设 ),( 000 yxP 是 xoy 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx
一、多元函数的概念
（ 2）区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为区域或开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点；
说明：
边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点．
点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
n维空间的记号为说明：;nR
n维空间中两点间距离公式
),,,,( 21 nxxxP? ),,,,( 21 nyyyQ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ
n维空间中邻域、区域等概念
nRPPPPPU,||),( 00
特殊地当 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
3,2,1?n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
邻域：
设两点为设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
（ 5）二元函数的定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、
因变量等概念,
类似地可定义三元及三元以上函数．
例 1 求 的定义域,2
22 )3a r c s i n (
),(
yx
yxyxf
解
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
（ 6） 二元函数 的图形 ),( yxfz?
设函数 ),( yxfz? 的定义域为 D,对于任意取定的 DyxP?),(,对应的函数值为
),( yxfz?,这样，以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( zyxM,
当 x 取遍
D
上一切点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx,这个点集称为二元函数的图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
x
y
z
o
xyz sin?
例如,
图形如右图,
2222 azyx
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD
222 yxaz
.222 yxaz
单值分支,
定义 1 设 函 数 ),( yxfz? 的 定 义 域 为
),(,
000
yxPD 是其聚点，如果对于任意给定的正数?,总存在正数?,使得对于适合不等式
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的 一 切点，都有 |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz? 当 0xx?,0yy? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
（或 )0(),(Ayxf 这里
||
0
PP
）,
二、多元函数的极限说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例 2 求证证
01s i n)(l i m 2222
0
0
yx
yx
y
x
01sin)( 2222 yxyx
22
22 1s i n
yxyx 22 yx
,0,
当 时, 22 )0()0(0 yx
01s i n)( 2222 yxyx 原结论成立．
例 3 求极限,
)s i n (l i m
22
2
0
0 yx
yx
y
x?
解 22
2
0
0
)s i n (l i m
yx
yx
y
x?
,)s in (lim 22
2
2
2
0
0 yx
yx
yx
yx
y
x?
其中 yx
yx
y
x 2
2
0
0
)s i n (l i m
u
u
u
sinlim
0?,1?
22
2
yx
yx
x2
1?,00x,0)s i n (l i m 22
2
0
0
yx
yx
y
x
yxu 2?
例 4 证明 不存在．
证
26
3
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
取,3kxy?
26
3
0
0
lim
yx
yx
y
x?
626
33
0
3
l i m
xkx
kxx
kxy
x?
,1 2k
k
其值随 k的不同而变化，
故极限不存在．
不存在,观察 26
3
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
,26
3
图形yx yxz
播放
（ 1 ） 令 ),( yxP 沿 kxy? 趋向于 ),( 000 yxP,若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（ 2 ） 找两种不同趋近方式，使 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
存在，
但两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点
),(
000
yxP 处极限不存在．
确定极限 不存在 的方法：
定义 2 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD 是其聚点，如果对于任意给定的正数?,
总存在正数?,使得对于适合不 等式
||0
0
PP 的 一 切 点 DP?,都 有
|)(| APf 成立，则称 A 为 n 元函数 )( Pf
当 0PP? 时的极限，记为
APf
PP
)(lim
0
.
n 元函数的极限利用点函数的形式有设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD
是其聚点且 DP?
0
，如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
则称 n 元函数 )( Pf 在点 0P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的间断点,
三、多元函数的连续性定义 3
例 5 讨论函数?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
33
yx
yx
yx
yx
yxf
在 (0,0)处的连续性．
解 取,co sx
s i n?y
)0,0(),( fyxf?
)c o s( s i n 332?
2)0,0(),( fyxf
故函数在 (0,0)处连续,
),0,0(),(l i m )0,0(),( fyxfyx
,0,2 当 时 220 yx
例 6 讨论函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 (0,0)的连续性．
解 取 kxy?
22
0
0
lim yx xy
y
x?
222
2
0
lim
xkx
kx
kxy
x?
21 k
k
其值随 k的不同而变化,极限不存在．
故函数在 (0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
（ 3）一致连续性定理在有界闭区域 D上的多元连续函数必定在 D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７,
11l i m
0
0 xy
xy
y
x
求解 )11(
11lim
0
0
xyxy
xy
y
x
原式
11
1l i m
0
0
y
x
.21?
).()(lim
)()(
)()(lim
00
0
0
0
PfPfP
PfPfP
PfPf
PP
PP
处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质
（注意趋近方式的 任意性 ）
四、小结多元函数的定义若点 ),( yx 沿着无数多条平面曲线趋向于点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A,能否断定 Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
？
思考题思考题解答不能,
例,)(),( 242
23
yx
yxyxf
)0,0(),(?yx
取,kxy? 2442
223
)(),( xkx
xkxkxxf
00x
但是 不存在,),(lim
)0,0(),( yxfyx?
原因为若取,2yx? 244
26
2
)(),( yy
yyyyf
.4
1?
一,填空题,
1,若
y
x
xyyxyxf ta n),(
22
,则 ),( tytxf = ____,
2,若
xy
yx
yxf
2
),(
22
,则
)3,2(f
____ _ ___ _ _ ;
),1(
x
y
f ___ __ ___ _ ___ __ __,
3,若 )0()(
22
y
y
yx
x
y
f,则
)( xf
___ __ ___,
4,若
22
),( yx
x
y
yxf
,则
),( yxf
___ __ ___ _,
函数
)1l n (
4
22
2
yx
yx
z
的定义域是 ___ ___ _ ___,
练 习 题
6,函数 yxz 的定义域是 ___ __ ___ __ ___ _,
7,函数
x
y
z a r c s i n? 的定义域是 ___ __ ___ __ ___ _ _,
8,函数
xy
xy
z
2
2
2
2
的间断点是 ___ __ ___ __ ___ _ __,
二,求下列各极限,
1,
xy
xy
y
x
42
l i m
0
0
；
2,
x
xy
y
x
s i n
lim
0
0
；
3,
2222
22
0
0 )(
)c o s (1
l i m
yxyx
yx
y
x?
.
三,证明,0lim
22
0
0
yx
xy
y
x
.
四,证明极限
yx
xy
y
x?
11
lim
0
0
不存在,
一,1,),(
2
yxft ； 2,
12
13
,),( yxf ；
3,
x
x
2
1?； 4,
y
y
x
1
1
2；
5,xyyxyx 4,10),(
222
；
6,yxyxyx
2
,0,0),( ；
7,xyxxyx,0),(
xyxxyx,0),( ；
8,
02),(
2
xyyx,
二,1,
4
1； 2,0 ； 3,
.
练习题答案定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx
处对
x
的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法同理可定义 函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),( 00 yxf y,
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 ),,( zyxfu? ),,( zx
,),,(),,(lim),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
,),,(),,(lim),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy?
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz?
例 1 求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数．
解xz ;32 yxyz,23 yx?
2
1
y
xx
z
,82312
2
1
y
xy
z,72213
例 2 设 yxz? )1,0( xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
.
证xz,1?yyxyz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11
yy xx,2z? 原结论成立．
例 3 设 22a r c s i n
yx
xz
,求
x
z
,
y
z
,
解?
x
z
x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
.|| 22 yx y
|)|( 2 yy?
yz
y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
yyx
x 1s g n
22 )0(?y
0
0
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
.
证 VRTp ;2VRTVp
pRTV ;pRTV RpVT ;RVpT
pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1pVRT
偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
有关偏导数的几点说明：
１、
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
解 xxf
xx
0|0|l i m)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
３、偏导数存在与连续的关系例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
4、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM?
如图偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
几何意义,
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),(2
2
yxfy zyzy yy
),,(
2
yxfyx zxzy xy ),(
2
yxfxy zyzx yx
函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
二、高阶偏导数例 5 设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
.
解 xz,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx
2
2
x
z
,6
2xy? 2
2
y
z
;182 3 xyx3
3
x
z
,6
2y?
xy
z
2
.196 22 yyxyx
z
2
,196 22 yyx
原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
;s i n bybe
y
u ax
,c o s22
2
byeax u ax,co s22
2
byeby u ax
,s i n
2
bya b eyx u ax,s i n
2
bya b exy u ax
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
问题,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
例 6 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉斯方程
.02
2
2
2
yuxu
解 ),l n (21ln 2222 yxyx
,22 yx xxu,22 yx yyu
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
,0?
偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数
（偏增量比的极限）
纯偏导混合偏导 （相等的条件）
三、小结若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思考题思考题解答不能,
,),( 22 yxyxf
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff? 不存在,
例如,
一,填空题,
1,设
y
x
z ta nln?,则?
x
z
_____ ___;?
y
z
_____ ____.
2,设?
x
z
yxez
xy
则),( _______;?
y
z
_____ ___.
3,设,
z
y
xu? 则?
x
u
______ ____ ;?
y
u
_________ _;
z
u
______ ____ __.
4,设,a r c ta n
x
y
z? 则
2
2
x
z
______ __;
2
2
y
z
______ _;
yx
z
2
______ _____ _.
练 习 题
5,设 zyxu )(?,则 yz u
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列函数的偏导数,
1,
y
xyz )1( ；
2,
z
yxu )a r c ta n (,
三,曲线
4
4
22
y
yx
z
,在点 (2,4,5 ) 处的切线与正向
x
轴所成的倾角是多少?
四,设
x
yz?,求,,
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
和五、设 )l n ( xyxz?,求
yx
z
2
3
和
2
3
yx
z
.
六,验证,
1,
)
11
(
yx
ez
,满足 z
y
z
y
x
z
x 2
22
；
2,
222
zyxr 满足
r
z
z
r
y
r
x
r
2
2
2
2
2
2
.
七、设
0,0
0,a r c ta na r c ta n
),(
22
xy
xy
y
x
y
x
y
x
yxf
求
xyx
ff,.
一,1,
y
x
y
x
y
x
y
2
c s c
2
,
2
c s c
2
2；
2,)1(
2
yxye
xy
,)1(
2
xxye
xy；
3,xx
z
x
z
y
z
y
z
y
ln
1
,
1?
,xx
z
y
z
y
ln
2；
4,
222
22
222222
)(
,
)(
2
,
)(
2
yx
xy
yx
xy
yx
xy
；
5,
)ln
1
()(
y
x
y
z
yy
x
z
.
二,1,
xy
xy
xyxy
y
z
xyy
x
z
yy
1
)1l n ()1(,)1(
12;
练习题答案
2,
z
z
yx
yxz
x
u
2
1
)(1
)(
,,
)(1
)(
2
1
z
z
yx
yxz
y
u
z
yx
yxyx
z
u
2
)(1
)l n ()(
.
三、
4
.
四、,)1(,ln
2
2
2
2
2
2
xx
yxx
y
z
yy
x
z
)1ln(
1
2
yxy
yx
z
x
.
五、
22
3
2
3
1
,0
yyx
z
yx
z
.
七、
0,0;0,0
0,0,
0,a r c t a n2
yxyx
yxy
xyy
x
y
x
f
x
,
0,0,1
0,
0,1
22
22
yx
xy
yx
yx
x
f
xy
.
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏微分二元函数对 x 和对 y 的 偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义，并设 ),( yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx,的全增量，记为
z?
，
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf
全增量的概念如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为
dz
，即
dz
= yBxA,
全微分的定义函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
事实上 ),(?oyBxAz,0lim
0 z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
二、可微的条件定理 1 （ 必要条件） 如果函数 ),( yxfz? 在点
),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
、
y
z
必存在，且函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz?
,
证 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 可微分,
),( yyxxP P 的某个邻域
)(?oyBxAz 总成立,
当 0 y 时，上式仍成立，此时 || x,
),(),( yxfyxxf | )(| xoxA
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0
,xz
同理可得,yzB
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx,)()( 22 yx yx
如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy? 趋近于 )0,0(,
则?
22 )()( yx
yx
22 )()( xx
xx
,
2
1?
说明它不能随着 0 而趋于 0,0当 时，
),(])0,0()0,0([?oyfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
说明,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
) ],,(),([ yxfyyxf
),(),( yyxfyyxxf
xyyxxf x ),( 1? )0( 1
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x 1),(?（依偏导数的连续性）
且当 0,0 yx 时,01,
其中 1? 为 yx,的函数,
xxyxf x 1),(? yyyxf y 2),(?z?
21
21
yx?
,00
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf
,),( 2 yyyxf y当 0 时,02,
习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z?
,xyxe
y
z?
,2
)1,2(
e
x
z?
,2 2
)1,2(
e
y
z?
.2 22 dyedxedz所求全微分例 2 求函数 )2c o s ( yxyz,当
4
x,y,
4
dx,dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxyxz
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
).74(8 2
例 3 计算函数 yzeyxu
2
s i n 的全微分,
解,1xu,2c o s21 yzzeyyu
,yzyezu
所求全微分
.)2co s21( dzyedyzeydxdu yzyz
例 4 试证函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 )0,0(
不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),(?yx,)0,0(),(?yx 讨论,
证 令,co sx,s i ny
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx
1s i nc o ss i nlim 2
0
0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim 0,000lim 0 xx
同理,0)0,0(?yf
当 )0,0(),(?yx 时，
),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
xx
x
xxx
不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff
22 )()(
1s i n
yx
yx
))()(( 22 yxo
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式连续，且个偏导数的两在点当二元函数
yxyxfyxf
yxPyxfz
yx
,),(),,(
),(),(
.),(),( yyxfxyxfdzz yx
也可写成
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx
例 5 计算 02.2)04.1( 的近似值,
解,),( yxyxf?设函数
.02.0,04.0,2,1 yxyx取
,1)2,1(?f?
,),( 1 yx yxyxf,ln),( xxyxf yy?
,2)2,1(?xf,0)2,1(?yf
由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2.08.1?
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
三、小结函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
,),( yxf
y
在点 ),(
00
yx 的某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
),(),(,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量,
思考题一,填空题,
1,设
x
y
ez?,则?
x
z
____ __ ___ __ __ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ；?dz __ ___ __ ___ __,
2,若 )l n (
222
zyxu,则
du
__ ___ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ __ __ _,
3,若函数
x
y
z?,当
1,2 yx
,
2.0,1.0 yx
时,
函数的全增量
z
__ __ ___ ; 全微分
dz
___ __ ___,
4,若 函 数
y
x
xyz
,则
xz 对的 偏 增 量
z
x ___ __ ___ __ _;?
x
z
x
x 0
lim __ __ ___ __ __ ___,
练 习 题二,求函数 )1l n (
22
yxz 当,1?x
2?y 时的全微分,
三,计算
33
)97.1()02.1(? 的近似值,
四,设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
cm1.0
，内高为 cm20,内半径为
cm4
,求容器外壳体积的近似值,
五,测得一块三角形土地的两边边长分别为 m1.063? 和
m1.078?
,这两边的夹角为
0
160?
,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差,
六、利用全微分证明,乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和,
七、求函数
),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
的偏导数,并研究在点
)0,0(
处偏导数的连续性及函数
),( yxf
的可微性,
一,1,)(
1
,
1
,
2
dydx
x
y
e
x
e
x
e
x
y
x
y
x
y
x
y
；
2,
222
)(2
zyx
z d zy d yx d x
； 3,-0.119,-0,125 ；
4,
y
yx
y
y
1
,)
1
(,
二,dydx
3
2
3
1
,三,2.9 5,四、
3
cm3.55
.
五、
%.30.1,m6.27,m2128
22
七,),(),,( yxfyxf
yx
在
)0,0(
处均不连续,
),( yxf
在点 (0,0) 处可微,
练习题答案证
),()( tttu则 );()( tttv
一、链式法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
，获得增量设 tt?
由于函数 ),( vufz? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz
当 0 u,0 v 时，01,02
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
21
当 0 t 时,0 u,0 v
,dtdutu,dtdvtv
.lim
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
u
v
x
z
y
链式法则如图示
xz
u
z
x
u
v
z,
x
v
yz
u
z
y
u
v
z,
y
v
类似地再推广，设 ),( yxu,),( yxv,
),( yxww? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz? ),( yxu
即 ],,),,([ yxyxfz
,xfxuufxz,yfyuufyz
令,xv?,yw?
其中
,1xv,0xw,0yv,1yw
把复合函数 ],),,([ yxyxfz
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数把 ),,( yxufz?
中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数两者的区别区别类似例 1 设 vez u s i n?,而 xyu?,yxv,
求
x
z
和
y
z
.
解xz
u
z
x
u
v
z
x
v
1c o ss i n veyve uu ),c o ss i n( vvye u
yz
u
z
y
u
v
z
y
v
1co ss i n vexve uu ).c o ss i n( vvxe u
例 2 设 tuvz si n,而
teu?
,tv c o s?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
ttuve t co ss i n
ttete tt co ss i nco s
.c o s)s i n( c o s ttte t
例 3 设 ),( x y zzyxfw,f 具有二阶连续偏导数，求
x
w
和
zx
w
2
.
解 令,zyxu ;xyzv?
记,),(1 u vuff,),(
2
12 vu
vuff
同理有,2f?,11f,22f
xw xvvfxuuf ;21 fyzf
zxw
2
)( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf
zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf
zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf
于是 zxw
2
1211 fxyf 2y )( 2221 fxyfyz
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf
设函数 ),( vufz? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
; 当 ),( yxu,),( yxv
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
,
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
二、全微分形式不变性
dxxvvzxuuz
dyyzdxxzdz
dyyvvzyuuz?
dy
y
udx
x
u
u
z?
dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz,dvvz
例 4 已知 02 zxy eze,求 xz 和 yz,
解,0)2( zxy ezed?
,02)( dzedzxyde zxy
)()2( y d xxdyedze xyz
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2(
x
z
,
2
z
xy
e
ye
y
z
,
2
z
xy
e
xe
1、链式法则 （分三种情况）
2、全微分形式不变性
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
（理解其实质）
三、小结设 ),,( xvufz?,而 )( xu,)( xv,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
,
试问
dx
dz
与
x
f
是否相同？为什么？
思考题思考题解答不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf
一、填空题,
1,设
xy
yx
z
c o s
c o s
,则?
x
z
___ _ __ ___ __ __ ___ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ___ _,
2,设
2
2
)23l n (
y
yxx
z
,则?
x
z
___ _ __ ___ __ ___ _ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ___ _.
3,设
3
2s i n tt
ez
,则?
dt
dz
___ _ __ ___ __ __ ___,
二、设 u
v
uez?,而 xyvyxu,22,求 yzxz,.
练 习 题三、设 )a r c t a n ( xyz?,而
x
ey?,求
dx
dz
.
四、设 ),,(
22 xy
eyxfz ( 其 具中 f 有一阶连续偏导数 ),求
y
z
x
z
,.
五、设 )( x y zxyxfu,( 其具中 f
有一阶连续偏导数 ),求,,,
z
u
y
u
x
u
六、设
),(
y
x
xfz?
,( 其具中 f
有二阶连续偏导数 ),求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
.
七、设,
)(
22
yxf
y
z
其中为可导函数,
验证,
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
.
八、设,],),([ 其中yyxxz 具有二阶导数,求
,,
2
2
2
2
y
z
x
z
一,1,
xy
yyyxx
xy
xxxy
222
c o s
)c o ss i n(c o s
,
c o s
)s i n(c o sc o s?
；
2,,
)23(
3
)23l n (
2
2
2
2
yyx
x
yx
y
x
2
2
3
2
)23(
2
)23l n (
2
yyx
x
yx
y
x
；
3,,
)43(1
)41(3
23
2
tt
t
二、,]
)(
2
2[
22
222
2
yx
xy
e
yyx
yx
yx
x
z
)(
22
2
22
]
)(
2
2[
yx
xy
e
yx
xy
xy
y
z
.
练习题答案三、
x
x
ex
xe
dx
dz
22
1
)1(
,
四,.2,2
2121
fxefy
y
z
fyefx
x
z
xyxy
五,.),(),1( fxy
z
u
xzxf
y
u
yzyf
x
u
六、,
12
22
2
1211
2
2
f
y
f
y
f
x
z
,
1
)
1
(
2
2
2212
2
2
f
y
f
y
f
y
x
yx
z
,
2
22
4
2
2
32
2
f
y
x
f
y
x
y
z
八、,)1( 1211
2
2
x
z
2221112211
2
2
)(
y
z
.
0),(.1?yxF
一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导公式例１ 验证方程 01
22
yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy?,并求这函数的一阶和二阶导数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 yxyxF
则,2 xF x?,2 yF y?
,0)1,0(?F,02)1,0(yF依定理知方程 01
22 yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的函数 )( xfy?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy,
y
x,0
0
xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd
2y
y
x
xy?
,1
3y
.1
0
2
2
xdx
yd
例 2 已知 xyyx a rct a nln 22,求 dxdy,
解 令则
,a rct a nln),( 22 xyyxyxF
,),( 22 yx yxyxF x,),( 22 yx xyyxF y
y
x
F
F
dx
dy,
xy
yx
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
0),,(.2?zyxF
例 3 设 04222 zzyx,求 2
2
x
z
,
解 令则
,4),,( 222 zzyxzyxF
,2 xF x?,42 zF z,2 zxFFxz
z
x
2
2
x
z
2)2(
)2(
z
x
z
xz
2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
.)2( )2( 3
22
z
xz
例 4 设 ),( x y zzyxfz,求 xz,yx,zy,
思路：
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy,
解 令,zyxu,xyzv?
则 ),,( vufz?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
)1(
x
zf
u?
),(
x
zxyyzf
v?
整理得 xz,1
vu
vu
x yff
yz ff
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
)1(0 yxf u ),( yxyzxzf v
整理得,
vu
vu
yz ff
x z ff
y
x
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 zyf u ),( zyxzxyf v
整理得 zy,1
vu
vu
x z ff
x y ff
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF二、方程组的情形隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
例 5 设 0 yvxu,1 xvyu,
求
x
u
，
y
u
，
x
v
和
y
v
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ
,22 yx
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
,22 yx yvxu
xy
yx
vy
ux
x
v
,22 yx xvyu
将所给方程的两边对 求导，用同样方法得y
,22 yx yuxvyu,22 yx yvxuyv
（分以下几种情况）隐函数的求导法则
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
三、小结已知 )(
z
y
z
x
,其中? 为可微函数，
求
y
z
y
x
z
x
思考题思考题解答记 )(),,( zyzxzyxF,则 zF x 1?,
,1)( zzyF y,)()( 22 z yzyz xF z
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
于是 zyzyxzx,
一,填空题,
1,设
x
y
yx a r c ta nln
22
,则
dx
dy
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
2,设
zx
yz?,则
x
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _,
y
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
二,设
,32)32si n (2 zyxzyx
证明：
.1?
y
z
x
z
练 习 题三,如 果 函 数 ),,( zyxf 对任何 t 恒满足关系式
),,(),,( zyxfttztytxf
k
,则称函数 ),,( zyxf 为
k 次齐次函数,试证,k 次齐次函数满足方程
),,( zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x?
.
四、设,,3
2
33
yx
z
ax y zz
求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数,
1,设
2032
222
22
zyx
yxz
,求,,
dx
dz
dx
dy
2,设
),(
),(
2
yvxugv
yvuxfu
，求,,
x
v
x
u
（其中
gf,
具有一阶连续偏导数）
六,设函数 )( xu 由方程组
0),(
0),,(
),(
zxh
zyxg
yxfu
所确定,
且,,0,0
dx
du
z
h
y
g
求?
(
hgf,,
均可微 )
七,设
),,( txfy?
而
t
是由方程
0),,(?tyxF
所确定的
yx,
的函数,求,
dx
dy
八,设
),( yxzz?
由方程 ),(
x
z
y
y
x
xF =0 所确定,
证明,
xyz
y
z
y
x
z
x
.
一,1,
yx
yx
； 2,
yyxz
zz
zx
x
ln
ln
1
；
3,
yyxz
zy
zx
z
ln
1
1
.
四、
32
22242
)(
)2(
xyz
yxx y zzz
yx
z
.
五,1,
13
,
)13(2
)16(
z
x
dx
dz
zy
zx
dx
dy；
2,
1221
1221
)12)(1(
)12(
gfgyvfx
gfgyvfu
x
u
,
1221
111
)12)(1(
)1(
gfgyvfx
fufxg
x
v
.
练习题答案六、
zy
xzy
y
xx
x
hg
hgf
g
gf
f
dx
du
zy
xzyzxxzyx
hg
hgfhgfhgf
,
七、
tyt
txxt
fFF
fFfF
dx
dy
,
设空间曲线的方程
)1(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
o
z
yx
(1)式中的三个函数均可导,
一、空间曲线的切线与法平面
M?
.
),,(
0
000
ttt
zzyyxxM
对应于;),,,( 0000 ttzyxM?对应于设
M?
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程
z
zz
y
yy
x
xx
000
t?t? t?
上式分母同除以,t?
o
z
yx
M?
M?割线 的方程为MM?
,000 zzzy yyx xx
,0,时即当 tMM
曲线在 M处的切线方程
.
)()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
法平面：过 M点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
例 1 求曲线,
t u
u duex
0
c os,ty s i n2?
tc o s?,
t
ez
3
1 在 0?t 处的切线和法平面方程,
解 当 0?t 时，,2,1,0 zyx
,co s tex t,s i nco s2 tty,3 3 tez
,1)0(x,2)0(y,3)0(z
切线方程,3 22 11 0 zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 zyx
.0832 zyx即
1.空间曲线方程为,)(
)(
xz
xy
,),,( 000 处在 zyxM
,)()(1
0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
.0))(())(()( 00000 zzxyyxxx
法平面方程为切线方程为特殊地：
2.空间曲线方程为,0),,( 0),,(zyxG zyxF
切线方程为
,
0
0
0
0
0
0
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx?
法平面方程为
.0
)()()( 0
0
0
0
0
0
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6222 zyx,0 zyx 在点 )1,2,1(? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
,zy xzdxdy
,zy yxdxdz
由此得切向量 },1,0,1{T?
所求切线方程为,1 10 21 1 zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( zyx
0 zx
,0
)1,2,1(
dx
dy?,1
)1,2,1(
dx
dz
设曲面方程为
0),,(?zyxF
) },(),(),({ 000 tttT曲线在 M处的切向量在曲面上任取一条通过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
二、曲面的切平面与法线
n? T?
M
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令则,Tn
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
曲面在 M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
特殊地：空间曲面方程形为 ),( yxfz?
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
曲面在 M处的法线方程为
.1),(),( 0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF令
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz?
因为曲面在 M处的切平面方程为全微分的几何意义
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z
轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦 为
,1c o s 22
yx
x
ff
f
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
.1 1c o s 22
yx ff
),( 00 yxff xx? ),(
00 yxff yy?
其中例 3 求旋转抛物面 122 yxz 在点 )4,1,2(
处的切平面及法线方程,
解,1),( 22 yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ yxn
},1,2,4{
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx
,0624 zyx
法线方程为,1 42 14 2 zyx
例 4 求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
解,32),,( xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
令切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
例 5 求曲面 2132 222 zyx 平行于平面
064 zyx 的各切平面方程,
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,664412 000 zyx,2 000 zyx
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,10 x
所求切点为满足方程
),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
切平面方程 (1)
切平面方程 (2)
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用 推导法 ）
（求法向量的方向余弦时注意 符号 ）
三、小结思考题如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
思考题解答
},2,2,6{ 000 zyxn设切点 ),,,( 000 zyx
依题意知切向量为 }3,,3{
3
22
3
6 000
zyx
,00 xy,3 00 xz
切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
一,填空题,
1,曲线
2
,
1
,
1
tz
t
t
y
t
t
x?
再对应于 1?t 的点处切线方程为 _____ ____ _____ __ ；
法平面方程为 _____ _____ _____ _.
2,曲面 3 xyze
z
在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
______ _____ _____ __ ；
法线方程为 ________ _____ ____ _.
二,求出曲线
32
,,tztytx
上的点,使在该点的切线平行于平面 42 zyx,
三,求球面
6
222
zyx
与抛物面
22
yxz
的交线在
)2,1,1(
处的切线方程,
练 习 题四、求椭球面 12
222
zyx 上平行于平面
02 zyx 的切平面方程,
五、试证曲面 )0( aazyx 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a,
一,1,011682,
8
1
4
2
1
2
1
zyx
zy
x；
2,
0
2
1
1
2
,042
z
yx
yx,
二,)
27
1
,
9
1
,
3
1
()1,1,1(
21
PP 及,
三、
02
02
0
2
1
1
1
1
z
yxzyx
或,
四、
2
11
2 zyx
.
练习题答案实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价 1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁,瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
x
y yx 4570
yx 7680
每天的收益为?),( yxf
)7680)(2.1()4570)(1( yxyyxx
求最大收益即为求二元函数的最大值,
一、问题的提出二、多元函数的极值和最值的图形观察二元函数 22 yxe xyz
播放设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式
),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),(
00
yx 有极小值；
1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
(1)
(2)
(3)
例 1
处有极小值．在函数
)0,0(
43 22 yxz
例２
处有极大值．在函数
)0,0(
22 yxz
例３
处无极值．在函数
)0,0(
xyz?
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,0),( 00?yxf x,0),(
00
yxf
y
.
2、多元函数取得极值的条件不妨设 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处有极大值,
则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意
),( yx ),( 00 yx都有?),( yxf ),( 00 yxf,
证故当 0yy?,0xx? 时，有?),( 0yxf ),( 00 yxf,
说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx? 处有极大值,
必有 0),( 00?yxf x ;
类似地可证 0),( 00?yxf y,
推广 如果三元函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000
zyxP
具有偏导数，则它在 ),,( 000 zyxP 有极值的必要条件为
0),,( 000?zyxf x,0),,(
000
zyxf
y
，
0),,( 000?zyxf z,
例如,点 )0,0( 是函数 xyz? 的驻点，但不是极值点,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的 驻点,
驻点 极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
注意：
又 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,
令 Ayxf xx?),( 00,Byxf xy?),( 00,
Cyxf yy?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
BAC 时具有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
BAC 时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例 4 求由方程 yxzyx 22222
0104 z 确定的函数 ),( yxfz? 的极值将方程两边分别对 yx,求偏导
04222
04222
yy
xx
zzzy
zzzx
由函数取极值的必要条件知,驻点为 )1,1(?P,
将上方程组再分别对 yx,求偏导数,
解
,2 1|,0|,2 1| zzCzBzzA PyyPxyPxx
故 )2(0
)2(
1
2
2
z
z
ACB,
函数在 P 有极值,
将 )1,1(?P 代入原方程,有 6,2 21 zz,
当 21z 时,041A,
所以 2)1,1( fz 为极小值；
当 62?z 时,041A,
所以 6)1,1( fz 为极大值,
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第三步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
求最值的一般方法,
将函数在 D内的所有驻点处的函数值及在 D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值,
3、多元函数的最值例 5 求二元函数 )4(),( 2 yxyxyxfz
在直线 6 yx,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值,
解先求函数在 D 内的驻点，
x
y
o
6 yxD D
如图,
解方程组
0)4(),(
0)4(2),(
22
2
yxyxxyxf
yxyxxyyxf
y
x
得区域 D 内唯一驻点 )1,2(,且 4)1,2(?f,
再求 ),( yxf 在 D 边界上的最值，
在边界 0?x 和 0?y 上 0),(?yxf,
在边界 6 yx 上，即 xy 6
于是 )2)(6(),( 2 xxyxf,
由 02)6(4 2 xxxf x,
得 4,0 21 xx,2|6 4xxy
,64)2,4(f
比较后可知 4)1,2(?f 为最大值,
64)2,4(f 为最小值,
x
y
o
6 yxD
例 6 求
122
yx
yx
z 的最大值和最小值,
,0)1( )(2)1( 222
22
yx yxxyxz x
,0)1( )(2)1( 222
22
yx yxyyxz y
得驻点 )21,21( 和 )21,21(,
解 由即边界上的值为零,
,21)21,21(?z,21)21,1(z
所以最大值为 21,最小值为 21?,
因为 0
1
lim 22?
yx
yx
y
x
无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件,
实例,小王有 200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为,设每张磁盘 8元，每盒磁带 10元，问他如何分配这 200
元以达到最佳效果．
x y
yxyxU lnln),(
问题的实质：求 在条件 下的极值点．
yxyxU lnln),(
2 0 0108 yx
三、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数 ),( yxfz? 在条件 0),(?yx? 下的可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF,
其中
为某一常数，可由
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
解出?,,yx,其中
yx,
就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数 ),,,( tzyxfu? 在条件
0),,,(?tzyx?,0),,,(?tzyx?
下的极值，
先构造函数 ),,,(),,,( tzyxftzyxF
),,,(),,,(
21
tzyxtzyx
其中 21
,
均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
tzyx,,,
，即得极值点的坐标,
例 7 将正数 12 分成三个正数 zyx,,之和 使得
zyxu 23? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 zyxzyxzyxF?,
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
解得唯一驻点 )2,4,6(,
.6 9 1 2246 23m a xu
则故最大值为例 8 在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
解 设 ),,( 000 zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 2 02|
a
xF
Px,2
02|
b
yF
Py,2
02|
c
zF
Pz
过 ),,( 000 zyxP 的切平面方程为
)( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz,
化简为 12 02 02 0 c zzb yya xx,
该切平面在三个轴上的截距各为
0
2
x
ax?,
0
2
y
by?,
0
2
z
cz?,
所围四面体的体积
000
222
66
1
zyx
cbax y zV
,
在条件 12
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln 000 zyxu
),,( 000 zyxG
000 lnlnln zyx )1(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x
,
由,
01
0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
c
y
b
y
a
x
GGG
zyx
当切点坐标为
(
3
a,
3
b,
3
c ) 时,
四面体的体积最小 abcV 2 3m i n?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
可得即
3
0
a
x?
3
0
b
y?,
3
0
c
z?
多元函数的极值拉格朗日乘数法
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值四、小结思考题若 ),( 0 yxf 及 ),( 0yxf 在 ),( 00 yx 点均取得极值，则 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 是否也取得极值？
思考题解答不是,例如 22),( yxyxf,
当 0?x 时,2),0( yyf 在 )0,0( 取极大值 ;
当 0?y 时,2)0,( xxf? 在 )0,0( 取极小值 ;
但 22),( yxyxf 在 )0,0( 不取极值,
一,填空题,
1,函数 )4)(6(),(
22
yyxxyxf 在 __ __ _ __ 点取得极 __ __ _ __ __ 值为 __ _ __ __ _ __ _.
2,函数 xyz? 在附加条件 1 yx 下的极 __ __ __ 值为 __ __ _ __ _ __ __ _.
3,方程 02642
222
zyxzyx 所确定的函数 ),( yxfz? 的极大值是 __ __ __ __ _ __,极小值是 __ __ _ __ _ __ __ _.二,在平面 x o y 上 求 一 点,使 它 到 0,0 yx 及
0162 yx 三直线的距离平方之和为最小,
三,求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,
练 习 题四,在第一卦限内作球面 1222 zyx 的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标,
一,1,(3,2 ),大,3 6 ； 2,大,
4
1； 3,7,-1,
二,)
5
16
,
5
8
(,
三、当长,宽,高都是
3
2 a
时,可得最大的体积,
四,).
3
1
,
3
1
,
3
1
(
练习题答案平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念
1、区域 设 ),( 000 yxP 是 xoy 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx? 0P
连通的开集称为区域或开区域．（ 2）区域
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 DyxP?).(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，
记为 ),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
2、多元函数概念定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
类似地可定义三元及三元以上函数．
定义 设函数 ),( yxfz? 的定义域为,D ),(
000
yxP
是其聚点，如果对于任意给定的正数?,总存在正数?,使 得 对 于 适 合 不 等 式
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的一切点，都有 |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz? 当
0
xx?,
0
yy? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
（或 )0(),(Ayxf 这里
||
0
PP
）,
3、多元函数的极限说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
).0()()().3(;)()().2(;)()().1(
,)(,)(0
BBAPgPf
BAPgPfBAPgPf
BPfAPfPP 则时，设
5、多元函数的连续性定义 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集 0,PD 是其聚点且 DP?0,如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
则称 n
元函数 )( Pf 在点 0P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的间断点,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
6、多元连续函数的性质定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处对
x
的偏导数，记为
7、偏导数概念同理可定义函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),(
00
yxf
y
.
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
８、高阶偏导数
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),,(2
2
yxfy zyzy yy
),,(
2
yxfyx zxzy xy ).,(
2
yxfxy zyzx yx
函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 A,B 不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分，记为
dz
，即
dz
= yBxA,
９、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
10、全微分的应用
,),(),( yyxfxyxfdzZ yx
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx
有很小时当,,yx
主要方面,近似计算与误差估计,
11、复合函数求导法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
，
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
12、全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dvvzduuzdz,
0),()1(?yxF
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导公式
13、隐函数的求导法则隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
14、微分法在几何上的应用切线方程为,)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
法平面方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
(1) 空间曲线的切线与法平面
).(),(),(,tztytx
(２ ) 曲面的切平面与法线
.0),,(,?zyxF?
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
法线方程为
.),,(),,(),,(
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
15、多元函数的极值设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf?,则称函数在 ),( 00 yx 有极大值；若满足 不等 式
),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),(
00
yx 有极小值；
定义极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,0),( 00?yxf x,0),(
00
yxf
y
.
多元函数取得极值的条件定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的 驻点,
极值点注意 驻点定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,令
Ayxf xx?),( 00,Byxf xy?),( 00,Cyxf yy?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
BAC 时有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
BAC 时可能有极值,
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 CBA,,.
第三步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
拉格朗日乘数法要找函数 ),( yxfz? 在条件 0),(?yx? 下的可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF,
其中? 为某一常数，可由
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
解出?,,yx,其中
yx,
就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值．
二、典型例题例 1
解
.)(lim 22
0
0 yx
xxy
y
x?
求极限
)0(,s i n,c o s yx令
.0)0,0(),(等价于则 yx
c o s)c o s( s in)(0 2
22
yx
xxy
c o s)c o s( s i n,2,0)(l i m
22
0
0
yx
xxy
y
x
故例 2
解
.,,
)(),,(
2
2
2
3
yx
z
y
z
y
z
f
x
y
xyfxz
求
，具有二阶连续偏导数设
)1( 213 xfxfxyz,2214 fxfx
)1()1( 22212121142
2
xfxfxxfxfxy
z
,2 22123115 fxfxfx
xy
z
yx
z
22
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
x
y
fyfx
xf
x
y
fyfxfx
)(
2
2
1
4 fxfx
.24 22114213 fyfyxfxfx
例 3
解
.,0),(
,s i n,0),,(),,,( 2
dx
du
z
f
xyzexzyxfu y
求且，具有一阶连续偏导数设
,dxdzzfdxdyyfxfdxdu
,co s xdxdy?显然
,dxdz求 得的导数两边求对,0),,( 2 xzex y
,02 321 dxdzdxdyex y
于是可得,),co s2(1 2s i n1
3
xexdxdz x
.)co s2(1co s 2s i n1
3 z
fxex
y
fx
x
f
dx
du x
故例 4
解
.,0,0,
.0),(
,0),,(
),,(
)(
dx
du
z
h
y
g
zxh
zyxg
yxfu
xu
试求且所确定由方程组设函数
的函数．都看成是以及将方程组的变元 xzyu,
得求导方程组各方程两边对,x
)3(.0
)2(,0
)1(,
dx
dz
hh
dx
dz
g
dx
dy
gg
dx
dy
ff
dx
du
zx
zyx
yx
,)3(
z
x
h
h
dx
dz得由,)2(
y
x
zy
xz
g
g
hg
hg
dx
dy?
得代入
.)1(
zy
xzy
y
xy
x hg
hgf
g
gff
dx
du
得代入之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz
例 5
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析,
最小．即且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF令
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
.81,41,41 zyx解此方程组得得
.64 7241414161m i nd
),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
一,选择题,
1,二元函数
2222
1
a r c s i n
4
ln
yxyx
z
的定义域是 ( ).
（ A ） 41
22
yx ； （ B ） 41
22
yx ；
（ C ） 41
22
yx ； （ D ） 41
22
yx,
2,设
2
)(),( yx
y
x
xyf,则
),( yxf
( ),
（ A ）
22
)
1
(
y
yx? ； （ B ）
2
)1( y
y
x；
（ C ）
22
)
1
(
x
xy? ； （ D ）
2
)1( y
x
y
,
测 验 题
3,
22
)(l i m
22
0
0
yx
y
x
yx ( ).
(A) 0 ； (B ) 1 ；
(C) 2 ； (D ) e,
4,函数
),( yxf
在点 ),(
00
yx 处连续,且两个偏导数
),(),,(
0000
yxfyxf
yx
存在是
),( yxf
在该点可微的 ( ),
（ A ）充分条件,但不是必要条件；
（ B ）必要条件,但不是充分条件；
（ C ）充分必要条件；
（ D ）既不是充分条件,也不是必要条件,
5,设 ),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
则在原点
)0,0(
处
),( yxf
( ).
(A) 偏导数不存在； (B) 不可微；
(C) 偏导数存在且连续； (D) 可微,
6,设
),(),,( yxvvvxfz
其中
vf,
具有二阶连续偏导数,则?
2
2
y
z
( ),
(A)
2
22
y
v
v
f
y
v
yv
f
； (B)
2
2
y
v
v
f
；
(C)
2
2
2
2
2
)(
y
v
v
f
y
v
v
f
； (D)
2
2
2
2
y
v
v
f
y
v
v
f
.
7,曲面 )0(
3
aax y z 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 V= ( ).
(A)
3
2
3
a ； (B)
3
3 a ；
(C)
3
2
9
a ； (D)
3
6 a
.
8,二元函数
33
)(3 yxyxz 的极值点是 ( ).
(A) (1,2 ) ； ( B) (1,-2 ) ；
(C) (- 1,2) ； (D ) ( -1,- 1).
9,函数
zyxu si nsi nsi n?
满足
)0,0,0(
2
zyxzyx
的条件极值是
( ),
(A) 1 ； (B ) 0 ；
(C)
6
1； ( D)
8
1
,
二、讨论函数
33
yx
yx
z
的连续性，并指出间断点类型,
三、求下列函数的一阶偏导数,
1,yxz ln? ；
2,),(),,,( yxzx y zxyxfu ；
3,
00
0
),(
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf
,
四、设 ),( zxfu?,而 ),( yxz 是由方程 )( zyxz 所确的函数,求 du,
五、设 yxeuyxuz ),,,(,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求
yx
z
2,
六,设 uvzveyvex uu,s i n,c o s,
试求
x
z
和
y
z
,
七,设 x 轴正向到方向 l 的转角为
,?
求函数 22),( yxyxyxf在点 (1,1) 沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角
,?
使这导数 有 (1) 最大值； (2) 最小值； (3) 等于零,
八,求 平 面 1
543
zyx
和 柱 面
122 yx 的交线上与 x o y 平面距离最短的点,
九、在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 的切平面,
使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积,
一,1,A ； 2,B ； 3,B ； 4,B ； 5,D ；
6,C ； 7,A ； 8,A ； 9,D
二,(1) 当
0 yx
时,在点
),( yx
函数连续；
(2) 当
0 yx
时,而
),( yx
不是原点时,
则
),( yx
为可去间断点,
)0,0(
为无穷间断点,
三,1,1ln
)( l n
y
x
xyz
,
y
y
x
y
x
z
ln
ln；
2,
,)(
321
fx y zyzyffu
xx
32
)( fx y zxzxfu
yy
,
3,
,
0,0
0,
)(
2
),(
22
22
222
3
yx
yx
yx
xy
yxf
x
测验题答案
0,
0,
)(
)(
),(
22
22
222
222
yxo
yx
yx
yxx
yxf
y
.
四,dy
zy
zf
dx
zy
f
f
1)(
)(
)
1)(
(
22
1
.
五,u
y
xyxu
y
uy
y
uu
y
feffxefefxe
2
.
六,.)s i nc o s(,)s i nc o s(
uu
evvvu
y
z
evuvv
x
z
七、,s i nc o s
l
f
,4?,45? 43?,47? 及 )3()2()1(
八,).
12
35
,
5
3
,
5
4
(
九、切点 a b cV
cba
2
3
),
3
,
3
,
3
( m i n?,
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx
一、多元函数的概念
（ 2）区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为区域或开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点；
说明：
边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点．
点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
n维空间的记号为说明：;nR
n维空间中两点间距离公式
),,,,( 21 nxxxP? ),,,,( 21 nyyyQ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ
n维空间中邻域、区域等概念
nRPPPPPU,||),( 00
特殊地当 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
3,2,1?n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
邻域：
设两点为设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
（ 5）二元函数的定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、
因变量等概念,
类似地可定义三元及三元以上函数．
例 1 求 的定义域,2
22 )3a r c s i n (
),(
yx
yxyxf
解
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
（ 6） 二元函数 的图形 ),( yxfz?
设函数 ),( yxfz? 的定义域为 D,对于任意取定的 DyxP?),(,对应的函数值为
),( yxfz?,这样，以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( zyxM,
当 x 取遍
D
上一切点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx,这个点集称为二元函数的图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
x
y
z
o
xyz sin?
例如,
图形如右图,
2222 azyx
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD
222 yxaz
.222 yxaz
单值分支,
定义 1 设 函 数 ),( yxfz? 的 定 义 域 为
),(,
000
yxPD 是其聚点，如果对于任意给定的正数?,总存在正数?,使得对于适合不等式
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的 一 切点，都有 |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz? 当 0xx?,0yy? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
（或 )0(),(Ayxf 这里
||
0
PP
）,
二、多元函数的极限说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例 2 求证证
01s i n)(l i m 2222
0
0
yx
yx
y
x
01sin)( 2222 yxyx
22
22 1s i n
yxyx 22 yx
,0,
当 时, 22 )0()0(0 yx
01s i n)( 2222 yxyx 原结论成立．
例 3 求极限,
)s i n (l i m
22
2
0
0 yx
yx
y
x?
解 22
2
0
0
)s i n (l i m
yx
yx
y
x?
,)s in (lim 22
2
2
2
0
0 yx
yx
yx
yx
y
x?
其中 yx
yx
y
x 2
2
0
0
)s i n (l i m
u
u
u
sinlim
0?,1?
22
2
yx
yx
x2
1?,00x,0)s i n (l i m 22
2
0
0
yx
yx
y
x
yxu 2?
例 4 证明 不存在．
证
26
3
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
取,3kxy?
26
3
0
0
lim
yx
yx
y
x?
626
33
0
3
l i m
xkx
kxx
kxy
x?
,1 2k
k
其值随 k的不同而变化，
故极限不存在．
不存在,观察 26
3
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
,26
3
图形yx yxz
播放
（ 1 ） 令 ),( yxP 沿 kxy? 趋向于 ),( 000 yxP,若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（ 2 ） 找两种不同趋近方式，使 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
存在，
但两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点
),(
000
yxP 处极限不存在．
确定极限 不存在 的方法：
定义 2 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD 是其聚点，如果对于任意给定的正数?,
总存在正数?,使得对于适合不 等式
||0
0
PP 的 一 切 点 DP?,都 有
|)(| APf 成立，则称 A 为 n 元函数 )( Pf
当 0PP? 时的极限，记为
APf
PP
)(lim
0
.
n 元函数的极限利用点函数的形式有设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD
是其聚点且 DP?
0
，如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
则称 n 元函数 )( Pf 在点 0P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的间断点,
三、多元函数的连续性定义 3
例 5 讨论函数?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
33
yx
yx
yx
yx
yxf
在 (0,0)处的连续性．
解 取,co sx
s i n?y
)0,0(),( fyxf?
)c o s( s i n 332?
2)0,0(),( fyxf
故函数在 (0,0)处连续,
),0,0(),(l i m )0,0(),( fyxfyx
,0,2 当 时 220 yx
例 6 讨论函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 (0,0)的连续性．
解 取 kxy?
22
0
0
lim yx xy
y
x?
222
2
0
lim
xkx
kx
kxy
x?
21 k
k
其值随 k的不同而变化,极限不存在．
故函数在 (0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
（ 3）一致连续性定理在有界闭区域 D上的多元连续函数必定在 D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７,
11l i m
0
0 xy
xy
y
x
求解 )11(
11lim
0
0
xyxy
xy
y
x
原式
11
1l i m
0
0
y
x
.21?
).()(lim
)()(
)()(lim
00
0
0
0
PfPfP
PfPfP
PfPf
PP
PP
处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质
（注意趋近方式的 任意性 ）
四、小结多元函数的定义若点 ),( yx 沿着无数多条平面曲线趋向于点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A,能否断定 Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
？
思考题思考题解答不能,
例,)(),( 242
23
yx
yxyxf
)0,0(),(?yx
取,kxy? 2442
223
)(),( xkx
xkxkxxf
00x
但是 不存在,),(lim
)0,0(),( yxfyx?
原因为若取,2yx? 244
26
2
)(),( yy
yyyyf
.4
1?
一,填空题,
1,若
y
x
xyyxyxf ta n),(
22
,则 ),( tytxf = ____,
2,若
xy
yx
yxf
2
),(
22
,则
)3,2(f
____ _ ___ _ _ ;
),1(
x
y
f ___ __ ___ _ ___ __ __,
3,若 )0()(
22
y
y
yx
x
y
f,则
)( xf
___ __ ___,
4,若
22
),( yx
x
y
yxf
,则
),( yxf
___ __ ___ _,
函数
)1l n (
4
22
2
yx
yx
z
的定义域是 ___ ___ _ ___,
练 习 题
6,函数 yxz 的定义域是 ___ __ ___ __ ___ _,
7,函数
x
y
z a r c s i n? 的定义域是 ___ __ ___ __ ___ _ _,
8,函数
xy
xy
z
2
2
2
2
的间断点是 ___ __ ___ __ ___ _ __,
二,求下列各极限,
1,
xy
xy
y
x
42
l i m
0
0
；
2,
x
xy
y
x
s i n
lim
0
0
；
3,
2222
22
0
0 )(
)c o s (1
l i m
yxyx
yx
y
x?
.
三,证明,0lim
22
0
0
yx
xy
y
x
.
四,证明极限
yx
xy
y
x?
11
lim
0
0
不存在,
一,1,),(
2
yxft ； 2,
12
13
,),( yxf ；
3,
x
x
2
1?； 4,
y
y
x
1
1
2；
5,xyyxyx 4,10),(
222
；
6,yxyxyx
2
,0,0),( ；
7,xyxxyx,0),(
xyxxyx,0),( ；
8,
02),(
2
xyyx,
二,1,
4
1； 2,0 ； 3,
.
练习题答案定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx
处对
x
的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法同理可定义 函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),( 00 yxf y,
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 ),,( zyxfu? ),,( zx
,),,(),,(lim),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
,),,(),,(lim),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy?
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz?
例 1 求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数．
解xz ;32 yxyz,23 yx?
2
1
y
xx
z
,82312
2
1
y
xy
z,72213
例 2 设 yxz? )1,0( xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
.
证xz,1?yyxyz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11
yy xx,2z? 原结论成立．
例 3 设 22a r c s i n
yx
xz
,求
x
z
,
y
z
,
解?
x
z
x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
.|| 22 yx y
|)|( 2 yy?
yz
y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
yyx
x 1s g n
22 )0(?y
0
0
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
.
证 VRTp ;2VRTVp
pRTV ;pRTV RpVT ;RVpT
pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1pVRT
偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
有关偏导数的几点说明：
１、
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
解 xxf
xx
0|0|l i m)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
３、偏导数存在与连续的关系例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
4、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM?
如图偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
几何意义,
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),(2
2
yxfy zyzy yy
),,(
2
yxfyx zxzy xy ),(
2
yxfxy zyzx yx
函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
二、高阶偏导数例 5 设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
.
解 xz,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx
2
2
x
z
,6
2xy? 2
2
y
z
;182 3 xyx3
3
x
z
,6
2y?
xy
z
2
.196 22 yyxyx
z
2
,196 22 yyx
原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
;s i n bybe
y
u ax
,c o s22
2
byeax u ax,co s22
2
byeby u ax
,s i n
2
bya b eyx u ax,s i n
2
bya b exy u ax
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
问题,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
例 6 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉斯方程
.02
2
2
2
yuxu
解 ),l n (21ln 2222 yxyx
,22 yx xxu,22 yx yyu
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
,0?
偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数
（偏增量比的极限）
纯偏导混合偏导 （相等的条件）
三、小结若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思考题思考题解答不能,
,),( 22 yxyxf
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff? 不存在,
例如,
一,填空题,
1,设
y
x
z ta nln?,则?
x
z
_____ ___;?
y
z
_____ ____.
2,设?
x
z
yxez
xy
则),( _______;?
y
z
_____ ___.
3,设,
z
y
xu? 则?
x
u
______ ____ ;?
y
u
_________ _;
z
u
______ ____ __.
4,设,a r c ta n
x
y
z? 则
2
2
x
z
______ __;
2
2
y
z
______ _;
yx
z
2
______ _____ _.
练 习 题
5,设 zyxu )(?,则 yz u
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列函数的偏导数,
1,
y
xyz )1( ；
2,
z
yxu )a r c ta n (,
三,曲线
4
4
22
y
yx
z
,在点 (2,4,5 ) 处的切线与正向
x
轴所成的倾角是多少?
四,设
x
yz?,求,,
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
和五、设 )l n ( xyxz?,求
yx
z
2
3
和
2
3
yx
z
.
六,验证,
1,
)
11
(
yx
ez
,满足 z
y
z
y
x
z
x 2
22
；
2,
222
zyxr 满足
r
z
z
r
y
r
x
r
2
2
2
2
2
2
.
七、设
0,0
0,a r c ta na r c ta n
),(
22
xy
xy
y
x
y
x
y
x
yxf
求
xyx
ff,.
一,1,
y
x
y
x
y
x
y
2
c s c
2
,
2
c s c
2
2；
2,)1(
2
yxye
xy
,)1(
2
xxye
xy；
3,xx
z
x
z
y
z
y
z
y
ln
1
,
1?
,xx
z
y
z
y
ln
2；
4,
222
22
222222
)(
,
)(
2
,
)(
2
yx
xy
yx
xy
yx
xy
；
5,
)ln
1
()(
y
x
y
z
yy
x
z
.
二,1,
xy
xy
xyxy
y
z
xyy
x
z
yy
1
)1l n ()1(,)1(
12;
练习题答案
2,
z
z
yx
yxz
x
u
2
1
)(1
)(
,,
)(1
)(
2
1
z
z
yx
yxz
y
u
z
yx
yxyx
z
u
2
)(1
)l n ()(
.
三、
4
.
四、,)1(,ln
2
2
2
2
2
2
xx
yxx
y
z
yy
x
z
)1ln(
1
2
yxy
yx
z
x
.
五、
22
3
2
3
1
,0
yyx
z
yx
z
.
七、
0,0;0,0
0,0,
0,a r c t a n2
yxyx
yxy
xyy
x
y
x
f
x
,
0,0,1
0,
0,1
22
22
yx
xy
yx
yx
x
f
xy
.
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏微分二元函数对 x 和对 y 的 偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义，并设 ),( yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx,的全增量，记为
z?
，
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf
全增量的概念如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为
dz
，即
dz
= yBxA,
全微分的定义函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
事实上 ),(?oyBxAz,0lim
0 z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
二、可微的条件定理 1 （ 必要条件） 如果函数 ),( yxfz? 在点
),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
、
y
z
必存在，且函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz?
,
证 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 可微分,
),( yyxxP P 的某个邻域
)(?oyBxAz 总成立,
当 0 y 时，上式仍成立，此时 || x,
),(),( yxfyxxf | )(| xoxA
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0
,xz
同理可得,yzB
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx,)()( 22 yx yx
如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy? 趋近于 )0,0(,
则?
22 )()( yx
yx
22 )()( xx
xx
,
2
1?
说明它不能随着 0 而趋于 0,0当 时，
),(])0,0()0,0([?oyfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
说明,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
) ],,(),([ yxfyyxf
),(),( yyxfyyxxf
xyyxxf x ),( 1? )0( 1
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x 1),(?（依偏导数的连续性）
且当 0,0 yx 时,01,
其中 1? 为 yx,的函数,
xxyxf x 1),(? yyyxf y 2),(?z?
21
21
yx?
,00
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf
,),( 2 yyyxf y当 0 时,02,
习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z?
,xyxe
y
z?
,2
)1,2(
e
x
z?
,2 2
)1,2(
e
y
z?
.2 22 dyedxedz所求全微分例 2 求函数 )2c o s ( yxyz,当
4
x,y,
4
dx,dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxyxz
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
).74(8 2
例 3 计算函数 yzeyxu
2
s i n 的全微分,
解,1xu,2c o s21 yzzeyyu
,yzyezu
所求全微分
.)2co s21( dzyedyzeydxdu yzyz
例 4 试证函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 )0,0(
不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),(?yx,)0,0(),(?yx 讨论,
证 令,co sx,s i ny
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx
1s i nc o ss i nlim 2
0
0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim 0,000lim 0 xx
同理,0)0,0(?yf
当 )0,0(),(?yx 时，
),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
xx
x
xxx
不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff
22 )()(
1s i n
yx
yx
))()(( 22 yxo
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式连续，且个偏导数的两在点当二元函数
yxyxfyxf
yxPyxfz
yx
,),(),,(
),(),(
.),(),( yyxfxyxfdzz yx
也可写成
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx
例 5 计算 02.2)04.1( 的近似值,
解,),( yxyxf?设函数
.02.0,04.0,2,1 yxyx取
,1)2,1(?f?
,),( 1 yx yxyxf,ln),( xxyxf yy?
,2)2,1(?xf,0)2,1(?yf
由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2.08.1?
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
三、小结函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
,),( yxf
y
在点 ),(
00
yx 的某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
),(),(,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量,
思考题一,填空题,
1,设
x
y
ez?,则?
x
z
____ __ ___ __ __ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ；?dz __ ___ __ ___ __,
2,若 )l n (
222
zyxu,则
du
__ ___ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ __ __ _,
3,若函数
x
y
z?,当
1,2 yx
,
2.0,1.0 yx
时,
函数的全增量
z
__ __ ___ ; 全微分
dz
___ __ ___,
4,若 函 数
y
x
xyz
,则
xz 对的 偏 增 量
z
x ___ __ ___ __ _;?
x
z
x
x 0
lim __ __ ___ __ __ ___,
练 习 题二,求函数 )1l n (
22
yxz 当,1?x
2?y 时的全微分,
三,计算
33
)97.1()02.1(? 的近似值,
四,设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
cm1.0
，内高为 cm20,内半径为
cm4
,求容器外壳体积的近似值,
五,测得一块三角形土地的两边边长分别为 m1.063? 和
m1.078?
,这两边的夹角为
0
160?
,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差,
六、利用全微分证明,乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和,
七、求函数
),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
的偏导数,并研究在点
)0,0(
处偏导数的连续性及函数
),( yxf
的可微性,
一,1,)(
1
,
1
,
2
dydx
x
y
e
x
e
x
e
x
y
x
y
x
y
x
y
；
2,
222
)(2
zyx
z d zy d yx d x
； 3,-0.119,-0,125 ；
4,
y
yx
y
y
1
,)
1
(,
二,dydx
3
2
3
1
,三,2.9 5,四、
3
cm3.55
.
五、
%.30.1,m6.27,m2128
22
七,),(),,( yxfyxf
yx
在
)0,0(
处均不连续,
),( yxf
在点 (0,0) 处可微,
练习题答案证
),()( tttu则 );()( tttv
一、链式法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
，获得增量设 tt?
由于函数 ),( vufz? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz
当 0 u,0 v 时，01,02
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
21
当 0 t 时,0 u,0 v
,dtdutu,dtdvtv
.lim
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
u
v
x
z
y
链式法则如图示
xz
u
z
x
u
v
z,
x
v
yz
u
z
y
u
v
z,
y
v
类似地再推广，设 ),( yxu,),( yxv,
),( yxww? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz? ),( yxu
即 ],,),,([ yxyxfz
,xfxuufxz,yfyuufyz
令,xv?,yw?
其中
,1xv,0xw,0yv,1yw
把复合函数 ],),,([ yxyxfz
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数把 ),,( yxufz?
中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数两者的区别区别类似例 1 设 vez u s i n?,而 xyu?,yxv,
求
x
z
和
y
z
.
解xz
u
z
x
u
v
z
x
v
1c o ss i n veyve uu ),c o ss i n( vvye u
yz
u
z
y
u
v
z
y
v
1co ss i n vexve uu ).c o ss i n( vvxe u
例 2 设 tuvz si n,而
teu?
,tv c o s?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
ttuve t co ss i n
ttete tt co ss i nco s
.c o s)s i n( c o s ttte t
例 3 设 ),( x y zzyxfw,f 具有二阶连续偏导数，求
x
w
和
zx
w
2
.
解 令,zyxu ;xyzv?
记,),(1 u vuff,),(
2
12 vu
vuff
同理有,2f?,11f,22f
xw xvvfxuuf ;21 fyzf
zxw
2
)( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf
zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf
zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf
于是 zxw
2
1211 fxyf 2y )( 2221 fxyfyz
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf
设函数 ),( vufz? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
; 当 ),( yxu,),( yxv
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
,
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
二、全微分形式不变性
dxxvvzxuuz
dyyzdxxzdz
dyyvvzyuuz?
dy
y
udx
x
u
u
z?
dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz,dvvz
例 4 已知 02 zxy eze,求 xz 和 yz,
解,0)2( zxy ezed?
,02)( dzedzxyde zxy
)()2( y d xxdyedze xyz
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2(
x
z
,
2
z
xy
e
ye
y
z
,
2
z
xy
e
xe
1、链式法则 （分三种情况）
2、全微分形式不变性
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
（理解其实质）
三、小结设 ),,( xvufz?,而 )( xu,)( xv,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
,
试问
dx
dz
与
x
f
是否相同？为什么？
思考题思考题解答不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf
一、填空题,
1,设
xy
yx
z
c o s
c o s
,则?
x
z
___ _ __ ___ __ __ ___ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ___ _,
2,设
2
2
)23l n (
y
yxx
z
,则?
x
z
___ _ __ ___ __ ___ _ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ___ _.
3,设
3
2s i n tt
ez
,则?
dt
dz
___ _ __ ___ __ __ ___,
二、设 u
v
uez?,而 xyvyxu,22,求 yzxz,.
练 习 题三、设 )a r c t a n ( xyz?,而
x
ey?,求
dx
dz
.
四、设 ),,(
22 xy
eyxfz ( 其 具中 f 有一阶连续偏导数 ),求
y
z
x
z
,.
五、设 )( x y zxyxfu,( 其具中 f
有一阶连续偏导数 ),求,,,
z
u
y
u
x
u
六、设
),(
y
x
xfz?
,( 其具中 f
有二阶连续偏导数 ),求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
.
七、设,
)(
22
yxf
y
z
其中为可导函数,
验证,
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
.
八、设,],),([ 其中yyxxz 具有二阶导数,求
,,
2
2
2
2
y
z
x
z
一,1,
xy
yyyxx
xy
xxxy
222
c o s
)c o ss i n(c o s
,
c o s
)s i n(c o sc o s?
；
2,,
)23(
3
)23l n (
2
2
2
2
yyx
x
yx
y
x
2
2
3
2
)23(
2
)23l n (
2
yyx
x
yx
y
x
；
3,,
)43(1
)41(3
23
2
tt
t
二、,]
)(
2
2[
22
222
2
yx
xy
e
yyx
yx
yx
x
z
)(
22
2
22
]
)(
2
2[
yx
xy
e
yx
xy
xy
y
z
.
练习题答案三、
x
x
ex
xe
dx
dz
22
1
)1(
,
四,.2,2
2121
fxefy
y
z
fyefx
x
z
xyxy
五,.),(),1( fxy
z
u
xzxf
y
u
yzyf
x
u
六、,
12
22
2
1211
2
2
f
y
f
y
f
x
z
,
1
)
1
(
2
2
2212
2
2
f
y
f
y
f
y
x
yx
z
,
2
22
4
2
2
32
2
f
y
x
f
y
x
y
z
八、,)1( 1211
2
2
x
z
2221112211
2
2
)(
y
z
.
0),(.1?yxF
一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导公式例１ 验证方程 01
22
yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy?,并求这函数的一阶和二阶导数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 yxyxF
则,2 xF x?,2 yF y?
,0)1,0(?F,02)1,0(yF依定理知方程 01
22 yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的函数 )( xfy?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy,
y
x,0
0
xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd
2y
y
x
xy?
,1
3y
.1
0
2
2
xdx
yd
例 2 已知 xyyx a rct a nln 22,求 dxdy,
解 令则
,a rct a nln),( 22 xyyxyxF
,),( 22 yx yxyxF x,),( 22 yx xyyxF y
y
x
F
F
dx
dy,
xy
yx
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
0),,(.2?zyxF
例 3 设 04222 zzyx,求 2
2
x
z
,
解 令则
,4),,( 222 zzyxzyxF
,2 xF x?,42 zF z,2 zxFFxz
z
x
2
2
x
z
2)2(
)2(
z
x
z
xz
2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
.)2( )2( 3
22
z
xz
例 4 设 ),( x y zzyxfz,求 xz,yx,zy,
思路：
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy,
解 令,zyxu,xyzv?
则 ),,( vufz?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
)1(
x
zf
u?
),(
x
zxyyzf
v?
整理得 xz,1
vu
vu
x yff
yz ff
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
)1(0 yxf u ),( yxyzxzf v
整理得,
vu
vu
yz ff
x z ff
y
x
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 zyf u ),( zyxzxyf v
整理得 zy,1
vu
vu
x z ff
x y ff
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF二、方程组的情形隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
例 5 设 0 yvxu,1 xvyu,
求
x
u
，
y
u
，
x
v
和
y
v
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ
,22 yx
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
,22 yx yvxu
xy
yx
vy
ux
x
v
,22 yx xvyu
将所给方程的两边对 求导，用同样方法得y
,22 yx yuxvyu,22 yx yvxuyv
（分以下几种情况）隐函数的求导法则
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
三、小结已知 )(
z
y
z
x
,其中? 为可微函数，
求
y
z
y
x
z
x
思考题思考题解答记 )(),,( zyzxzyxF,则 zF x 1?,
,1)( zzyF y,)()( 22 z yzyz xF z
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
于是 zyzyxzx,
一,填空题,
1,设
x
y
yx a r c ta nln
22
,则
dx
dy
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
2,设
zx
yz?,则
x
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _,
y
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
二,设
,32)32si n (2 zyxzyx
证明：
.1?
y
z
x
z
练 习 题三,如 果 函 数 ),,( zyxf 对任何 t 恒满足关系式
),,(),,( zyxfttztytxf
k
,则称函数 ),,( zyxf 为
k 次齐次函数,试证,k 次齐次函数满足方程
),,( zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x?
.
四、设,,3
2
33
yx
z
ax y zz
求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数,
1,设
2032
222
22
zyx
yxz
,求,,
dx
dz
dx
dy
2,设
),(
),(
2
yvxugv
yvuxfu
，求,,
x
v
x
u
（其中
gf,
具有一阶连续偏导数）
六,设函数 )( xu 由方程组
0),(
0),,(
),(
zxh
zyxg
yxfu
所确定,
且,,0,0
dx
du
z
h
y
g
求?
(
hgf,,
均可微 )
七,设
),,( txfy?
而
t
是由方程
0),,(?tyxF
所确定的
yx,
的函数,求,
dx
dy
八,设
),( yxzz?
由方程 ),(
x
z
y
y
x
xF =0 所确定,
证明,
xyz
y
z
y
x
z
x
.
一,1,
yx
yx
； 2,
yyxz
zz
zx
x
ln
ln
1
；
3,
yyxz
zy
zx
z
ln
1
1
.
四、
32
22242
)(
)2(
xyz
yxx y zzz
yx
z
.
五,1,
13
,
)13(2
)16(
z
x
dx
dz
zy
zx
dx
dy；
2,
1221
1221
)12)(1(
)12(
gfgyvfx
gfgyvfu
x
u
,
1221
111
)12)(1(
)1(
gfgyvfx
fufxg
x
v
.
练习题答案六、
zy
xzy
y
xx
x
hg
hgf
g
gf
f
dx
du
zy
xzyzxxzyx
hg
hgfhgfhgf
,
七、
tyt
txxt
fFF
fFfF
dx
dy
,
设空间曲线的方程
)1(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
o
z
yx
(1)式中的三个函数均可导,
一、空间曲线的切线与法平面
M?
.
),,(
0
000
ttt
zzyyxxM
对应于;),,,( 0000 ttzyxM?对应于设
M?
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程
z
zz
y
yy
x
xx
000
t?t? t?
上式分母同除以,t?
o
z
yx
M?
M?割线 的方程为MM?
,000 zzzy yyx xx
,0,时即当 tMM
曲线在 M处的切线方程
.
)()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
法平面：过 M点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
例 1 求曲线,
t u
u duex
0
c os,ty s i n2?
tc o s?,
t
ez
3
1 在 0?t 处的切线和法平面方程,
解 当 0?t 时，,2,1,0 zyx
,co s tex t,s i nco s2 tty,3 3 tez
,1)0(x,2)0(y,3)0(z
切线方程,3 22 11 0 zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 zyx
.0832 zyx即
1.空间曲线方程为,)(
)(
xz
xy
,),,( 000 处在 zyxM
,)()(1
0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
.0))(())(()( 00000 zzxyyxxx
法平面方程为切线方程为特殊地：
2.空间曲线方程为,0),,( 0),,(zyxG zyxF
切线方程为
,
0
0
0
0
0
0
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx?
法平面方程为
.0
)()()( 0
0
0
0
0
0
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6222 zyx,0 zyx 在点 )1,2,1(? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
,zy xzdxdy
,zy yxdxdz
由此得切向量 },1,0,1{T?
所求切线方程为,1 10 21 1 zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( zyx
0 zx
,0
)1,2,1(
dx
dy?,1
)1,2,1(
dx
dz
设曲面方程为
0),,(?zyxF
) },(),(),({ 000 tttT曲线在 M处的切向量在曲面上任取一条通过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
二、曲面的切平面与法线
n? T?
M
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令则,Tn
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
曲面在 M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
特殊地：空间曲面方程形为 ),( yxfz?
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
曲面在 M处的法线方程为
.1),(),( 0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF令
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz?
因为曲面在 M处的切平面方程为全微分的几何意义
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z
轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦 为
,1c o s 22
yx
x
ff
f
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
.1 1c o s 22
yx ff
),( 00 yxff xx? ),(
00 yxff yy?
其中例 3 求旋转抛物面 122 yxz 在点 )4,1,2(
处的切平面及法线方程,
解,1),( 22 yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ yxn
},1,2,4{
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx
,0624 zyx
法线方程为,1 42 14 2 zyx
例 4 求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
解,32),,( xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
令切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
例 5 求曲面 2132 222 zyx 平行于平面
064 zyx 的各切平面方程,
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,664412 000 zyx,2 000 zyx
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,10 x
所求切点为满足方程
),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
切平面方程 (1)
切平面方程 (2)
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用 推导法 ）
（求法向量的方向余弦时注意 符号 ）
三、小结思考题如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
思考题解答
},2,2,6{ 000 zyxn设切点 ),,,( 000 zyx
依题意知切向量为 }3,,3{
3
22
3
6 000
zyx
,00 xy,3 00 xz
切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
一,填空题,
1,曲线
2
,
1
,
1
tz
t
t
y
t
t
x?
再对应于 1?t 的点处切线方程为 _____ ____ _____ __ ；
法平面方程为 _____ _____ _____ _.
2,曲面 3 xyze
z
在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
______ _____ _____ __ ；
法线方程为 ________ _____ ____ _.
二,求出曲线
32
,,tztytx
上的点,使在该点的切线平行于平面 42 zyx,
三,求球面
6
222
zyx
与抛物面
22
yxz
的交线在
)2,1,1(
处的切线方程,
练 习 题四、求椭球面 12
222
zyx 上平行于平面
02 zyx 的切平面方程,
五、试证曲面 )0( aazyx 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a,
一,1,011682,
8
1
4
2
1
2
1
zyx
zy
x；
2,
0
2
1
1
2
,042
z
yx
yx,
二,)
27
1
,
9
1
,
3
1
()1,1,1(
21
PP 及,
三、
02
02
0
2
1
1
1
1
z
yxzyx
或,
四、
2
11
2 zyx
.
练习题答案实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价 1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁,瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
x
y yx 4570
yx 7680
每天的收益为?),( yxf
)7680)(2.1()4570)(1( yxyyxx
求最大收益即为求二元函数的最大值,
一、问题的提出二、多元函数的极值和最值的图形观察二元函数 22 yxe xyz
播放设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式
),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),(
00
yx 有极小值；
1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
(1)
(2)
(3)
例 1
处有极小值．在函数
)0,0(
43 22 yxz
例２
处有极大值．在函数
)0,0(
22 yxz
例３
处无极值．在函数
)0,0(
xyz?
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,0),( 00?yxf x,0),(
00
yxf
y
.
2、多元函数取得极值的条件不妨设 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处有极大值,
则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意
),( yx ),( 00 yx都有?),( yxf ),( 00 yxf,
证故当 0yy?,0xx? 时，有?),( 0yxf ),( 00 yxf,
说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx? 处有极大值,
必有 0),( 00?yxf x ;
类似地可证 0),( 00?yxf y,
推广 如果三元函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000
zyxP
具有偏导数，则它在 ),,( 000 zyxP 有极值的必要条件为
0),,( 000?zyxf x,0),,(
000
zyxf
y
，
0),,( 000?zyxf z,
例如,点 )0,0( 是函数 xyz? 的驻点，但不是极值点,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的 驻点,
驻点 极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
注意：
又 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,
令 Ayxf xx?),( 00,Byxf xy?),( 00,
Cyxf yy?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
BAC 时具有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
BAC 时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例 4 求由方程 yxzyx 22222
0104 z 确定的函数 ),( yxfz? 的极值将方程两边分别对 yx,求偏导
04222
04222
yy
xx
zzzy
zzzx
由函数取极值的必要条件知,驻点为 )1,1(?P,
将上方程组再分别对 yx,求偏导数,
解
,2 1|,0|,2 1| zzCzBzzA PyyPxyPxx
故 )2(0
)2(
1
2
2
z
z
ACB,
函数在 P 有极值,
将 )1,1(?P 代入原方程,有 6,2 21 zz,
当 21z 时,041A,
所以 2)1,1( fz 为极小值；
当 62?z 时,041A,
所以 6)1,1( fz 为极大值,
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第三步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
求最值的一般方法,
将函数在 D内的所有驻点处的函数值及在 D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值,
3、多元函数的最值例 5 求二元函数 )4(),( 2 yxyxyxfz
在直线 6 yx,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值,
解先求函数在 D 内的驻点，
x
y
o
6 yxD D
如图,
解方程组
0)4(),(
0)4(2),(
22
2
yxyxxyxf
yxyxxyyxf
y
x
得区域 D 内唯一驻点 )1,2(,且 4)1,2(?f,
再求 ),( yxf 在 D 边界上的最值，
在边界 0?x 和 0?y 上 0),(?yxf,
在边界 6 yx 上，即 xy 6
于是 )2)(6(),( 2 xxyxf,
由 02)6(4 2 xxxf x,
得 4,0 21 xx,2|6 4xxy
,64)2,4(f
比较后可知 4)1,2(?f 为最大值,
64)2,4(f 为最小值,
x
y
o
6 yxD
例 6 求
122
yx
yx
z 的最大值和最小值,
,0)1( )(2)1( 222
22
yx yxxyxz x
,0)1( )(2)1( 222
22
yx yxyyxz y
得驻点 )21,21( 和 )21,21(,
解 由即边界上的值为零,
,21)21,21(?z,21)21,1(z
所以最大值为 21,最小值为 21?,
因为 0
1
lim 22?
yx
yx
y
x
无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件,
实例,小王有 200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为,设每张磁盘 8元，每盒磁带 10元，问他如何分配这 200
元以达到最佳效果．
x y
yxyxU lnln),(
问题的实质：求 在条件 下的极值点．
yxyxU lnln),(
2 0 0108 yx
三、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数 ),( yxfz? 在条件 0),(?yx? 下的可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF,
其中
为某一常数，可由
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
解出?,,yx,其中
yx,
就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数 ),,,( tzyxfu? 在条件
0),,,(?tzyx?,0),,,(?tzyx?
下的极值，
先构造函数 ),,,(),,,( tzyxftzyxF
),,,(),,,(
21
tzyxtzyx
其中 21
,
均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
tzyx,,,
，即得极值点的坐标,
例 7 将正数 12 分成三个正数 zyx,,之和 使得
zyxu 23? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 zyxzyxzyxF?,
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
解得唯一驻点 )2,4,6(,
.6 9 1 2246 23m a xu
则故最大值为例 8 在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
解 设 ),,( 000 zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 2 02|
a
xF
Px,2
02|
b
yF
Py,2
02|
c
zF
Pz
过 ),,( 000 zyxP 的切平面方程为
)( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz,
化简为 12 02 02 0 c zzb yya xx,
该切平面在三个轴上的截距各为
0
2
x
ax?,
0
2
y
by?,
0
2
z
cz?,
所围四面体的体积
000
222
66
1
zyx
cbax y zV
,
在条件 12
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln 000 zyxu
),,( 000 zyxG
000 lnlnln zyx )1(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x
,
由,
01
0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
c
y
b
y
a
x
GGG
zyx
当切点坐标为
(
3
a,
3
b,
3
c ) 时,
四面体的体积最小 abcV 2 3m i n?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
可得即
3
0
a
x?
3
0
b
y?,
3
0
c
z?
多元函数的极值拉格朗日乘数法
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值四、小结思考题若 ),( 0 yxf 及 ),( 0yxf 在 ),( 00 yx 点均取得极值，则 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 是否也取得极值？
思考题解答不是,例如 22),( yxyxf,
当 0?x 时,2),0( yyf 在 )0,0( 取极大值 ;
当 0?y 时,2)0,( xxf? 在 )0,0( 取极小值 ;
但 22),( yxyxf 在 )0,0( 不取极值,
一,填空题,
1,函数 )4)(6(),(
22
yyxxyxf 在 __ __ _ __ 点取得极 __ __ _ __ __ 值为 __ _ __ __ _ __ _.
2,函数 xyz? 在附加条件 1 yx 下的极 __ __ __ 值为 __ __ _ __ _ __ __ _.
3,方程 02642
222
zyxzyx 所确定的函数 ),( yxfz? 的极大值是 __ __ __ __ _ __,极小值是 __ __ _ __ _ __ __ _.二,在平面 x o y 上 求 一 点,使 它 到 0,0 yx 及
0162 yx 三直线的距离平方之和为最小,
三,求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,
练 习 题四,在第一卦限内作球面 1222 zyx 的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标,
一,1,(3,2 ),大,3 6 ； 2,大,
4
1； 3,7,-1,
二,)
5
16
,
5
8
(,
三、当长,宽,高都是
3
2 a
时,可得最大的体积,
四,).
3
1
,
3
1
,
3
1
(
练习题答案平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念
1、区域 设 ),( 000 yxP 是 xoy 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx? 0P
连通的开集称为区域或开区域．（ 2）区域
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 DyxP?).(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，
记为 ),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
2、多元函数概念定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
类似地可定义三元及三元以上函数．
定义 设函数 ),( yxfz? 的定义域为,D ),(
000
yxP
是其聚点，如果对于任意给定的正数?,总存在正数?,使 得 对 于 适 合 不 等 式
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的一切点，都有 |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz? 当
0
xx?,
0
yy? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
（或 )0(),(Ayxf 这里
||
0
PP
）,
3、多元函数的极限说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
).0()()().3(;)()().2(;)()().1(
,)(,)(0
BBAPgPf
BAPgPfBAPgPf
BPfAPfPP 则时，设
5、多元函数的连续性定义 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集 0,PD 是其聚点且 DP?0,如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
则称 n
元函数 )( Pf 在点 0P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的间断点,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
6、多元连续函数的性质定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处对
x
的偏导数，记为
7、偏导数概念同理可定义函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),(
00
yxf
y
.
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
８、高阶偏导数
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),,(2
2
yxfy zyzy yy
),,(
2
yxfyx zxzy xy ).,(
2
yxfxy zyzx yx
函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 A,B 不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分，记为
dz
，即
dz
= yBxA,
９、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
10、全微分的应用
,),(),( yyxfxyxfdzZ yx
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx
有很小时当,,yx
主要方面,近似计算与误差估计,
11、复合函数求导法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
，
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
12、全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dvvzduuzdz,
0),()1(?yxF
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导公式
13、隐函数的求导法则隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
14、微分法在几何上的应用切线方程为,)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
法平面方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
(1) 空间曲线的切线与法平面
).(),(),(,tztytx
(２ ) 曲面的切平面与法线
.0),,(,?zyxF?
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
法线方程为
.),,(),,(),,(
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
15、多元函数的极值设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf?,则称函数在 ),( 00 yx 有极大值；若满足 不等 式
),(),(
00
yxfyxf?,则称函数在 ),(
00
yx 有极小值；
定义极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,0),( 00?yxf x,0),(
00
yxf
y
.
多元函数取得极值的条件定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的 驻点,
极值点注意 驻点定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,令
Ayxf xx?),( 00,Byxf xy?),( 00,Cyxf yy?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
BAC 时有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
BAC 时可能有极值,
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 CBA,,.
第三步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
拉格朗日乘数法要找函数 ),( yxfz? 在条件 0),(?yx? 下的可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF,
其中? 为某一常数，可由
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
解出?,,yx,其中
yx,
就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值．
二、典型例题例 1
解
.)(lim 22
0
0 yx
xxy
y
x?
求极限
)0(,s i n,c o s yx令
.0)0,0(),(等价于则 yx
c o s)c o s( s in)(0 2
22
yx
xxy
c o s)c o s( s i n,2,0)(l i m
22
0
0
yx
xxy
y
x
故例 2
解
.,,
)(),,(
2
2
2
3
yx
z
y
z
y
z
f
x
y
xyfxz
求
，具有二阶连续偏导数设
)1( 213 xfxfxyz,2214 fxfx
)1()1( 22212121142
2
xfxfxxfxfxy
z
,2 22123115 fxfxfx
xy
z
yx
z
22
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
x
y
fyfx
xf
x
y
fyfxfx
)(
2
2
1
4 fxfx
.24 22114213 fyfyxfxfx
例 3
解
.,0),(
,s i n,0),,(),,,( 2
dx
du
z
f
xyzexzyxfu y
求且，具有一阶连续偏导数设
,dxdzzfdxdyyfxfdxdu
,co s xdxdy?显然
,dxdz求 得的导数两边求对,0),,( 2 xzex y
,02 321 dxdzdxdyex y
于是可得,),co s2(1 2s i n1
3
xexdxdz x
.)co s2(1co s 2s i n1
3 z
fxex
y
fx
x
f
dx
du x
故例 4
解
.,0,0,
.0),(
,0),,(
),,(
)(
dx
du
z
h
y
g
zxh
zyxg
yxfu
xu
试求且所确定由方程组设函数
的函数．都看成是以及将方程组的变元 xzyu,
得求导方程组各方程两边对,x
)3(.0
)2(,0
)1(,
dx
dz
hh
dx
dz
g
dx
dy
gg
dx
dy
ff
dx
du
zx
zyx
yx
,)3(
z
x
h
h
dx
dz得由,)2(
y
x
zy
xz
g
g
hg
hg
dx
dy?
得代入
.)1(
zy
xzy
y
xy
x hg
hgf
g
gff
dx
du
得代入之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz
例 5
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析,
最小．即且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF令
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
.81,41,41 zyx解此方程组得得
.64 7241414161m i nd
),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
一,选择题,
1,二元函数
2222
1
a r c s i n
4
ln
yxyx
z
的定义域是 ( ).
（ A ） 41
22
yx ； （ B ） 41
22
yx ；
（ C ） 41
22
yx ； （ D ） 41
22
yx,
2,设
2
)(),( yx
y
x
xyf,则
),( yxf
( ),
（ A ）
22
)
1
(
y
yx? ； （ B ）
2
)1( y
y
x；
（ C ）
22
)
1
(
x
xy? ； （ D ）
2
)1( y
x
y
,
测 验 题
3,
22
)(l i m
22
0
0
yx
y
x
yx ( ).
(A) 0 ； (B ) 1 ；
(C) 2 ； (D ) e,
4,函数
),( yxf
在点 ),(
00
yx 处连续,且两个偏导数
),(),,(
0000
yxfyxf
yx
存在是
),( yxf
在该点可微的 ( ),
（ A ）充分条件,但不是必要条件；
（ B ）必要条件,但不是充分条件；
（ C ）充分必要条件；
（ D ）既不是充分条件,也不是必要条件,
5,设 ),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
则在原点
)0,0(
处
),( yxf
( ).
(A) 偏导数不存在； (B) 不可微；
(C) 偏导数存在且连续； (D) 可微,
6,设
),(),,( yxvvvxfz
其中
vf,
具有二阶连续偏导数,则?
2
2
y
z
( ),
(A)
2
22
y
v
v
f
y
v
yv
f
； (B)
2
2
y
v
v
f
；
(C)
2
2
2
2
2
)(
y
v
v
f
y
v
v
f
； (D)
2
2
2
2
y
v
v
f
y
v
v
f
.
7,曲面 )0(
3
aax y z 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 V= ( ).
(A)
3
2
3
a ； (B)
3
3 a ；
(C)
3
2
9
a ； (D)
3
6 a
.
8,二元函数
33
)(3 yxyxz 的极值点是 ( ).
(A) (1,2 ) ； ( B) (1,-2 ) ；
(C) (- 1,2) ； (D ) ( -1,- 1).
9,函数
zyxu si nsi nsi n?
满足
)0,0,0(
2
zyxzyx
的条件极值是
( ),
(A) 1 ； (B ) 0 ；
(C)
6
1； ( D)
8
1
,
二、讨论函数
33
yx
yx
z
的连续性，并指出间断点类型,
三、求下列函数的一阶偏导数,
1,yxz ln? ；
2,),(),,,( yxzx y zxyxfu ；
3,
00
0
),(
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf
,
四、设 ),( zxfu?,而 ),( yxz 是由方程 )( zyxz 所确的函数,求 du,
五、设 yxeuyxuz ),,,(,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求
yx
z
2,
六,设 uvzveyvex uu,s i n,c o s,
试求
x
z
和
y
z
,
七,设 x 轴正向到方向 l 的转角为
,?
求函数 22),( yxyxyxf在点 (1,1) 沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角
,?
使这导数 有 (1) 最大值； (2) 最小值； (3) 等于零,
八,求 平 面 1
543
zyx
和 柱 面
122 yx 的交线上与 x o y 平面距离最短的点,
九、在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 的切平面,
使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积,
一,1,A ； 2,B ； 3,B ； 4,B ； 5,D ；
6,C ； 7,A ； 8,A ； 9,D
二,(1) 当
0 yx
时,在点
),( yx
函数连续；
(2) 当
0 yx
时,而
),( yx
不是原点时,
则
),( yx
为可去间断点,
)0,0(
为无穷间断点,
三,1,1ln
)( l n
y
x
xyz
,
y
y
x
y
x
z
ln
ln；
2,
,)(
321
fx y zyzyffu
xx
32
)( fx y zxzxfu
yy
,
3,
,
0,0
0,
)(
2
),(
22
22
222
3
yx
yx
yx
xy
yxf
x
测验题答案
0,
0,
)(
)(
),(
22
22
222
222
yxo
yx
yx
yxx
yxf
y
.
四,dy
zy
zf
dx
zy
f
f
1)(
)(
)
1)(
(
22
1
.
五,u
y
xyxu
y
uy
y
uu
y
feffxefefxe
2
.
六,.)s i nc o s(,)s i nc o s(
uu
evvvu
y
z
evuvv
x
z
七、,s i nc o s
l
f
,4?,45? 43?,47? 及 )3()2()1(
八,).
12
35
,
5
3
,
5
4
(
九、切点 a b cV
cba
2
3
),
3
,
3
,
3
( m i n?,
