一、问题的提出
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积正十二边形的面积
1a
21 aa?
正 形的面积n23? naaa21
naaaA21即
n10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
1.2
二、级数的概念
1,级数的定义,
n
n
n uuuuu 321
1 (常数项 )无穷级数一般项部分和数列
n
i
inn uuuus
1
21?
级数的部分和
,11 us?,212 uus,,3213?uuus
,21 nn uuus
2,级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数?
1n
n
u 的部分和数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
lim 则称无穷级数
1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数?
1n
n
u 的和,并写成
321
uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数?
1n
nu 发散,
即 常数项级数收敛 ( 发散 )? n
n
s
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr 21 nn uu?
1i
inu
即 ss n? 误差为 nr)0l i m( nn r
无穷级数收敛性举例,Koch雪花,
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
观察雪花分形过程第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形播放
,2,1)34( 11 nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn
,3,2?n
周长为面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 nA?
第 次分叉：n
于是有
nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 A
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
雪花的面积存在极限（收敛）．
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0(?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 nn aqaqaqas?
q
aqa n
1,11 q
aq
q
a n
,1时当?q 0lim nn q? q
as
nn 1l i m
,1时当?q nn qlim nn slim
收敛发散时如果 1?q
,1时当?q
,1时当q
nas n 发散
aaaa级数变为不存在nn s lim 发散综上
发散时当收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
例 2 判别无穷级数
)12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12(
1
nnu n? ),12
1
12
1(
2
1
nn
)12()12(
1
53
1
31
1
nns n?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 nn?
)12 11(21l i ml i m
n
s
nnn
),12 11(21 n
,21?
.21,和为级数收敛?
三、基本性质性质 1 如果级数?
1n
nu 收敛,则?
1n
nku 亦收敛,
性质 2 设两收敛级数?
1n
n
us,?
1n
n
v,
则级数?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为s,
结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3 若级数?
1n
n
u 收敛,则?
1kn
n
u 也收敛
)1(?k,且其逆亦真,
证明 nkkk uuu 21
nkkkn uuu21
,kkn ss
knknnnn ss limlimlim?则,kss
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
证明 )()( 54321 uuuuu
,21 s
.limlim ss nnmm则
,52 s
,93 s
,,nm s
注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
)11()11(例如
1111推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散,
收敛发散四、收敛的必要条件级数收敛,0lim nn u
证明?
1n
nus?,1 nnn ssu则
1l i ml i ml i m nnnnnn ssuss,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛的必要条件,
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 nn u
n131211例如调和级数讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2,2
1
2 n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss?
于是 ss,0?
.级数发散?
)(210 n便有,这是不可能的
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项4项2项 2项项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
五、小结
1,由定义,若 ss n?,则级数收敛 ;
2,当 0lim?
nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念基本审敛法思考题设?
1n
n
b 与?
1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab
),2,1(n,能否推出?
1n
n
a 收敛？
思考题解答能,由柯西审敛原理即知．
一,填空题,
1,若
n
n
a
n
242
)12(31
,则?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ __ ；
2,若
n
n
n
n
a
!
,则?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ ；
3,若级数为
642422
xxxx
则?
n
a __ __ ___ ；
4,若级数为
9753
5432
aaaa
则
n
a
__ __ ___ _ ；
5,若级数为
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当?n ____ _
时
n
a
___ __ ；当
n
__ ___ _ 时
n
a
___ ___ __ ；
6,等比级数?
0n
n
aq,当 _ __ __ 时收敛；当 __ __ 时发散,
练习题三、由定义判别级数
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1,
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3,
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
；
3,
)2(642
2
n
x
n
； 4,
12
)1(
1
1
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ； 6,1,1 qq,
三、收敛,四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[?
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散,[ 取
np 2?
]
一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
且 ),2,1( nvu
nn
,若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛；
反之，若?
1n
n
u 发散，则?
1n
n
v 发散,
证明
nn uuus21且
1
)1(
n
nv设,nn vu
,
即部分和数列有界,
1
收敛?
n
nu
均为正项级数，和设
11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv2
nn s则
)()2( ns n设,nn vu?且
不是有界数列
.
1
发散?
n
nv
推论,若?
1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便,须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性,)0(?p
解,1?p设,11 nn p,级数发散则?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 pxy p
1 2 3 4
由图可知 nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11
nn pp xdxxdx 1211?
n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p
,有界即 ns,级数收敛则?P
发散时当收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数,几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数?
1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 nnn?
,11
1
n n
发散而级数
.)1( 1
1
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设?
1n
nu 与?
1n
nv 都是正项级数,如果则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若?
1n
nv 发散,则?
1n
nu 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
l0
0?l
l
1n
nv?
1n
nu
证明 lvu
n
n
n
l i m)1( 由,0
2
l?对于
,N?,时当 Nn? 22
ll
v
ull
n
n
)(232 Nnvluvl nnn即由比较审敛法的推论,得证,
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nulim ),
则级数?
1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 )?
1
1
s i n
n n; (2 )?
1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m?
n
n
n 1
1
s i n
l i m
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
n
n n
3
1
1
l i m
,1?
,31
1
收敛?
n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明,为有限数时当?,0对
,N?,时当 Nn?,1
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n即
,1时当
,1时当
,1取,1r使
,11 NmmN uru
,12 NN ruu,1223 NNN urruu,?
,
1
1
1
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1取,1r使
,时当 Nn?,1 nnn uruu,0lim nn u 发散比值审敛法的优点,不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例?
n n
,1
1
2 收敛级数?
n n
)1(?
,232 )1(2 nnn
n
n vu
例
,2 )1(2
11
收敛级数
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u?
但,
6
1l i m
2 nn a
,23l i m 12
nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 )?
1 !
1
n n; (2 )?
1 10
!
n
n
n; (3 )?
1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n
1
1
n ),(0 n
.!1
1
收敛故级数?
n n
),( n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n
10
1 n
.10 !
1
发散故级数?
n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn,1
1
2 收敛级数?
n n
.)12(2 1
1
收敛故级数?
n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设?
1n
nu 是正项级数,如果
n
n
n
ulim
)(为数或?,
则 1 时级数收敛 ;
,1,
1
n
nn设级数例如
n nn n
nu
1
n
1? )(0 n 级数收敛,
1 时级数发散 ; 1 时失效,
二、交错级数及其审敛法定义,正、负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us?,其余项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
)0(?nu其中证明
nnnn uuuuuus 212223212 )()(又
)()()( 21243212 nnn uuuuuus
1u?
,01 nn uu?
.l i m 12 uss nn,0l i m 12 nn u?
,2 是单调增加的数列 ns
,2 是有界的数列 ns
)(limlim 12212 nnnnn uss,s?
.,1uss 且级数收敛于和
),( 21 nnn uur余项
,21 nnn uur
满足收敛的两个条件,.1 nn ur
定理证毕,
例 5 判别级数?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1(?
xx
x
x
x?
)2(0 x
,1 单调递减故函数?x x,1 nn uu
1limlim n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
三、绝对收敛与条件收敛定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv?且,
1
收敛?
n
nv
),2(
11
n
nn
n
n uvu?又?
1n
nu 收敛,
上定理的作用：
任意项级数 正项级数定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
例 6 判别级数?
1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n,1
1
2 收敛而?
n
,s in
1
2?
n n
n 收敛故由定理知原级数绝对收敛,
四、小结正 项 级 数 任意项级数审敛法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
思考题设正项级数?
1n
n
u 收敛,能否推得?
1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答由正项级数?
1n
nu 收敛，可以推得?
1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
nn u lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
1
2
n
nu
反之不成立,例如,?
1
2
1
n n
收敛,?
1
1
n n
发散,
一,填空题,
1,?p 级数当 __ __ __ _ 时收敛,当 __ __ __ _ 时发散；
2,若正项级数?
1n
n
u 的后项与前项之比值的根?等于,
则当 _ __ _ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ __ _ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2,)0(
1
1
1
a
an
n
,
练 习 题三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2,?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,?
1
)]1[l n (
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1,
n
n 1
2
3
2 ；
2,?
1
3
s i n2
n
n
n； 3,)0(
)
1
(
)2l n (
1
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
1,?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2,
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3,?
2
ln
)1(
n
n
nn
.
七、若
n
n
un
2
l i m
存在,证明,级数?
1n
n
u 收敛,
八、证明,
0
!
lim
3
n
n
n
an
b
.
练习题答案一,1,1,1 pp ；
2,1),l i m(1,1
1
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
.,1;,10;,1
发散发散收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,
一、函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix?0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn函数项级数的部分和余项 )()()( xsxsxr nn
(x在收敛域上 )0)(lim?
xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,
3.和函数,
)()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
1
1
1 )(1
1
nx
,11 1)1( x当
,20 时或即 xx 原级数绝对收敛,
,11 x
,11 1)2( x当,11 x
,02 时即 x原级数发散,
,0时当?x?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当x?
1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,(故级数的收敛域为
,1|1|)3( x当,20 xx 或二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax?
时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当?x ;,1 发散时当?x
);1,1(?收敛域 );,1[]1,(发散域定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
证明,0lim 0
n
nn xa,)1(
0
0 收敛?
n
n
n xa?
),2,1,0(0 nMxa nn使得,M?
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0
n
n
n x
xxa
0
0?
n
x
xM
0
,1
0
时当?xx?,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM
,
0
收敛?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数?
n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx?
而有一点 1x 适合 01 xx? 使级数收敛,
则级数当 0xx? 时应收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论
xoR? R
几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
,0?R
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定
,R
收敛区间 0?x ;
收敛区间 ),(,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
),,( RR?
(1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
证明 应用达朗贝尔判别法对级数?
0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
xa
a
n
n
n
1lim?
,x
,)0(l i m)1( 1 存在如果
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当x,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa
,1|| 时当x,||
0
发散级数?
n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa 0||?nn xa
.
0
n
n
n xa 发散从而级数 ;
1
R收敛半径
,0)2(如果,0x
),(0
1
1
n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa ;R收敛半径
,)3(如果
,0x,
0
n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
例 2 求下列幂级数的收敛区间,
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m?
1l i m n
n
n 1? 1 R
,1时当?x
,1时当x
,)1(
1
n
n
n级数为
,1
1
n n
级数为该级数收敛该级数发散;)1()1(
1 n
x n
n
n?
;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
故收敛区间是 ]1,1(?,
n n
n a l i m? nn lim,
, R
级数只在 0?x 处收敛,
n
n
n a
a 1l i m?
11l i m
nn,0?
,oR
收敛区间 ),(,;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m?
1
2lim
n
n
n
2?,21 R
,2121 收敛即x,)1,0( 收敛?x
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
,0时当?x,
1
1
n n
级数为
,1时当?x,)1(
1
n
n
n级数为发散收敛故收敛区间为 (0,1].
例 3 求幂级数?
1
12
2n n
nx
的收敛区间,
解 3
5
2
3
222
xxx级数为 缺少偶次幂的项应用达朗贝尔判别法
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
n
n
n
n
n x
x
2
2l i m
12
1
12
,21 2x?
级数收敛,,121 2?x当,2时即?x
,121 2?x当,2时即?x 级数发散,
,2时当?x,21
1
n
级数为
,2时当x,2
1
1
n
级数为级数发散,
级数发散,
原级数的收敛区间为 ).2,2(?
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
(1) 加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xc
(其中
21,m i n RRR?
)nnn bac
RRx,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
(2) 乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
00ba 10ba 20ba 30ba
01ba 11ba 21ba 31ba
02ba 12ba 22ba 32ba
03ba 13ba 23ba 33ba
柯西乘积
321 xxx
(3) 除法
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc
)0(
0
n
n
n xb收敛域内
(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
(1 ) 幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
(3) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
0
)()(
n
n
n xaxs即
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
n
n
n xna
(收敛半径不变 )
例 4 求级数?
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
n
n
n
n
xxs?,0)0(?s显然两边积分得
)1l n ()(0 xdttsx
21)( xxxs,1 1 x )11( x
,1 时又?x,1)1(
1
1 收敛?
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n
)11( x
),1l n ()( xxs
)1l n ()0()( xsxs即例 5 求?
1 2
)1(
n
n
nn
的和,
解,)1(
1
n
n
xnn?
考虑级数 收敛区间 (-1,1),
1
)1()(
n
nxnnxs则 )(
1
1
n
nxx
)1(
2
xxx,)1( 2 3xx
1 2
)1(
n
n
nn故
)21(s?,8?
常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
;!)4(
0
x
n
n
enx
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n
;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n?
四、小结
2.幂级数的收敛性,收敛半径 R
3.幂级数的运算,分析运算性质
1.函数项级数的概念,
思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答不一定,
例,)(
1
2?
n
n
n
xxf,)(
1
1
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[
一,求下列幂级数的收敛区间,
1,?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2,
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3,?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4,)0,0(
1
ba
ba
x
n
nn
n
.
练 习 题二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1,?
1
1
n
n
nx ；
2,
1253
1253
n
xxx
x
n
.
练习题答案一,1,),( ；
2,]
2
1
,
2
1
[? ；
3,)2,2(? ；
4,),( cc?,其中
0,m a x bac
.
二,1,)11(
)1(
1
2
x
x；
2,)11(
1
1
ln
2
1
x
x
x
.
一、泰勒级数上节例题 )11()1l n ()1(
1
1
xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数问题,1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n
nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
内具有任意阶导数,且在 )(
0
xU
内 能 展开成 )(
0
xx? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
)(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx?
),2,1,0()(!1 0)( nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
泰勒系数如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( nf n且
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除?
在 x=0点任意可导,
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU? 内收敛于 )( xf? 在 )( 0xU? 内 0)(l i m?
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
),()()( 1 xsxfxR nn
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn
)(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn
)]()([lim 1 xsxf nn )(lim xR nn,0?
),()(lim 1 xfxs nn即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0 M,对
),(
00
RxRxx,恒有 Mxf
n
)(
)(
),2,1,0(n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx 内可展开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()(?
n
n
n xxn
fxR
,)!1(
1
0
n
xxM n
),( 00 RxRxx,),(
)!1(0
1
0 收敛在
n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0?
n
xx n
n,0)(lim xR nn故
.0 的泰勒级数可展成点 x?
),( 00 RxRxx
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收例 1
解
.)( 展开成幂级数将 xexf?
,)()( xn exf? ),2,1,0(.1)0()( nf n
nx xnxxe !1!211 2
,0M 上在 ],[ MM? xn exf?)()( Me?
),2,1,0(n nx x
nxxe !
1
!2
11 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 xxnxxe nx
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf?
解 ),2s i n()()( nxxf n,2s i n)0()( nf n
,0)0()2( nf,)1()0()12( nnf ),2,1,0(n
)()( xf n且 )2s i n (
nx 1? ),(x
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),(x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf
解,)1)(1()1()()( nn xnxf
),1()1()0()( nf n?),2,1,0(n
nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1l i m?
1 n n,1?,1 R
若内在,)1,1(?
nxn nxxs ! )1()1(1)(
1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm
利用
)()1( xsx
1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs
,1)( )( xxs xs,1)0(?s且两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx
)1,1(x
得 ),1l n()0(ln)(ln xsxs
即,)1l n ()(ln xxs
,)1()(?xxs
)1,1(x
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1,1(x
牛顿二项式展开式注意,,1 的取值有关处收敛性与在x
);1,1(1 收敛区间为
];1,1(11 收敛区间为
].1,1[1 收敛区间为有时当,21,1
)1,1()1(11 1 32 nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方法,求展开式,
例如 )(s i nco s xx
)!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),(x
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
x xdxx 0 21a rc ta n
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[x
x xdxx 0 1)1l n(
nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成?
)1(3
1
4
1
xx?
,
)
3
11(3
1
x
])3 1()3 1(3 11[31 2 nxxx
31x
xxx
x
4
1)1(
4
1
n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf?故
,31n?
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之,
一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
1,
x
a ； 2,)1l n ()1( xx ;
3,xa r c s i n ； 4,
3
)1(
1
x
x
.
二,将函数
3
)( xxf? 展开成 )1(?x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2
xx
xf 展开成 )4(?x 的幂级数,
四,将级数?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成 )1(?x
的幂级数,
练 习 题练习题答案一,1,)(
!
)(l n
0
xx
n
a
n
n
n；
2,)11(
)1(
)1(
1
1
1
xx
nn
x
n
n
n；
3,)11()
2
(
)12()!(
)!2(2
1
12
2
x
x
nn
n
x
n
n；
4,)1,1(
1
12
n
n
xn,
二, )1(
2
3
1 x?
0
2
2
)
2
1
(
2)2)(1(
3
)!(
)!2(
)1(
n
n
n
n
x
nnn
n
)20( x,
三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
0
11
n
n
nn
x,
四,?
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
x
n
),()1(
)!12(2
)1(
2
1
c o s
0
12
n
n
n
n
x
n
.
一、近似计算
,21 naaaA
,21 naaaA
.21 nnn aar误差两类问题,
1.给定项数,求近似值并估计精度 ;
2.给出精度,确定项数,
关健,通过估计余项,确定精度或项数,
常用方法,
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 ;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,
例 1,10,5?使其误差不超过的近似值计算 e
解,!1!211 2 nx xnxxe
,1?x令,!1!2111 ne得余和,
)!2( 1)!1( 1 nnr n )211()!1( 1 nn
))1( 1111()!1( 1 2 nnn !1nn
,10 5nr欲使,10!1 5 nn只要
,10! 5 nn即,10322560!88 5而
!8
1
!3
1
!2
111e 7 1 8 2 8.2?
例 2
.
,9s i n
!3
s i n 0
3
并估计误差的近似值计算利用
x
xx
解 20s i n9s i n 0,)20(6120 3
5
2 )20(!5
1r 5)2.0(
1 2 0
1?
3 0 0 0 0 0
1?,10 5
0 0 0 6 4 6.01 5 7 0 7 9.09s i n 0 1 5 6 4 3 3.0?
其误差不超过,510?
二、计算定积分
.,
,
ln
1
,
s i n
,
2
难以计算其定积分函数表示原函数不能用初等例如函数
xx
x
e x?
解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数第四项 30001!77 1,10 4
取前三项作为积分的近似值,得
!55
1
!33
11s i n1
0 dxx
x 9461.0?
例 3,10,
s i n 41
0
精确到的近似值计算 dx
x
x
642 !71!51!311s i n xxxx x解 ),(x
!77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x
收敛的交错级数三、求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和,
(1)直接法 ; (2)拆项法 ; (3)递推法,
例 4,2
1a rc t a n
1
2 的和求?
n n
解,21a rct a n1?s
8
1a rcta n
2
1a rcta n
2s
8
1
2
1
1
8
1
2
1
a r c t a n
,32a r c t a n?
18
1a rcta n
3
2a rcta n
18
1a rcta n
23 ss,4
3a r c t a n?
1a rcta n1a rcta n n ns n )(4 n
.42 1a r c t a n
1
2
n n
故
,1a rcta n1 kks k假设
22
1a rcta n1a rcta n
kk
ks
k?
,
1a rcta n k
k
2.阿贝尔法 (构造幂级数法 ):
,l i m
010
n
n
nx
n
n xaa
,)(
0
n
n
n xaxs?
求得
).(lim
10
xsa
xn n
(逐项积分、逐项求导 )
例 4,2
12
1
的和求?
n
n
n
解,2 12)( 22
1
n
n
n x
nxs令 )2,2(?
1 0
22 )
2
12()(
n
x n
n dxx
nxs
1
12
)2(
n
n
nx
))2(1(
1
2
n
nx
x )2
1(
2
2
xxx
)2( 2 xx,)2( 2 22
2
x
x
22
2
1 )2(
2l i m
x
x
x?
)(lim1 xsx,3?,32
12
1
n
n
n故例 5,2!
1
2
的和求?
n
nn
n
解,!)(
1
2
n
n
xnnxs?
令 ),(
n
n
xn nnnxs?
1 !
)1()(? n
n
n
n
xnxnn
11 )!1(
1
!
)1(
01
2
!)!( n
n
n
n
n
xx
n
xx
xx xeex )1(2
,)1( xxe x
1
2
2!n nn
n )
2
1(s?
2
1)1
2
1(21 e,
4
3 e?
四、欧拉公式复数项级数,
)()()( 2211 nn jvujvujvu
.),3,2,1(,为实常数或实函数其中nvu nn若?
1n
nuu,?
1n
nvv,
则称级数?
1
)(
n
nn ivu 收敛,且其和为 ivu?,
若
222
2
2
2
2
1
2
1 nn vuvuvu 收敛,
则?
1n
nu,?
1n
nv 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛,复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式
,!!21
2
nxxxe
n
x
,)!12()1(!5!3s i n
12
1
53
n
xxxxx nn
,)!2()1(!4!21c o s
242
nxxxx
n
n
)( x
)( x
)( x
的幂级数展开式由 xe
njx jxnjxjxe )(!1)(!211 2
)
)!12(
)1(
!3
1
(
)
)!2(
)1(
!2
1
1(
12
3
2
2
n
x
xxj
n
x
x
n
n
n
n
xjx s i nco s
xcos
xsin
xjxe jx s i nco s
j
ee
x
ee
x
jxjx
jxjx
2
s i n
2
c o s
xjxe jx s i nco s又揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系,
欧拉公式
)s i n( co s yjyee xjyx
五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分，
２、微分方程的幂级数的解法,(第十二节介绍 )
求数项级数的和，欧拉公式的证明；
思考题利用幂级数展开式,求极限,s i na rc s i nlim 3
0 x
xx
x
思考题解答
,542 31321a r c s i n
53
xxxx
,!5 33!3 3341s i n 5
5
3
3
3
xxx
)1(?x
)(x
,s i na rcs i nlim 3
0 x
xx
x
将上两式代入
542
31
32
1
lim
53
0
xx
xx
x
5533
!5
33
!3
33
4
1 xx原式 =
)(
)(
6
1
l i m 33
33
0 xox
xox
x?
,6
1
一,利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值,
1,3ln ( 精确到 0 0 0 1.0 ) ；
2,
2c o s ( 精确到 0 0 0 1.0 ).
二,利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分
5.0
0
a r c ta n
dx
x
x
( 精确到 0 0 1.0 ) 的近似值,
三,将函数 xe
x
c o s 展开成 的幂级数x,
练 习 题练习题答案一,1,1.09 86 ； 2,0.9 994,
二,0.487,
三,),(
!4
c o s2c o s
0
2
n
n
x
n
xn
xe
.
( 提示,
xj
xjx
eexe
)
4
s i n
4
( c o s2
)1(
ReRec o s
)
一、问题的提出有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对于一般的函数项级数是否如此？
问题,
解
,)( nn xxs?且 得和函数：
因为该级数每一项都在 [0,1]是连续的，
,1,1
,10,0)(lim)(
x
xxsxs
nn
.1)( 处间断在和函数?xxs
例 1 考察函数项级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
和函数的连续性．
函数项级数的每一项在 ],[ ba 上连续，并且级数在 ],[ ba 上收敛，其和函数不一定在 ],[ ba 上收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及积分．
结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题二、函数项级数的一致收敛性设有函数项级数?
1
)(
n
n
xu,如果对于任意给定的正数?,都存在着一个只依赖于? 的自然数 N,使得当 Nn? 时，对区间 I 上的一切
x,都有不等式
)()()( xsxsxr
nn
成立，则成函数项级数?
1
)(
n
n
xu 在区间 I 上一致收敛于和 )( xs,也称函数序列
)( xs
n 在区间
I 上一致收敛于
)( xs
．
定义只要 n 充分大 )( Nn?,在区间 I 上所有曲线 )( xsy n? 将位于曲线
)( xsy 与 )( xsy 之间,
x
y
o I
)( xsy
)( xsy
)( xsy?
)( xsy n
几何解释,
研究级数
1
11
1
1
2
1
1
1
nxnxxxx
在区间 ),0[ 上的一致收敛性,
例 2
解,1)( nxxs n
)0(01lim)(lim)(
xnxxsxs
nnn
余项的绝对值
)0(11)()( xnnxxsxsr nn
对于任给 0,取自然数?1?N,
则当 Nn? 时，对于区间 ],0[ 上的一切 x,
，有)( xr n根据定义，
所给级数在区间 ],0[ 上一致收敛于,0)(?xs
例 3 研究例 1中的级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
在区间 ( 0,1]内的一致收敛性,
解 该级数在区间 ( 0,1) 内处处收敛于和 0)(?xs,
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数,n 取 nnx 21?,于是
,21)( nnnn xxs
,0)(?nxs但,21)()()( nnnnn xsxsxr从而
只要取
2
1
,不论 n 多么大，在 ( 0,1 ) 总存在点 nx,,)(
nn xr使得因此级数在 ( 0,1 )内不一致连续．
说明,
从下图可以看出,
但虽然函数序列 nn xxs?)( 在 ( 0,1 )内处处
,0)(?xs )(xsn 在 ( 0,1 )内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．
o x
y (1,1) nn xxsy )(
1?n 2?n
4?n 10?n
30?n
1
一致收敛．
上，这级数在注意：对于任意正数 ],0[1 rr?
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
定理 （魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法）
如果函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上满足条件,
(1) )3,2,1()( naxu
nn;
( 2 ) 正项级数?
1n
n
a 收敛,
则函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
一致收敛性简便的判别法：
证由条件 ( 2 ),对任意给定的 0,根据柯西审敛原理存在自然数 N,使得当 Nn? 时，对于任意的自然数 p 都有
.221 pnnn aaa?
由条件 ( 1 ),对任何 Ix?,都有
)()()(
21
xuxuxu
pnnn
)()()(
21
xuxuxu
pnnn
,221 pnnn aaa?
令p,则由上式得
2
)( xr n,
因此函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
例 4 证明级数
2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在 ),( 上一致收敛,
证? 在 ),( 内
),3,2,1(1s i n 22
2
nnn xn
级数?
1
2
1
n n
收敛，
由魏尔斯特拉斯判别法，
所给级数在 ),( 内一致收敛．
三、一致收敛级数的基本性质定理 1
如果级数?
1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上也连续,
证设 xx,0 为ba,上任意点．由
)()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn
)()()()( 00 xrxrxsxs nnnn (1)
)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn
级数?
1
)(
n
n xu 一致收敛于 )( xs,
对 0,必? 自然数 )(?NN?,使得当 Nn? 时,
对ba,上的一切 x 都有
3)(
xr
n (2)
.3)( 0xrn同样有故 )( xs n ( Nn? ) 在点 0x 连续，
(3)0 当 0xx 时总有 3)()( 0
xsxs
nn
由 (1),(2),(3)可见,对任给 0,必有 0,
当 0xx 时，有,)()( 0 xsxs
)( xs n 是有限项连续函数之和，
所以 )( xs 在点 0x 处连续, 而 0x 在 [ ba,] 上是任意的，因此 )( xs 在 [ ba,] 上连续．
定理 2
如果级数?
1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上可以逐项积分,
即
x
x
x
x
x
x
dxxudxxu
dxxs
00
0
)()(
)(
21 x
x n dxxu0 )(
其中 bxxa 0,并且上式右端的级数在
[ ba,] 上也一致收敛,
(4)
证? 级数?
1
)(
n
n xu 在 [ ba,] 一致收敛于 )( xs,
由定理 1,)( xs,)( xr
n
都在 [ ba,] 上连续，
所以积分?
x
x
dxxs
0
)(,?
x
x n
dxxr
0
)( 存在,从而有
xx nxx dxxsdxxs
00
)()(? xx n dxxr
0
)(.)(
0?
xx n dxxr
又由级 数的一 致收 敛性,对任 给正数? 必有
)(?NN? 使得当 Nn? 时,对 [ ba,] 上的一切 x,都有,)(
abxrn
xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )(
.)( 0 xxqb 根据极限定义，有
n
i
x
x nn
x
x nn
x
x dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(
即
1 00
)()(
i
x
x i
x
x dxxudxxs
由于 N 只依赖于? 而于 xx,0 无关，
所以级数
1 0
)(
i
x
x i
dxxu 在 [ ba,] 上一致收敛,
于是，当 Nn? 时有定理 3
如果级数?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上收敛于和 )( xs,它的各项 )( xu
n
都具有连续导数
)( xu
n
，并且级数?
1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上一致收敛，
则级数?
1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上也一致收敛，且可逐项求导，即
)()()()(
21
xuxuxuxs
n
(5)
注意,级数一致收敛并不能保证可以逐项求导,
例如，级数
2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在任何区间 ],[ ba 上都是一致收敛的,
逐项求导后得级数
,c o s2c o sc o s 22 xnxx
.
,
发散的都是所以对于任意值因其一般项不趋于零 x
所以原级数不可以逐项求导．
定理 4
如果幂级数?
1n
n
n
xa 的收敛半径为 0?R,
则其级数在 ),( RR? 内的任意闭区间 [ ba,] 上一致收敛,
进一步还可以证明，如果幂级数?
1n
n
n
xa 在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点．
幂级数的一致收敛性定理 5
如 果 幂 级 数?
1n
n
n
xa 的 收 敛 半 径 为
0?R,则其和函数 )( xs 在 ),( RR? 内可导，且有逐项求导公式
1
1
1
)(
n
n
n
n
n
n
xnaxaxs,
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．
证在 ),( RR? 内任意取定 x,在限定 1x,使得
Rxx
1,记 1
1
x
x
q,则先证级数?
1
1
n
n
n xna 在 ),( RR? 内收敛．
,11 1
1
1
1
1
1
1
1 n
n
nn
n
n
n
n xaxnqxaxx
xnxna
由比值审敛法可知级数?
1
1
n
nnq 收敛，
),(01 nnq n于是故数列 1?nnq 有界，必有 0?M,使得
),2,1(1
1
1 nM
xnq
n
又 Rx 10,级数?
1
1
n
n
n xa 收敛，
由比较审敛法即得级数?
1
1
n
n
n xna 收敛,由定理 4,级数?
1
1
n
n
n
xna 在 ),( RR? 内的任意闭区间 [ ba,] 上一致连续，
故幂级数?
1n
n
n
xa 在 [ ba,] 上适合定理 3 条件，从而可以逐项求导．
即得幂级数?
1n
n
n xa 在 ),( RR? 内可逐项求导,
设幂级数?
1
1
n
n
n xna 的收敛半径为 R?,,RR
由 [ ba,] 在 ),( RR? 内的任意性，
将此幂级数?
1
1
n
n
n
xna 在 [ x,0 ] )( Rx 上逐项积分即得,
1
n
n
n
xa
因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，
,RR所以,RR于是即?
1
1
n
n
n xna 与?
1n
n
n xa 的收敛半径相同．
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义；
2、一致收敛级数的判别法 ——魏尔斯特拉斯判别法；
4、幂级数的一致收敛性．
3、一致收敛级数的基本性质；
练 习 题上一致收敛．在任一有限区间证明之差的绝对值小于正数与其极限时能使当取多大问
．上收敛于在一、已知函数序列
],[)(.2;
)(,,),(.1
0
),(),3,2,1(s i n
baxs
xsNnxN
n
n
x
s
n
n
n
上的一致收敛性．
在区间二、按定义讨论级数 ),(
)1(
)1( 2
2
1
1
n
n
n
x
x
.0,.2;,
2
c o s
.1
1
2
1
xex
x
nx
n
nx
n
n
区间上的一致收敛性．
所给判别法证明下列级数在三、利用魏尔斯特拉斯练习题答案
．取自然数一,?xN?.1
二、一致收敛．
第十章习题课常数项级数 函数项级数一般项级数正项级数幂级数 三角级数收敛半径
R
泰勒展开式数或函数 函 数数任意项级数泰勒级数
0)(?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数
0xx?取在收敛 级数与数条件下 相互转化
1n
nu
一、主要内容
n
n
n uuuuu 321
1
1、常数项级数常数项级数收敛 ( 发散 )? nn slim 存在 ( 不存在 ),
n
i
inn uuuus
1
21?级数的部分和定义级数的收敛与发散性质 1,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
性质 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
.0lim nn u级数收敛的必要条件,
收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
一般项级数
4.绝对收敛定义
0,
1
n
n
n uu
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
2、正项级数及其审敛法审敛法
(1) 比较审敛法若?
1n
nu 收敛 ( 发散 ) 且 )( nnnn vuuv,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ),
(2) 比较审敛法的极限形式设?
1n
n
u 与?
1n
n
v 都是正项级数,如果 l
v
u
n
n
n
lim,
则 ( 1 ) 当 l0 时,二级数有相同的敛散性 ;
( 2 ) 当 0?l 时，若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛 ;
( 3 ) 当
l
时,若?
1n
n
v 发散,则?
1n
n
u 发散 ;
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nulim ),
则级数?
1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu 收敛,
(3) 极限审敛法
(4) 比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 )
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法 )设?
1n
nu 是正项级数,
如果
n
n
n
ul i m )(为数或?,
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
定义 正,负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,则级数收敛,且其和
1
us?,其余 项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
)0(?nu其中
3、交错级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
0n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
4、任意项级数及其审敛法
5、函数项级数
(1) 定义设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()(
21
1
xuxuxu
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
(2) 收敛点与收敛域如果 Ix?
0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
(3) 和函数在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数
)( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(1) 定义形如 n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,00 时当?x
其中 na 为幂级数系数,
6、幂级数
n
n
n xa?
0
如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;
(2) 收敛性如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
a.代数运算性质,
加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xc
(其中
21,m i n RRR?
)nnn bac
RRx,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
(3)幂级数的运算乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
除法
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc
)0(
0
n
n
n xb收敛域内
b.和函数的分析运算性质,
幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
7、幂级数展开式 如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
(1) 定义定理 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU? 内收敛于 )( xf? 在 )( 0xU? 内 0)(l i m?
xR n
n
.
(2) 充要条件
(3) 唯一性定理 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
内 能 展开成 )(
0
xx?
的幂级数,即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
,
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
(3) 展开方法
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方法,求展开式,
),(!1!211 2 xxnxxe nx
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),(x
)!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),(x
(4) 常见函数展开式
)1,1(x
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1ln( x nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(x
(5) 应用
a.近似计算
b.欧拉公式
,si nco s xixe ix
,2c o s
itit ee
t
,2s i n ieet
itit
二、典型例题 ;
)
1
(
)1(
:
1
1
n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性例 1
解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2
;10 e
x
x
n
n xn
11 li mli m
}ln
1limex p { x
xx
}1limex p { x
x;10 e
,01lim nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数收敛．;
2
3
c o s
)2(
1
2
n
n
nn
解,22 3
c o s 2
nnn
n
nn
u?
,
2 nn
nv?令
n
n
v
v n
nn
n
n
n
2
2
1li mli m
1
1
n
n 2
lim?
,12
1
,2
1
收敛?
n
n
n根据比较判别法,原级数收敛．
1
).0(
)1(
)2l n ()3(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
,)2ln (li m1 n
n
na
,2,2 nenn 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn
,1li m nn n由于,1)2ln (li m nn n,1l i m aun nn
,1100 时即当 aa 原级数收敛；
,1110 时即当 aa原级数发散；
,1 时当?a
,
)11(
)2l n (
1
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim
nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收散，是否收判断级数?
1 ln
)1(
n
n
nn
例２
解,1ln1 nnn,1
1
发散而?
n n
,ln1ln )1(
11
发散
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
,01lim
xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim?
n
n
n
nn nn
),0(ln)( xxxxf?
),1(011)( xxxf
,),1( 上单增在,ln1 单减即 xx?
,1ln1 时单减当故 nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数?
n
nxn
例３
解,1)1)(1(
0
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 x收敛域为,20 x即则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
n
nxnxs
两边逐项积分
0
1
1)1(
n
xnx
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
x
x,
2
1
x
x
求导，得两边再对 x
)2 1()( xxxs,)2( 1 2
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数展开成麦将 xxxxf
例 4
解,32)1ln (
32
xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22
n
xxxxx nn
)11( x
x dxxx 0 21 1a rct a n又
x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( x
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22
n
n
n
nn
x)11( x
的幂级数．成的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
x
n
x n
n
n
n
例 5
解
．设法用已知展开式来解的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 xx
0
12
0
2
1
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
co s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),(
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)?
1
1
n
n； (B )?
1
1
n
nn；
( C)?
1
3 2
1
n n； (D)?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
n
n
n； ( D)?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
测 验 题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A )?
1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B)?
1
!3
n
n
n
n
n；
(C )?
2
2
s i n
1
n
n
； (D )?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列ns 有界是正项级数?
1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
5,设 a 为非零常数,则当 ( ) 时,级数?
1n
n
r
a
收敛,
(A ) 1?r ； ( B) 1?r ；
(C ) ar? ； ( D) 1?r,
6,幂级数?
1
1
)1(
)1(
n
n
n
n
x
的收敛区间是 ( ),
(A)
)2,0(； ( B)
)2,0[；
(C)
]2,0(； ( D)
]2,0[
.
7,若幂级?
0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R
1
0 R ;
0n
n
n
xb 的收敛半径为,
2
R
2
0 R,则幂级数
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至少为 ( )
( A) 21
RR?； (B) 21
RR?；
( C)
21
,m a x RR； (D)
21
,m i n RR
,
8,当
0?R
时,级数
2
1
)1(
n
nk
n
n
是 ( )
( A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；
( C) 发散； (D) 敛散性与值无关k
.
9,0lim?
n
n
u 是级数?
1n
n
u 收敛的 ( )
( A) 充分条件； (B ) 必要条件；
( C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
10,幂级数?
1
)1(
n
n
xnn 的收敛区间是 ( )
( A)
)1,1(?； (B)
]1,1(?；
(C)
)1,1[?； ( D)
]1,1[?
.二,判别下列级数的收敛性,
1,?
1
2
2
2
)!(
n n
n； 2,?
1
2
2
3
c o s
n
n
n
n
.
三、判别级数
1
1
ln)1(
n
n
n
n
的敛散性,
四、求极限 ])2(842[l i m
3
1
27
1
9
1
3
1
n
n
n
,
五,求下列幂级数的收敛区间,
1,
1
53
n
n
nn
x
n； 2,
1
2
2
n
n
n
x
n
,
六,求幂级数
1
)1(
n
n
nn
x
的和函数,
七,求数项级数
1
2
!
n
n
n
的和,
八,试将函数
2
)2(
1
x?
展开成的幂级数x
,
测验题答案一,1,B ； 2,B ； 3,C ； 4,C ； 5,D ；
6,C ； 7,D ； 8,A ； 9,B ； 1 0,A,
二,1,发散； 2,收敛,
三、条件收敛,
四、
4
8
,( 提示,化成
n
n
33
2
3
1
2
2 )
五,1,)
5
1
,
5
1
[? ； 2,)2,2(?,
六、
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
x
xs,
七、
e2
.
八,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
xx
n
x
n
n
n
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积正十二边形的面积
1a
21 aa?
正 形的面积n23? naaa21
naaaA21即
n10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
1.2
二、级数的概念
1,级数的定义,
n
n
n uuuuu 321
1 (常数项 )无穷级数一般项部分和数列
n
i
inn uuuus
1
21?
级数的部分和
,11 us?,212 uus,,3213?uuus
,21 nn uuus
2,级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数?
1n
n
u 的部分和数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
lim 则称无穷级数
1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数?
1n
n
u 的和,并写成
321
uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数?
1n
nu 发散,
即 常数项级数收敛 ( 发散 )? n
n
s
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr 21 nn uu?
1i
inu
即 ss n? 误差为 nr)0l i m( nn r
无穷级数收敛性举例,Koch雪花,
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
观察雪花分形过程第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形播放
,2,1)34( 11 nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn
,3,2?n
周长为面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 nA?
第 次分叉：n
于是有
nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 A
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
雪花的面积存在极限（收敛）．
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0(?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 nn aqaqaqas?
q
aqa n
1,11 q
aq
q
a n
,1时当?q 0lim nn q? q
as
nn 1l i m
,1时当?q nn qlim nn slim
收敛发散时如果 1?q
,1时当?q
,1时当q
nas n 发散
aaaa级数变为不存在nn s lim 发散综上
发散时当收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
例 2 判别无穷级数
)12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12(
1
nnu n? ),12
1
12
1(
2
1
nn
)12()12(
1
53
1
31
1
nns n?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 nn?
)12 11(21l i ml i m
n
s
nnn
),12 11(21 n
,21?
.21,和为级数收敛?
三、基本性质性质 1 如果级数?
1n
nu 收敛,则?
1n
nku 亦收敛,
性质 2 设两收敛级数?
1n
n
us,?
1n
n
v,
则级数?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为s,
结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3 若级数?
1n
n
u 收敛,则?
1kn
n
u 也收敛
)1(?k,且其逆亦真,
证明 nkkk uuu 21
nkkkn uuu21
,kkn ss
knknnnn ss limlimlim?则,kss
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
证明 )()( 54321 uuuuu
,21 s
.limlim ss nnmm则
,52 s
,93 s
,,nm s
注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
)11()11(例如
1111推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散,
收敛发散四、收敛的必要条件级数收敛,0lim nn u
证明?
1n
nus?,1 nnn ssu则
1l i ml i ml i m nnnnnn ssuss,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛的必要条件,
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 nn u
n131211例如调和级数讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2,2
1
2 n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss?
于是 ss,0?
.级数发散?
)(210 n便有,这是不可能的
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项4项2项 2项项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
五、小结
1,由定义,若 ss n?,则级数收敛 ;
2,当 0lim?
nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念基本审敛法思考题设?
1n
n
b 与?
1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab
),2,1(n,能否推出?
1n
n
a 收敛？
思考题解答能,由柯西审敛原理即知．
一,填空题,
1,若
n
n
a
n
242
)12(31
,则?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ __ ；
2,若
n
n
n
n
a
!
,则?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ ；
3,若级数为
642422
xxxx
则?
n
a __ __ ___ ；
4,若级数为
9753
5432
aaaa
则
n
a
__ __ ___ _ ；
5,若级数为
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当?n ____ _
时
n
a
___ __ ；当
n
__ ___ _ 时
n
a
___ ___ __ ；
6,等比级数?
0n
n
aq,当 _ __ __ 时收敛；当 __ __ 时发散,
练习题三、由定义判别级数
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1,
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3,
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
；
3,
)2(642
2
n
x
n
； 4,
12
)1(
1
1
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ； 6,1,1 qq,
三、收敛,四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[?
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散,[ 取
np 2?
]
一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
且 ),2,1( nvu
nn
,若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛；
反之，若?
1n
n
u 发散，则?
1n
n
v 发散,
证明
nn uuus21且
1
)1(
n
nv设,nn vu
,
即部分和数列有界,
1
收敛?
n
nu
均为正项级数，和设
11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv2
nn s则
)()2( ns n设,nn vu?且
不是有界数列
.
1
发散?
n
nv
推论,若?
1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便,须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性,)0(?p
解,1?p设,11 nn p,级数发散则?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 pxy p
1 2 3 4
由图可知 nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11
nn pp xdxxdx 1211?
n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p
,有界即 ns,级数收敛则?P
发散时当收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数,几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数?
1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 nnn?
,11
1
n n
发散而级数
.)1( 1
1
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设?
1n
nu 与?
1n
nv 都是正项级数,如果则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若?
1n
nv 发散,则?
1n
nu 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
l0
0?l
l
1n
nv?
1n
nu
证明 lvu
n
n
n
l i m)1( 由,0
2
l?对于
,N?,时当 Nn? 22
ll
v
ull
n
n
)(232 Nnvluvl nnn即由比较审敛法的推论,得证,
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nulim ),
则级数?
1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 )?
1
1
s i n
n n; (2 )?
1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m?
n
n
n 1
1
s i n
l i m
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
n
n n
3
1
1
l i m
,1?
,31
1
收敛?
n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明,为有限数时当?,0对
,N?,时当 Nn?,1
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n即
,1时当
,1时当
,1取,1r使
,11 NmmN uru
,12 NN ruu,1223 NNN urruu,?
,
1
1
1
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1取,1r使
,时当 Nn?,1 nnn uruu,0lim nn u 发散比值审敛法的优点,不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例?
n n
,1
1
2 收敛级数?
n n
)1(?
,232 )1(2 nnn
n
n vu
例
,2 )1(2
11
收敛级数
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u?
但,
6
1l i m
2 nn a
,23l i m 12
nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 )?
1 !
1
n n; (2 )?
1 10
!
n
n
n; (3 )?
1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n
1
1
n ),(0 n
.!1
1
收敛故级数?
n n
),( n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n
10
1 n
.10 !
1
发散故级数?
n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn,1
1
2 收敛级数?
n n
.)12(2 1
1
收敛故级数?
n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设?
1n
nu 是正项级数,如果
n
n
n
ulim
)(为数或?,
则 1 时级数收敛 ;
,1,
1
n
nn设级数例如
n nn n
nu
1
n
1? )(0 n 级数收敛,
1 时级数发散 ; 1 时失效,
二、交错级数及其审敛法定义,正、负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us?,其余项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
)0(?nu其中证明
nnnn uuuuuus 212223212 )()(又
)()()( 21243212 nnn uuuuuus
1u?
,01 nn uu?
.l i m 12 uss nn,0l i m 12 nn u?
,2 是单调增加的数列 ns
,2 是有界的数列 ns
)(limlim 12212 nnnnn uss,s?
.,1uss 且级数收敛于和
),( 21 nnn uur余项
,21 nnn uur
满足收敛的两个条件,.1 nn ur
定理证毕,
例 5 判别级数?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1(?
xx
x
x
x?
)2(0 x
,1 单调递减故函数?x x,1 nn uu
1limlim n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
三、绝对收敛与条件收敛定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv?且,
1
收敛?
n
nv
),2(
11
n
nn
n
n uvu?又?
1n
nu 收敛,
上定理的作用：
任意项级数 正项级数定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
例 6 判别级数?
1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n,1
1
2 收敛而?
n
,s in
1
2?
n n
n 收敛故由定理知原级数绝对收敛,
四、小结正 项 级 数 任意项级数审敛法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
思考题设正项级数?
1n
n
u 收敛,能否推得?
1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答由正项级数?
1n
nu 收敛，可以推得?
1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
nn u lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
1
2
n
nu
反之不成立,例如,?
1
2
1
n n
收敛,?
1
1
n n
发散,
一,填空题,
1,?p 级数当 __ __ __ _ 时收敛,当 __ __ __ _ 时发散；
2,若正项级数?
1n
n
u 的后项与前项之比值的根?等于,
则当 _ __ _ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ __ _ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2,)0(
1
1
1
a
an
n
,
练 习 题三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2,?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,?
1
)]1[l n (
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1,
n
n 1
2
3
2 ；
2,?
1
3
s i n2
n
n
n； 3,)0(
)
1
(
)2l n (
1
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
1,?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2,
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3,?
2
ln
)1(
n
n
nn
.
七、若
n
n
un
2
l i m
存在,证明,级数?
1n
n
u 收敛,
八、证明,
0
!
lim
3
n
n
n
an
b
.
练习题答案一,1,1,1 pp ；
2,1),l i m(1,1
1
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
.,1;,10;,1
发散发散收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,
一、函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix?0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn函数项级数的部分和余项 )()()( xsxsxr nn
(x在收敛域上 )0)(lim?
xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,
3.和函数,
)()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
1
1
1 )(1
1
nx
,11 1)1( x当
,20 时或即 xx 原级数绝对收敛,
,11 x
,11 1)2( x当,11 x
,02 时即 x原级数发散,
,0时当?x?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当x?
1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,(故级数的收敛域为
,1|1|)3( x当,20 xx 或二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax?
时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当?x ;,1 发散时当?x
);1,1(?收敛域 );,1[]1,(发散域定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
证明,0lim 0
n
nn xa,)1(
0
0 收敛?
n
n
n xa?
),2,1,0(0 nMxa nn使得,M?
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0
n
n
n x
xxa
0
0?
n
x
xM
0
,1
0
时当?xx?,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM
,
0
收敛?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数?
n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx?
而有一点 1x 适合 01 xx? 使级数收敛,
则级数当 0xx? 时应收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论
xoR? R
几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
,0?R
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定
,R
收敛区间 0?x ;
收敛区间 ),(,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
),,( RR?
(1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
证明 应用达朗贝尔判别法对级数?
0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
xa
a
n
n
n
1lim?
,x
,)0(l i m)1( 1 存在如果
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当x,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa
,1|| 时当x,||
0
发散级数?
n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa 0||?nn xa
.
0
n
n
n xa 发散从而级数 ;
1
R收敛半径
,0)2(如果,0x
),(0
1
1
n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa ;R收敛半径
,)3(如果
,0x,
0
n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
例 2 求下列幂级数的收敛区间,
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m?
1l i m n
n
n 1? 1 R
,1时当?x
,1时当x
,)1(
1
n
n
n级数为
,1
1
n n
级数为该级数收敛该级数发散;)1()1(
1 n
x n
n
n?
;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
故收敛区间是 ]1,1(?,
n n
n a l i m? nn lim,
, R
级数只在 0?x 处收敛,
n
n
n a
a 1l i m?
11l i m
nn,0?
,oR
收敛区间 ),(,;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m?
1
2lim
n
n
n
2?,21 R
,2121 收敛即x,)1,0( 收敛?x
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
,0时当?x,
1
1
n n
级数为
,1时当?x,)1(
1
n
n
n级数为发散收敛故收敛区间为 (0,1].
例 3 求幂级数?
1
12
2n n
nx
的收敛区间,
解 3
5
2
3
222
xxx级数为 缺少偶次幂的项应用达朗贝尔判别法
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
n
n
n
n
n x
x
2
2l i m
12
1
12
,21 2x?
级数收敛,,121 2?x当,2时即?x
,121 2?x当,2时即?x 级数发散,
,2时当?x,21
1
n
级数为
,2时当x,2
1
1
n
级数为级数发散,
级数发散,
原级数的收敛区间为 ).2,2(?
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
(1) 加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xc
(其中
21,m i n RRR?
)nnn bac
RRx,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
(2) 乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
00ba 10ba 20ba 30ba
01ba 11ba 21ba 31ba
02ba 12ba 22ba 32ba
03ba 13ba 23ba 33ba
柯西乘积
321 xxx
(3) 除法
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc
)0(
0
n
n
n xb收敛域内
(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
(1 ) 幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
(3) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
0
)()(
n
n
n xaxs即
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
n
n
n xna
(收敛半径不变 )
例 4 求级数?
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
n
n
n
n
xxs?,0)0(?s显然两边积分得
)1l n ()(0 xdttsx
21)( xxxs,1 1 x )11( x
,1 时又?x,1)1(
1
1 收敛?
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n
)11( x
),1l n ()( xxs
)1l n ()0()( xsxs即例 5 求?
1 2
)1(
n
n
nn
的和,
解,)1(
1
n
n
xnn?
考虑级数 收敛区间 (-1,1),
1
)1()(
n
nxnnxs则 )(
1
1
n
nxx
)1(
2
xxx,)1( 2 3xx
1 2
)1(
n
n
nn故
)21(s?,8?
常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
;!)4(
0
x
n
n
enx
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n
;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n?
四、小结
2.幂级数的收敛性,收敛半径 R
3.幂级数的运算,分析运算性质
1.函数项级数的概念,
思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答不一定,
例,)(
1
2?
n
n
n
xxf,)(
1
1
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[
一,求下列幂级数的收敛区间,
1,?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2,
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3,?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4,)0,0(
1
ba
ba
x
n
nn
n
.
练 习 题二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1,?
1
1
n
n
nx ；
2,
1253
1253
n
xxx
x
n
.
练习题答案一,1,),( ；
2,]
2
1
,
2
1
[? ；
3,)2,2(? ；
4,),( cc?,其中
0,m a x bac
.
二,1,)11(
)1(
1
2
x
x；
2,)11(
1
1
ln
2
1
x
x
x
.
一、泰勒级数上节例题 )11()1l n ()1(
1
1
xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数问题,1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n
nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
内具有任意阶导数,且在 )(
0
xU
内 能 展开成 )(
0
xx? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
)(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx?
),2,1,0()(!1 0)( nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
泰勒系数如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( nf n且
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除?
在 x=0点任意可导,
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU? 内收敛于 )( xf? 在 )( 0xU? 内 0)(l i m?
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
),()()( 1 xsxfxR nn
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn
)(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn
)]()([lim 1 xsxf nn )(lim xR nn,0?
),()(lim 1 xfxs nn即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0 M,对
),(
00
RxRxx,恒有 Mxf
n
)(
)(
),2,1,0(n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx 内可展开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()(?
n
n
n xxn
fxR
,)!1(
1
0
n
xxM n
),( 00 RxRxx,),(
)!1(0
1
0 收敛在
n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0?
n
xx n
n,0)(lim xR nn故
.0 的泰勒级数可展成点 x?
),( 00 RxRxx
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收例 1
解
.)( 展开成幂级数将 xexf?
,)()( xn exf? ),2,1,0(.1)0()( nf n
nx xnxxe !1!211 2
,0M 上在 ],[ MM? xn exf?)()( Me?
),2,1,0(n nx x
nxxe !
1
!2
11 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 xxnxxe nx
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf?
解 ),2s i n()()( nxxf n,2s i n)0()( nf n
,0)0()2( nf,)1()0()12( nnf ),2,1,0(n
)()( xf n且 )2s i n (
nx 1? ),(x
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),(x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf
解,)1)(1()1()()( nn xnxf
),1()1()0()( nf n?),2,1,0(n
nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1l i m?
1 n n,1?,1 R
若内在,)1,1(?
nxn nxxs ! )1()1(1)(
1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm
利用
)()1( xsx
1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs
,1)( )( xxs xs,1)0(?s且两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx
)1,1(x
得 ),1l n()0(ln)(ln xsxs
即,)1l n ()(ln xxs
,)1()(?xxs
)1,1(x
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1,1(x
牛顿二项式展开式注意,,1 的取值有关处收敛性与在x
);1,1(1 收敛区间为
];1,1(11 收敛区间为
].1,1[1 收敛区间为有时当,21,1
)1,1()1(11 1 32 nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方法,求展开式,
例如 )(s i nco s xx
)!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),(x
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
x xdxx 0 21a rc ta n
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[x
x xdxx 0 1)1l n(
nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成?
)1(3
1
4
1
xx?
,
)
3
11(3
1
x
])3 1()3 1(3 11[31 2 nxxx
31x
xxx
x
4
1)1(
4
1
n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf?故
,31n?
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之,
一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
1,
x
a ； 2,)1l n ()1( xx ;
3,xa r c s i n ； 4,
3
)1(
1
x
x
.
二,将函数
3
)( xxf? 展开成 )1(?x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2
xx
xf 展开成 )4(?x 的幂级数,
四,将级数?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成 )1(?x
的幂级数,
练 习 题练习题答案一,1,)(
!
)(l n
0
xx
n
a
n
n
n；
2,)11(
)1(
)1(
1
1
1
xx
nn
x
n
n
n；
3,)11()
2
(
)12()!(
)!2(2
1
12
2
x
x
nn
n
x
n
n；
4,)1,1(
1
12
n
n
xn,
二, )1(
2
3
1 x?
0
2
2
)
2
1
(
2)2)(1(
3
)!(
)!2(
)1(
n
n
n
n
x
nnn
n
)20( x,
三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
0
11
n
n
nn
x,
四,?
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
x
n
),()1(
)!12(2
)1(
2
1
c o s
0
12
n
n
n
n
x
n
.
一、近似计算
,21 naaaA
,21 naaaA
.21 nnn aar误差两类问题,
1.给定项数,求近似值并估计精度 ;
2.给出精度,确定项数,
关健,通过估计余项,确定精度或项数,
常用方法,
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 ;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,
例 1,10,5?使其误差不超过的近似值计算 e
解,!1!211 2 nx xnxxe
,1?x令,!1!2111 ne得余和,
)!2( 1)!1( 1 nnr n )211()!1( 1 nn
))1( 1111()!1( 1 2 nnn !1nn
,10 5nr欲使,10!1 5 nn只要
,10! 5 nn即,10322560!88 5而
!8
1
!3
1
!2
111e 7 1 8 2 8.2?
例 2
.
,9s i n
!3
s i n 0
3
并估计误差的近似值计算利用
x
xx
解 20s i n9s i n 0,)20(6120 3
5
2 )20(!5
1r 5)2.0(
1 2 0
1?
3 0 0 0 0 0
1?,10 5
0 0 0 6 4 6.01 5 7 0 7 9.09s i n 0 1 5 6 4 3 3.0?
其误差不超过,510?
二、计算定积分
.,
,
ln
1
,
s i n
,
2
难以计算其定积分函数表示原函数不能用初等例如函数
xx
x
e x?
解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数第四项 30001!77 1,10 4
取前三项作为积分的近似值,得
!55
1
!33
11s i n1
0 dxx
x 9461.0?
例 3,10,
s i n 41
0
精确到的近似值计算 dx
x
x
642 !71!51!311s i n xxxx x解 ),(x
!77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x
收敛的交错级数三、求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和,
(1)直接法 ; (2)拆项法 ; (3)递推法,
例 4,2
1a rc t a n
1
2 的和求?
n n
解,21a rct a n1?s
8
1a rcta n
2
1a rcta n
2s
8
1
2
1
1
8
1
2
1
a r c t a n
,32a r c t a n?
18
1a rcta n
3
2a rcta n
18
1a rcta n
23 ss,4
3a r c t a n?
1a rcta n1a rcta n n ns n )(4 n
.42 1a r c t a n
1
2
n n
故
,1a rcta n1 kks k假设
22
1a rcta n1a rcta n
kk
ks
k?
,
1a rcta n k
k
2.阿贝尔法 (构造幂级数法 ):
,l i m
010
n
n
nx
n
n xaa
,)(
0
n
n
n xaxs?
求得
).(lim
10
xsa
xn n
(逐项积分、逐项求导 )
例 4,2
12
1
的和求?
n
n
n
解,2 12)( 22
1
n
n
n x
nxs令 )2,2(?
1 0
22 )
2
12()(
n
x n
n dxx
nxs
1
12
)2(
n
n
nx
))2(1(
1
2
n
nx
x )2
1(
2
2
xxx
)2( 2 xx,)2( 2 22
2
x
x
22
2
1 )2(
2l i m
x
x
x?
)(lim1 xsx,3?,32
12
1
n
n
n故例 5,2!
1
2
的和求?
n
nn
n
解,!)(
1
2
n
n
xnnxs?
令 ),(
n
n
xn nnnxs?
1 !
)1()(? n
n
n
n
xnxnn
11 )!1(
1
!
)1(
01
2
!)!( n
n
n
n
n
xx
n
xx
xx xeex )1(2
,)1( xxe x
1
2
2!n nn
n )
2
1(s?
2
1)1
2
1(21 e,
4
3 e?
四、欧拉公式复数项级数,
)()()( 2211 nn jvujvujvu
.),3,2,1(,为实常数或实函数其中nvu nn若?
1n
nuu,?
1n
nvv,
则称级数?
1
)(
n
nn ivu 收敛,且其和为 ivu?,
若
222
2
2
2
2
1
2
1 nn vuvuvu 收敛,
则?
1n
nu,?
1n
nv 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛,复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式
,!!21
2
nxxxe
n
x
,)!12()1(!5!3s i n
12
1
53
n
xxxxx nn
,)!2()1(!4!21c o s
242
nxxxx
n
n
)( x
)( x
)( x
的幂级数展开式由 xe
njx jxnjxjxe )(!1)(!211 2
)
)!12(
)1(
!3
1
(
)
)!2(
)1(
!2
1
1(
12
3
2
2
n
x
xxj
n
x
x
n
n
n
n
xjx s i nco s
xcos
xsin
xjxe jx s i nco s
j
ee
x
ee
x
jxjx
jxjx
2
s i n
2
c o s
xjxe jx s i nco s又揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系,
欧拉公式
)s i n( co s yjyee xjyx
五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分，
２、微分方程的幂级数的解法,(第十二节介绍 )
求数项级数的和，欧拉公式的证明；
思考题利用幂级数展开式,求极限,s i na rc s i nlim 3
0 x
xx
x
思考题解答
,542 31321a r c s i n
53
xxxx
,!5 33!3 3341s i n 5
5
3
3
3
xxx
)1(?x
)(x
,s i na rcs i nlim 3
0 x
xx
x
将上两式代入
542
31
32
1
lim
53
0
xx
xx
x
5533
!5
33
!3
33
4
1 xx原式 =
)(
)(
6
1
l i m 33
33
0 xox
xox
x?
,6
1
一,利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值,
1,3ln ( 精确到 0 0 0 1.0 ) ；
2,
2c o s ( 精确到 0 0 0 1.0 ).
二,利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分
5.0
0
a r c ta n
dx
x
x
( 精确到 0 0 1.0 ) 的近似值,
三,将函数 xe
x
c o s 展开成 的幂级数x,
练 习 题练习题答案一,1,1.09 86 ； 2,0.9 994,
二,0.487,
三,),(
!4
c o s2c o s
0
2
n
n
x
n
xn
xe
.
( 提示,
xj
xjx
eexe
)
4
s i n
4
( c o s2
)1(
ReRec o s
)
一、问题的提出有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对于一般的函数项级数是否如此？
问题,
解
,)( nn xxs?且 得和函数：
因为该级数每一项都在 [0,1]是连续的，
,1,1
,10,0)(lim)(
x
xxsxs
nn
.1)( 处间断在和函数?xxs
例 1 考察函数项级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
和函数的连续性．
函数项级数的每一项在 ],[ ba 上连续，并且级数在 ],[ ba 上收敛，其和函数不一定在 ],[ ba 上收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及积分．
结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题二、函数项级数的一致收敛性设有函数项级数?
1
)(
n
n
xu,如果对于任意给定的正数?,都存在着一个只依赖于? 的自然数 N,使得当 Nn? 时，对区间 I 上的一切
x,都有不等式
)()()( xsxsxr
nn
成立，则成函数项级数?
1
)(
n
n
xu 在区间 I 上一致收敛于和 )( xs,也称函数序列
)( xs
n 在区间
I 上一致收敛于
)( xs
．
定义只要 n 充分大 )( Nn?,在区间 I 上所有曲线 )( xsy n? 将位于曲线
)( xsy 与 )( xsy 之间,
x
y
o I
)( xsy
)( xsy
)( xsy?
)( xsy n
几何解释,
研究级数
1
11
1
1
2
1
1
1
nxnxxxx
在区间 ),0[ 上的一致收敛性,
例 2
解,1)( nxxs n
)0(01lim)(lim)(
xnxxsxs
nnn
余项的绝对值
)0(11)()( xnnxxsxsr nn
对于任给 0,取自然数?1?N,
则当 Nn? 时，对于区间 ],0[ 上的一切 x,
，有)( xr n根据定义，
所给级数在区间 ],0[ 上一致收敛于,0)(?xs
例 3 研究例 1中的级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
在区间 ( 0,1]内的一致收敛性,
解 该级数在区间 ( 0,1) 内处处收敛于和 0)(?xs,
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数,n 取 nnx 21?,于是
,21)( nnnn xxs
,0)(?nxs但,21)()()( nnnnn xsxsxr从而
只要取
2
1
,不论 n 多么大，在 ( 0,1 ) 总存在点 nx,,)(
nn xr使得因此级数在 ( 0,1 )内不一致连续．
说明,
从下图可以看出,
但虽然函数序列 nn xxs?)( 在 ( 0,1 )内处处
,0)(?xs )(xsn 在 ( 0,1 )内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．
o x
y (1,1) nn xxsy )(
1?n 2?n
4?n 10?n
30?n
1
一致收敛．
上，这级数在注意：对于任意正数 ],0[1 rr?
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
定理 （魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法）
如果函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上满足条件,
(1) )3,2,1()( naxu
nn;
( 2 ) 正项级数?
1n
n
a 收敛,
则函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
一致收敛性简便的判别法：
证由条件 ( 2 ),对任意给定的 0,根据柯西审敛原理存在自然数 N,使得当 Nn? 时，对于任意的自然数 p 都有
.221 pnnn aaa?
由条件 ( 1 ),对任何 Ix?,都有
)()()(
21
xuxuxu
pnnn
)()()(
21
xuxuxu
pnnn
,221 pnnn aaa?
令p,则由上式得
2
)( xr n,
因此函数项级数?
1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
例 4 证明级数
2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在 ),( 上一致收敛,
证? 在 ),( 内
),3,2,1(1s i n 22
2
nnn xn
级数?
1
2
1
n n
收敛，
由魏尔斯特拉斯判别法，
所给级数在 ),( 内一致收敛．
三、一致收敛级数的基本性质定理 1
如果级数?
1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上也连续,
证设 xx,0 为ba,上任意点．由
)()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn
)()()()( 00 xrxrxsxs nnnn (1)
)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn
级数?
1
)(
n
n xu 一致收敛于 )( xs,
对 0,必? 自然数 )(?NN?,使得当 Nn? 时,
对ba,上的一切 x 都有
3)(
xr
n (2)
.3)( 0xrn同样有故 )( xs n ( Nn? ) 在点 0x 连续，
(3)0 当 0xx 时总有 3)()( 0
xsxs
nn
由 (1),(2),(3)可见,对任给 0,必有 0,
当 0xx 时，有,)()( 0 xsxs
)( xs n 是有限项连续函数之和，
所以 )( xs 在点 0x 处连续, 而 0x 在 [ ba,] 上是任意的，因此 )( xs 在 [ ba,] 上连续．
定理 2
如果级数?
1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上可以逐项积分,
即
x
x
x
x
x
x
dxxudxxu
dxxs
00
0
)()(
)(
21 x
x n dxxu0 )(
其中 bxxa 0,并且上式右端的级数在
[ ba,] 上也一致收敛,
(4)
证? 级数?
1
)(
n
n xu 在 [ ba,] 一致收敛于 )( xs,
由定理 1,)( xs,)( xr
n
都在 [ ba,] 上连续，
所以积分?
x
x
dxxs
0
)(,?
x
x n
dxxr
0
)( 存在,从而有
xx nxx dxxsdxxs
00
)()(? xx n dxxr
0
)(.)(
0?
xx n dxxr
又由级 数的一 致收 敛性,对任 给正数? 必有
)(?NN? 使得当 Nn? 时,对 [ ba,] 上的一切 x,都有,)(
abxrn
xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )(
.)( 0 xxqb 根据极限定义，有
n
i
x
x nn
x
x nn
x
x dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(
即
1 00
)()(
i
x
x i
x
x dxxudxxs
由于 N 只依赖于? 而于 xx,0 无关，
所以级数
1 0
)(
i
x
x i
dxxu 在 [ ba,] 上一致收敛,
于是，当 Nn? 时有定理 3
如果级数?
1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上收敛于和 )( xs,它的各项 )( xu
n
都具有连续导数
)( xu
n
，并且级数?
1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上一致收敛，
则级数?
1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上也一致收敛，且可逐项求导，即
)()()()(
21
xuxuxuxs
n
(5)
注意,级数一致收敛并不能保证可以逐项求导,
例如，级数
2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在任何区间 ],[ ba 上都是一致收敛的,
逐项求导后得级数
,c o s2c o sc o s 22 xnxx
.
,
发散的都是所以对于任意值因其一般项不趋于零 x
所以原级数不可以逐项求导．
定理 4
如果幂级数?
1n
n
n
xa 的收敛半径为 0?R,
则其级数在 ),( RR? 内的任意闭区间 [ ba,] 上一致收敛,
进一步还可以证明，如果幂级数?
1n
n
n
xa 在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点．
幂级数的一致收敛性定理 5
如 果 幂 级 数?
1n
n
n
xa 的 收 敛 半 径 为
0?R,则其和函数 )( xs 在 ),( RR? 内可导，且有逐项求导公式
1
1
1
)(
n
n
n
n
n
n
xnaxaxs,
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．
证在 ),( RR? 内任意取定 x,在限定 1x,使得
Rxx
1,记 1
1
x
x
q,则先证级数?
1
1
n
n
n xna 在 ),( RR? 内收敛．
,11 1
1
1
1
1
1
1
1 n
n
nn
n
n
n
n xaxnqxaxx
xnxna
由比值审敛法可知级数?
1
1
n
nnq 收敛，
),(01 nnq n于是故数列 1?nnq 有界，必有 0?M,使得
),2,1(1
1
1 nM
xnq
n
又 Rx 10,级数?
1
1
n
n
n xa 收敛，
由比较审敛法即得级数?
1
1
n
n
n xna 收敛,由定理 4,级数?
1
1
n
n
n
xna 在 ),( RR? 内的任意闭区间 [ ba,] 上一致连续，
故幂级数?
1n
n
n
xa 在 [ ba,] 上适合定理 3 条件，从而可以逐项求导．
即得幂级数?
1n
n
n xa 在 ),( RR? 内可逐项求导,
设幂级数?
1
1
n
n
n xna 的收敛半径为 R?,,RR
由 [ ba,] 在 ),( RR? 内的任意性，
将此幂级数?
1
1
n
n
n
xna 在 [ x,0 ] )( Rx 上逐项积分即得,
1
n
n
n
xa
因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，
,RR所以,RR于是即?
1
1
n
n
n xna 与?
1n
n
n xa 的收敛半径相同．
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义；
2、一致收敛级数的判别法 ——魏尔斯特拉斯判别法；
4、幂级数的一致收敛性．
3、一致收敛级数的基本性质；
练 习 题上一致收敛．在任一有限区间证明之差的绝对值小于正数与其极限时能使当取多大问
．上收敛于在一、已知函数序列
],[)(.2;
)(,,),(.1
0
),(),3,2,1(s i n
baxs
xsNnxN
n
n
x
s
n
n
n
上的一致收敛性．
在区间二、按定义讨论级数 ),(
)1(
)1( 2
2
1
1
n
n
n
x
x
.0,.2;,
2
c o s
.1
1
2
1
xex
x
nx
n
nx
n
n
区间上的一致收敛性．
所给判别法证明下列级数在三、利用魏尔斯特拉斯练习题答案
．取自然数一,?xN?.1
二、一致收敛．
第十章习题课常数项级数 函数项级数一般项级数正项级数幂级数 三角级数收敛半径
R
泰勒展开式数或函数 函 数数任意项级数泰勒级数
0)(?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数
0xx?取在收敛 级数与数条件下 相互转化
1n
nu
一、主要内容
n
n
n uuuuu 321
1
1、常数项级数常数项级数收敛 ( 发散 )? nn slim 存在 ( 不存在 ),
n
i
inn uuuus
1
21?级数的部分和定义级数的收敛与发散性质 1,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
性质 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
.0lim nn u级数收敛的必要条件,
收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
一般项级数
4.绝对收敛定义
0,
1
n
n
n uu
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
2、正项级数及其审敛法审敛法
(1) 比较审敛法若?
1n
nu 收敛 ( 发散 ) 且 )( nnnn vuuv,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ),
(2) 比较审敛法的极限形式设?
1n
n
u 与?
1n
n
v 都是正项级数,如果 l
v
u
n
n
n
lim,
则 ( 1 ) 当 l0 时,二级数有相同的敛散性 ;
( 2 ) 当 0?l 时，若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛 ;
( 3 ) 当
l
时,若?
1n
n
v 发散,则?
1n
n
u 发散 ;
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nulim ),
则级数?
1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu 收敛,
(3) 极限审敛法
(4) 比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 )
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法 )设?
1n
nu 是正项级数,
如果
n
n
n
ul i m )(为数或?,
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
定义 正,负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,则级数收敛,且其和
1
us?,其余 项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
)0(?nu其中
3、交错级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
0n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
4、任意项级数及其审敛法
5、函数项级数
(1) 定义设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()(
21
1
xuxuxu
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
(2) 收敛点与收敛域如果 Ix?
0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
(3) 和函数在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数
)( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(1) 定义形如 n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,00 时当?x
其中 na 为幂级数系数,
6、幂级数
n
n
n xa?
0
如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;
(2) 收敛性如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
a.代数运算性质,
加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xc
(其中
21,m i n RRR?
)nnn bac
RRx,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
(3)幂级数的运算乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
除法
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc
)0(
0
n
n
n xb收敛域内
b.和函数的分析运算性质,
幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
7、幂级数展开式 如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
(1) 定义定理 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU? 内收敛于 )( xf? 在 )( 0xU? 内 0)(l i m?
xR n
n
.
(2) 充要条件
(3) 唯一性定理 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
内 能 展开成 )(
0
xx?
的幂级数,即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
,
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
(3) 展开方法
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方法,求展开式,
),(!1!211 2 xxnxxe nx
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),(x
)!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),(x
(4) 常见函数展开式
)1,1(x
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1ln( x nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(x
(5) 应用
a.近似计算
b.欧拉公式
,si nco s xixe ix
,2c o s
itit ee
t
,2s i n ieet
itit
二、典型例题 ;
)
1
(
)1(
:
1
1
n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性例 1
解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2
;10 e
x
x
n
n xn
11 li mli m
}ln
1limex p { x
xx
}1limex p { x
x;10 e
,01lim nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数收敛．;
2
3
c o s
)2(
1
2
n
n
nn
解,22 3
c o s 2
nnn
n
nn
u?
,
2 nn
nv?令
n
n
v
v n
nn
n
n
n
2
2
1li mli m
1
1
n
n 2
lim?
,12
1
,2
1
收敛?
n
n
n根据比较判别法,原级数收敛．
1
).0(
)1(
)2l n ()3(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
,)2ln (li m1 n
n
na
,2,2 nenn 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn
,1li m nn n由于,1)2ln (li m nn n,1l i m aun nn
,1100 时即当 aa 原级数收敛；
,1110 时即当 aa原级数发散；
,1 时当?a
,
)11(
)2l n (
1
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim
nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收散，是否收判断级数?
1 ln
)1(
n
n
nn
例２
解,1ln1 nnn,1
1
发散而?
n n
,ln1ln )1(
11
发散
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
,01lim
xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim?
n
n
n
nn nn
),0(ln)( xxxxf?
),1(011)( xxxf
,),1( 上单增在,ln1 单减即 xx?
,1ln1 时单减当故 nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数?
n
nxn
例３
解,1)1)(1(
0
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 x收敛域为,20 x即则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
n
nxnxs
两边逐项积分
0
1
1)1(
n
xnx
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
x
x,
2
1
x
x
求导，得两边再对 x
)2 1()( xxxs,)2( 1 2
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数展开成麦将 xxxxf
例 4
解,32)1ln (
32
xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22
n
xxxxx nn
)11( x
x dxxx 0 21 1a rct a n又
x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( x
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22
n
n
n
nn
x)11( x
的幂级数．成的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
x
n
x n
n
n
n
例 5
解
．设法用已知展开式来解的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 xx
0
12
0
2
1
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
co s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),(
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)?
1
1
n
n； (B )?
1
1
n
nn；
( C)?
1
3 2
1
n n； (D)?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
n
n
n； ( D)?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
测 验 题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A )?
1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B)?
1
!3
n
n
n
n
n；
(C )?
2
2
s i n
1
n
n
； (D )?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列ns 有界是正项级数?
1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
5,设 a 为非零常数,则当 ( ) 时,级数?
1n
n
r
a
收敛,
(A ) 1?r ； ( B) 1?r ；
(C ) ar? ； ( D) 1?r,
6,幂级数?
1
1
)1(
)1(
n
n
n
n
x
的收敛区间是 ( ),
(A)
)2,0(； ( B)
)2,0[；
(C)
]2,0(； ( D)
]2,0[
.
7,若幂级?
0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R
1
0 R ;
0n
n
n
xb 的收敛半径为,
2
R
2
0 R,则幂级数
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至少为 ( )
( A) 21
RR?； (B) 21
RR?；
( C)
21
,m a x RR； (D)
21
,m i n RR
,
8,当
0?R
时,级数
2
1
)1(
n
nk
n
n
是 ( )
( A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；
( C) 发散； (D) 敛散性与值无关k
.
9,0lim?
n
n
u 是级数?
1n
n
u 收敛的 ( )
( A) 充分条件； (B ) 必要条件；
( C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
10,幂级数?
1
)1(
n
n
xnn 的收敛区间是 ( )
( A)
)1,1(?； (B)
]1,1(?；
(C)
)1,1[?； ( D)
]1,1[?
.二,判别下列级数的收敛性,
1,?
1
2
2
2
)!(
n n
n； 2,?
1
2
2
3
c o s
n
n
n
n
.
三、判别级数
1
1
ln)1(
n
n
n
n
的敛散性,
四、求极限 ])2(842[l i m
3
1
27
1
9
1
3
1
n
n
n
,
五,求下列幂级数的收敛区间,
1,
1
53
n
n
nn
x
n； 2,
1
2
2
n
n
n
x
n
,
六,求幂级数
1
)1(
n
n
nn
x
的和函数,
七,求数项级数
1
2
!
n
n
n
的和,
八,试将函数
2
)2(
1
x?
展开成的幂级数x
,
测验题答案一,1,B ； 2,B ； 3,C ； 4,C ； 5,D ；
6,C ； 7,D ； 8,A ； 9,B ； 1 0,A,
二,1,发散； 2,收敛,
三、条件收敛,
四、
4
8
,( 提示,化成
n
n
33
2
3
1
2
2 )
五,1,)
5
1
,
5
1
[? ； 2,)2,2(?,
六、
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
x
xs,
七、
e2
.
八,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
xx
n
x
n
n
n
