dseF (s )
j2
1
f( t)
f( t)Lf( t)
f( t)LF (s ) dtf( t)eSF
0
113
st
jc
jc
1-
0
st-
拉氏反变换定义原函数象函数则有定义在定义拉氏变换定义
f（ t）
第十三章 拉普拉斯变换
s
1
dte
dte)t(f( t)LF (S )
)t(f( t)1
3
2
1
1
0
st
0
st
解指数函数单位冲击函数单位阶跃函数求以下函数的象函数例
s
dteef( t )LF ( s ) e)t(f
dte)t(dte)t(f( t )LF ( t) )t()t(f
sttt
stst
1
3
12
0
0
00
S
K
S
K
S
K
KL)e(kL
s
)
jsjs
(
j
)ee(
j
Lts i nL1
fL)e(k)t(f2 t s i nf(t)1
)S(FA)S(FAdtefAdtefA
dte(t)fA(t)fA(t)fA(t)fAL
)S(FA)S(FA)t(fLA)t(fLA(t)fA(t)fAL
t
tjtj
t
stst
st
22112211
2211
12
11
2
1
2
1
1
1
213
22
2211
0
22
0
11
0
22112211
解求若例证线性性质拉氏变换的基本性质
)0(f)S(sFdt)e)(t(fs-f( 0 -)
dt)se)(t(fe)t(fdte
dt
d f(t )
v d u-uvudv
f(t)v dte-sdu dvdt(t)f ue
dte
dt
d f(t )
(t)fL
f(0 -)-s F (s )(t)fL )s(Ff(t)L
2
0
st
0
st
0
st
0
st
stst
0
st
则设证明则若微分性质
dt
td s i n1
t)c o s ( t)c o s (
dt
td s i n
)t()t(f2
t)c o s (f(t)1
1解数的象函数应用导数性质求下列函例
s
)s(F
dt
s
e
-)t(f
s
e
-d)(fdted)(f
s
e
-vf ( t )d t du dtedvf ( t )d t u
S
)S(F
d)(fL )t(F)t(fL 3
10-
S
1
s)t(
dt
d
L)t(L
S
1
)t(L
dt
)t(d
)t(2
0s i n 0 0( 0 - )
s
s
0
s
s
1
dt
ts i nd1
Ltc o sL
s
ts i nL
0
st-
0
st-
t
00
st-
t
0
st-
st-
t
0
22
2222
则令证则若积分性质
t是变量,S是常量,
积分上限 t用 0-代替
2
1111
SSS
)S(F
S
f ( t )L d)(tf ( t )
tf ( t )
t
0
由于解的象函数利用积分性质求例
sstst
stsstts
t
st
0
t
t0
-0
st
00
0
st
0
e
S
e
SS
f(t)Le
S
)-(tL
S
(t)L )-(t-(t)f(t)
)S(Fede)f(edte)f(
dte)t-f(tdte)t-f(t)t-f(tL
t-ttt0t0 )-f(t
)S(Fe)t-f(tL )S(Ff(t)L
1
1111
1
0
4
00
0
0
00
0
000
0
延迟性质图中矩形脉冲可表示为解求矩形波的象函数例令时当其中则若延时性质
A
τ
f(t)
t·
13-3 拉氏反变换的部分分式展开思想：把象函数进行部分分式，求出每个分式的反变换（原函数）
e6.0e5.01.0
2S5SS
1S2
L
2S
5.0
5S
6.0
S
1.0
2S5SS
1S2
5.03K 6.02K 1.01K
2S
K
5S
K
S
K
2S5SS
1S2
2S5SS
1S2
10S7SS
1S2
SF
S10S7S
1S2
SF1
t5t21
221
12
23
解的原函数求例
称运算阻抗取拉氏变换和微分性质电感元件电阻元件基尔霍夫定律运算形式对上式拉氏变换后域基尔霍夫定律时域运算电路
----SL )(Li)S(S L I)S(U
i (0 -)SSIL
dt
d i (t )
LLu (t ) L
dt
d i (t )
Lu (t )
Riu R I (S )U (S )
SU SI S
0u i
0
00
0
413
I（ S） R
+ U（ S） -
＋－sLI
Li(0-)
i
u
L
＋ － ○U(S)＋ － 电感的运算电路形式附加电源，其极性与 I
反向。
-＋
i
C的运算电路电容：
s
)(u
)S(I
cs
)S(U
)(udt)t(i
c
)t(u
t
01
0
1
0
○○
u -＋
I（ S）
○○
U（ S）
CS
1
+ -
s
)(u?0
附加的电源，其正极性与电流一致。
L2i2(0-)
附加电压源互感运算阻抗两边取拉氏变换的作用应包含互感耦合电感
----)(0Mi )(0Mi
---sM
)(0Mi-( S )S M I)(0iL-( S )ISL( S )U
)(0Mi-( S )S M I)(0iL-( S )ISL( S )U
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
M
-
2
-
1
-
11
-
22222
-
22
-
11111
12
22
21
11
○
○
○
○
i1 i2
u1
＋ ＋
- -
u2L1 L2
M
○
○
○
○
I1(S) I2(S)
U1(S)
＋ ＋
- -
U2(S)
SL1
L1i1(0-)
Mi2(0-)
SL2
SM
＋
＋
-
-
＋
＋
-
-
Mi1(0-)－耦合电感的运算电路有两个附加电源有互感
代入数据列出方程为设回路电流回路电流法运算电路电路处于稳态闭合前的拉氏变换解试用运算法求解电流闭合时电路原处于稳态图例再求反变换求出待求量路代替每一元件用它的运算电思想性电路应用拉氏变换法分析线
s
)(u
SI
SC
1
RSI
sc
II
s
)(u
S
SI
sc
SI
SC
1
SLR I
SI SI
b Uv)(0u 0)(0i
S
1L1VU
(t)i S 0t 7a-13 1
c
b2a
c
ba1
ba
S
-
c
-
L
S
1
01
011
1
1
513
I1 R1 SL
1/SC R2i1 R1 L
1F C R2
R1=1 L=1H
R2=1
＋
－
1/S
＋
－uc(0-)/s
Ia(s) Ib(s)
。 。
S （ t=0）
＋
－
US=1V
(a) (b)
A)ts i netc o se(
SIL
s
SI
S
1
1SI
s
)ss(s
I)S(ISI
s
SI
S
1
S1
tt
1
1-
ba
)s(aba
1
2
1
11
22
1
0
1
21
A)ts i netc o se()t(i tt 1211
( t )e
C
1
u ( t )
RC
1
S
1
C
1
SC
1
R
SC
1
R
SISZ SU1SI ( t ) A( t )i2
( t )e1RSISZLu ( t )
RC
1
S
R
S
R
S
1
SC
1
R
SC
1
R
SISZ SU
S
1
SI( t )( t )i
B 0)(0u 0( t ) -0t1
u ( t )
( t ) A( t )i2
( t ) A( t )i1
)t(i RC8-13
t
RC
1
SSs
t
RC
1
S
1-
SSs
-
C
s
s
s
当运算电路如图解试求电路响应若激励为电流源并联电路所示图例
RCis(t)
R
1/sc
Is(t)
(b)
＋
－
u(t)
(b) U(s)
＋
－
iL
ve5e4SUL( t )u
5S22S
S2
SU
S
1
S
1
2S5
2
SU
S
1
5
2
SL
)i ( 0L
R
S
5
R
2S
2
SU
SL
1
R
1
R
1
1
A1
R
u
( 0 - )i
S
5
5LuL
2S
2
e2LuL
B
1HL 5R2R1 5vu e2u
)t(u 0t S 0t 9-13
t5.2t2
L
1-
L
L
L
-
21
L
21
2
s2
Ls2
t2
s1
s2
t2
1s
L
数据代入方程结点法运算电路见图解已知时求闭合时将开关电路处于稳态所示电路中图例
。 。S （ t=0）
＋
－ us1
＋
－
us2
R1
R2
L
uL
－
＋
＋
－ 2/s+2
＋
－
5/s
R1
R2
iL sL
UL －
＋
5 5
－
＋
Li(0-)
(b)
①?
)ee(.)t(i )e.e.()t(i
S.S.
.
)S(I
S.S.S
S.
)S(I
)S(I)S.()S(SI.
s
1
( s )0,0 5 s I-( s )0,1 s ) I(1
( S )I )S(ISLR)S(S M I
( S )I
S
)S(S M I)S(ISLR
B
)t(i)t(itV 1U
0,0 5 HM 1H0L2L 1RR 10-13
tt.tt.
21
2
1
S
121
20676
2
20676
1
222221
21
2221
2111
21
5050501
12010750
050
12010750
110
0101050
0
1
0
数据代入互感取负号从同名端流出从同名端流进回路方程方程运算电路解和时开关闭合后的电流试求已知所示电路中图例
○
i1
i2
us
＋
-
L1 L
2
M
○
s R1
R2 ＋
-
sL1 sL
2
sM
I1(s)
R1
R2
s
1 I2(s)
(a) (b)
0-时,i1,i2全为 0，所以附加电源全为 0。
时,i,i 全为,所以附加电源全为 0
。
。S（ t=0）＋
－
US=10V
R1=2 L1=0.3 R2=3
L2 0.1H
R2=3
SL2L1i1(0-)＋
－
10/S
R1=2
SL1I(s)
＋－
(b)
b S
SL A
R
U
L
S S 11-13
2
1
S
1
打开后的运算电路未打开中无电流在中初始电流为解电感元件上的电压压及打开后电路中电流的电求原来闭合开关所示电路如图例
5?
(a)
v)t(375.0e19.2)t(u
e75.8)t(u)t(uv)t(375.0e56.6)t(u
375.0
5.12S
19.2
5.12S
S175.0
2.0)S(SI1.0)S(U
375.0
5.12S
56.6
5.1
5.12S
75.1S3.0
6.05.1)S(SI3.0)S(U
A)e75.12()t(i
5.12S
75.1
S
2
5.12S
75.3
5.12SS
S2
S4.05
5.1
)S4.05(S
10
)LL(SRR
L5
S
10
)S(I
t5.12
2L
t5.12
2L1L
t5.12
1L
2L
1L
t5.12
2121
1
本章小结,1、常见函数的拉氏变换、反变换
2,R,C,L耦合电感的运算电路
3、运算法求解线性电路 作业,13-8,9、
5
R2=3
L1i1(0-)
＋
－
10/S
R1=2
SL1I(s)
＋－
(b)
SL2
