3-1电路的图
1、图：是结点和支路的集合支路：抽象的线段（直线或曲线）
结点：支路的交点电路的图：每一个元件用线段表示,US1和 R1两支路，所以 5个结点（ b）
有时：将 i相同的归一个支路，则（ b）变成 4个结点,7支路（ C）
有时：将两个并联支路作为一个支路，四个结点,6支路有向图：支路给了方向的图；反之，无向图
*电路的图不同情况得到不同的结点数和支路数
*基尔霍夫 KCL,KVL与元件性质无关，所以可利用图讨论如何列出电路方程第三章 电阻电路的一般分析方法
·
②
③
④
1
2
3
4
5
6
（ a）
（ b）
（ c）
①
3-2 KCL和 KVL独立方程数上图（ c）中 4个结点,6支路的电路的图，结点和支路的编号已在图中标出，
支路的方向：关联方向,i和 u关联对结点 1,2,3,4分别列出 KCL方程式,1,i1-i4-i6=0
2,-i1-i2+i3=0
3,i2+i5+i6=0
4,-i3+i4-i5=0
上式 4个相加,0=0，即只有三个独立，
因为一个节点流出，另一个节点流入，
出现 2次，可以证明,n个结点，只有 n-
1个方程独立,n个结点，只有 n-1个独立的结点。
路径：从一个结点出发，到另一个任意结点连通图：图 G中任两个结点间至少存在一条路径，这种图称为连通图回路：起结点 =终结点（ 1,5,8）回路
1 2
34
5
6
78①
②
③
④?
独立回路：图中 1,5,8和 2,5,6列出两个
KVL方程，而 1268也可列出一个 KVL方程，
但可由上述两方程相减得到，所以三个回路方程两个独立，所以三个回路两个独立回路怎样找独立回路？利用树的概念树：一个连通图 G的树 T:⑴ 包含 G的全部结点和 部分支路,⑵ 而树本身是连通的,⑶ 而且不包含回路。对于上述图，符合树概念的树很多：如 a,b,c
1 2
34
5
6
78
1 2
34
5
6
78
1 2
34
5
6
78
a b c
①
②
③
④
⑤ ①
②
③
④
⑤ ③
④
⑤①
②
1 2
34
6
78
1 2
34
6
78
不是树，因为有回路不是树，因为非连通，
第四个结点没有包进去树支：树包含的支路，上图 T1的树支有（ 5,6,7,8），相应的连支为（ 1,2,3,4），对 b所示树 T2，其树支为（ 1,3,5、
6），相应的连支为（ 2,4,7,8）
*：树支和连支一起构成图 G的全部的支路上述 a,b,c所示 G的每一个树有 4条支路,d有 5条，不是树,e
只有 3条，也不是树,5个结点，树支数为 4，
图论可以证明：结点数为 n，则树支数为 n-1
基本回路：（单连支回路）：因为树连接所有结点，又不构成回路，加一个连支则构成一个回路 ------称为基本回路
③
④
⑤①
②
①
②
③
④
⑤
例,4个结点 6条支路，选取 1,4,5为树
1 2
45
3
6
1
45
6
1
5
3
1
45?
2
5 4
6
三个基本回路每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其它连支中，全部基本回路构成基本回路组，基本回路组每一个回路是独立的，所以由基本回路组列出的 KVL方程数是独立的，对于支路数为 b，结点数为 n则树支数为 n-1，总支路数 b-（树支数 n-1）
=连支数，而每一连支应对应一个基本回路，所以基本回路数
=b-（ n-1） =b-n+1
①
②
③
④
①
②
③
④
②
平面图：除连接的结点外，每条支路无交叉非平面图：有交叉例：上面的例子为平面图网孔：平面图的一个网孔就是一个自然孔
（ 1,3,5）、（ 2,3,7）、（ 456）
（ 478）（ 689）是网孔
（ 1268）不是网孔，因为内部有支路网孔数 =独立回路数，每一个网孔就是独立回路右边网孔数为 5，独立回路数 b-n+1=9-5+1=5
1 2
4
5
3
6?
7
8
9
②
⑤
③④①?
例：
选 1,4,5为树，
则基本回路,135、
1245,456
列出 KVL方程：
回路 1,u1+u3+u5=0
回路 2,u1-u2+u4+u5=0
回路 3,-u4-u5+u6=0
1 2
45
3
6
这是 3个独立方程，独立方程 =基本回路数
1 2
45
3
6
1 2
3
①
②
③
④
①
②
③
④
3-3支路电流法例：（以实例说明）
1
2
3
4
5
6?
a b
R1
＋
－
us1
－
＋
u1
R5
＋
－
us5
＋
－
u5
把 R1,us1作为一条支路，
把 R5,is5并联作为一支路，
4个节点,6条支路，对每个元件列出支路电压（以
i1…i 6表示）u1=-us1+R1i1 u2=R2i2 u3=R3i3
u4=R4i4 u5=R5i5+R5is5 u6=R6i6
（ 1）
④
R6
R1 R4R2 R
5＋
－
us1
i1
i2 i4
R3i3
i5
① ② ③
is1
① ③
④
②
-i1+i2+i6=0
-i2+i3+i4=0
-i4+i5-i6=0
（ 2）
独立结点 1,2、
3列出 KCL方程，有选网孔作为独立回路
I,u1+u2+u3=0
II,-u3+u4+u5=0
III,-u2+-u4+u6=0
（ 3）
（ 1）代入（ 3）式得,R1i1+R2i2+R3i3=us1
-R3i3+R4i4+R5i5=-R5is5
-R2i2-R4i4+R6i6=0
（ 4）
（ 2）和（ 4） ----支路电流方程，方程个数 6个，比 12个减少一半
（ 4）方程写成,Rkik= usk Rkik是 K支路上 RK电压降,usk是 K
支路上电压源,若 ik方向与回路方向一致取 +，反之取 -,USK 方向与回路一致取 -，反取 +,若是电流源和电阻并联，把它等效成电压源
1
2
3
4
5
6?
① ③
④
②I
II
III
用支路电流法列电路方程步骤：
1、选各支路电流参考方向
2、对独立结点列出 n-1个电流方程
3、选 b-n+1个独立回路，指定回路方向按 Rkik= usk 若有支路仅有电流源，无并联电阻，称无伴电流源要另作处理，再利用此法
3-4网孔电流法以网孔电流作为未知量，仅适用于平面电路例：（以例说明）
R1 R3
us3
R2
＋
－
us1
i1 i2
i3
us2
＋
－
＋
－
对于结点 1列方程,i2=i1-i3 即 i2不是独立的，由 i1和 i3决定，设想有两个电流 im1,im2分别沿网孔 1,2流动 ----称网孔电流，显然,i1=im1，
i3=im2，但 i2=im1-im2,以网孔电流作为未知量，对全部网孔列 KVL方程（因独立回路），这种方法称为网孔电流法。
*：列方程时，以各自的网孔电流为绕行方向，列 KVL方程，
网孔 1,u1+u2=0，网孔 2,-u2+u3=0 u1,u2,u3---支路电压，各支路 VcR方程,u1=-us1+R1i1=-us1+R1im1
① i3i1
i2
1
2
3
im1
im2
①
u2=R2i2+us2=R2（ im1-im2） +us2
u3=R3i3+us3=R3im2+us3，代入上式 （ R1+R2） im1-R2im2=us1-us2
-R2im1+（ R2+R3im2） im2=us2-us3
令,R11=R1+R2 R22=R2+R3 ----自阻（各网孔电阻之和）
R12和 R21代表互阻，网孔 1和网孔 2的公共电阻,R12=R21==R2，上式写成,R11im1+R12im2=us11，
R21im1+R22im2=us22
R11,R22总 +，因网孔电流 im1,im2为绕行方向
R12,R21当 im2,im1在公共电阻上反向时取负，同向取 +
右边，当 im1,im2由 -穿到 +时取 +，反取负。推广。
R11im1+R12im2+…i 1mimm=us11
…….……..
Rm1im1+Rm2im2+… R mmimm=umm
i3i1
i2
1
2
3
im1
im2
①
解,3个网孔
1、选网孔电流 I1,I2,I3
2、列网孔电流方程：因为 R11=60+20=80 R22=20+40=60
R33=40+40=80,R12=-20=R21 R13=R31=0 R23=R32=-40
US11=50-10=40 US22=10 US33=40
所以 I:80I1-20I2+0=40
II,-20I1+60I2-40I3=10
III,0+-40I2+80I3=40
例：图 3-10所示，试用网孔电流法求各支路电流
60Ω
40 Ω20
＋
－
50V
Ia Ib IC
10V
＋
－ ＋
－Ω 40 Ω IdI1
I2
可得,I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071
Ia=I1=0.786 Ib=-I1+I2=0.357
IC=I2-I3=0.072,Id=-I3=-1.071各支电流
*：当有电流源和电阻并联时变换成 电压源 +R
①
40 vI3
以回路电流作为未知量的方法，不仅适合平面图，且也适非平面图独立回路列方程 -----回路电流法
4 1
56
2il2
il1
3
il3
如图；以 456为树，则基本回路为,il11456,il2：
246,il3,356
回路 I方程 KVL,u1-u4-u5-u6=0
II,u2+u4+u6=0
III,u3-u5-u6=0
仿照网孔电流法,uK用 RK和回路电流 iLk表示，
可列出一般回路方程：
R11il1+R12il2+…i 1lill=us11
………
Rl1il1+Rl2il2+… R llill=ull
3-5回路电流法
①
②
③
④
i2
例,3-3已知 US1=50V,US3=20V,IS2=1A，无伴电流源。试用回路电流法列出回路的方程。
20
1510
＋
－
Us1
i1 i4
Il1
30 40
US3=20
＋
－
IS2
U
-
+
1
2
3
4
5
6
b
Il2 Il3
解,IS2两端的电压作为附加的变量，选三个回路 IL1,IL2,IL3，回路方程为：
I,（ 20+15+10） IL1-10IL2-15IL3=0
II,-10IL1+（ 10+30） IL2+U=US1=50
III,-15Il1-U+（ 40+15） Il3=-20
附加方程,IL3-IL2=1 4个方程 4个未知数回路电流法的步骤：
1、确定一个树，从而确定一组基本回路，
确定回路电流方向
2、列回路方程，注意自阻为正，互阻 +、
-号的确定，右边 USK确定
3、当含有无伴电流源需另作处理
4、对平面电路可用网孔法
① ② ③?
① ② ③
④④
3-6 结点电压法结点电压：选一个结点作为参考结点，其它结点与之之间的电压称结点电压。
结点电压法：以结点电压作为未知量列写电路的方程从而求出各个量的方法。如图所,4个结点,6条支路，以 0作为参考结点
1
4
2
5
3
6
0
b
R5R4
i6 i
4 i5
R2
US3
＋
－
i2
is6
R6
i1 i3
R3
0
支路电流 i1---i6分别用结点电压 un1,un2,un3表示
is1?
① ② ③? ① ② ③
R1
6s
6
3n1n
6s
6
6
6
5
3n2n
5
5
5
4
2n1n
4
4
4
3
3s3n
3
3s3
3
2
2n
2
2
2
1s
1
1n
1s
1
1
1
i
R
uu
i
R
u
i
R
uu
R
u
i
R
uu
R
u
i
R
uu
R
uu
i
R
u
R
u
i
i
R
u
i
R
u
i
1
4
2
5
3
6
0
R5R4
i6 i
4 i5
R2
US3
＋
－
i2
is6
R6
i1 i3
R3
0
is1?
① ② ③?
① ② ③
R1
(1)
u
R
1
iu)
R
1
R
1
R
1
( u
R
1
u
R
1
-
0u
R
1
u)
R
1
R
1
R
1
( u
R
1
-
iiu
R
1
u
R
1
u)
R
1
R
1
R
1
(
0i-i-i
(2 ) 0ii-i
0iii
:)2((1 ):K C L3,2,1
3s
3
6s3n
653
2n
5
1
n
6
3n
5
2n
542
1
n
4
6s1s3n
6
2n
4
1n
641
653
542
641
中经整理代入列对结点
3s36s3n6532n51n6
3n52n5421n4
6s1s3n62n41n641
uGiu)GGG( uG uG-
0uGu)GGG( uG-
iiuGuGu)GGG(
令 G11=G1+G4+G6 G22=G2+G4+G5 G33=G3+G5+G6 自导总为正，
令 G12=G21=-G4 G13=G31=-G6 G23=G32=-G5，分别是 12,13、
23三对结点互导，总负的，
右边 IS11,IS22,IS33,为流入 1,2,3结点代数和，流入取 +，出取 -，
且电压源不要忘记了先变成电流源。
33s3n332n231n31
22s3n232n221n21
11s3n132n121n11
iuG uG uG
iuGuG uG
iuGuGuG
一般形式本质上是电流定律的具体应用例,3-6电路如图所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压 U0
解：取参考结点
T如图所示，其它 3个结点电压
un1,un2,un3结点电压方程为,6
2
15V
＋
－
5A
10A i
5
2i2 i3
i4
i1 3
un1
un3
un2
U0
参考点
5u)
2
1
2
1
(u
2
1
u0:3
105
3
15
u
2
1
u)
6
1
3
1
2
1
(u)
6
1
3
1
(:2
3
15
u)
3
1
6
1
(u)
6
1
3
1
2
1
(:1
3n2n1n
3n2n1n
2n1n
①
② ③?
＋
-
2
化简,un1-0.5un2=-5
-0.5un1+un2-0.5un3=10
-0.5un2+un3=5
解得,un1=5v
un2=20
un3=15
支路电流：
v15
25.72IU
5.7
2
15
2
u
I
5.2
2
1520
2
uu
I
5.2
2
5
2
u
I
5.2
6
15
6
uu
I
0
3
)uu(15
I
50
3n
5
3n2n
4
1n
3
1n2n
2
1n2n
1
输出电压
*：无伴电压源：支路中只有电压源，无电阻串联，此时 G=无穷大，
这种电路另处理处理：把无伴电压源的支路电流 i作为一个变量列入方程解：设无伴电压源支路的电流为 i
电路的结点电压方程：
1：（ G1+G3） un1-i-G3un2=0
2,-G3un1+（ G2+G3） un2=is2
补充的约束条件,un1=us1
例,US1为无伴电压源的电压，试列出此电路的结点电压方程，
＋
－
us1 G1 G
2
G3
i
is2
① ②
当把 i移到右边后,i为正，相当于流入结点 1
的电流
*若电路中含有受控源：先把控制量用结点电压表示，先把它当独立源处理，然后移到左边去。
例：图中含有受控源，其电流 ic=gu2,u2为 R2电阻两端的电压解：根据控制量为 u2，选 0为参考结点
ic=gun1
1：
2：
1s2n
31
1n
1
1s1n2n
31
1n
1
1s2n
1
1n
21
iu)
R
1
R
1
(u)g
R
1
(
iguu)
R
1
R
1
(u
R
1
iu
R
1
u)
R
1
R
1
(
icis1 R1 R3
R2
0
G21=G12因为有受控源
①
②
结点电压法的步骤：
1：指定参考结点，其它结点对参考结点的是压为 Unk
2：按互导的一般式列出方程，自导 +，互导负，流入电流为正，出为负，
3、当有受控源或无伴电压源另作处理本章小结：线性电路一般分析方法：支路电流法回路电流法（含网孔电流法）
结点电压法｛
作业,3-6,3-10 3-11 3-12 3-20 3-22
1、图：是结点和支路的集合支路：抽象的线段（直线或曲线）
结点：支路的交点电路的图：每一个元件用线段表示,US1和 R1两支路，所以 5个结点（ b）
有时：将 i相同的归一个支路，则（ b）变成 4个结点,7支路（ C）
有时：将两个并联支路作为一个支路，四个结点,6支路有向图：支路给了方向的图；反之，无向图
*电路的图不同情况得到不同的结点数和支路数
*基尔霍夫 KCL,KVL与元件性质无关，所以可利用图讨论如何列出电路方程第三章 电阻电路的一般分析方法
·
②
③
④
1
2
3
4
5
6
（ a）
（ b）
（ c）
①
3-2 KCL和 KVL独立方程数上图（ c）中 4个结点,6支路的电路的图，结点和支路的编号已在图中标出，
支路的方向：关联方向,i和 u关联对结点 1,2,3,4分别列出 KCL方程式,1,i1-i4-i6=0
2,-i1-i2+i3=0
3,i2+i5+i6=0
4,-i3+i4-i5=0
上式 4个相加,0=0，即只有三个独立，
因为一个节点流出，另一个节点流入，
出现 2次，可以证明,n个结点，只有 n-
1个方程独立,n个结点，只有 n-1个独立的结点。
路径：从一个结点出发，到另一个任意结点连通图：图 G中任两个结点间至少存在一条路径，这种图称为连通图回路：起结点 =终结点（ 1,5,8）回路
1 2
34
5
6
78①
②
③
④?
独立回路：图中 1,5,8和 2,5,6列出两个
KVL方程，而 1268也可列出一个 KVL方程，
但可由上述两方程相减得到，所以三个回路方程两个独立，所以三个回路两个独立回路怎样找独立回路？利用树的概念树：一个连通图 G的树 T:⑴ 包含 G的全部结点和 部分支路,⑵ 而树本身是连通的,⑶ 而且不包含回路。对于上述图，符合树概念的树很多：如 a,b,c
1 2
34
5
6
78
1 2
34
5
6
78
1 2
34
5
6
78
a b c
①
②
③
④
⑤ ①
②
③
④
⑤ ③
④
⑤①
②
1 2
34
6
78
1 2
34
6
78
不是树，因为有回路不是树，因为非连通，
第四个结点没有包进去树支：树包含的支路，上图 T1的树支有（ 5,6,7,8），相应的连支为（ 1,2,3,4），对 b所示树 T2，其树支为（ 1,3,5、
6），相应的连支为（ 2,4,7,8）
*：树支和连支一起构成图 G的全部的支路上述 a,b,c所示 G的每一个树有 4条支路,d有 5条，不是树,e
只有 3条，也不是树,5个结点，树支数为 4，
图论可以证明：结点数为 n，则树支数为 n-1
基本回路：（单连支回路）：因为树连接所有结点，又不构成回路，加一个连支则构成一个回路 ------称为基本回路
③
④
⑤①
②
①
②
③
④
⑤
例,4个结点 6条支路，选取 1,4,5为树
1 2
45
3
6
1
45
6
1
5
3
1
45?
2
5 4
6
三个基本回路每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其它连支中，全部基本回路构成基本回路组，基本回路组每一个回路是独立的，所以由基本回路组列出的 KVL方程数是独立的，对于支路数为 b，结点数为 n则树支数为 n-1，总支路数 b-（树支数 n-1）
=连支数，而每一连支应对应一个基本回路，所以基本回路数
=b-（ n-1） =b-n+1
①
②
③
④
①
②
③
④
②
平面图：除连接的结点外，每条支路无交叉非平面图：有交叉例：上面的例子为平面图网孔：平面图的一个网孔就是一个自然孔
（ 1,3,5）、（ 2,3,7）、（ 456）
（ 478）（ 689）是网孔
（ 1268）不是网孔，因为内部有支路网孔数 =独立回路数，每一个网孔就是独立回路右边网孔数为 5，独立回路数 b-n+1=9-5+1=5
1 2
4
5
3
6?
7
8
9
②
⑤
③④①?
例：
选 1,4,5为树，
则基本回路,135、
1245,456
列出 KVL方程：
回路 1,u1+u3+u5=0
回路 2,u1-u2+u4+u5=0
回路 3,-u4-u5+u6=0
1 2
45
3
6
这是 3个独立方程，独立方程 =基本回路数
1 2
45
3
6
1 2
3
①
②
③
④
①
②
③
④
3-3支路电流法例：（以实例说明）
1
2
3
4
5
6?
a b
R1
＋
－
us1
－
＋
u1
R5
＋
－
us5
＋
－
u5
把 R1,us1作为一条支路，
把 R5,is5并联作为一支路，
4个节点,6条支路，对每个元件列出支路电压（以
i1…i 6表示）u1=-us1+R1i1 u2=R2i2 u3=R3i3
u4=R4i4 u5=R5i5+R5is5 u6=R6i6
（ 1）
④
R6
R1 R4R2 R
5＋
－
us1
i1
i2 i4
R3i3
i5
① ② ③
is1
① ③
④
②
-i1+i2+i6=0
-i2+i3+i4=0
-i4+i5-i6=0
（ 2）
独立结点 1,2、
3列出 KCL方程，有选网孔作为独立回路
I,u1+u2+u3=0
II,-u3+u4+u5=0
III,-u2+-u4+u6=0
（ 3）
（ 1）代入（ 3）式得,R1i1+R2i2+R3i3=us1
-R3i3+R4i4+R5i5=-R5is5
-R2i2-R4i4+R6i6=0
（ 4）
（ 2）和（ 4） ----支路电流方程，方程个数 6个，比 12个减少一半
（ 4）方程写成,Rkik= usk Rkik是 K支路上 RK电压降,usk是 K
支路上电压源,若 ik方向与回路方向一致取 +，反之取 -,USK 方向与回路一致取 -，反取 +,若是电流源和电阻并联，把它等效成电压源
1
2
3
4
5
6?
① ③
④
②I
II
III
用支路电流法列电路方程步骤：
1、选各支路电流参考方向
2、对独立结点列出 n-1个电流方程
3、选 b-n+1个独立回路，指定回路方向按 Rkik= usk 若有支路仅有电流源，无并联电阻，称无伴电流源要另作处理，再利用此法
3-4网孔电流法以网孔电流作为未知量，仅适用于平面电路例：（以例说明）
R1 R3
us3
R2
＋
－
us1
i1 i2
i3
us2
＋
－
＋
－
对于结点 1列方程,i2=i1-i3 即 i2不是独立的，由 i1和 i3决定，设想有两个电流 im1,im2分别沿网孔 1,2流动 ----称网孔电流，显然,i1=im1，
i3=im2，但 i2=im1-im2,以网孔电流作为未知量，对全部网孔列 KVL方程（因独立回路），这种方法称为网孔电流法。
*：列方程时，以各自的网孔电流为绕行方向，列 KVL方程，
网孔 1,u1+u2=0，网孔 2,-u2+u3=0 u1,u2,u3---支路电压，各支路 VcR方程,u1=-us1+R1i1=-us1+R1im1
① i3i1
i2
1
2
3
im1
im2
①
u2=R2i2+us2=R2（ im1-im2） +us2
u3=R3i3+us3=R3im2+us3，代入上式 （ R1+R2） im1-R2im2=us1-us2
-R2im1+（ R2+R3im2） im2=us2-us3
令,R11=R1+R2 R22=R2+R3 ----自阻（各网孔电阻之和）
R12和 R21代表互阻，网孔 1和网孔 2的公共电阻,R12=R21==R2，上式写成,R11im1+R12im2=us11，
R21im1+R22im2=us22
R11,R22总 +，因网孔电流 im1,im2为绕行方向
R12,R21当 im2,im1在公共电阻上反向时取负，同向取 +
右边，当 im1,im2由 -穿到 +时取 +，反取负。推广。
R11im1+R12im2+…i 1mimm=us11
…….……..
Rm1im1+Rm2im2+… R mmimm=umm
i3i1
i2
1
2
3
im1
im2
①
解,3个网孔
1、选网孔电流 I1,I2,I3
2、列网孔电流方程：因为 R11=60+20=80 R22=20+40=60
R33=40+40=80,R12=-20=R21 R13=R31=0 R23=R32=-40
US11=50-10=40 US22=10 US33=40
所以 I:80I1-20I2+0=40
II,-20I1+60I2-40I3=10
III,0+-40I2+80I3=40
例：图 3-10所示，试用网孔电流法求各支路电流
60Ω
40 Ω20
＋
－
50V
Ia Ib IC
10V
＋
－ ＋
－Ω 40 Ω IdI1
I2
可得,I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071
Ia=I1=0.786 Ib=-I1+I2=0.357
IC=I2-I3=0.072,Id=-I3=-1.071各支电流
*：当有电流源和电阻并联时变换成 电压源 +R
①
40 vI3
以回路电流作为未知量的方法，不仅适合平面图，且也适非平面图独立回路列方程 -----回路电流法
4 1
56
2il2
il1
3
il3
如图；以 456为树，则基本回路为,il11456,il2：
246,il3,356
回路 I方程 KVL,u1-u4-u5-u6=0
II,u2+u4+u6=0
III,u3-u5-u6=0
仿照网孔电流法,uK用 RK和回路电流 iLk表示，
可列出一般回路方程：
R11il1+R12il2+…i 1lill=us11
………
Rl1il1+Rl2il2+… R llill=ull
3-5回路电流法
①
②
③
④
i2
例,3-3已知 US1=50V,US3=20V,IS2=1A，无伴电流源。试用回路电流法列出回路的方程。
20
1510
＋
－
Us1
i1 i4
Il1
30 40
US3=20
＋
－
IS2
U
-
+
1
2
3
4
5
6
b
Il2 Il3
解,IS2两端的电压作为附加的变量，选三个回路 IL1,IL2,IL3，回路方程为：
I,（ 20+15+10） IL1-10IL2-15IL3=0
II,-10IL1+（ 10+30） IL2+U=US1=50
III,-15Il1-U+（ 40+15） Il3=-20
附加方程,IL3-IL2=1 4个方程 4个未知数回路电流法的步骤：
1、确定一个树，从而确定一组基本回路，
确定回路电流方向
2、列回路方程，注意自阻为正，互阻 +、
-号的确定，右边 USK确定
3、当含有无伴电流源需另作处理
4、对平面电路可用网孔法
① ② ③?
① ② ③
④④
3-6 结点电压法结点电压：选一个结点作为参考结点，其它结点与之之间的电压称结点电压。
结点电压法：以结点电压作为未知量列写电路的方程从而求出各个量的方法。如图所,4个结点,6条支路，以 0作为参考结点
1
4
2
5
3
6
0
b
R5R4
i6 i
4 i5
R2
US3
＋
－
i2
is6
R6
i1 i3
R3
0
支路电流 i1---i6分别用结点电压 un1,un2,un3表示
is1?
① ② ③? ① ② ③
R1
6s
6
3n1n
6s
6
6
6
5
3n2n
5
5
5
4
2n1n
4
4
4
3
3s3n
3
3s3
3
2
2n
2
2
2
1s
1
1n
1s
1
1
1
i
R
uu
i
R
u
i
R
uu
R
u
i
R
uu
R
u
i
R
uu
R
uu
i
R
u
R
u
i
i
R
u
i
R
u
i
1
4
2
5
3
6
0
R5R4
i6 i
4 i5
R2
US3
＋
－
i2
is6
R6
i1 i3
R3
0
is1?
① ② ③?
① ② ③
R1
(1)
u
R
1
iu)
R
1
R
1
R
1
( u
R
1
u
R
1
-
0u
R
1
u)
R
1
R
1
R
1
( u
R
1
-
iiu
R
1
u
R
1
u)
R
1
R
1
R
1
(
0i-i-i
(2 ) 0ii-i
0iii
:)2((1 ):K C L3,2,1
3s
3
6s3n
653
2n
5
1
n
6
3n
5
2n
542
1
n
4
6s1s3n
6
2n
4
1n
641
653
542
641
中经整理代入列对结点
3s36s3n6532n51n6
3n52n5421n4
6s1s3n62n41n641
uGiu)GGG( uG uG-
0uGu)GGG( uG-
iiuGuGu)GGG(
令 G11=G1+G4+G6 G22=G2+G4+G5 G33=G3+G5+G6 自导总为正，
令 G12=G21=-G4 G13=G31=-G6 G23=G32=-G5，分别是 12,13、
23三对结点互导，总负的，
右边 IS11,IS22,IS33,为流入 1,2,3结点代数和，流入取 +，出取 -，
且电压源不要忘记了先变成电流源。
33s3n332n231n31
22s3n232n221n21
11s3n132n121n11
iuG uG uG
iuGuG uG
iuGuGuG
一般形式本质上是电流定律的具体应用例,3-6电路如图所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压 U0
解：取参考结点
T如图所示，其它 3个结点电压
un1,un2,un3结点电压方程为,6
2
15V
＋
－
5A
10A i
5
2i2 i3
i4
i1 3
un1
un3
un2
U0
参考点
5u)
2
1
2
1
(u
2
1
u0:3
105
3
15
u
2
1
u)
6
1
3
1
2
1
(u)
6
1
3
1
(:2
3
15
u)
3
1
6
1
(u)
6
1
3
1
2
1
(:1
3n2n1n
3n2n1n
2n1n
①
② ③?
＋
-
2
化简,un1-0.5un2=-5
-0.5un1+un2-0.5un3=10
-0.5un2+un3=5
解得,un1=5v
un2=20
un3=15
支路电流：
v15
25.72IU
5.7
2
15
2
u
I
5.2
2
1520
2
uu
I
5.2
2
5
2
u
I
5.2
6
15
6
uu
I
0
3
)uu(15
I
50
3n
5
3n2n
4
1n
3
1n2n
2
1n2n
1
输出电压
*：无伴电压源：支路中只有电压源，无电阻串联，此时 G=无穷大，
这种电路另处理处理：把无伴电压源的支路电流 i作为一个变量列入方程解：设无伴电压源支路的电流为 i
电路的结点电压方程：
1：（ G1+G3） un1-i-G3un2=0
2,-G3un1+（ G2+G3） un2=is2
补充的约束条件,un1=us1
例,US1为无伴电压源的电压，试列出此电路的结点电压方程，
＋
－
us1 G1 G
2
G3
i
is2
① ②
当把 i移到右边后,i为正，相当于流入结点 1
的电流
*若电路中含有受控源：先把控制量用结点电压表示，先把它当独立源处理，然后移到左边去。
例：图中含有受控源，其电流 ic=gu2,u2为 R2电阻两端的电压解：根据控制量为 u2，选 0为参考结点
ic=gun1
1：
2：
1s2n
31
1n
1
1s1n2n
31
1n
1
1s2n
1
1n
21
iu)
R
1
R
1
(u)g
R
1
(
iguu)
R
1
R
1
(u
R
1
iu
R
1
u)
R
1
R
1
(
icis1 R1 R3
R2
0
G21=G12因为有受控源
①
②
结点电压法的步骤：
1：指定参考结点，其它结点对参考结点的是压为 Unk
2：按互导的一般式列出方程，自导 +，互导负，流入电流为正，出为负，
3、当有受控源或无伴电压源另作处理本章小结：线性电路一般分析方法：支路电流法回路电流法（含网孔电流法）
结点电压法｛
作业,3-6,3-10 3-11 3-12 3-20 3-22
