一、基本概念
1.集合,具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
},,,{ 21 naaaA
}{ 所具有的特征xxM?
有限集无限集
,Ma?,Ma?
.,,的子集是就说则必若 BABxAx
.BA?记作数集分类,N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集数集间的关系,,,,RQQZZN
.,,相等与就称集合且若 BAABBA )( BA?
},2,1{?A例如
},023{ 2 xxxC,CA?则不含任何元素的集合称为 空集,)(?记作例如,}01,{ 2 xRxx
规定
空集为任何集合的子集,
2.区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba 且
}{ bxax 称为开区间,),( ba记作
}{ bxax 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
o xa b
}{ bxax
}{ bxax
称为半开区间,
称为半开区间,
),[ ba记作
],( ba记作
}{),[ xaxa }{),( bxxb
o xa
o xb
有限区间无限区间区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
3.邻域,,0, 且是两个实数与设 a
).(0 aU?记作
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( axaxaU
xaaa
,邻域的去心的点?a
.}0{)( axxaU
,}{ 邻域的称为点数集 aaxx
4.常量与变量,
在某过程中数值保持不变的量称为 常量,
注意 常量与变量是相对“过程”而言的,
通常用字母 a,b,c等表示常量,
而数值变化的量称为 变量,
常量与变量的表示方法：
用字母 x,y,t等表示 变 量,
5.绝对值,
0
0
aa
aaa
)0(?a
运算性质,;baab?;baba?,bababa
)0( aax ;axa
)0( aax ;axax 或绝对值不等式,
二、函数概念例 圆内接正多边形的周长
nnrS n
s i n2
,5,4,3?n
3S 5
S4S 6S
圆内接正 n边形
O
rn?
因变量 自变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx?
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数,记作定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集，
数集 D叫做这个函数的 定义域)( xfy?
如果对于每个数 Dx?,
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量因变量对应法则 f
函数的两要素,定义域 与 对应法则,
x
y
D
W
约定,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,
21 xy例如,]1,1[,?D
21
1
xy例如,)1,1(,?D
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数称为点集
xfy
DxxfyyxC
o x
y
),( yx
x
yW
D
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
．例如,222 ayx
(1) 符号函数
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当当当几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx s g n
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 xy12 xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为 分段函数,
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压 U与时间 的函数关系式,)0(?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
,]2,0[ 时当t
t
E
U
2
;2 tE
单三角脉冲信号的电压,],2( 时当?
t
),(
2
0
0
t
E
U
)(2 tEU即
,),( 时当t,0?U
其表达式为是一个分段函数,)( tUU
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设?
xf
x
xxf
解
2312
1301)3(
x
xxf
212
101)(
x
xxf?
122
231
x
x
]1,3[,fD故三、函数的特性
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界 无界
M
-M
y
xo X0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX
1．函数的有界性,
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
),()()1( 21 xfxf?恒有
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()2( 21 xfxf?恒有
3．函数的奇偶性,
偶函数有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf
y
x
)( xf?
)( xfy?
o x-x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy?
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
2l? 2l23l? 23l
四、反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy?函数
o x
y
D
W
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线 对称,xy?
例 3
解
,01)(
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD
,1)57(D,0)21(D,1))((?xDD
o x
y
1单值函数,有界函数,
偶函数,
周期函数 (无最小正周期 )
不是单调函数,
五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值,
函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性,
反函数思考题设 0 x,函数值 21)
1
( xx
x
f,
求函数 )0()( xxfy 的解析表达式,
思考题解答设 ux?1
则 2111 uuuf,11
2
u
u
故 )0(.11)(
2
xx xxf
一,填空题,
1,若
2
2
51
t
tt
f
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
tf,
2,若
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
=_ __ __ __ __,)
3
(
=_ __ _ __ _ __,
3,不等式
15x
的区间表示法是 __ __ __ _ _ _,
4,设
2
xy?,要使
),0(?Ux?
时，
)2,0(Uy?
,
须
__ __ __ _ __ _.
练 习 题二、证明 xy lg? 在 ),0( 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( aaa 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设
)( xf
是以 2 为周期的函数，
且
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在
),(
上绘出
)( xf
的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
)( 的反函数，并指出其定义域,
一,1,
2
2
5
t
t?,
22
2
)1(
2
)1(5
t
t ； 2,1,1 ；
3,(4,6 ) ； 4,]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln?
x
x
y,
练习题答案一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy?
2.指数函数 )1,0( aaay x
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(?
xey?
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(?
4.三角函数正弦函数
xy sin?
xy sin?
xy cos?
xy c o s?余弦函数正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s in?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r c t a n?反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域
f
D,而函数
)( xu 的值域为
Z,若
ZD
f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2c o t xy?例如,uy?,c o t vu?,2
xv?
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,si n ；
5,[-1,1 ],[ kk 2,2 ],
]1,[ aa
,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy?
2.指数函数 )1,0( aaay x
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(?
xey?
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(?
4.三角函数正弦函数
xy sin?
xy sin?
xy cos?
xy c o s?余弦函数正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s in?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r c t a n?反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域
f
D,而函数
)( xu 的值域为
Z,若
ZD
f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2c o t xy?例如,uy?,c o t vu?,2
xv?
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,si n ；
5,[-1,1 ],[ kk 2,2 ],
]1,[ aa
,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题,函数 )( xfy? 在x 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.的过程表示 xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx?
通过上面演示实验的观察,
问题,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当x 时的极限,记作
)()()(l i m
xAxfAxf
x
当或
:.1 定义定义"" X
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m
:.1 0 情形x
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m
2.另两种情形,
Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx 且
x
xy sin?
3.几何解释,
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim x xx证明证 x xx x s i n0s i n x
1?
X
1?,
,0,1X取 时恒有则当 Xx?
,0s i nx x,0sinlim?
x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限问题,函数 )( xfy? 在 0xx? 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.0 00 的过程表示 xxxx
x0x0x0x
,0 邻域的去心点?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当 0xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或
:.1 定义定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当
2.几何解释,
)(xfy?
A
A
A
0x0x0x
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数
.,,越小越好后找到一个显然
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx
证
Axf?)( CC,成立
,0任给
0?,l i m
0
CCxx
,0任取,0 0 时当 xx
例 3,l i m 0
0
xxxx证明证,)( 0xxAxf,0任给,取
,0 0 时当 xx
0)( xxAxf,成立,lim 0
0
xxxx
例 4,211l i m
2
1
x
x
x
证明证
211)(
2
xxAxf?,0任给
,只要取
,0 0 时当 xx
函数在点 x=1处没有定义,
1 x
,)( Axf要使
,211
2
xx就有
.211lim
2
1
x
x
x
例 5
.lim 0
0
xxxx
证 0)( xxAxf
,0任给
},,m i n { 00 xx取
,0 0 时当 xx
0
0
xx
xx
,)( Axf要使
,0 xx就有
,0x x
.00 且不取负值只要 xxx
.lim,0,00
0
xxx xx时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
xf
xx
xx
xf
x
证明设两种情况分别讨论和分 00 xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 xx记作
y
o x
1
xy 1
12 xy
左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
xxxxxx
xxx
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理
.lim
0
不存在验证 xx
x? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx
例 6
证
1)1(lim 0x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
11lim
0x
三、函数极限的性质
1.有界性定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
有则且设
3.不等式性质定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
则有若设
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则或且若定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或时当且若推论例如,x
xy sin?
1sinlim
0
x
x
x
,11s i nlim?
n
n
n
,11s i nlim?
n
n
n
11s i n1lim 2
2
n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x?
证,1 nx n取
,0lim nn x ;0?nx且
,
2
14
1
n
x n取
,0lim nn x ;0nx且
nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
而
,1?
2 14s i nlim1s i nlim
n
x nnn而
1lim n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx?
,0?
四、小结函数极限的统一定义;)(lim Anfn;)(lim Axfx ;)(l i m Axfx ;)(l i m Axfx;)(l i m
0
Axfxx ;)(lim
0
Axfxx,)(lim
0
Axfxx
.)(
,,,0)(lim
Axf
Axf
恒有从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程时 刻从此时刻以后
nxxx
N
Nn? Nx? Nx? Nx
)(xf Axf )(
0xx?
00 xx
0xx 0xx
00 xx 00 xx
过 程时 刻从此时刻以后
)(xf Axf )(
思考题试问函数
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的极限是否存在？
思考题解答
)(lim 0 xfx,5)5(lim 20 xx 左极限存在,
)(lim 0 xfx,01s i nlim 0 xxx 右极限存在,
)(l i m0 xfx? )(lim0 xfx )(l i m0 xfx 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
yx
xyx
，必有只要时，取，问当时，、当
证明：二、用函数极限的定义一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf?
0)(
存在时的极限是否在四、讨论：函数 x
x
x
x?
一,1,0,0 0 0 2 ； 2,3 9 7,
四、不存在,
练习题答案一、无穷小
1.定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
xfxf
xxx
或极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 xx
,01lim?
xx
,1 时的无穷小是当函数 x
x
,0)1(lim
n
n
n
,})1({ 时的无穷小是当数列 n
n
n
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
2.无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx设,)()( Axfx令
,0)(l i m
0
xxx则有 ).()( xAxf
充分性 ),()( xAxf设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx则 )(l i m
0
xA xx.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
其中 )( x? 是当 0xx? 时的无穷小,
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
误差为附近的近似表达式在给出了函数
3.无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 x
使得,0,0,0 21 NN;21 时恒有当 Nx ;22 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN?取 恒有时当,Nx?
22,
)(0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
恒有时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx
.
0,0,0 202
M
xx
恒有时使得当推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21取 恒有时则当,0 0 xx
uu MM,
.,0 为无穷小时当 uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如?都是无穷小二、无穷大定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Mxf?)(,
则称函数 )( xf 当 0xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).)(lim()(lim
0
xfxf
xxx
或绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
xfxf
x
xx
x
xx
或注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量时当例如
xx
yx
),3,2,1,0(
2
2
1)1(
0
k
k
x取
,22)( 0 kxy,)(,0 Mxyk?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( 0 kkx取
,,kxk 充分大时当
kkxy k 2s i n2)(但,0 M 不是无穷大．
无界，
.11l i m
1
xx
证明例证,0 M,11 Mx要使
,11 Mx只要,1M取
,110 时当 Mx,11 Mx就有,11lim 1 xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
1
1
xy
三、无穷小与无穷大的关系定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
xf
xx
恒有时使得当
.)(1xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx
.0)(,0)(lim,
0
xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
恒有时使得当
.)(1 Mxf?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx
,0)(?xf由于意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,
四、小结
1、主要内容,两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题若 0)(?xf,且 Axf
x
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答不能保证,
例 xxf 1)(?,0x 有 01)( xxf
)(l i m xfx,01l im Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线是函数直线条件下、在
xfy
cy
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大函数时当二、根据定义证明练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时但当上无界在区间三、证明函数
x
xx
y
一,1,0 ； 2,Cxf
x
x
)(l i m ；
3,? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
x,
练习题答案一、极限运算法则定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设证,)(lim,)(lim BxgAxf
.0,0.)(,)( 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ABBA ))((
)( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf?
)(
)(
B
A?
)(
B
AB,0 AB?
,0,0 B?又,0,0 0 时当 xx
,2B BB BB 21 B21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果推论 2
,21)( 2BBB,2)( 1 2BBB故 有界，
.)3( 成立?
二、求极限方法举例例 1,53 1l i m 2
3
2
xx
x
x
求解 )53(l i m 22 xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 xxx xx
5232 2,0
53
1l i m
2
3
2
xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
xx
x
x
xx
.37?3 12
3?
小结,则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf
nnxxnxxxx axaxaxf110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若?xQ
解 )32(l i m 21 xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 xx?又,03
14
32lim 2
1?
x
xx
x,03
0
由无穷小与无穷大的关系,得例 2,32 14lim 21 xx xx求
.32 14l i m 2
1
xx
x
x
解例 3,32 1lim 2
2
1
xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1
xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1?
x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
例 4,147 532l i m 23
23
xx
xx
x
求解,,,分母的极限都是无穷大分子时x )( 型?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结,为非负整数时有和当 nmba,0,0 00
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当当当
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
求解 是无穷小之和．时,n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
)
11(
2
1l i m
nn,2
1?
先变形再求极限,
例 6,s i nlim x x
x
求解,1,为无穷小时当 xx
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m
x
x
x
xxy sin?
例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x
求设
y
o x
1
xy 1
12 xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx,1?
)1(lim)(lim 200 xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 xfx故三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
思考题在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf?
思考题解答没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf? )( xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
)()()()( xfxgxfxg 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _1s i nl i m5 20 xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3l i m1
3
2
x
x
x、
一、填空题,
.__________11l i m2 31 xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(lim3 2 xxxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(l i m4 3 n nnnn、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _c o slim6 xxx ee x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 24l i m7 2
24
0
xx
xxx
x、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)12( )23()32(l i m8 50
3020
x
xx
x
、
二、求下列各极限,
)21.,,41211(l i m1 nn、
h
xhx
h
22
0
)(lim2
、
)1 31 1(lim3 31 xxx、
38 2
31lim4
x
x
x?
、
)(l i m5 xxxxx、
14
12lim6
x
x
x、
2lim7 1
nm
nm
x xx
xx、
一,1,-5 ； 2,3 ； 3,2 ； 4,
5
1；
5,0 ； 6,0 ； 7,
2
1； 8,
30
)
2
3
(,
二,1,2 ； 2,x2 ； 3,-1 ； 4,-2 ；
5,
2
1； 6,0 ； 7,
nm
nm
.
练习题答案一、极限存在准则
1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
lim,
证,,azay nn
使得,0,0,0 21 NN?
,1 ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN?取恒有时当,Nn?
, aya n即
,2 azNn n时恒有当
, aza n
上两式同时成立,
, azxya nnn
,成立即 ax n,l i m ax nn
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 Ι和 准则 Ι'称为 夹逼准则,
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n?
求解,1111 2222 n nnnnnn n
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222
nnnnn
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则满足条件如果数列 nx
,121nn xxxx 单调增加
,121nn xxxx 单调减少单调数列准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式重根证明数列 nx n
证,1 nn xx显然 ;是单调递增的x?
,331x?又,3?kx假定 kk xx 31 33,3?
;是有界的nx?,l i m 存在nn x
,31 nn xx,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx
,32 AA 2 131,2 131 AA解得 (舍去 )
.2 131lim nn x
A
C
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
)20(,, xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx,1s i nco s x xx即
.02 也成立上式对于 x,20 时当 x
xx co s11co s0 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
,02lim
2
0
x
x
,0)c o s1(lim 0 xx
,1c o sl i m0 xx,11l i m0x?又,1
s i nlim
0 x
x
x
例 3,co s1lim 2
0 x
x
x
求解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x?
原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x?
21
2
1,
2
1?
(2) ex
x
x
)11(l i m
定义 en
n
n
)11(lim
n
n nx )
11(设
21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn
nnn
nnnn 1
!
)1()1(
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
,1 nn xx显然 ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n 12
1
2
111
n?
12
13
n,3 ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x en
n
n )
11(l i m记为 )71828.2(e
类似地,
,1 时当?x,1][][ xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx
,xt令
t
t
x
x tx
)
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
)111()111(lim 1 tt tt,e?
ex x
x
)11(lim
,1xt?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
,e?
ex x
x
1
0
)1(lim
例 4,)11(l i m x
x x
求解 xx
x
)11(
1lim
1])11[(l i m
x
x x原式
.1e?
例 5,)23(l i m 2 x
x x
x
求解 422 )211(])211[(lim
xx
x
x原式,
2e?
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0
某过程,)1(l i m2
1
0 e
某过程
,为某过程中的无穷小设?
思考题求极限 xxx
x
1
93lim?
思考题解答
xxx
x
1
93lim?
xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
x
xx
xx?
3
1
3
3
1
1lim9
99 0 e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 x xx?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 xxx、
.__________2s i nl i m5 x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2?
、
._________)1(l i m7 2 xx x x、
._________)11(l i m8 xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
、
x
x ax
ax )(lim3
、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
、
5,n
nn
n
1
)321(l i m
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 的极限存在，并求出该极限,
一,1,? ； 2,
3
2； 3,1 ； 4,
3
1；
5,0 ； 6,e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1,2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5,3.
三,2l i m?
n
x
x,
练习题答案一、无穷小的比较例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0,不存在观察各极限
);(
,,0lim)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(l i m)3(
无穷小阶的的是就说如果 kkCC
k
例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x?
3
0
)t a n(l im4 x x
x?
,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
)c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx
常用等价无穷小,,0时当?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim,0lim ),( o即
).( o于是有例如,),(s i n xoxx ).(211co s 22 xoxx
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
二、等价无穷小替换定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设证lim )lim(
limlimlim,lim
例 3,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x
求解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x?
原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意例 4,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
求解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当?
30 )2(lim x
xx
x
原式,0?
解,0时当?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x?
原式,
16
1?
错
例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
求解 ),(5t a n xoxx ),(33s in xoxx
).(21co s1 22 xoxx
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
,
3
5?
三、小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答不能,例当 时x
,1)( xxf? x xxg s i n)(? 都是无穷小量但 )( )(lim xf xgx x
x s inlim
不存在且不为无穷大故当 时x )( xf 和 )( xg 不能比较,
一,填空题：
1,
x
x
x 2s i n
3ta n
l i m
0?
=__ ______ __.
2,
m
n
x
x
x
)(s i n
a r c s i n
l i m
0?
=__ ______,
3,
x
x
x
)21l n (
lim
0
=__ ______ _.
4,
xx
xx
x
a r c t a n
1s i n1
lim
2
0
=__ ______,
5,
n
n
n
x
2
s i n2l i m
=__ ______,
6,xax
n
x
1)1(lim
1
0
= _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
7,当 0?x 时,)0(
3
aaxa
对于 x 是 ___ ____ 阶无穷小,
8,当 0?x 时，无穷小 xc o s1? 与
n
mx 等价，则
,_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _,nm?
二、求下列各极限：
1,
x
xx
x
3
0
s i n
s i nta n
lim
；
2,
ee
lim ；
3,
x
xx
x
s i ns i n
lim
0
；
4,
ax
ax
ax
ta nta n
lim ；
三,证明：若,是无穷小，则 )(0~,
四、设 f(x)=
1
)c o s (
2
s i n
l i m
2
12
n
n
n x
bxaxx
求,1,)( xf 的表达式,
2,确定 ba,的值,使得 )1()(l i m
1
fxf
x
，
)1()(lim
1
fxf
x
,
一,1,
2
3； 2,
nm
nm
nm
,
,1
,0； 3,2 ； 4,? ；
5,
x； 6,
n
a； 7,3 ； 8,
2
1
,2.
二,1,
2
1； 2,
e； 3,
； 4,
a
2
se c
.
练习题答案四,1,
1),co s (
1,
2
)co s (1
1,
2
)co s (1
1,
2
s i n
xbxa
x
ba
x
ba
x
x
x；
2,
0,),1,0(2 bkka?
.
一、函数的连续性
1.函数的增量
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy
x
y
0 x
y
00x xx0
)( xfy?
x?
0x xx0
x?y?
y?
)( xfy?
2.连续的定义定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即 0l i m
0
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果函数 )( xf 当
0
xx? 时的极限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )( 0xf,即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义
.)()(
,,0,0
0
0
xfxf
xx
恒有时使当例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续在试证函数?
x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 xxx?
,0)0(?f又由定义 2知
.0)( 处连续在函数?xxf
),0()(l i m0 fxfx
3.单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性处的在讨论函数?
x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 xxf xx 2 ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数?xxf
4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 xy
证 ),,(x任取
xxxy s in)s in ( )2co s (2s i n2 xxx
,1)2c o s ( xx?,2s in2 xy则
,0,时当对任意的,s in有
,2s in2 xxy故,0,0 yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 xxy
二、函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 xxx xxxf
解,0)00(f,1)0(f
),00()00( ff?
.0 为函数的跳跃间断点 x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在讨论函数
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy 1
xy 2?
解,1)1(?f?
,2)01(f,2)01(f
2)(lim 1 xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点 x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1(?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在则
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数?
x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00(f,)0(f
.1 为函数的第二类间断点 x
.断点这种情况称为无穷间例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx?
.0 为第二类间断点 x
.断点这种情况称为的振荡间注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
,,0
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,
,,
,,)(
是无理数时当是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
xfy?
,,1
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数取何值时当
x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx,a?
,)0( af
),0()00()00( fff要使
,1 时故当且仅当?a,0)( 处连续在函数?xxf
,1 a
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 )
可去型第一类间断点
o
y
x
跳跃型无穷型 振荡型第二类间断点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
思考题 若 )( xf 在 0x 连续，则 |)(| xf,)(2 xf 在 0x 是否连续？又若 |)(| xf,)(
2 xf
在 0x 连续,)( xf 在
0x 是否连续？
思考题解答
)( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx
)()()()(0 00 xfxfxfxf且
)()(lim 0
0
xfxfxx
)(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf,)(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00?x 不连续但 |)(| xf,)(2 xf 在 00?x 连续一,填空题：
1,指出
23
1
2
2
xx
x
y 在 1?x 是第 ___ ___ _ 类间断点；在
2?x
是第 ____ _ 类间断点,
2,指出
)1(
2
2
xx
xx
y 在 0?x 是第 ____ ___ _ 类间断点；在
1?x
是第 ____ __ 类间断点；在
1x
是第 _____ 类间断点,
二,研究函数
1,1
1,
)(
x
xx
xf 的连续性，并画出函数的图形,
练 习 题三,指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续,
1,
1,3
1,1
)(
xx
xx
xf 在
Rx?
上,
2,
x
x
xf
ta n
)(?,在
Rx?
上,
四,讨论函数
n
n
n
x
x
xf
2
2
1
1
lim)(
的连续性，若有间断点，判断其类型,
五、试确定
ba,
的值,使
)1)((
)(
xax
be
xf
x
，
（ 1 ）有无穷间断点 0?x ； （ 2 ）有可去间断点 1?x,
一,1,一类,二类； 2,一类,一类,二类,
二、,),1()1,()( 内连续与在xf 1x 为跳跃间断点,
三,1,1?x 为第一类间断点；
2,,
2
为可去间断点
kx
)0( kkx
为第二类间断点,
0,1
2
,,
t a n)(
1
x
kkx
x
x
xf
),2,1,0(k
,
练习题答案
),2,1,0(
2
,0
2
,,
t a n
)(
2
k
kx
kkx
x
x
xf,
四、
1,
0,0
1,
)(
xx
x
xx
xf
1?x
和
1x
为第一类间断点,
五,(1);1,0 ba
(2)
eba,1
.
一、四则运算的连续性定理 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
例如,,),(c o s,s i n 内连续在xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
二、反函数与复合函数的连续性定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
则有连续在点函数若证,)( 连续在点 auuf
.)()(
,,0,0
成立恒有时使当
afuf
au
,)(l i m 0 axxx又
,0,0,0 0 时使当对于 xx
.)( 成立恒有 auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 xx
)()]([)()( afxfafuf.成立
)()]([l i m 0 afxfxx ) ],(lim[ 0 xxx
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu
例 1,)1l n(lim 0 x xx求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m原式
])1(l i ml n[ 10 xx xeln?
解例 2,1lim
0 x
e x
x
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y?
原式解,1 ye x令 ),1ln ( yx则
.0,0 yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在xu
,),(s i n 内连续在 uy
.),0()0,(1s i n 内连续在xy
三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,
★
★ )1,0( aaay x指数函数;),( 内单调且连续在
★ )1,0(l o g aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
★?xy? xaa log,uay?,l o g xu a
,),0( 内连续在,不同值讨论?
(均在其定义域内连续 )
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s xy?,4,2,0,xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 xxy,1,0, xxD 及在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间
注意注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
例 3,1s inli m
1
x
x e求
1s i n 1 e原式,1s n e
例 4,11li m
2
0 x
x
x
求解解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0
xx
xx
x
原式
11lim 20 x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间 xxfxfxx
四、小结连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
两个定理 ; 两点意义,
反函数的连续性,
思考题 设 xxf s g n)(?,21)( xxg,试研究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg
)1s g n ()]([ 2xxgf 1?
2s g n1)]([ xxfg
0,1
0,2
x
x
在 ),( 上处处连续)]([ xgf
在 )0,( ),0( 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
一,填空题：
1,
43lim
2
0
xx
x
___ _ ___ ___ __,
2,?
x
x
x
11
l i m
0
___ _ ___ ___ __,
3,?
)2c o s2l n (lim
6
x
x
___ _ ___ ___ __,
4,?
x
x
x
2
4
ta n
c o s22
l i m
___ ___ ___ ___,
5,?
t
e
t
t
1
l i m
2
___ ___ ___ ___,
6,设,
0,
0,
)(
xxa
xe
xf
x
当?a ___ _ _ 时,)( xf 在
),( 上连续,
练 习 题
7,函数
6
1
)(
2
4
xx
xx
xf 的连续区间为
______ _ ___ ___ ___.
8,设
时当时当
1,1
1,
2
co s
)(
xx
x
x
xf 确定
)(l i m
2
1
xf
x
______ _ ___ ;?
)(lim
1
xf
x
______ ___ __.
二,计算下列各极限：
1,
ax
ax
ax
s i ns i n
lim ； 2,
x
x
x
c o t2
0
)ta n31(lim?；
3,
1
)
12
32
(l i m
x
x
x
x；
三,设
0),l n (
0,1
0,
)(
2
2
xxxb
x
xxa
xf 已知 )( xf 在
0?x
处连续，试确 定 a 和
b
的值,
四,设函数
)( xf
在
0?x
处连续，且
0)0(?f
,已知
)()( xfxg?
，试证函数
)( xg
在
0?x
处也连续,
一,1,2 ； 2,
2
1； 3,0 ； 4,0 ；
5,)1
1
(
2
1
2
e； 6,1 ；
7,),2(),2,3(),3,( ；
8,
2
2
,0,不存在,
二,1,ac o s ； 2,1 ； 3 ；
2
1
e
.
三、
eba,1
.
练习题答案一、最大值和最小值定理定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
例如,
,s g n xy?,),( 上在
,2m ax?y;1m iny
,),0( 上在,1m i nm a x yy
,s i n1 xy,]2,0[ 上在? ;0m in?y
,1m ax?y
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)( xfy?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
有使得则若注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)( xfy?
21
1
x
y
o 2?
)( xfy?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax
,)( Mxfm有 },,m a x { MmK?取
.)( Kxf?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点称为函数则使如果
xf
xxfx?
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
xfy?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,x
y
o
)( xfy?
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy?
证,)()( Cxfx设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa )()(?且
,CA
Cbfb )()(?,CB
,0)()( ba 由零点定理,使),,( ba
,0)(,0)()( Cf即,)( Cf
.
)(
至少有一个交点直线与水平连续曲线弧
Cy
xfy
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根内在区间证明方程 xx
证,14)( 23 xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0(f又,02)(f 由零点定理,
使),,( ba,0)(f,014 23即
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
M m
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
fbabbf
aafbaxf
使得证明且上连续在区间设函数证,)()( xxfxF令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF )()(而,0?
由零点定理,
使),,( ba,0)()( fF
bbfbF )()(,0?
.)(f即三、小结四个定理有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答不正确,
例函数
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
一,证明方程 bxax si n,其中 0,0 ba,至少有一个正根，并且它不超过 ba?,
二,若
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bxxxa
n
21
则在 ],[
1 n
xx 上必有
，使
n
xfxfxf
xf
n
)(.,,,,,)()(
)(
21
,
三,设
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bdca
,试证明：对任意正数
qp 和；至少有一点
],[ dc
,使
)()()()(?fqpxqfxpf
.
练 习 题
（一）函数的定义
（二）极限的概念
（三）连续的概念一、主要内容第一章习题课函 数的定义反函数 隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数
1、函数的定义
．记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义
)( xfy
xy
yDx
Dyx
叫做因变量．
叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集
y
xD
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
函数的分类函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
(1) 单值性与多值性,
若对于每一个 Dx?,仅有一个值 )( xfy? 与之对应,则称 )( xf 为单值函数,否则就是多值函数,
x
y
o
xey?
x
y
o
1)1( 22 yx
2、函数的性质
(2) 函数的奇偶性,
偶函数 奇函数有对于关于原点对称设,,DxD;)()()( 为偶函数称 xfxfxf;)()()( 为奇函数称 xfxfxf
y
xo
x
y
o
xy? 3xy?
(3) 函数的单调性,
设函数 f(x)的定义域为 D，区间 I D，如果对于区间 I上任意两点 及,当 时，恒有：
(1),则称函数 在区间 I上是 单调增加的 ；
或 (2),则称函数 在区间 I上是 单调递减的 ；
单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 。
1x 2
x 21 xx?
)()(
)()(
21
21
xfxf
xfxf
)(xf
)(xf
x
y
o
2xy? ;0 时为减函数当?x;0 时为增函数当?x
..)(
,)(,,0,
否则称无界上有界在则称函数成立有若
Xxf
MxfXxMDX
(4) 函数的有界性,;),0()0,( 上无界及在
.),1[]1,( 上有界及在
x
y
o
xy
1?
11?
设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 l,使得对于任一,有,且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称 f(x)为 周期函数,l 称为 f(x) 的 周期,（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
Dx? Dlx )(
(5) 函数的周期性,
o
y
x
1
1
][ xxy1?T
3、反函数
.)()( 1 称为反函数确定的由 xfyxfy
0 yexy如
4、隐函数
.)(
0),(
称为隐函数所确定的函数由方程
xfy
yxF
xy s in h? )(1 xfy s in har? x
)( xfy?
x
y
o
)),(( xxf
))(,( xfx
)(1 xfy
5、反函数与直接函数之间的关系则函数是一一对应设函数
,
)( xf
fDxx
xffxff
))(())((1 11
.
)()(2 1
xy
xfyxfy
图象对称于直线的与
6、基本初等函数
1） 幂函数 )( 是常数xy
2）指数函数 )1,0( aaay x
3）对数函数 )1,0(l o g aaxy a
4）三角函数 ;c o s xy?;s i n xy?
5）反三角函数 ;a r c c o s xy? ;a r c s i n xy?;c o t xy?;t a n xy?;a r c t a n xyy co tarc x
7、复合函数设函数 )( ufy? 的定义域 fD,而函数 )( xu
的 值 域 为?Z,若ZD f,则称函数
)]([ xfy 为 x 的 复合函数,
8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为 初等函数,
9、双曲函数与反双曲函数
2s i n h
xx ee
x
双曲正弦
2c o s h
xx ee
x
双曲余弦
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h双曲正切双曲函数常用公式;s i n h xy?反双曲正弦 ar;t a n xy?反双曲正切 ar;c o s h xy?反双曲余弦 ar;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx;1s i n hc o s h 22 xx ;co s hs i nh22s i nh xxx?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx
左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限 函 数 极 限
axnnlim Axfxx )(lim 0 Axfx )(lim
等价无穷小及其性质唯一性无穷小 0)(lim?xf
两者的关系无穷大)(lim xf
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
n
x,不等式 ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x
的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,lim ax
n
n
或 ).( nax
n
.,,0,0 axNnN n恒有时使
1、极限的定义定义"" N
定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式
Axf )(,
那末常数
A
就叫函数 )( xf 当 0xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理无穷小,极限为零的变量称为 无穷小,
).0)(lim(0)(lim
0
xfxf xxx 或记作绝对值无限增大的变量称为 无穷大,无穷大,
).)(lim()(lim
0
xfxf xxx 或记作在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
无穷小与无穷大的关系
2、无穷小与无穷大定理 1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
无穷小的运算性质定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设推论 1 ).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果推论 2
3、极限的性质
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
准则 Ⅰ′ 如果当 ),(
0
0
rxUx? ( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
存在,且等于 A,
5、判定极限存在的准则准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
(夹逼准则 )
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
(2) ex
x
x
)11(l i m
ex x
x
1
0
)1(lim;1s i nl i m
某过程
.)1(lim
1
e
某过程
6、两个重要极限
);(
,,0lim)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
7、无穷小的比较定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设
.
),0,0(lim)3(
无穷小阶的是是就说如果 kkCCk
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
8、等价无穷小的性质
9、极限的唯一性左右连续在区间 [a,b]
上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义 0lim
0 yx )()(l i m 00 xfxfxx
连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类 第二类定义 1 设函数 )( xf 在点
0
x 的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即
0lim
0
y
x
或 0)]()([lim
00
0
xfxxf
x
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
1、连续的定义
).()(lim2 0
0
xfxfxx定义定理
.
)()( 00
既左连续又右连续处在是函数处连续在函数 xxfxxf?
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
3、连续的充要条件
2、单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
4、间断点的定义
(1) 跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
(2)可去间断点
.)(
)(),()(lim
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点,
特点,,,0 右极限都存在处的左函数在点 x
可去型第一类间断点跳跃型
0
y
x0x0
y
x0x
0
y
x
无穷型 振荡型第二类间断点
0
y
x0x
第二类间断点
.
)(,
,)(
0
0
类间断点的第二为函数则称点至少有一个不存在右极限处的左在点如果
xfx
xxf
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
6、闭区间的连续性
7、连续性的运算性质定理
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
定理 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
定理 2
) ],(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
则有连续在点函数若
8、初等函数的连续性
.)]([
,)(,
)(,)(
0
00
00
也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
xxxfy
uuufyu
xxxxu
定理 3
定理 4 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 5 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
9、闭区间上连续函数的性质定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M
与最小值 m之间的任何值,
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 cf )( )( ba,
二、典型例题例 1,)16(lo g 2)1( 的定义域求函数 xy x
解,016 2 x
,01x
,11x
2
1
4
x
x
x
,4221 xx 及
).4,2()2,1(?即例 2
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求其中设
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt令,1 1 tx即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf,1
2)
1
1()(
xxfxf即
,11 1 uux令 1 1 ux即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf,
)1(2)1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
即
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
解联立方程组
.11 11)( xxxxf
例 3 ).1()1)(1)(1(lim
,1
242 nxxxx
x
n
求时当解 将分子、分母同乘以因子 (1-x),则
x
xxxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1)(1(lim 242?原式
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 2422?
x
xx nn
n?
1
)1)(1(lim 22
x
x n
n?
1
1lim 12
.1 1 x,)0lim,1( 12
nxx
n时当?
例 4,)s in1
ta n1(l im 31
0
x
x x
x
求解 解法讨论则设,)(lim,0)(lim xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf )]()[(lim xfxge
.)()(l i m xfxge ))(~)](1l n [( xfxf
3
1
0
)]1s i n1 ta n1(1[lim x
x x
x?
原式
3
1
0
]s in1 s inta n1[lim x
x x
xx
30
1
s in1
s inta nlim
xx
xx
x
30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nlim xxx xxx
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20
2
1
.21e 原式例 5 ).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求且是多项式设
解,2
)(lim
2
3
x
xxp
x
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp
,1)(li m
0
x
xp
x
又
)0(~2)( 23 xxbaxxxxp
.1,0 ab从而得 xxxxp 23 2)(故例 6
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
x
x
xx
xf?
解 改写成将 )( xf
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然xf
,1时当x
)(l i m1 xfx )1(lim 1 xx,2
)(lim 1 xfx 2co slim 1 xx,0
)(l i m)(l i m 11 xfxf xx
.1)( 间断在故xxf
,1时当?x
)(l i m1 xfx 2co slim 1 xx,0
)(l i m1 xfx )1(lim 1 xx,0
)(lim)(lim 11 xfxf xx
.1)( 连续在故?xxf
.),1()1,()( 连续在xf
例 7 ).()
2
1
(]1,0[
),1()0(,]1,0[)(
ff
ffxf
使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明 ),()21()( xfxfxF令
.]21,0[)( 上连续在则 xF
),0()21()0( ffF ),21()1()21( ffF
讨论,,0)0(?F若,0则 );0()210( ff
,0)21(?F若,21则 );21()2121( ff
则若,0)21(,0)0( FF
)21()0( FF 2)]0()21([ ff,0?
由零点定理知,.0)(),21,0( F使
.)()21( 成立即 ff
综上,],1,0[]21,0[必有一点
.)()21( 成立使 ff
一,选择题：
1,函数
2
1
a r c c o s1
x
xy 的定义域是 （ ）
(A) 1?x ；
(B) 13 x ；
(C) )1,3(? ；
(D)
131 xxxx
.
2,函数
30,1
04,3
)(
2
xx
xx
xf 的定义域是 （ ）
(A)
04 x；
(B)
30 x;
(C) )3,4(? ;
(D)
3004 xxxx
.
测 验 题
3,函数 xxxy s i nc o s 是 （ ）
(A) 偶函数； ( B ) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶函数,
4,函数 xxf
2
c o s1)(
的最小正周期是 （ ）
( A ) 2? ； ( B )? ；
( C ) 4 ； ( D )
2
1
,
5,函数
2
1
)(
x
x
xf
在定义域为 （ ）
(A) 有上界无下界； (B ) 有下界无上界；
(C) 有界，且 2
1
2
1
)( xf ；
( D ) 有界，且 2
1
2
2
x
x
,
6,与 2)( xxf? 等价的函数是 （ ）
(A ) x ； (B ) 2)( x ；
(C ) 33 )( x ； (D ) x,
7,当 0?x 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小 （ ）
（ A ） 2x ； （ B ） xc o s1? ；
（ C ） xx t a n? ； （ D ） )1l n ( x?,
8,设,0,
00
ba 则当 （ ）时有
0
0
1
10
1
10
.,,,,,,,,
.,,,,,,,
l i m
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
,
( A) nm? ； (B) nm? ；
( C) nm? ； (D) nm,任意取,
二、求下列函数的定义域：
9,设
10,
01,1
)(
xx
xx
xf
则?
)(lim
0
xf
x
( )
( A ) - 1 ； ( B ) 1 ；
( C ) 0 ； ( D ) 不存在,10, x
x
x 0
lim （ ）
(A) 1 ； (B) -1 ；
(C) 0 ； (D ) 不存在,;a r c t a n)12s i n (1 xxy、
2,1
2
)9
l g ()(
2
xx
x?,
三,设 132)1(
2
xxxg
（ 1 ） 试确定 cba,,的值使
cxbxaxg )1()1()1(
2；
（ 2 ） 求
)1(?xg
的表达式,
四,求 xxxf s g n)1()(
2
的反函数 )(
1
xf
.
五,求极限：
1,
2
2
)1(
12
l i m
n
nn
n?
； 2,
3
21
l i m
3?
x
x
x；
3,x
x
x
2
0
)1(l i m?； 4,)1(lim
1
x
x
ex ；
5,当 0?x 时，
n
n
xxx
2
c o s.,,,,,,,
4
c o s
2
c o sl i m
；
6,
12
1
s i n
lim
2
2
x
x
x
x
,
六,设有函数
1,1)1(
1,s i n
)(
xxa
xax
xf 试确定 a 的值使 )( xf 在 1?x 连续,七,讨论函数
x
x
x
xf
2
s i n
1
1
a r c t a n
)(
的连续性，并判断其间断点的类型,
八,证明奇次多项式：
1221120)( nnn axaxaxP? )0( 0?a 至少存在一个实根,
一,1,B ； 2,D ； 3,B ； 4,C ； 5,C ；
6,D ； 7,C ； 8,B ； 9,D ； 10,D ；
二,1,);,( 2,[4,5].
三,352)1(,0,1,2
2
xxxgcba,
四、
1,)1(
0,0
1,1
)(
1
xx
x
xx
xf,
五,1,2 ； 2,
4
1； 3,
2
e； 4,1 ； 5,
x
xs i n；
6,
2
2
.
测验题答案六,
ka 2
2
),2,1,0(k
七,0?x 可去间断点,1?x 跳跃间断点,
),2,1(2 nnx 无穷间断点,
x 为其它实数时 )( xf 连续,
1.集合,具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
},,,{ 21 naaaA
}{ 所具有的特征xxM?
有限集无限集
,Ma?,Ma?
.,,的子集是就说则必若 BABxAx
.BA?记作数集分类,N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集数集间的关系,,,,RQQZZN
.,,相等与就称集合且若 BAABBA )( BA?
},2,1{?A例如
},023{ 2 xxxC,CA?则不含任何元素的集合称为 空集,)(?记作例如,}01,{ 2 xRxx
规定
空集为任何集合的子集,
2.区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba 且
}{ bxax 称为开区间,),( ba记作
}{ bxax 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
o xa b
}{ bxax
}{ bxax
称为半开区间,
称为半开区间,
),[ ba记作
],( ba记作
}{),[ xaxa }{),( bxxb
o xa
o xb
有限区间无限区间区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
3.邻域,,0, 且是两个实数与设 a
).(0 aU?记作
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( axaxaU
xaaa
,邻域的去心的点?a
.}0{)( axxaU
,}{ 邻域的称为点数集 aaxx
4.常量与变量,
在某过程中数值保持不变的量称为 常量,
注意 常量与变量是相对“过程”而言的,
通常用字母 a,b,c等表示常量,
而数值变化的量称为 变量,
常量与变量的表示方法：
用字母 x,y,t等表示 变 量,
5.绝对值,
0
0
aa
aaa
)0(?a
运算性质,;baab?;baba?,bababa
)0( aax ;axa
)0( aax ;axax 或绝对值不等式,
二、函数概念例 圆内接正多边形的周长
nnrS n
s i n2
,5,4,3?n
3S 5
S4S 6S
圆内接正 n边形
O
rn?
因变量 自变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx?
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数,记作定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集，
数集 D叫做这个函数的 定义域)( xfy?
如果对于每个数 Dx?,
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量因变量对应法则 f
函数的两要素,定义域 与 对应法则,
x
y
D
W
约定,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,
21 xy例如,]1,1[,?D
21
1
xy例如,)1,1(,?D
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数称为点集
xfy
DxxfyyxC
o x
y
),( yx
x
yW
D
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
．例如,222 ayx
(1) 符号函数
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当当当几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx s g n
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 xy12 xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为 分段函数,
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压 U与时间 的函数关系式,)0(?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
,]2,0[ 时当t
t
E
U
2
;2 tE
单三角脉冲信号的电压,],2( 时当?
t
),(
2
0
0
t
E
U
)(2 tEU即
,),( 时当t,0?U
其表达式为是一个分段函数,)( tUU
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设?
xf
x
xxf
解
2312
1301)3(
x
xxf
212
101)(
x
xxf?
122
231
x
x
]1,3[,fD故三、函数的特性
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界 无界
M
-M
y
xo X0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX
1．函数的有界性,
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
),()()1( 21 xfxf?恒有
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()2( 21 xfxf?恒有
3．函数的奇偶性,
偶函数有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf
y
x
)( xf?
)( xfy?
o x-x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy?
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
2l? 2l23l? 23l
四、反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy?函数
o x
y
D
W
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线 对称,xy?
例 3
解
,01)(
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD
,1)57(D,0)21(D,1))((?xDD
o x
y
1单值函数,有界函数,
偶函数,
周期函数 (无最小正周期 )
不是单调函数,
五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值,
函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性,
反函数思考题设 0 x,函数值 21)
1
( xx
x
f,
求函数 )0()( xxfy 的解析表达式,
思考题解答设 ux?1
则 2111 uuuf,11
2
u
u
故 )0(.11)(
2
xx xxf
一,填空题,
1,若
2
2
51
t
tt
f
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
tf,
2,若
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
=_ __ __ __ __,)
3
(
=_ __ _ __ _ __,
3,不等式
15x
的区间表示法是 __ __ __ _ _ _,
4,设
2
xy?,要使
),0(?Ux?
时，
)2,0(Uy?
,
须
__ __ __ _ __ _.
练 习 题二、证明 xy lg? 在 ),0( 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( aaa 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设
)( xf
是以 2 为周期的函数，
且
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在
),(
上绘出
)( xf
的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
)( 的反函数，并指出其定义域,
一,1,
2
2
5
t
t?,
22
2
)1(
2
)1(5
t
t ； 2,1,1 ；
3,(4,6 ) ； 4,]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln?
x
x
y,
练习题答案一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy?
2.指数函数 )1,0( aaay x
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(?
xey?
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(?
4.三角函数正弦函数
xy sin?
xy sin?
xy cos?
xy c o s?余弦函数正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s in?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r c t a n?反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域
f
D,而函数
)( xu 的值域为
Z,若
ZD
f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2c o t xy?例如,uy?,c o t vu?,2
xv?
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,si n ；
5,[-1,1 ],[ kk 2,2 ],
]1,[ aa
,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy?
2.指数函数 )1,0( aaay x
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(?
xey?
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(?
4.三角函数正弦函数
xy sin?
xy sin?
xy cos?
xy c o s?余弦函数正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s in?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r c t a n?反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域
f
D,而函数
)( xu 的值域为
Z,若
ZD
f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2c o t xy?例如,uy?,c o t vu?,2
xv?
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,si n ；
5,[-1,1 ],[ kk 2,2 ],
]1,[ aa
,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题,函数 )( xfy? 在x 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.的过程表示 xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx?
通过上面演示实验的观察,
问题,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当x 时的极限,记作
)()()(l i m
xAxfAxf
x
当或
:.1 定义定义"" X
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m
:.1 0 情形x
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m
2.另两种情形,
Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx 且
x
xy sin?
3.几何解释,
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim x xx证明证 x xx x s i n0s i n x
1?
X
1?,
,0,1X取 时恒有则当 Xx?
,0s i nx x,0sinlim?
x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限问题,函数 )( xfy? 在 0xx? 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.0 00 的过程表示 xxxx
x0x0x0x
,0 邻域的去心点?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当 0xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或
:.1 定义定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当
2.几何解释,
)(xfy?
A
A
A
0x0x0x
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数
.,,越小越好后找到一个显然
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx
证
Axf?)( CC,成立
,0任给
0?,l i m
0
CCxx
,0任取,0 0 时当 xx
例 3,l i m 0
0
xxxx证明证,)( 0xxAxf,0任给,取
,0 0 时当 xx
0)( xxAxf,成立,lim 0
0
xxxx
例 4,211l i m
2
1
x
x
x
证明证
211)(
2
xxAxf?,0任给
,只要取
,0 0 时当 xx
函数在点 x=1处没有定义,
1 x
,)( Axf要使
,211
2
xx就有
.211lim
2
1
x
x
x
例 5
.lim 0
0
xxxx
证 0)( xxAxf
,0任给
},,m i n { 00 xx取
,0 0 时当 xx
0
0
xx
xx
,)( Axf要使
,0 xx就有
,0x x
.00 且不取负值只要 xxx
.lim,0,00
0
xxx xx时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
xf
xx
xx
xf
x
证明设两种情况分别讨论和分 00 xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 xx记作
y
o x
1
xy 1
12 xy
左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
xxxxxx
xxx
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理
.lim
0
不存在验证 xx
x? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx
例 6
证
1)1(lim 0x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
11lim
0x
三、函数极限的性质
1.有界性定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
有则且设
3.不等式性质定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
则有若设
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则或且若定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或时当且若推论例如,x
xy sin?
1sinlim
0
x
x
x
,11s i nlim?
n
n
n
,11s i nlim?
n
n
n
11s i n1lim 2
2
n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x?
证,1 nx n取
,0lim nn x ;0?nx且
,
2
14
1
n
x n取
,0lim nn x ;0nx且
nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
而
,1?
2 14s i nlim1s i nlim
n
x nnn而
1lim n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx?
,0?
四、小结函数极限的统一定义;)(lim Anfn;)(lim Axfx ;)(l i m Axfx ;)(l i m Axfx;)(l i m
0
Axfxx ;)(lim
0
Axfxx,)(lim
0
Axfxx
.)(
,,,0)(lim
Axf
Axf
恒有从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程时 刻从此时刻以后
nxxx
N
Nn? Nx? Nx? Nx
)(xf Axf )(
0xx?
00 xx
0xx 0xx
00 xx 00 xx
过 程时 刻从此时刻以后
)(xf Axf )(
思考题试问函数
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的极限是否存在？
思考题解答
)(lim 0 xfx,5)5(lim 20 xx 左极限存在,
)(lim 0 xfx,01s i nlim 0 xxx 右极限存在,
)(l i m0 xfx? )(lim0 xfx )(l i m0 xfx 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
yx
xyx
，必有只要时，取，问当时，、当
证明：二、用函数极限的定义一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf?
0)(
存在时的极限是否在四、讨论：函数 x
x
x
x?
一,1,0,0 0 0 2 ； 2,3 9 7,
四、不存在,
练习题答案一、无穷小
1.定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
xfxf
xxx
或极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 xx
,01lim?
xx
,1 时的无穷小是当函数 x
x
,0)1(lim
n
n
n
,})1({ 时的无穷小是当数列 n
n
n
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
2.无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx设,)()( Axfx令
,0)(l i m
0
xxx则有 ).()( xAxf
充分性 ),()( xAxf设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx则 )(l i m
0
xA xx.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
其中 )( x? 是当 0xx? 时的无穷小,
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
误差为附近的近似表达式在给出了函数
3.无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 x
使得,0,0,0 21 NN;21 时恒有当 Nx ;22 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN?取 恒有时当,Nx?
22,
)(0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
恒有时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx
.
0,0,0 202
M
xx
恒有时使得当推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21取 恒有时则当,0 0 xx
uu MM,
.,0 为无穷小时当 uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如?都是无穷小二、无穷大定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Mxf?)(,
则称函数 )( xf 当 0xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).)(lim()(lim
0
xfxf
xxx
或绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
xfxf
x
xx
x
xx
或注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量时当例如
xx
yx
),3,2,1,0(
2
2
1)1(
0
k
k
x取
,22)( 0 kxy,)(,0 Mxyk?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( 0 kkx取
,,kxk 充分大时当
kkxy k 2s i n2)(但,0 M 不是无穷大．
无界，
.11l i m
1
xx
证明例证,0 M,11 Mx要使
,11 Mx只要,1M取
,110 时当 Mx,11 Mx就有,11lim 1 xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
1
1
xy
三、无穷小与无穷大的关系定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
xf
xx
恒有时使得当
.)(1xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx
.0)(,0)(lim,
0
xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
恒有时使得当
.)(1 Mxf?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx
,0)(?xf由于意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,
四、小结
1、主要内容,两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题若 0)(?xf,且 Axf
x
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答不能保证,
例 xxf 1)(?,0x 有 01)( xxf
)(l i m xfx,01l im Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线是函数直线条件下、在
xfy
cy
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大函数时当二、根据定义证明练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时但当上无界在区间三、证明函数
x
xx
y
一,1,0 ； 2,Cxf
x
x
)(l i m ；
3,? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
x,
练习题答案一、极限运算法则定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设证,)(lim,)(lim BxgAxf
.0,0.)(,)( 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ABBA ))((
)( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf?
)(
)(
B
A?
)(
B
AB,0 AB?
,0,0 B?又,0,0 0 时当 xx
,2B BB BB 21 B21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果推论 2
,21)( 2BBB,2)( 1 2BBB故 有界，
.)3( 成立?
二、求极限方法举例例 1,53 1l i m 2
3
2
xx
x
x
求解 )53(l i m 22 xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 xxx xx
5232 2,0
53
1l i m
2
3
2
xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
xx
x
x
xx
.37?3 12
3?
小结,则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf
nnxxnxxxx axaxaxf110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若?xQ
解 )32(l i m 21 xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 xx?又,03
14
32lim 2
1?
x
xx
x,03
0
由无穷小与无穷大的关系,得例 2,32 14lim 21 xx xx求
.32 14l i m 2
1
xx
x
x
解例 3,32 1lim 2
2
1
xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1
xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1?
x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
例 4,147 532l i m 23
23
xx
xx
x
求解,,,分母的极限都是无穷大分子时x )( 型?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结,为非负整数时有和当 nmba,0,0 00
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当当当
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
求解 是无穷小之和．时,n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
)
11(
2
1l i m
nn,2
1?
先变形再求极限,
例 6,s i nlim x x
x
求解,1,为无穷小时当 xx
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m
x
x
x
xxy sin?
例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x
求设
y
o x
1
xy 1
12 xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx,1?
)1(lim)(lim 200 xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 xfx故三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
思考题在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf?
思考题解答没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf? )( xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
)()()()( xfxgxfxg 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _1s i nl i m5 20 xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3l i m1
3
2
x
x
x、
一、填空题,
.__________11l i m2 31 xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(lim3 2 xxxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(l i m4 3 n nnnn、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _c o slim6 xxx ee x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 24l i m7 2
24
0
xx
xxx
x、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)12( )23()32(l i m8 50
3020
x
xx
x
、
二、求下列各极限,
)21.,,41211(l i m1 nn、
h
xhx
h
22
0
)(lim2
、
)1 31 1(lim3 31 xxx、
38 2
31lim4
x
x
x?
、
)(l i m5 xxxxx、
14
12lim6
x
x
x、
2lim7 1
nm
nm
x xx
xx、
一,1,-5 ； 2,3 ； 3,2 ； 4,
5
1；
5,0 ； 6,0 ； 7,
2
1； 8,
30
)
2
3
(,
二,1,2 ； 2,x2 ； 3,-1 ； 4,-2 ；
5,
2
1； 6,0 ； 7,
nm
nm
.
练习题答案一、极限存在准则
1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
lim,
证,,azay nn
使得,0,0,0 21 NN?
,1 ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN?取恒有时当,Nn?
, aya n即
,2 azNn n时恒有当
, aza n
上两式同时成立,
, azxya nnn
,成立即 ax n,l i m ax nn
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 Ι和 准则 Ι'称为 夹逼准则,
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n?
求解,1111 2222 n nnnnnn n
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222
nnnnn
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则满足条件如果数列 nx
,121nn xxxx 单调增加
,121nn xxxx 单调减少单调数列准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式重根证明数列 nx n
证,1 nn xx显然 ;是单调递增的x?
,331x?又,3?kx假定 kk xx 31 33,3?
;是有界的nx?,l i m 存在nn x
,31 nn xx,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx
,32 AA 2 131,2 131 AA解得 (舍去 )
.2 131lim nn x
A
C
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
)20(,, xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx,1s i nco s x xx即
.02 也成立上式对于 x,20 时当 x
xx co s11co s0 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
,02lim
2
0
x
x
,0)c o s1(lim 0 xx
,1c o sl i m0 xx,11l i m0x?又,1
s i nlim
0 x
x
x
例 3,co s1lim 2
0 x
x
x
求解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x?
原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x?
21
2
1,
2
1?
(2) ex
x
x
)11(l i m
定义 en
n
n
)11(lim
n
n nx )
11(设
21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn
nnn
nnnn 1
!
)1()1(
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
,1 nn xx显然 ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n 12
1
2
111
n?
12
13
n,3 ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x en
n
n )
11(l i m记为 )71828.2(e
类似地,
,1 时当?x,1][][ xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx
,xt令
t
t
x
x tx
)
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
)111()111(lim 1 tt tt,e?
ex x
x
)11(lim
,1xt?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
,e?
ex x
x
1
0
)1(lim
例 4,)11(l i m x
x x
求解 xx
x
)11(
1lim
1])11[(l i m
x
x x原式
.1e?
例 5,)23(l i m 2 x
x x
x
求解 422 )211(])211[(lim
xx
x
x原式,
2e?
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0
某过程,)1(l i m2
1
0 e
某过程
,为某过程中的无穷小设?
思考题求极限 xxx
x
1
93lim?
思考题解答
xxx
x
1
93lim?
xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
x
xx
xx?
3
1
3
3
1
1lim9
99 0 e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 x xx?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 xxx、
.__________2s i nl i m5 x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2?
、
._________)1(l i m7 2 xx x x、
._________)11(l i m8 xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
、
x
x ax
ax )(lim3
、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
、
5,n
nn
n
1
)321(l i m
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 的极限存在，并求出该极限,
一,1,? ； 2,
3
2； 3,1 ； 4,
3
1；
5,0 ； 6,e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1,2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5,3.
三,2l i m?
n
x
x,
练习题答案一、无穷小的比较例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0,不存在观察各极限
);(
,,0lim)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(l i m)3(
无穷小阶的的是就说如果 kkCC
k
例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x?
3
0
)t a n(l im4 x x
x?
,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
)c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx
常用等价无穷小,,0时当?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim,0lim ),( o即
).( o于是有例如,),(s i n xoxx ).(211co s 22 xoxx
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
二、等价无穷小替换定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设证lim )lim(
limlimlim,lim
例 3,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x
求解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x?
原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意例 4,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
求解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当?
30 )2(lim x
xx
x
原式,0?
解,0时当?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x?
原式,
16
1?
错
例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
求解 ),(5t a n xoxx ),(33s in xoxx
).(21co s1 22 xoxx
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
,
3
5?
三、小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答不能,例当 时x
,1)( xxf? x xxg s i n)(? 都是无穷小量但 )( )(lim xf xgx x
x s inlim
不存在且不为无穷大故当 时x )( xf 和 )( xg 不能比较,
一,填空题：
1,
x
x
x 2s i n
3ta n
l i m
0?
=__ ______ __.
2,
m
n
x
x
x
)(s i n
a r c s i n
l i m
0?
=__ ______,
3,
x
x
x
)21l n (
lim
0
=__ ______ _.
4,
xx
xx
x
a r c t a n
1s i n1
lim
2
0
=__ ______,
5,
n
n
n
x
2
s i n2l i m
=__ ______,
6,xax
n
x
1)1(lim
1
0
= _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
7,当 0?x 时,)0(
3
aaxa
对于 x 是 ___ ____ 阶无穷小,
8,当 0?x 时，无穷小 xc o s1? 与
n
mx 等价，则
,_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _,nm?
二、求下列各极限：
1,
x
xx
x
3
0
s i n
s i nta n
lim
；
2,
ee
lim ；
3,
x
xx
x
s i ns i n
lim
0
；
4,
ax
ax
ax
ta nta n
lim ；
三,证明：若,是无穷小，则 )(0~,
四、设 f(x)=
1
)c o s (
2
s i n
l i m
2
12
n
n
n x
bxaxx
求,1,)( xf 的表达式,
2,确定 ba,的值,使得 )1()(l i m
1
fxf
x
，
)1()(lim
1
fxf
x
,
一,1,
2
3； 2,
nm
nm
nm
,
,1
,0； 3,2 ； 4,? ；
5,
x； 6,
n
a； 7,3 ； 8,
2
1
,2.
二,1,
2
1； 2,
e； 3,
； 4,
a
2
se c
.
练习题答案四,1,
1),co s (
1,
2
)co s (1
1,
2
)co s (1
1,
2
s i n
xbxa
x
ba
x
ba
x
x
x；
2,
0,),1,0(2 bkka?
.
一、函数的连续性
1.函数的增量
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy
x
y
0 x
y
00x xx0
)( xfy?
x?
0x xx0
x?y?
y?
)( xfy?
2.连续的定义定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即 0l i m
0
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果函数 )( xf 当
0
xx? 时的极限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )( 0xf,即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义
.)()(
,,0,0
0
0
xfxf
xx
恒有时使当例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续在试证函数?
x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 xxx?
,0)0(?f又由定义 2知
.0)( 处连续在函数?xxf
),0()(l i m0 fxfx
3.单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性处的在讨论函数?
x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 xxf xx 2 ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数?xxf
4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 xy
证 ),,(x任取
xxxy s in)s in ( )2co s (2s i n2 xxx
,1)2c o s ( xx?,2s in2 xy则
,0,时当对任意的,s in有
,2s in2 xxy故,0,0 yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 xxy
二、函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 xxx xxxf
解,0)00(f,1)0(f
),00()00( ff?
.0 为函数的跳跃间断点 x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在讨论函数
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy 1
xy 2?
解,1)1(?f?
,2)01(f,2)01(f
2)(lim 1 xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点 x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1(?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在则
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数?
x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00(f,)0(f
.1 为函数的第二类间断点 x
.断点这种情况称为无穷间例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx?
.0 为第二类间断点 x
.断点这种情况称为的振荡间注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
,,0
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,
,,
,,)(
是无理数时当是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
xfy?
,,1
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数取何值时当
x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx,a?
,)0( af
),0()00()00( fff要使
,1 时故当且仅当?a,0)( 处连续在函数?xxf
,1 a
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 )
可去型第一类间断点
o
y
x
跳跃型无穷型 振荡型第二类间断点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
思考题 若 )( xf 在 0x 连续，则 |)(| xf,)(2 xf 在 0x 是否连续？又若 |)(| xf,)(
2 xf
在 0x 连续,)( xf 在
0x 是否连续？
思考题解答
)( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx
)()()()(0 00 xfxfxfxf且
)()(lim 0
0
xfxfxx
)(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf,)(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00?x 不连续但 |)(| xf,)(2 xf 在 00?x 连续一,填空题：
1,指出
23
1
2
2
xx
x
y 在 1?x 是第 ___ ___ _ 类间断点；在
2?x
是第 ____ _ 类间断点,
2,指出
)1(
2
2
xx
xx
y 在 0?x 是第 ____ ___ _ 类间断点；在
1?x
是第 ____ __ 类间断点；在
1x
是第 _____ 类间断点,
二,研究函数
1,1
1,
)(
x
xx
xf 的连续性，并画出函数的图形,
练 习 题三,指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续,
1,
1,3
1,1
)(
xx
xx
xf 在
Rx?
上,
2,
x
x
xf
ta n
)(?,在
Rx?
上,
四,讨论函数
n
n
n
x
x
xf
2
2
1
1
lim)(
的连续性，若有间断点，判断其类型,
五、试确定
ba,
的值,使
)1)((
)(
xax
be
xf
x
，
（ 1 ）有无穷间断点 0?x ； （ 2 ）有可去间断点 1?x,
一,1,一类,二类； 2,一类,一类,二类,
二、,),1()1,()( 内连续与在xf 1x 为跳跃间断点,
三,1,1?x 为第一类间断点；
2,,
2
为可去间断点
kx
)0( kkx
为第二类间断点,
0,1
2
,,
t a n)(
1
x
kkx
x
x
xf
),2,1,0(k
,
练习题答案
),2,1,0(
2
,0
2
,,
t a n
)(
2
k
kx
kkx
x
x
xf,
四、
1,
0,0
1,
)(
xx
x
xx
xf
1?x
和
1x
为第一类间断点,
五,(1);1,0 ba
(2)
eba,1
.
一、四则运算的连续性定理 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
例如,,),(c o s,s i n 内连续在xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
二、反函数与复合函数的连续性定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
则有连续在点函数若证,)( 连续在点 auuf
.)()(
,,0,0
成立恒有时使当
afuf
au
,)(l i m 0 axxx又
,0,0,0 0 时使当对于 xx
.)( 成立恒有 auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 xx
)()]([)()( afxfafuf.成立
)()]([l i m 0 afxfxx ) ],(lim[ 0 xxx
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu
例 1,)1l n(lim 0 x xx求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m原式
])1(l i ml n[ 10 xx xeln?
解例 2,1lim
0 x
e x
x
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y?
原式解,1 ye x令 ),1ln ( yx则
.0,0 yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在xu
,),(s i n 内连续在 uy
.),0()0,(1s i n 内连续在xy
三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,
★
★ )1,0( aaay x指数函数;),( 内单调且连续在
★ )1,0(l o g aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
★?xy? xaa log,uay?,l o g xu a
,),0( 内连续在,不同值讨论?
(均在其定义域内连续 )
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s xy?,4,2,0,xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 xxy,1,0, xxD 及在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间
注意注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
例 3,1s inli m
1
x
x e求
1s i n 1 e原式,1s n e
例 4,11li m
2
0 x
x
x
求解解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0
xx
xx
x
原式
11lim 20 x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间 xxfxfxx
四、小结连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
两个定理 ; 两点意义,
反函数的连续性,
思考题 设 xxf s g n)(?,21)( xxg,试研究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg
)1s g n ()]([ 2xxgf 1?
2s g n1)]([ xxfg
0,1
0,2
x
x
在 ),( 上处处连续)]([ xgf
在 )0,( ),0( 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
一,填空题：
1,
43lim
2
0
xx
x
___ _ ___ ___ __,
2,?
x
x
x
11
l i m
0
___ _ ___ ___ __,
3,?
)2c o s2l n (lim
6
x
x
___ _ ___ ___ __,
4,?
x
x
x
2
4
ta n
c o s22
l i m
___ ___ ___ ___,
5,?
t
e
t
t
1
l i m
2
___ ___ ___ ___,
6,设,
0,
0,
)(
xxa
xe
xf
x
当?a ___ _ _ 时,)( xf 在
),( 上连续,
练 习 题
7,函数
6
1
)(
2
4
xx
xx
xf 的连续区间为
______ _ ___ ___ ___.
8,设
时当时当
1,1
1,
2
co s
)(
xx
x
x
xf 确定
)(l i m
2
1
xf
x
______ _ ___ ;?
)(lim
1
xf
x
______ ___ __.
二,计算下列各极限：
1,
ax
ax
ax
s i ns i n
lim ； 2,
x
x
x
c o t2
0
)ta n31(lim?；
3,
1
)
12
32
(l i m
x
x
x
x；
三,设
0),l n (
0,1
0,
)(
2
2
xxxb
x
xxa
xf 已知 )( xf 在
0?x
处连续，试确 定 a 和
b
的值,
四,设函数
)( xf
在
0?x
处连续，且
0)0(?f
,已知
)()( xfxg?
，试证函数
)( xg
在
0?x
处也连续,
一,1,2 ； 2,
2
1； 3,0 ； 4,0 ；
5,)1
1
(
2
1
2
e； 6,1 ；
7,),2(),2,3(),3,( ；
8,
2
2
,0,不存在,
二,1,ac o s ； 2,1 ； 3 ；
2
1
e
.
三、
eba,1
.
练习题答案一、最大值和最小值定理定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
例如,
,s g n xy?,),( 上在
,2m ax?y;1m iny
,),0( 上在,1m i nm a x yy
,s i n1 xy,]2,0[ 上在? ;0m in?y
,1m ax?y
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)( xfy?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
有使得则若注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)( xfy?
21
1
x
y
o 2?
)( xfy?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax
,)( Mxfm有 },,m a x { MmK?取
.)( Kxf?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点称为函数则使如果
xf
xxfx?
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
xfy?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,x
y
o
)( xfy?
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy?
证,)()( Cxfx设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa )()(?且
,CA
Cbfb )()(?,CB
,0)()( ba 由零点定理,使),,( ba
,0)(,0)()( Cf即,)( Cf
.
)(
至少有一个交点直线与水平连续曲线弧
Cy
xfy
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根内在区间证明方程 xx
证,14)( 23 xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0(f又,02)(f 由零点定理,
使),,( ba,0)(f,014 23即
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
M m
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
fbabbf
aafbaxf
使得证明且上连续在区间设函数证,)()( xxfxF令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF )()(而,0?
由零点定理,
使),,( ba,0)()( fF
bbfbF )()(,0?
.)(f即三、小结四个定理有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答不正确,
例函数
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
一,证明方程 bxax si n,其中 0,0 ba,至少有一个正根，并且它不超过 ba?,
二,若
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bxxxa
n
21
则在 ],[
1 n
xx 上必有
，使
n
xfxfxf
xf
n
)(.,,,,,)()(
)(
21
,
三,设
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bdca
,试证明：对任意正数
qp 和；至少有一点
],[ dc
,使
)()()()(?fqpxqfxpf
.
练 习 题
（一）函数的定义
（二）极限的概念
（三）连续的概念一、主要内容第一章习题课函 数的定义反函数 隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数
1、函数的定义
．记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义
)( xfy
xy
yDx
Dyx
叫做因变量．
叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集
y
xD
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
函数的分类函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
(1) 单值性与多值性,
若对于每一个 Dx?,仅有一个值 )( xfy? 与之对应,则称 )( xf 为单值函数,否则就是多值函数,
x
y
o
xey?
x
y
o
1)1( 22 yx
2、函数的性质
(2) 函数的奇偶性,
偶函数 奇函数有对于关于原点对称设,,DxD;)()()( 为偶函数称 xfxfxf;)()()( 为奇函数称 xfxfxf
y
xo
x
y
o
xy? 3xy?
(3) 函数的单调性,
设函数 f(x)的定义域为 D，区间 I D，如果对于区间 I上任意两点 及,当 时，恒有：
(1),则称函数 在区间 I上是 单调增加的 ；
或 (2),则称函数 在区间 I上是 单调递减的 ；
单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 。
1x 2
x 21 xx?
)()(
)()(
21
21
xfxf
xfxf
)(xf
)(xf
x
y
o
2xy? ;0 时为减函数当?x;0 时为增函数当?x
..)(
,)(,,0,
否则称无界上有界在则称函数成立有若
Xxf
MxfXxMDX
(4) 函数的有界性,;),0()0,( 上无界及在
.),1[]1,( 上有界及在
x
y
o
xy
1?
11?
设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 l,使得对于任一,有,且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称 f(x)为 周期函数,l 称为 f(x) 的 周期,（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
Dx? Dlx )(
(5) 函数的周期性,
o
y
x
1
1
][ xxy1?T
3、反函数
.)()( 1 称为反函数确定的由 xfyxfy
0 yexy如
4、隐函数
.)(
0),(
称为隐函数所确定的函数由方程
xfy
yxF
xy s in h? )(1 xfy s in har? x
)( xfy?
x
y
o
)),(( xxf
))(,( xfx
)(1 xfy
5、反函数与直接函数之间的关系则函数是一一对应设函数
,
)( xf
fDxx
xffxff
))(())((1 11
.
)()(2 1
xy
xfyxfy
图象对称于直线的与
6、基本初等函数
1） 幂函数 )( 是常数xy
2）指数函数 )1,0( aaay x
3）对数函数 )1,0(l o g aaxy a
4）三角函数 ;c o s xy?;s i n xy?
5）反三角函数 ;a r c c o s xy? ;a r c s i n xy?;c o t xy?;t a n xy?;a r c t a n xyy co tarc x
7、复合函数设函数 )( ufy? 的定义域 fD,而函数 )( xu
的 值 域 为?Z,若ZD f,则称函数
)]([ xfy 为 x 的 复合函数,
8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为 初等函数,
9、双曲函数与反双曲函数
2s i n h
xx ee
x
双曲正弦
2c o s h
xx ee
x
双曲余弦
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h双曲正切双曲函数常用公式;s i n h xy?反双曲正弦 ar;t a n xy?反双曲正切 ar;c o s h xy?反双曲余弦 ar;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx;1s i n hc o s h 22 xx ;co s hs i nh22s i nh xxx?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx
左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限 函 数 极 限
axnnlim Axfxx )(lim 0 Axfx )(lim
等价无穷小及其性质唯一性无穷小 0)(lim?xf
两者的关系无穷大)(lim xf
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
n
x,不等式 ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x
的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,lim ax
n
n
或 ).( nax
n
.,,0,0 axNnN n恒有时使
1、极限的定义定义"" N
定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式
Axf )(,
那末常数
A
就叫函数 )( xf 当 0xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理无穷小,极限为零的变量称为 无穷小,
).0)(lim(0)(lim
0
xfxf xxx 或记作绝对值无限增大的变量称为 无穷大,无穷大,
).)(lim()(lim
0
xfxf xxx 或记作在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
无穷小与无穷大的关系
2、无穷小与无穷大定理 1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
无穷小的运算性质定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设推论 1 ).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果推论 2
3、极限的性质
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
准则 Ⅰ′ 如果当 ),(
0
0
rxUx? ( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
存在,且等于 A,
5、判定极限存在的准则准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
(夹逼准则 )
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
(2) ex
x
x
)11(l i m
ex x
x
1
0
)1(lim;1s i nl i m
某过程
.)1(lim
1
e
某过程
6、两个重要极限
);(
,,0lim)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
7、无穷小的比较定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设
.
),0,0(lim)3(
无穷小阶的是是就说如果 kkCCk
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
8、等价无穷小的性质
9、极限的唯一性左右连续在区间 [a,b]
上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义 0lim
0 yx )()(l i m 00 xfxfxx
连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类 第二类定义 1 设函数 )( xf 在点
0
x 的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即
0lim
0
y
x
或 0)]()([lim
00
0
xfxxf
x
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
1、连续的定义
).()(lim2 0
0
xfxfxx定义定理
.
)()( 00
既左连续又右连续处在是函数处连续在函数 xxfxxf?
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
3、连续的充要条件
2、单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
4、间断点的定义
(1) 跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
(2)可去间断点
.)(
)(),()(lim
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点,
特点,,,0 右极限都存在处的左函数在点 x
可去型第一类间断点跳跃型
0
y
x0x0
y
x0x
0
y
x
无穷型 振荡型第二类间断点
0
y
x0x
第二类间断点
.
)(,
,)(
0
0
类间断点的第二为函数则称点至少有一个不存在右极限处的左在点如果
xfx
xxf
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
6、闭区间的连续性
7、连续性的运算性质定理
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
定理 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
定理 2
) ],(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
则有连续在点函数若
8、初等函数的连续性
.)]([
,)(,
)(,)(
0
00
00
也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
xxxfy
uuufyu
xxxxu
定理 3
定理 4 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 5 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
9、闭区间上连续函数的性质定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M
与最小值 m之间的任何值,
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 cf )( )( ba,
二、典型例题例 1,)16(lo g 2)1( 的定义域求函数 xy x
解,016 2 x
,01x
,11x
2
1
4
x
x
x
,4221 xx 及
).4,2()2,1(?即例 2
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求其中设
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt令,1 1 tx即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf,1
2)
1
1()(
xxfxf即
,11 1 uux令 1 1 ux即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf,
)1(2)1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
即
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
解联立方程组
.11 11)( xxxxf
例 3 ).1()1)(1)(1(lim
,1
242 nxxxx
x
n
求时当解 将分子、分母同乘以因子 (1-x),则
x
xxxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1)(1(lim 242?原式
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 2422?
x
xx nn
n?
1
)1)(1(lim 22
x
x n
n?
1
1lim 12
.1 1 x,)0lim,1( 12
nxx
n时当?
例 4,)s in1
ta n1(l im 31
0
x
x x
x
求解 解法讨论则设,)(lim,0)(lim xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf )]()[(lim xfxge
.)()(l i m xfxge ))(~)](1l n [( xfxf
3
1
0
)]1s i n1 ta n1(1[lim x
x x
x?
原式
3
1
0
]s in1 s inta n1[lim x
x x
xx
30
1
s in1
s inta nlim
xx
xx
x
30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nlim xxx xxx
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20
2
1
.21e 原式例 5 ).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求且是多项式设
解,2
)(lim
2
3
x
xxp
x
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp
,1)(li m
0
x
xp
x
又
)0(~2)( 23 xxbaxxxxp
.1,0 ab从而得 xxxxp 23 2)(故例 6
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
x
x
xx
xf?
解 改写成将 )( xf
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然xf
,1时当x
)(l i m1 xfx )1(lim 1 xx,2
)(lim 1 xfx 2co slim 1 xx,0
)(l i m)(l i m 11 xfxf xx
.1)( 间断在故xxf
,1时当?x
)(l i m1 xfx 2co slim 1 xx,0
)(l i m1 xfx )1(lim 1 xx,0
)(lim)(lim 11 xfxf xx
.1)( 连续在故?xxf
.),1()1,()( 连续在xf
例 7 ).()
2
1
(]1,0[
),1()0(,]1,0[)(
ff
ffxf
使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明 ),()21()( xfxfxF令
.]21,0[)( 上连续在则 xF
),0()21()0( ffF ),21()1()21( ffF
讨论,,0)0(?F若,0则 );0()210( ff
,0)21(?F若,21则 );21()2121( ff
则若,0)21(,0)0( FF
)21()0( FF 2)]0()21([ ff,0?
由零点定理知,.0)(),21,0( F使
.)()21( 成立即 ff
综上,],1,0[]21,0[必有一点
.)()21( 成立使 ff
一,选择题：
1,函数
2
1
a r c c o s1
x
xy 的定义域是 （ ）
(A) 1?x ；
(B) 13 x ；
(C) )1,3(? ；
(D)
131 xxxx
.
2,函数
30,1
04,3
)(
2
xx
xx
xf 的定义域是 （ ）
(A)
04 x；
(B)
30 x;
(C) )3,4(? ;
(D)
3004 xxxx
.
测 验 题
3,函数 xxxy s i nc o s 是 （ ）
(A) 偶函数； ( B ) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶函数,
4,函数 xxf
2
c o s1)(
的最小正周期是 （ ）
( A ) 2? ； ( B )? ；
( C ) 4 ； ( D )
2
1
,
5,函数
2
1
)(
x
x
xf
在定义域为 （ ）
(A) 有上界无下界； (B ) 有下界无上界；
(C) 有界，且 2
1
2
1
)( xf ；
( D ) 有界，且 2
1
2
2
x
x
,
6,与 2)( xxf? 等价的函数是 （ ）
(A ) x ； (B ) 2)( x ；
(C ) 33 )( x ； (D ) x,
7,当 0?x 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小 （ ）
（ A ） 2x ； （ B ） xc o s1? ；
（ C ） xx t a n? ； （ D ） )1l n ( x?,
8,设,0,
00
ba 则当 （ ）时有
0
0
1
10
1
10
.,,,,,,,,
.,,,,,,,
l i m
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
,
( A) nm? ； (B) nm? ；
( C) nm? ； (D) nm,任意取,
二、求下列函数的定义域：
9,设
10,
01,1
)(
xx
xx
xf
则?
)(lim
0
xf
x
( )
( A ) - 1 ； ( B ) 1 ；
( C ) 0 ； ( D ) 不存在,10, x
x
x 0
lim （ ）
(A) 1 ； (B) -1 ；
(C) 0 ； (D ) 不存在,;a r c t a n)12s i n (1 xxy、
2,1
2
)9
l g ()(
2
xx
x?,
三,设 132)1(
2
xxxg
（ 1 ） 试确定 cba,,的值使
cxbxaxg )1()1()1(
2；
（ 2 ） 求
)1(?xg
的表达式,
四,求 xxxf s g n)1()(
2
的反函数 )(
1
xf
.
五,求极限：
1,
2
2
)1(
12
l i m
n
nn
n?
； 2,
3
21
l i m
3?
x
x
x；
3,x
x
x
2
0
)1(l i m?； 4,)1(lim
1
x
x
ex ；
5,当 0?x 时，
n
n
xxx
2
c o s.,,,,,,,
4
c o s
2
c o sl i m
；
6,
12
1
s i n
lim
2
2
x
x
x
x
,
六,设有函数
1,1)1(
1,s i n
)(
xxa
xax
xf 试确定 a 的值使 )( xf 在 1?x 连续,七,讨论函数
x
x
x
xf
2
s i n
1
1
a r c t a n
)(
的连续性，并判断其间断点的类型,
八,证明奇次多项式：
1221120)( nnn axaxaxP? )0( 0?a 至少存在一个实根,
一,1,B ； 2,D ； 3,B ； 4,C ； 5,C ；
6,D ； 7,C ； 8,B ； 9,D ； 10,D ；
二,1,);,( 2,[4,5].
三,352)1(,0,1,2
2
xxxgcba,
四、
1,)1(
0,0
1,1
)(
1
xx
x
xx
xf,
五,1,2 ； 2,
4
1； 3,
2
e； 4,1 ； 5,
x
xs i n；
6,
2
2
.
测验题答案六,
ka 2
2
),2,1,0(k
七,0?x 可去间断点,1?x 跳跃间断点,
),2,1(2 nnx 无穷间断点,
x 为其它实数时 )( xf 连续,
