回顾 曲边梯形求面积的问题
ba dxxfA )(
一、问题的提出曲边梯形 由连续曲 线
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成。 a b x
y
o
)(xfy?
面积表示为定积分的步骤如下
（ 1 ）把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则?
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ）计算 iA? 的近似值
iii xfA )(? ii x
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA
a b x
y
o
)(xfy?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA
)(lim
10
b
a dxxf )(
提示若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx 上的窄曲边梯形的面积，
则 AA,并取 dxxfA )(,
于是 dxxfA )(
dxxfA )(l i m,)( ba dxxf x dxx?
dA
面积元素当所求量 U 符合下列条件：
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值,如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与 dx
的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；
3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做 元素法,
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
二、小结思考题微元法的实质是什么？
思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限,
x
y
o
)( xfy?
a b x
y
o
)(1 xfy?
)(2 xfy?
a b
曲边梯形的面积
ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
ba dxxfxfA )]()([ 12
一、直角坐标系情形
x xxx x?
例 1 计算由两条抛物线 xy?2 和 2xy? 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210
1
0
3
33
2
2
3
xx
.31?
2xy?
2yx?
例 2 计算由曲线 xxy 63 和 2xy? 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).9,3(),4,2(),0,0(
2
3 6
xy
xxy
选 为积分变量x ]3,2[x
],0,2[)1(x dxxxxdA )6( 231
],3,0[)2(?x dxxxxdA )6( 322
2xy?
xxy 63
于是所求面积 21 AAA
dxxxxA )6( 20 2 3 dxxxx )6( 3230
.12253?
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题,积分变量只能选 吗？x
例 3 计算由曲线 xy 22? 和直线 4 xy 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2(
4
22
xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[y
dyyydA?
24
2
.184 2dAA
xy 22?
4xy
如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积,)()(2
1?
tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
例 4 求椭圆 12
2
2
2
byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
a yd xA 04 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab 20 2s i n4,ab
设由曲线 )(r 及射线
, 围成一曲边扇形，求其面积．这里,)(
在 ],[ 上连续，且 0)(,
xo
d
d?
面积元素 ddA 2)]([21?
曲边扇形的面积,)]([21 2
dA
二、极坐标系情形
)(r
例 5 求双纽线 2c o s22 a? 所围平面图形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积
14 AA?
daA 2co s214 40 2,2a?
xy?
2cos22 a?
1A
例 6 求心形线 )c o s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解 dadA 22 )co s1(21
利用对称性知
.23 2a
d
d2)c o s1( 02212 aA
d)c o sc o s21( 2 02a
2s in
4
1s in2
2
32a?
0
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积,
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化积分运算）
三、小结思考题设曲线 )( xfy? 过原点及点 )3,2(,且 )( xf
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积的两倍，求曲线方程,
思考题解答
1S
2S
x
y
o
)( xfy?
),( yx12 2 SS?
x dxxfS 02 )(?
x dxxfxySxyS 021 )(
])([2)( 00 xx dxxfxydxxf
,2)(3 0 xydxxfx 两边同时对 求导
yxyxf 22)(3 yyx 2
积分得,2 cxy?
因为曲线 )( xfy? 过点 )3,2(29 c
,292 xy 因为 )( xf 为单调函数所以所求曲线为,223 xy?
一,填空题：
1,由曲线 eyey
x
,及 y 轴所围成平面区域的面积是 __ __ __ __ __ __ _ _,
2,由曲线
2
3 xy 及直线 xy 2? 所围成平面区域的面积是 __ __ _,
3,由曲线 1,1,1,1
2
xxyxxy 所围成平面区域的面积是 _ __ __ __,
4,计算 xy 2
2
与 4 xy 所围的区域面积时，选用
____ 作变量较为简捷,
5,由曲线
xx
eyey
,与直线 1?x 所围成平面区域的面积是 ______ _ __,
练 习 题
6 曲线 2xy? 与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S,其中一条切线与曲线相切于点
),( 2aaA,0?a,则当?a __ 时，面积 S 最小,
二,求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1,
x
y
1
与直线 xy? 及 2?x ；
2,?y
2
x 与直线 xy? 及 xy 2? ；
3,)c o s2(2 ar ；
4,摆线 )c o s1(,)si n( tayttax )20( t 及
x 轴；
5,?c o s3?r 及?c o s1r 的公共部分；
6,笛卡尔叶形线 a x yyx 3
33
,
三,求抛物线 34
2
xxy 及其在点 )3,0(? 和
)0,3( 处的切线所围成的图形的面积,
四,求位于曲线
x
ey? 下方，该曲线过原点的切线的左方以 轴及 x 上方之间的图形的面积,
五,求由抛物线 axy 4
2
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,
一,1,1 ； 2,
3
32； 3,2 ；
4,y ； 5,2
1
e
e ； 6,
2
1
.
二,1,2ln
2
3； 2,
6
7； 3,
2
a? ；
4,
2
3 a? ； 5,?
4
5； 6,
2
2
3
a,
三、
4
9
,四、
2
e
,五、
2
3
8
a,
练习题答案旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([
)(xfy?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积．
r解
h
P
xhry?
取积分变量为 x,],0[ hx?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx?,
xo
直线 方程为OP
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为
dxxhrdV
2
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0
hx
h
r
0
3
2
2
3
.3
2hr?
y
r
h
P
xo
a? ao
y
x
例 2 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 绕 x 轴旋转构成旋转体的体积,
解,3
2
3
2
3
2 xay
3
3
2
3
2
2
xay
],[ aax
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
,1 0 5
32 3a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx,直线 cy?,dy? 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
x
y
o
)( yxc
d
dyy 2)]([ dcV
例 3 求摆线 )s i n( ttax,)c o s1( tay
的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220
20 22 )c o s1()c o s1( dttata
20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积可看作平面图 O ABC 与 O BC
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2 dtyxa )(220 1
o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx?
)(1 yxx?
2 22 s in)s in( td tatta
0 22 s in)s in( td tatta
20 23 s in)s in( td ttta,6 33a
补充如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体，体积为
dxxfxV bay |)(|2
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay |)(|2 20
20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta,6 33a
例 4 求由曲线 24 xy 及 0?y 所围成的图形绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22
dyyy ])43()43([ 22
,412 dyy
dyyV 40 412,64
3
dyP Q M
xo a b
二、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV?,)( ba dxxAV立体体积例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角?,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV R
R?t a n)(2
1 22
,t a n3
2 3?R?
例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图底圆方程为
,222 Ryx x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形截面面积 22)( xRhyhxA
立体体积 dxxRhV RR 22.21 2 hR
旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积
绕 轴旋转一周x
绕 轴旋转一周y
绕非轴直线旋转一周三、小结思考题求曲线 4?xy,1?y,0?x 所围成的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
思考题解答
x
y
o
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y
1
2
dyy
1 2
16
1
16
y,16
1?y
一,填空题：
1,连续曲线,)( xfy? 直线 ax?,bx? 轴及 x 所围图形 轴绕 x 旋 转 一周 而成的 立体的体 积
v ______ ____,轴绕 y 旋转一周而成的立体的体
v积
________ ____ ；
2,
b
a
dxxfv )( 常用来表示 ______ _ _____ _____ _ 立体的体积；
3,抛物线
axy 4
2
及直线
)0(
00
xxx
所围成的图形轴绕 x
旋转而成的立体的体积 ______ ；
4,0,,0,c o s h yaxx
a
x
ay 所围成的图 x形绕轴旋转而成的立体的
v体积
______ ___ ；
练 习 题二,有一铁铸件，它是由抛物线,
2
10
1
xy?
1
10
1
2
xy 与直线 10?y 围成的图形,轴绕 y 旋转而成的旋转体，算出它的质量 （长度单位是厘米，铁的密度是
3
8.7 厘米克 ）,
三,把星形线
3
2
3
2
3
2
ayx 轴绕 x 旋转，计算所得旋转体的体积,四,求摆线 )si n( ttax,)c o s1( tay 的一拱，
0?y,绕直线 ay 2? 旋转所成旋转体的体积,
五,求
222
ayx 绕 )0( abbx 旋转所成旋转体的体积,
六,设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 和BA 2,2
ba 2,2
,h高为,求这截锥体的体积,
七,设直线
baxy
与直线
0?x
，
1?x
及
0?y
所围成梯形面积等于
A
，试求
ba,
使这个梯形轴绕 y
旋转所得体积最小,
一,1,
b
a
dxxf )(
2
,
b
a
dxxxf )(2 ；
2,已知平行截面面积的； 3,
2
0
2 ax? ；
4,]22[
4
3
sh
a
.
二、
( 克 ),三、
3
1 0 5
32
a?,四、
32
7 a?,
五,ba
22
2?,六,])(2[
6
1
bAaBABabh,
七、
Aba,0
.
练习题答案
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A,B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
MMMA
nn
i
,,
,,,
1
10
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长,
一、平面曲线弧长的概念设曲线弧为 )( xfy?
)( bxa,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
dy
小切线段的长 22 )()( dydx? dxy 21
弧长元素 dxyds 21 弧长,1 2 dxys ba
二、直角坐标情形例 1 计算曲线 2
3
3
2
xy? 上相应于 x 从a 到b 的一段弧的长度,
解,21xy
dxxds 2)(1 21,1 dxx
所求弧长为
dxxs ba 1 ].)1()1[(32 2323 ab
a b
例 2 计算曲线 dny n
x?
0 s in 的弧长 )0( nx,
解 nnxny 1s i n,s in nx?
dxys ba 21 dxnxn 0 s in1
ntx? n d tt
0 s in1
dtttttn
0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数,
22 )()( dydxds 222 ))](()([ dttt
dttt )()( 22
弧长,)()( 22 dttts
三、参数方程情形例 3 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
tay
tax
3
3
s i n
c o s
)20( t
根据对称性 14ss?
dtyx 2
0
224 dttta?
2
0
co ss i n34
.6a?
第一象限部分的弧长例 4 证明正弦线 xay s i n? )20( x 的弧长等于椭圆
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys 20 21 1 dxxa 20 22 c o s1
设椭圆的周长为 2s
,c o s12 0 22 dxxa
,20 222 dtyxs
根据椭圆的对称性知
dttats 0 2222 c o s1s in2
dxxa 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
dtta 0 22 c o s12
曲线弧为 )()(?rr?
其中 )( 在 ],[ 上具有连续导数,
s i n)(
c o s)(
ry
rx?
)(
22 )()( dydxds,)()( 22 drr
弧长,)()( 22
drrs
四、极坐标情形例 5 求极坐标系下曲线
3
3
s i n?
ar 的长,
)0(?a
解
drrs )()( 22
3
1
3c o s3s i n3
2
ar?,3c o s3s i n
2
a
.23 a
daa
24
2
6
2
3co s3s i n3s i n
3
0
d
2
3s in
3
0a
0( )3?
例 6 求阿基米德螺线?ar? )0(?a 上相应于
从 0 到?2 的弧长,
解,ar
drrs )()( 22
.)412l n (4122 22 a
20 daa 222 20a d12?
平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式?
五、小结思考题闭区间 ],[ ba 上的连续曲线 )( xfy?
是否一定可求长？
思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
一,填空题：
1,曲线 xy ln? 上相应于 83 x 的一段弧长为
__ __ _ __ _ __ __ ；
2,渐伸线 )si n( c o s tttax,)c o s( si n tttay
上相应于 变到从 0t
的一段弧长为 __ _ __ _ ；
3,曲线
1r
自
4
3
至
3
4
一 段 弧 长 为
__ __ _ __ _ __ __,
二,计算半立方抛物线
32
)1(
3
2
xy 被抛物线
3
2 x
y?
截得的一段弧的长度,
三,计算星形线 tax
3
c o s?,tay
3
s i n? 的全长,
练 习 题四,求心形线 )c o s1( ar 的全长,
五,证明：曲线 xy si n? )20( x 的弧长等于椭圆
22
22
yx 的周长,
六,在摆线 ),si n( ttax )c o s1( tay 上求分摆线第一拱成 3:1 的点的坐标,
练习题答案一,1,
2
3
ln
2
1
1? ； 2,
2
2
a； 3,
2
3
ln
12
5
,
二,]1)
2
5
[(
9
8
2
3
,
三,a6,四,a8,
六,)
2
3
,)
2
3
3
2
(( aa,
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW,如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用,微元法,
思想,
一、变力沿直线所作的功例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF? （ k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从
ar?
处沿
r
轴移动到
br?
处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解 取 r 为积分变量,ro?qa?b1?r
],,[ bar?
drr?
取任一小区间 ],[ drrr?,功元素,2 drrkqdw?
所求功为 drrkqw ba 2
b
ar
kq?
1
.11 bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkqw a 2
ar
kq 1.
a
kq?
点击图片任意处播放 \暂停例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为
3 米，池内盛满了水,
问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx?,
x
ox
dxx?
5
这一薄层水的重力为
dx238.9
功元素为,2.88 dxxdw
dxxw 2.8850
5
0
2
2
2.88?
x
3462? (千焦 )．
解 设木板对铁钉的阻力为,)( kxxf?
第一次锤击时所作的功为 1
01 )( dxxfw,2
k?
.)(0 hh dxxfw
例 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n
设 次击入的总深度为 厘米hn
次锤击所作的总功为n
hh kxdxw 0,2 2kh?
依题意知，每次锤击所作的功相等．
1nww h 2
2kh
,2kn
,nh?
.1 nn
次击入的总深度为n
第 次击入的深度为n
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp,这里? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用,微元法,思想．
二、水压力例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为?,计算桶的一端面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx?
取任一小区间 ],[ dxxx?
x dxx?小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为,2 22 dxxR?
,xp
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2
)( 220 22 xRdxRR
RxR
0
322
3
2
.32 3R
例 5 将直角边各为 a 及 a2 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
x
oa2 a2a
面积微元,)(2 dxxa?
dxxaaxdP 1)(2)2(
dxxaaxP a?))(2(20,37 3a
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF?,
其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
三、引力例 6 有一长度为 l,线密度为? 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M,计算该棒对质点 M 的引力．
2l
2l?
x
y
o Ma
解 建立坐标系如图取 y 为积分变量取任一小区间 ],[ dyyy?
,2,2 lly
将典型小段近似看成质点小段的质量为,dy?
ry dyy?
小段与质点的距离为,22 yar
引力,22 ya dymkF
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用,微元法,思想求变力作功、
水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
四、小结思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？
思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．
一,直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强为 310
厘米牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
二,一物体按规律
3
tcx? 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 0?x 移至 ax?
时，克服媒质阻力所作的功,
三,有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610 米和米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
练 习 题四,半径为 的球沉r 入水中，球的上部与水面相切，
球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？
五,一块 a高为,b底为 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力,
六,设有一半
R径为
，中心
角为的圆弧形细棒，其线密度为
常数
，在圆心处有一质的量为 m
质点
M
，试求这细棒对质
M点的引力,
七,油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流 与速 v 流处到管子中心的距 之间离 r 有关系式 )(
22
rakv,其中为比例k 常数,为油管a 半径,求通过油管的流量 （注：当流速为常量时，流量 = 流速? 截面积）,
一,2ln800? ( 焦耳 ).
二、
3
7
3
2
7
25
akc ( 其 为中 k 比例常数 ),
三,143 73 ( 千牛 ),四,gr
4
3
4
,五,?ba
2
6
1
.
六、引力的大小为
2
s i n
2
R
km
,方向 指为 M 向圆弧的中心,
七、
4
2
a
k?
.
练习题答案第六章习题课微 元 法理 论 依 据名称释译所求量的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式一、主要内容
1、理论依据
.
)1(
)2()(
,)()(,)(
)1()()(
,],[)(
定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设
UdUdxxf
dxxfxdUxf
dttfxU
baxf
b
a
b
a
x
a
2、名称释译
.
)(
)(
:)()(
,)2(
方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据
dxxf
dxxfU
badxxfdU
A
b
a
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
3、所求量的特点
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与
dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U,
4、解题步骤
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy?
ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy?
)(2 xfy?
ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积 2
1
)()(tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
参数方程所表示的函数
dA 2)]([21
xo
d
)(r?
xo
)(2r
)(1r
dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([
dyyV dc 2)]([
x
y
o
)( yxc
d
xo
ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
dy
弧长 dxys ba 21
A．曲线弧为
)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数弧长 dttts )()( 22
)( xfy?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )()(?rr?
弧长 drrs )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
x dxx? x
y
o
)( xfy?
bxaxfy,0)(
ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
(5) 细棒的质量
o x dxx?
)(x?
xl?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(?
(6) 转动惯量
a b x
y
x dxx?o?
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2?
))(( 为线密度x?
(7) 变力所作的功
)(xF
o a bx dxx? x
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
(8) 水压力
x
yoa
b
x
dxx?
)(xf
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重?
(9) 引力
x
y
x dxx?o
A
l? l
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
.0?xF )( 为引力系数G
(10) 函数的平均值 ba dxxfaby )(1
二、典型例题例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知
a
tay
tax
a? ao
y
x
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
a yd xA 04
0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
2
0
22 )()(4 dtyxL?
20 s i nco s34 td tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为由对称性,有
a x dxyyS 0 2122
20 3 s i nco s3s i n4 td ttata,512 2a
a dxyV 0 22 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
o x
y
R
h
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx
半圆的方程为于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx
时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV?则有
atdyyRyh0 2 )2(即得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从 dyyRyy )0(
)1(),(2 水的比重 yRdyx
,2 22 yRyx又
.))(2( 2 dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R
例 3
.
,4
,20,3050
,,
的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解
x
yo
16
4?
x
dxx?
A
B如图建立坐标系,
的方程为则梯形的腰 AB
.2321 xy
此闸门一侧受到静水压力为
160 )2321(2 dxxgxP?
16
0
2
3
)233( xxg
)256234 0 9 631( g?
g?67.4 5 2 2?
).(1043.4 7 牛
一,选择题：
1,曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
,ex? 及 0?y 所围成的区域的面积?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e； （ B ）
e
e
1；
（ C ）
e
e
1； （ D ） 1
1
e
,
2,曲线?si n2?r 与?2c o s
2
r 所围图形公共部分的面积?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
； （ B ）
4
13
24
；
（ C ）
2
13
12
； （ D ）
2
31
6
,
测 验 题
3,曲线,c o s
3
ax
3
s i nay? 所围图形的面积
S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
zyx 与旋转锥面
222
8 zyx 之间包含 z 轴的部分的体积?V ( ) ；
（ A ）?144 ； （ B ）?36 ；
（ C ）?72 ； （ D ）?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高为 )20( rhh 体 V积为,则?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
； （ B ） )3(
3
2
hr
h
；
（ C ） )2(
2
hrh ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
.
6,曲线 42
2
xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
xy 所围图形的面积?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
)0(?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) pp
p
ln)21l n (2
2
；
(B)?
)21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
)21(ln2
2
p
p；
(D)
)21l n (2
2
p
,
8,曲线 x
h
r
y?,hx0,轴绕 x 旋转所得旋转体的侧面积?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ； （ B ）
22
hrh ；
（ C ）
22
hr
h
r
； （ D ）
22
2 hrr,
二、在区间e,1 内求 0x一点,使,0,ln yxy
1?y 及 0xx? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
轴x 与两直线 bxax,所围成的，求证：存在直线x )),(( ba 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( t
1,轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2,轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
,轴y,轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1,求在水池中水深 )0( Rhh 时水面上升的速度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案一,1,A ； 2,D ； 3,B ； 4,D ；
5,B ； 6,D ； 7,A ； 8,A,
二、
4
1
0
ex?,四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
； 2,
4
4
Rw
,
ba dxxfA )(
一、问题的提出曲边梯形 由连续曲 线
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成。 a b x
y
o
)(xfy?
面积表示为定积分的步骤如下
（ 1 ）把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则?
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ）计算 iA? 的近似值
iii xfA )(? ii x
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA
a b x
y
o
)(xfy?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA
)(lim
10
b
a dxxf )(
提示若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx 上的窄曲边梯形的面积，
则 AA,并取 dxxfA )(,
于是 dxxfA )(
dxxfA )(l i m,)( ba dxxf x dxx?
dA
面积元素当所求量 U 符合下列条件：
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值,如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与 dx
的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；
3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做 元素法,
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
二、小结思考题微元法的实质是什么？
思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限,
x
y
o
)( xfy?
a b x
y
o
)(1 xfy?
)(2 xfy?
a b
曲边梯形的面积
ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
ba dxxfxfA )]()([ 12
一、直角坐标系情形
x xxx x?
例 1 计算由两条抛物线 xy?2 和 2xy? 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210
1
0
3
33
2
2
3
xx
.31?
2xy?
2yx?
例 2 计算由曲线 xxy 63 和 2xy? 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).9,3(),4,2(),0,0(
2
3 6
xy
xxy
选 为积分变量x ]3,2[x
],0,2[)1(x dxxxxdA )6( 231
],3,0[)2(?x dxxxxdA )6( 322
2xy?
xxy 63
于是所求面积 21 AAA
dxxxxA )6( 20 2 3 dxxxx )6( 3230
.12253?
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题,积分变量只能选 吗？x
例 3 计算由曲线 xy 22? 和直线 4 xy 所围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2(
4
22
xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[y
dyyydA?
24
2
.184 2dAA
xy 22?
4xy
如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积,)()(2
1?
tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
例 4 求椭圆 12
2
2
2
byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
a yd xA 04 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab 20 2s i n4,ab
设由曲线 )(r 及射线
, 围成一曲边扇形，求其面积．这里,)(
在 ],[ 上连续，且 0)(,
xo
d
d?
面积元素 ddA 2)]([21?
曲边扇形的面积,)]([21 2
dA
二、极坐标系情形
)(r
例 5 求双纽线 2c o s22 a? 所围平面图形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积
14 AA?
daA 2co s214 40 2,2a?
xy?
2cos22 a?
1A
例 6 求心形线 )c o s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解 dadA 22 )co s1(21
利用对称性知
.23 2a
d
d2)c o s1( 02212 aA
d)c o sc o s21( 2 02a
2s in
4
1s in2
2
32a?
0
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积,
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化积分运算）
三、小结思考题设曲线 )( xfy? 过原点及点 )3,2(,且 )( xf
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积的两倍，求曲线方程,
思考题解答
1S
2S
x
y
o
)( xfy?
),( yx12 2 SS?
x dxxfS 02 )(?
x dxxfxySxyS 021 )(
])([2)( 00 xx dxxfxydxxf
,2)(3 0 xydxxfx 两边同时对 求导
yxyxf 22)(3 yyx 2
积分得,2 cxy?
因为曲线 )( xfy? 过点 )3,2(29 c
,292 xy 因为 )( xf 为单调函数所以所求曲线为,223 xy?
一,填空题：
1,由曲线 eyey
x
,及 y 轴所围成平面区域的面积是 __ __ __ __ __ __ _ _,
2,由曲线
2
3 xy 及直线 xy 2? 所围成平面区域的面积是 __ __ _,
3,由曲线 1,1,1,1
2
xxyxxy 所围成平面区域的面积是 _ __ __ __,
4,计算 xy 2
2
与 4 xy 所围的区域面积时，选用
____ 作变量较为简捷,
5,由曲线
xx
eyey
,与直线 1?x 所围成平面区域的面积是 ______ _ __,
练 习 题
6 曲线 2xy? 与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S,其中一条切线与曲线相切于点
),( 2aaA,0?a,则当?a __ 时，面积 S 最小,
二,求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1,
x
y
1
与直线 xy? 及 2?x ；
2,?y
2
x 与直线 xy? 及 xy 2? ；
3,)c o s2(2 ar ；
4,摆线 )c o s1(,)si n( tayttax )20( t 及
x 轴；
5,?c o s3?r 及?c o s1r 的公共部分；
6,笛卡尔叶形线 a x yyx 3
33
,
三,求抛物线 34
2
xxy 及其在点 )3,0(? 和
)0,3( 处的切线所围成的图形的面积,
四,求位于曲线
x
ey? 下方，该曲线过原点的切线的左方以 轴及 x 上方之间的图形的面积,
五,求由抛物线 axy 4
2
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,
一,1,1 ； 2,
3
32； 3,2 ；
4,y ； 5,2
1
e
e ； 6,
2
1
.
二,1,2ln
2
3； 2,
6
7； 3,
2
a? ；
4,
2
3 a? ； 5,?
4
5； 6,
2
2
3
a,
三、
4
9
,四、
2
e
,五、
2
3
8
a,
练习题答案旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([
)(xfy?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积．
r解
h
P
xhry?
取积分变量为 x,],0[ hx?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx?,
xo
直线 方程为OP
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为
dxxhrdV
2
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0
hx
h
r
0
3
2
2
3
.3
2hr?
y
r
h
P
xo
a? ao
y
x
例 2 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 绕 x 轴旋转构成旋转体的体积,
解,3
2
3
2
3
2 xay
3
3
2
3
2
2
xay
],[ aax
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
,1 0 5
32 3a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx,直线 cy?,dy? 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
x
y
o
)( yxc
d
dyy 2)]([ dcV
例 3 求摆线 )s i n( ttax,)c o s1( tay
的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220
20 22 )c o s1()c o s1( dttata
20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积可看作平面图 O ABC 与 O BC
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2 dtyxa )(220 1
o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx?
)(1 yxx?
2 22 s in)s in( td tatta
0 22 s in)s in( td tatta
20 23 s in)s in( td ttta,6 33a
补充如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体，体积为
dxxfxV bay |)(|2
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay |)(|2 20
20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta,6 33a
例 4 求由曲线 24 xy 及 0?y 所围成的图形绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22
dyyy ])43()43([ 22
,412 dyy
dyyV 40 412,64
3
dyP Q M
xo a b
二、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV?,)( ba dxxAV立体体积例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角?,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV R
R?t a n)(2
1 22
,t a n3
2 3?R?
例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图底圆方程为
,222 Ryx x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形截面面积 22)( xRhyhxA
立体体积 dxxRhV RR 22.21 2 hR
旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积
绕 轴旋转一周x
绕 轴旋转一周y
绕非轴直线旋转一周三、小结思考题求曲线 4?xy,1?y,0?x 所围成的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
思考题解答
x
y
o
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y
1
2
dyy
1 2
16
1
16
y,16
1?y
一,填空题：
1,连续曲线,)( xfy? 直线 ax?,bx? 轴及 x 所围图形 轴绕 x 旋 转 一周 而成的 立体的体 积
v ______ ____,轴绕 y 旋转一周而成的立体的体
v积
________ ____ ；
2,
b
a
dxxfv )( 常用来表示 ______ _ _____ _____ _ 立体的体积；
3,抛物线
axy 4
2
及直线
)0(
00
xxx
所围成的图形轴绕 x
旋转而成的立体的体积 ______ ；
4,0,,0,c o s h yaxx
a
x
ay 所围成的图 x形绕轴旋转而成的立体的
v体积
______ ___ ；
练 习 题二,有一铁铸件，它是由抛物线,
2
10
1
xy?
1
10
1
2
xy 与直线 10?y 围成的图形,轴绕 y 旋转而成的旋转体，算出它的质量 （长度单位是厘米，铁的密度是
3
8.7 厘米克 ）,
三,把星形线
3
2
3
2
3
2
ayx 轴绕 x 旋转，计算所得旋转体的体积,四,求摆线 )si n( ttax,)c o s1( tay 的一拱，
0?y,绕直线 ay 2? 旋转所成旋转体的体积,
五,求
222
ayx 绕 )0( abbx 旋转所成旋转体的体积,
六,设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 和BA 2,2
ba 2,2
,h高为,求这截锥体的体积,
七,设直线
baxy
与直线
0?x
，
1?x
及
0?y
所围成梯形面积等于
A
，试求
ba,
使这个梯形轴绕 y
旋转所得体积最小,
一,1,
b
a
dxxf )(
2
,
b
a
dxxxf )(2 ；
2,已知平行截面面积的； 3,
2
0
2 ax? ；
4,]22[
4
3
sh
a
.
二、
( 克 ),三、
3
1 0 5
32
a?,四、
32
7 a?,
五,ba
22
2?,六,])(2[
6
1
bAaBABabh,
七、
Aba,0
.
练习题答案
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A,B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
MMMA
nn
i
,,
,,,
1
10
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长,
一、平面曲线弧长的概念设曲线弧为 )( xfy?
)( bxa,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
dy
小切线段的长 22 )()( dydx? dxy 21
弧长元素 dxyds 21 弧长,1 2 dxys ba
二、直角坐标情形例 1 计算曲线 2
3
3
2
xy? 上相应于 x 从a 到b 的一段弧的长度,
解,21xy
dxxds 2)(1 21,1 dxx
所求弧长为
dxxs ba 1 ].)1()1[(32 2323 ab
a b
例 2 计算曲线 dny n
x?
0 s in 的弧长 )0( nx,
解 nnxny 1s i n,s in nx?
dxys ba 21 dxnxn 0 s in1
ntx? n d tt
0 s in1
dtttttn
0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数,
22 )()( dydxds 222 ))](()([ dttt
dttt )()( 22
弧长,)()( 22 dttts
三、参数方程情形例 3 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
tay
tax
3
3
s i n
c o s
)20( t
根据对称性 14ss?
dtyx 2
0
224 dttta?
2
0
co ss i n34
.6a?
第一象限部分的弧长例 4 证明正弦线 xay s i n? )20( x 的弧长等于椭圆
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys 20 21 1 dxxa 20 22 c o s1
设椭圆的周长为 2s
,c o s12 0 22 dxxa
,20 222 dtyxs
根据椭圆的对称性知
dttats 0 2222 c o s1s in2
dxxa 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
dtta 0 22 c o s12
曲线弧为 )()(?rr?
其中 )( 在 ],[ 上具有连续导数,
s i n)(
c o s)(
ry
rx?
)(
22 )()( dydxds,)()( 22 drr
弧长,)()( 22
drrs
四、极坐标情形例 5 求极坐标系下曲线
3
3
s i n?
ar 的长,
)0(?a
解
drrs )()( 22
3
1
3c o s3s i n3
2
ar?,3c o s3s i n
2
a
.23 a
daa
24
2
6
2
3co s3s i n3s i n
3
0
d
2
3s in
3
0a
0( )3?
例 6 求阿基米德螺线?ar? )0(?a 上相应于
从 0 到?2 的弧长,
解,ar
drrs )()( 22
.)412l n (4122 22 a
20 daa 222 20a d12?
平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式?
五、小结思考题闭区间 ],[ ba 上的连续曲线 )( xfy?
是否一定可求长？
思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
一,填空题：
1,曲线 xy ln? 上相应于 83 x 的一段弧长为
__ __ _ __ _ __ __ ；
2,渐伸线 )si n( c o s tttax,)c o s( si n tttay
上相应于 变到从 0t
的一段弧长为 __ _ __ _ ；
3,曲线
1r
自
4
3
至
3
4
一 段 弧 长 为
__ __ _ __ _ __ __,
二,计算半立方抛物线
32
)1(
3
2
xy 被抛物线
3
2 x
y?
截得的一段弧的长度,
三,计算星形线 tax
3
c o s?,tay
3
s i n? 的全长,
练 习 题四,求心形线 )c o s1( ar 的全长,
五,证明：曲线 xy si n? )20( x 的弧长等于椭圆
22
22
yx 的周长,
六,在摆线 ),si n( ttax )c o s1( tay 上求分摆线第一拱成 3:1 的点的坐标,
练习题答案一,1,
2
3
ln
2
1
1? ； 2,
2
2
a； 3,
2
3
ln
12
5
,
二,]1)
2
5
[(
9
8
2
3
,
三,a6,四,a8,
六,)
2
3
,)
2
3
3
2
(( aa,
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW,如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用,微元法,
思想,
一、变力沿直线所作的功例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF? （ k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从
ar?
处沿
r
轴移动到
br?
处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解 取 r 为积分变量,ro?qa?b1?r
],,[ bar?
drr?
取任一小区间 ],[ drrr?,功元素,2 drrkqdw?
所求功为 drrkqw ba 2
b
ar
kq?
1
.11 bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkqw a 2
ar
kq 1.
a
kq?
点击图片任意处播放 \暂停例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为
3 米，池内盛满了水,
问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx?,
x
ox
dxx?
5
这一薄层水的重力为
dx238.9
功元素为,2.88 dxxdw
dxxw 2.8850
5
0
2
2
2.88?
x
3462? (千焦 )．
解 设木板对铁钉的阻力为,)( kxxf?
第一次锤击时所作的功为 1
01 )( dxxfw,2
k?
.)(0 hh dxxfw
例 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n
设 次击入的总深度为 厘米hn
次锤击所作的总功为n
hh kxdxw 0,2 2kh?
依题意知，每次锤击所作的功相等．
1nww h 2
2kh
,2kn
,nh?
.1 nn
次击入的总深度为n
第 次击入的深度为n
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp,这里? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用,微元法,思想．
二、水压力例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为?,计算桶的一端面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx?
取任一小区间 ],[ dxxx?
x dxx?小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为,2 22 dxxR?
,xp
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2
)( 220 22 xRdxRR
RxR
0
322
3
2
.32 3R
例 5 将直角边各为 a 及 a2 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
x
oa2 a2a
面积微元,)(2 dxxa?
dxxaaxdP 1)(2)2(
dxxaaxP a?))(2(20,37 3a
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF?,
其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
三、引力例 6 有一长度为 l,线密度为? 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M,计算该棒对质点 M 的引力．
2l
2l?
x
y
o Ma
解 建立坐标系如图取 y 为积分变量取任一小区间 ],[ dyyy?
,2,2 lly
将典型小段近似看成质点小段的质量为,dy?
ry dyy?
小段与质点的距离为,22 yar
引力,22 ya dymkF
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用,微元法,思想求变力作功、
水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
四、小结思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？
思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．
一,直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强为 310
厘米牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
二,一物体按规律
3
tcx? 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 0?x 移至 ax?
时，克服媒质阻力所作的功,
三,有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610 米和米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
练 习 题四,半径为 的球沉r 入水中，球的上部与水面相切，
球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？
五,一块 a高为,b底为 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力,
六,设有一半
R径为
，中心
角为的圆弧形细棒，其线密度为
常数
，在圆心处有一质的量为 m
质点
M
，试求这细棒对质
M点的引力,
七,油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流 与速 v 流处到管子中心的距 之间离 r 有关系式 )(
22
rakv,其中为比例k 常数,为油管a 半径,求通过油管的流量 （注：当流速为常量时，流量 = 流速? 截面积）,
一,2ln800? ( 焦耳 ).
二、
3
7
3
2
7
25
akc ( 其 为中 k 比例常数 ),
三,143 73 ( 千牛 ),四,gr
4
3
4
,五,?ba
2
6
1
.
六、引力的大小为
2
s i n
2
R
km
,方向 指为 M 向圆弧的中心,
七、
4
2
a
k?
.
练习题答案第六章习题课微 元 法理 论 依 据名称释译所求量的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式一、主要内容
1、理论依据
.
)1(
)2()(
,)()(,)(
)1()()(
,],[)(
定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设
UdUdxxf
dxxfxdUxf
dttfxU
baxf
b
a
b
a
x
a
2、名称释译
.
)(
)(
:)()(
,)2(
方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据
dxxf
dxxfU
badxxfdU
A
b
a
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
3、所求量的特点
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与
dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U,
4、解题步骤
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy?
ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy?
)(2 xfy?
ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积 2
1
)()(tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
参数方程所表示的函数
dA 2)]([21
xo
d
)(r?
xo
)(2r
)(1r
dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([
dyyV dc 2)]([
x
y
o
)( yxc
d
xo
ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
dy
弧长 dxys ba 21
A．曲线弧为
)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数弧长 dttts )()( 22
)( xfy?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )()(?rr?
弧长 drrs )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
x dxx? x
y
o
)( xfy?
bxaxfy,0)(
ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
(5) 细棒的质量
o x dxx?
)(x?
xl?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(?
(6) 转动惯量
a b x
y
x dxx?o?
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2?
))(( 为线密度x?
(7) 变力所作的功
)(xF
o a bx dxx? x
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
(8) 水压力
x
yoa
b
x
dxx?
)(xf
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重?
(9) 引力
x
y
x dxx?o
A
l? l
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
.0?xF )( 为引力系数G
(10) 函数的平均值 ba dxxfaby )(1
二、典型例题例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知
a
tay
tax
a? ao
y
x
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
a yd xA 04
0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
2
0
22 )()(4 dtyxL?
20 s i nco s34 td tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为由对称性,有
a x dxyyS 0 2122
20 3 s i nco s3s i n4 td ttata,512 2a
a dxyV 0 22 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
o x
y
R
h
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx
半圆的方程为于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx
时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV?则有
atdyyRyh0 2 )2(即得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从 dyyRyy )0(
)1(),(2 水的比重 yRdyx
,2 22 yRyx又
.))(2( 2 dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R
例 3
.
,4
,20,3050
,,
的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解
x
yo
16
4?
x
dxx?
A
B如图建立坐标系,
的方程为则梯形的腰 AB
.2321 xy
此闸门一侧受到静水压力为
160 )2321(2 dxxgxP?
16
0
2
3
)233( xxg
)256234 0 9 631( g?
g?67.4 5 2 2?
).(1043.4 7 牛
一,选择题：
1,曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
,ex? 及 0?y 所围成的区域的面积?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e； （ B ）
e
e
1；
（ C ）
e
e
1； （ D ） 1
1
e
,
2,曲线?si n2?r 与?2c o s
2
r 所围图形公共部分的面积?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
； （ B ）
4
13
24
；
（ C ）
2
13
12
； （ D ）
2
31
6
,
测 验 题
3,曲线,c o s
3
ax
3
s i nay? 所围图形的面积
S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
zyx 与旋转锥面
222
8 zyx 之间包含 z 轴的部分的体积?V ( ) ；
（ A ）?144 ； （ B ）?36 ；
（ C ）?72 ； （ D ）?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高为 )20( rhh 体 V积为,则?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
； （ B ） )3(
3
2
hr
h
；
（ C ） )2(
2
hrh ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
.
6,曲线 42
2
xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
xy 所围图形的面积?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
)0(?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) pp
p
ln)21l n (2
2
；
(B)?
)21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
)21(ln2
2
p
p；
(D)
)21l n (2
2
p
,
8,曲线 x
h
r
y?,hx0,轴绕 x 旋转所得旋转体的侧面积?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ； （ B ）
22
hrh ；
（ C ）
22
hr
h
r
； （ D ）
22
2 hrr,
二、在区间e,1 内求 0x一点,使,0,ln yxy
1?y 及 0xx? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
轴x 与两直线 bxax,所围成的，求证：存在直线x )),(( ba 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( t
1,轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2,轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
,轴y,轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1,求在水池中水深 )0( Rhh 时水面上升的速度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案一,1,A ； 2,D ； 3,B ； 4,D ；
5,B ； 6,D ； 7,A ； 8,A,
二、
4
1
0
ex?,四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
； 2,
4
4
Rw
,
