形式为：
所以 Ψi= Ψu 相位同（ iR与 uR）
UR
IR
Ψi Ψu4、电感 VCR相量形式：
IRU R
iL L
uL＋ － L
L
U
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i?
u?
正弦电流 iL通过 L时
uL=L dtdi
相量形式为,LL ILjU
2IU 2 LIU LLiuuiLL
超前
=0 UL=0电感短路
5、电容 C上电压 uc为正弦量时，则电流 ic
2
cUcI Ic
c
1
Uc
cj
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cUcUcjcI
dt
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超前或相量形式为当 相当于开路0cI 0隔直作用
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＋ －
＋ －
cI?
c
u?
c?
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＋ －
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cU?
CI? cj
1
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6、受控源：若控制量是正弦量，则受控源的电压（或电流）也是同频率的正弦量。
。
。
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。
＋
－
guk=ij
电压控制电流源
ik=0 u
j 。
。
＋
－
UK 。
＋
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gUK=Ij
电压控制电流源相量形式
· · ·
ij=guk Ij=gUk· ·
相量形式方程与电阻的有关关系形式完全相似。
例,is为正弦电流源的电流，其有效值 IS=5A,=103rad/S,R=3 Ω
L=1H,C=1F，求电压 uad和 ubd
相量形式的电路
is
· · ·
·
a i R
+ -uR
b L
+ -uL
c
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uC
· · ·
·
a R
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b jωL
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A05III
3
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0
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0
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为参考相量即令设电流相量相量形式的电路
· · ·
·
a R
+ -
b jωL
+ -
c
+
-SI?
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RU?
LU?
CU? cj
1
d
例：图示的仪器为交流电表，其仪器表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表 A1的读数为 5A，电流表 A2的读数为 20A，电流表 A3的读数为 25A。求 A和 A4的读数。
I3
A A3A4
A2A
1Us·
＋
－ R
I1·
I2
I4
解：选并联支路电压为参考相量令 US=US∠0 0确定各电流的初相
I1=5 ∠0 0,I2=-j20A,I3=j25A
I=I1+I2+I3=（ 5+j5） =7.07 ∠45 0
·
·
· ·
·
· · ·
I4=I2+I3=j5= 5 ∠90 0· · ·
所以 A表读数为,7.07A,A4,5A
I? ·
· ·
电感的电压超前电流 900度电容的电流超前电压 900度本章小结,1、正弦量用相量代表
2、基尔霍夫定律的相量形式
3、电阻、电感、电容、受控源的相量形式，
以及初相关系。
4 电表的读数 (有效值 )
作业,10-2（ 2） 3 4 6
