一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
g
tt
瞬时速度,0gt?
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放
T
0x xo x
y )(xfy?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0xxMN C 沿曲线的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
二、导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
或即
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
★
关于导数的说明：
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
★
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近函数,
★
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,★
如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及
)( bf 都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)(
0 存在xf
★
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)()( 00 axfxf且
.)( 0 axf且三、由定义求导数步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0l i m
.0?
.0)(C即例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解 h xhxx h s in)s in (li m)( s in 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
co s)( s i n?
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)(?x例如,12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x
0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
.ln aa x?
.ln)( aaa xx即,)( xx ee
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0
.l o g1)( l o g exx aa即,
1)(ln
xx
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
00 li m
)0()0(li m,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx )( 0xfxy
xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 x?
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
注意,该定理的逆定理不成立,
★
3 1 xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 xxx
.0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x
x
x
x
y
00
1s i n)0(
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
0)(lim)0( 0 xff x?
六、小结
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值．
一,填空题：
1,设 )( xf 在
0
xx? 处可导，即 )(
0
xf? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
2,已知物体的运动规律为
2
ts?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3,设
3 2
1
)( xxy?,
2
2
1
)(
x
xy?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy?,则它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4,设 2)( xxf?,则 )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
)( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,曲线 xey? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf? 存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1,A
xx
xfxf
xx
0
0
)()(
l i m
0；
2,A
h
hf
h
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
且存在；
3,A
h
hxfhxf
h
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f?
存在，则
0)0(f
.
四,设函数
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条件，
)( xf
在 0?x 处 ( 1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在 1?x 处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf,求 )( xf,
一,1,
)(
0
xf?； 2,
)(
0
xf；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2
x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5,
01 yx
,
二,1,
)(
0
xf?； 2,
)0(f?； 3,
)(2
0
xf?
,
四,(1) 当 0?k 时,
)( xf
在 0?x 处连续；
(2) 当 1?k 时,
)( xf
在 0?x 处可导,且
0)0(f；
(3) 当 2?k 及 0?x 时,
)( xf?
在 0?x 处连续,
五、
1,2 ba
,
六,
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf,,
练习题答案一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnco ss in2
xxxy lnc o sc o s2 xxx ln)s i n(s i n2
xxx
1co ss i n2
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in
x
xx
2
22
c o s
s inc o s x
x
2
2 s ecco s
1
.s e c)( t a n 2 xx即
.c s c)( c o t 2 xx同理可得例 4,s e c 的导数求 xy?
解 )co s1()( s ec xxy
x
x
2co s
)( co s,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx同理可得例 5,s i n h 的导数求 xy?
解 ])(21[)( s i n h xx eexy )(21 xx ee,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h xx 2c o s h
1)( t a nh
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf?
求设解,1)( xf,0时当?x
,0时当?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
)11l n (1lim 0 xhhh
,1 1 x
,0时当?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
,1?
.1)0( f
.0,
1
1
0,1
)(
x
x
x
xf
三、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu
.)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
思考题解答
232 xy 令 0y 032 2 x
3
2
1?x 3
2
2x
切点为?
9
64,
3
2?
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64y和一,填空题：
1,设 xxy s i n,则 y? = __ __ _ __ _ __,
2,设
x
eay
xx
2
3,则
dx
dy
=_ __ __ __ _ __,
3,设 )13(
2
xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __ _ __ __ __ _,
4,设
1se ct a n2 xxy
,则
y?
= __ _ __ __ __,
5,设
55
3
)(
2
x
x
xfy?
,则 )0(f
= __ _ __ __ _.
6,曲线 xy s i n
2
在
0?x
处的切线轴与 x
正向的夹角为 __ __ __ __ _,
练 习 题二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
； 2,
110
110
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
； 4,
t
t
xf
1
1
)(,求 )4(f；
5,)0,0(
ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
与
x
轴交点处的切线方程,
一,1,)c o s
2
s i n
( x
x
x
x? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx?； 5,
25
3； 6,
4
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
； 2,
2
)110(
10ln210
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
； 4,
18
1；
5,)(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b?
.
四、
022 yx
和
022 yx
.
练习题答案一、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx?任取 x?以增量给的单调性可知由 )( xfy?,0y
于是有
,1
y
xx
y
,)( 连续xf?
),0(0 xy 0)( y?又知
x
yxf
x?
0l i m)(
y
xy
1lim
0
)(
1
y
.)(1)( yxf即
),0( xIxxx
例 1,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)( s in yy且 内有在 )11( xI
)( s in
1)( a r c s in
yx ycos
1?
y2s i n1
1
.1 1 2x
.1 1)( a r c c o s 2xx同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx
)rcs in?x
.1 1)co t( 2xxarc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
特别地,1)( ln xx
二、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy? )(l i m 00 ufuyu
)0lim()( 00 uufuy故
uuufy)( 0则
x
y
x?
0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x?
x
u
x
uuf
xxx?
0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf
推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
例 3,s inln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 xy
解 )1()1(10 292 xxdxdy
xx 2)1(10 92,)1(20 92 xx
例 5,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy
解 )a r c s in2()2(
2
22
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
.22 xa
)0(?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 xxxy )2(3
1
12 xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey?
解 )1( s in
1s i n
xey x )1(1co s
1s i n
xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x
三、小结反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf?在 处不可导，0?x?)1(
取 4)( xxgu 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf在 处可导，0?x?)2(
一,填空题,
1,设 4
)52( xy
,则
y?
= _ _______ ___,
2,设
xy
2
s i n?
,则
y?
= _ _______ ____,
3,设
)a r c t a n (
2
xy?
,则
y?
= _ _______ ____,
4,设
xy c o sln?
,则
y?
= _ _______ __ __,
5,设 xx
y
2t a n
10?
，则
y?
= _ _______ ____,
6,设
)( xf
可导，且 )( 2xfy?,
则
dx
dy
= _ _______ ___,
7,设 x
k
exf
t a n
)(?,则 )( xf? = _ _______ __,
若 ef?
4
，则
k
_ _______ ___,
练 习 题二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n；
3,)l n (
22
xaxy ； 4,)c o tl n ( csc xxy ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y? ； 6,
x
ey
a r c ta n；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n； 8,
x
x
y
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0(?f,0)0(f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明)( xfF 在 0?x 处也可导,
一,1,
3
)52(8?x ； 2,x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x；
4,xt a n? ； 5,)2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx；
6,)(2
2
xfx? ； 7,xxke
kx
k
21t a n
s e cta n
,
2
1
.
二,1,
1
22
xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx?；
3,
22
1
xa?； 4,xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x；
练习题答案
7,
22
)( a r c c o s12 xx?； 8,
)1(2)1(
1
xxx
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
.
初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1） vuvu)(,（ 2） uccu)(
（ 3） vuvuuv)(,（ 4） )0()( 2 vv vuvuvu,
( 是常数 )C
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy
解 )(2 1 xxxxxxy
))(2 11(2 1 xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
例 2,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy
)( s i n)( s i n1 nnn xxn 1co s n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
小 结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf? ),(x
在 处不可导，0?x?)1(
2)( xxf? ),(
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题,
1,设
n
x
x
y
ln
,则 y? = _ _______ __,
2,设
x
y
1
c o sln?,则 y? = _ _______ __,
3,设 xxy,则 y? = _ _______ __,
4,设
tt
tt
ee
ee
y
,则 y? = _ _______ _,
5,设 )9 9 9()2)(1()( xxxxxf则
)0(f? = __ _______ _,
二,求下列函数的导数,
1,)1t an ( 2xy ；
2,?y s i ncar )1( 2?x ；
练 习 题一,1,
1
ln1
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
4
12；
4,
t
2
c o s h
1； 5,- 999!,
练习题答案一、高阶导数的定义问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs?设 )()( tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
.,),( 3
3
dx
ydyxf
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy 求设解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx
))1( 2( 22 x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
022 )1(
2)0(
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
xx
xf;0?,2
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2xy
)1()1()1()( nxny nn?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy?,!n? )!()1( ny,0?
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设
解注意,
xy 1
1
2)1(
1
xy
3)1(
!2
xy 4
)4(
)1(
!3
xy
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s i n )( nyxy 求设?
解 xy c o s )2s i n ( x
)2co s ( xy )22s i n ( x )22s i n ( x
)22co s ( xy )
23s i n (
x
)2s i n ()( nxy n
)2co s ()( co s )( nxx n同理可得例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设?
解 bxbebxaey axax c o ss i n
)c o ss i n( bxbbxae ax
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax
)]co s ()s i n ([22 bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 bxbaeba ax
)s i n ()( 222)( nbxebay axnn )a rct a n( ab
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
莱布尼兹公式例 6,,)20(22 yexy x 求设?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx )1()1()()4( )(?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)(
)2s in ()( s in)2( )( nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设
解 )1111(21112 xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( xxy
])1( 1)1( 1[60 66 xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设
解 3232 )( c o s)( s i n xxy
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n
x2s i n431 2 2 4co s1431 x
x4co s8385
).24co s (483)( nxy nn
三、小结高阶导数的定义；
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf
求,)(af
思考题解答
)(xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf
)( xg 不一定存在 故用定义求 )(af
)(af ax afxfax )()(lim 0)( af
ax
xf
ax?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax )(2 ag?
一,填空题：
1,设
t
e
t
y
s i n
则 y =__ __ __ ___,
2,设
xy t an?
,则 y
= ___ __ ___ _.
3,设 xxy a r c ta n)1(
2
,则 y
= _ ___ __ __.
4,设
2
x
xey?,则
y
= ___ __ ___ _.
5,设 )(
2
xfy?,
)( xf
存在，则
y
= __ ___ __ __,
6,设
6
)10()( xxf,则
)2(f
=___ __ ___ _.
7,设
nn
nnn
axaxaxax
1
2
2
1
1
( n
aaa,,,
21
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
)1(
xf
n?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题二,求下列函数的二阶导数：
1,
x
xx
y
42
3
；
2,xxy lnc o s
2；
3,)1l n (
2
xxy,
三,试从
ydy
dx
1
，导出：
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
；
2,
6
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
,
五、验证函数 xx ececy 21 (?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 yy?,
六,求下列函数的 n 阶导数：
1,xey
x
c o s? ；
2,
x
x
y
1
1；
3,
23
2
3
xx
x
y ;
4,
xxxy 3si n2si nsi n?
.
一,1,te
t
c o s2
； 2,xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c t a n2
x
x
x
； 4,)23(2
2
2
xxe
x；
5,)(4)(2
222
xfxxf ； 6,20 736 0 ；
7,!n ； 8,)!1(?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ；
3,
2
3
2
)1( x
x
.
练习题答案六,1,)
4
c o s ()2(
nxe
xn；
2,
1
)1(
!2
)1(
n
n
x
n；
3,)2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
n
xx
n
nn
n；
4,)
2
2s i n (2[
4
1?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
n
x
n
x
nn
.
一、隐函数的导数定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
.1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
得41
1
0
y
xy,1,0 yx代入,16
1
1
0
y
xy
二、对数求导法观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x 求设例 5
解
.),0(s i n yxxy x 求设等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1
)1s inln( co s xxxxyy
)s inln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt?
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
消去参数问题,消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,)( )( 中在方程
ty
tx
,)( )( 二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
即例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
c o s1
s i n
taa
ta
co s
s i n
2
co s1
2
s i n
2
tdx
dy
.1?
.方程处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n(
t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
c o s
s i n
0
0
v
gtv
.co ss i n
0
00
0?
v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
00 s i n gtv
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
例 8
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
tta n
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
)co s(
)t a n(
3?
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
ta
t
s i n3
s e c 4?
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 9
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
5 0 0ta n
h
求导得上式两边对 t dtdhdtd 5 0 01s ec 2
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2米时当 h
)/(14.0 分弧度 dtd? 仰角增加率
米500
米500
例 10
解
,20
,1 2 0,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 h
五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
t
y
x
)0)(( t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
,对吗？
思考题解答不对．
xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt
t
一,填空题,
1,设
01552
223
yxyyxx
确定了
y
是 x 的函数，则
)1,1(
dx
dy
= ________,?
2
2
dx
yd
_____ ___,
2,曲线
7
33
xyyx
在点（ 1,2 ）处的切线方程是 ____ _______,
3,曲线
tty
ttx
s i n
c o s
在
2
t 处的法线方 程 ______ __,
4,已知
tey
tex
t
t
s i n
c o s
,则
dx
dy
= ______ ；
3
t
dx
dy
=______,
5,设 yx
exy
,则
dx
dy
=_ _______,
练 习 题二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
,
1,yxey 1 ；
2,
)t a n ( yxy；
3,yx xy?
)00( yx,
,
三,用对数求导法则求下列函数的导数,
1,
2
x
xy? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
x
xx
y ；
3,xexxy 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
tby
tax
s i n
c o s；
2,
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf
存在且不为零,
五,求由参数方程
tty
tx
a r c ta n
)1l n (
2
所确定的函数的三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)(
，求
)( xf?
,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？
八,注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
xxy
yxyyyxxyx；
2,
02311 yx
3,0
22
yx ；
4,32,
s i nc o s
c o ss i n
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
；
2,- )(ta n)(c s c2
32
yxcyx ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
yxy
xxyy
.
练习题答案三,1,)1ln2(
1
2
xx
x；
2,]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
xxxx
xx；
3,]
)1(2
c o t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf
.
五、
3
4
8
1
t
t?
,六、
2
1
2
x
,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
( 米 / 分 ).
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx变到设边长由
,20xA?正方形面积?
2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx?0
xx?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy
),()2( xox 的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo
)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx
三、可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy,)( xxoAxy
x
xoA
x
y
xx?
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy从而
,)( 0 xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx
),0(0 x?
),()( 0 xoxxf
.)(,)( 00 Axfxxf且可微在点函数?
).(,0xfA 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 xxxy
xxdy )( 3?,3 2 x
02.0
2
2
02.0
2 3
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
xx0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设
,21 2
2
x
x
ex
xey
,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131
.)s i nc o s3(31 dxxxe x
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
),()( xfxfy 有导数设函数
dttxfdy )()(
,)( dxdtt,)( dxxfdy
结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
微分形式的不变性
dxxfdy )(
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设
.12,s i n xuuy?
u d udy co s )12()12co s ( xdx
dxx 2)12co s (,)12co s (2 dxx
例 5
解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd
,co s)( s in)1( td ttd
)( s i n1co s tdtd t
.co s)s i n1( td tCtd
);s i n1( td
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd
七、小结微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题函数的增量问题 微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
00
00
它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxfdy
xfxxf
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量方程在点处的切线在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
★
思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题：
1,已知函数
2
)( xxf? 在点 x 处的自变量的增量为
0.2,对应的函数增量的线性全部是
dy
=0,8,那么自变量 x 的始值为 ____ __ ___ _.
2,微分的几何意义是 ____ __ ___ _.
3,若
)( xfy?
是可微函数，则当
0 x
时，
dyy
是关于
x?
的 ___ ___ __ 无穷小,
4,
x d xd?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?
.
5,dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,
6,xdxd 3s e c____________
2
,
7,
x
exY
22
,_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
22
dxdedY
x
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
( a r c ta n
2
x
e
d
,_ _ _ _ _ _ _ _?
x
de,
练 习 题二,求下列的函数的微分,
1,
1
2
x
x
y ；
2,2)]1[ l n ( xy ；
3,21ar c s i n xy ；
4,
2
2
1
1
a r c t a n
x
x
y
；
5,xey x 3c o s3,求
3
x
dy；
6,求由方程 22)c o s ( yxxy?所确定的
y
微分,
一,1,-2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4,Cx
c o s
1；
5,Ce
x
2
2
1； 6,Cx?3ta n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
e
e
4
2
22
.
二,1,dxx
2
3
2
)1(
；
2,dx
x
x
1
)1l n (2
；
练习题答案
3,
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4,dx
x
x
4
1
2；
5,dx3 ；
6,dx
x
y
.
一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时且处的导数在点若
x
xfxxfy
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设,05.0,10 厘米厘米 rr
rrdA 2 05.0102 ).( 2厘米
.)( 0 xxf 00 xxxx dyy
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xxf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?
例 1,0360c o s o 的近似值计算?
解,c o s)( xxf?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf
,3 6 0,30 xx?
.2 3)3(,21)3( ff
)3603co s (0360co s o 3603si n3c os
3602
3
2
1,4 9 2 4.0?;0)(.2 附近的近似值在点求?xxf
.)0()0()( xffxf
,)()()( 000 xxfxfxxf
.,00 xxx令常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
为弧度为弧度证明,1)()1( n xxf设,)1(1)(
11 nx
nxf
.1)0(,1)0( nff
xffxf )0()0()(,1 nx
例 2,计算下列各数的近似值解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03?e
33 5.110005.998)1(
3 )
10 00
5.11(10 00 3 0015.0110
)00 15.0311(10,995.9?
03.01)2( 03.0e,97.0?
三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义：
.,
,
的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy?
,41.2 时当?x ).(80 81.5)41.2( 22 my
41.241.2 2 xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
005.082.4 y?面积的绝对误差为 ).(02 41.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf
00 xxxx dyy,)( 0 xxf
),()()()( 000 xxxfxfxf
,很小时当 x?
,0时当?x
一,填空题：
1,利用公式 ))(()()(
000
xxxfxfxf 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2,当 0?x 时,由 公 式 dyy 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( x ； _ _ _ _ _ _ _ _t a n?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ； _ _ _ _ _ _ _ _002.1ln?,
二,利用微分计算当 x 由?45 变到 0145,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 017453.01 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T 2,其中 9 8 0?g 厘米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多少？
练习题四,求近似值：
1,?1 3 6ta n ； 2,5 0 0 2.0a r c s i n ； 3,3 9 9 6,
五、设 0?A,且 nAB,证明
1?
n
n n
nA
B
ABA,并计算 10 1000 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产（教材 2 - 18 图）所示的扇形板，半径 R =200
毫米，要求中心角? 为?55 产品检验时，一般用测量弦长 L 的办法来间接测量中心角?,如果测量弦长 L
时的误差
L?
= 0.1 毫米，问由此而引起的中心角测量误差
是多少？
一,1,
0
xx? ； 2,002.0,0 1 3 0 9.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1,-0.96 509 ； 2,7430
o； 3,9,9 867,
六,3%.
七,0 0 0 5 6.0 ( 弧度 )= 551
.
练习题答案第二章习题课求 导 法 则基本公式导 数
x
y
x?
0
lim 微 分 xydy
关系
)( xodyydxydyydxdy
高阶导数高阶微分一、主要内容
1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数
,
)(
,,
)(,)(
,0
);()(,)
(
,)(
000
0
0
00
00
0
xxxxxx
dx
xdf
dx
dy
yx
xfyxxfy
xxy
xfxxfyy
xxxxx
xxfy
定义
.)()(limlim 00
000 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
2、基本导数公式
2
2
2
1
1
)( a rc t a n
1
1
)( a rc s i n
ln
1
)( l o g
ln)(
s ec)( s ec
s ec)( t a n
co s)( s i n
0)(
x
x
x
x
ax
x
aaa
x tg xx
xx
xx
C
a
xx
（常数和基本初等函数的导数公式）
2
2
2
1
1
1
)co t(
1
1
)( a rc co s
1
)( l n
)(
cs c)( cs c
cs c)( co t
s i n)( co s
)(
x
x
x
x
x
x
ee
x ct g xx
xx
xx
xx
xx
arc
3、求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1 ） vuvu )(,（ 2 ） uccu)( (c 是常数 ),
（ 3 ） vuvuuv)(,（ 4 ） )0()(
2
v
v
vuvu
v
u
.
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则
.
)(
1
)(
),()(
x
xf
xfyyx
则有的反函数为如果函数
(3) 复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或的导数为则复合函数而设
(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
,)( )( 间的函数关系与确定若参数方程 xyty tx
;
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
(6) 参变量函数的求导法则
4、高阶导数,
)()(
lim))((
0 x
xfxxf
xf
x?
二阶导数记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
.,),( 3
3
dx
ydyxf
二阶导数的导数称为三阶导数,
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
(二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )
5,微分的定义定义
.
),(,
)(,
)(),(
)()()(
,
,)(
0
0
0
00
00
00
xAdy
xdfdyx
xxfyxAx
xfyxA
xoxAxfxxfy
xxxxfy
xx
xx
即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
6、导数与微分的关系
).(,
)()(
00
0
xfAx
xfxxf
且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理
7,微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
arc
函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
8,微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(,xfyx?
dxxfdy )(
二、典型例题例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
求设?
解 0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 xxxx?
!100?
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
求设解,1 2xu设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 uuuy u? 41 1u,2 1 42 xx
)1( 2 xu x,1 2xx
.1)2( 1 23 xxxy x
例 3
.,
45
2
02?
tdx
dy
ttty
ttx
求设解 分析,,,0 不存在时当 tt?
,,,0 不存在时当 dtdydtdxt 不能用公式求导,
tt
ttt
x
y
tx
2
4)(5l i ml i m 2
00 )s g n (2
)]s g n (45[l i m
0 t
tt
t
.0?
.00tdxdy故
.,
)0,0()(
2
2
dx
yd
yxxyxfy yx
求所确定由方程设函数
例 4
解 两边取对数,ln1ln1 xyyx?,lnln xxyy?即
,1ln)ln1( xyy,ln1 1ln yxy
2)ln1(
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
xy
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
yxy
xxyy
).(,)2()( xfxxxxf 求设例 5
解 先去掉绝对值
,
2),2(
20),2(
0),2(
)(
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xf
,0时当?x,0)0()0( ff ;)0(f
,20 时当 x;43)( 2 xxxf,02 时或当 xx;43)( 2 xxxf
,2时当?x
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2?
x
xx
x
.4
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2?
x
xx
x,4?
),2()2( ff,2)( 处不可导在 xxf
,20,43
,0,0
0,2,43
)(
2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
.,)(s i n c o s yxxy x 求设例 6
解 )( l n yyy
)s i nlnc o s( l n xxxy
)s i nc o ss i nlns i n1()( s i n
2
c o s
x
xxx
xxx
x
.,114 )(2
2
ny
x
xy 求设
例 7
解 1
344
1
14
2
2
2
2
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
xx
,)1( !)1()11( 1)( n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( nnnn xxny
一,选择题：
1,函数 )( xf 在点
0
x 的导数 )(
0
xf? 定义为 （ ）
（ A ）
x
xfxxf
)()(
00；
（ B ）
x
xfxxf
xx
)()(
l i m
00
0；
（ C ）
x
xfxf
xx
)()(
lim
0
0；
（ D ）
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx
；
2,若函数
)( xfy?
在点 0
x
处的导数
0)(
0
xf
，则曲线
)( xfy?
在点 (
)(,
00
xfx
) 处的法线 （ ）
（ A ）与
x
轴相平行； （ B ）与
x
轴垂直；
（ C ）与 y 轴相垂直； （ D ）与
x
轴即不平行也不垂直：
测 验 题
3,若函数 )( xf 在点
0
x 不连续，则 )( xf 在
0
x ( )
（ A ）必不可导； （ B ）必定可导；
（ C ）不一定可导； （ D ）必无定义,
4,如果
)( xf
= （ ），那么 0)(?
xf
.
(A) xx a r c c o s2a r c si n? ；
(B)
xx
22
t a nse c?；
(C) )1(c o ss i n
22
xx ；
(D)
xa r c t a n
a r c
xc o t
.
5,如果
0),1(
0,
)(
2
xxb
xe
xf
ax
处处可导，那末 （ ）
（ A ）
1 ba； （ B ）
1,2 ba；
（ C ）
0,1 ba； （ D ）
1,0 ba
.
6,已知函数
)( xf
具有任意阶导数，且
2)()( xfxf,则当 n 为大于 2 的正整数时,
)( xf
的 n 阶导数
)(
)(
xf
n 是（ ）
（ A ） 1
)](]([； （ D ） n
xfn
2
)](![
,
7,若函数
)( txx?
,
)( tyy?
对 t 可导且
0)( tx
,又
)( txx?
的反函数存在且可导，则
dx
dy
= （ ）
（ A ）
)(
)(
tx
ty?； （ B ）
)(
)(
tx
ty
；
（ C ）
)(
)(
tx
ty
； （ D ）
)(
)(
tx
ty
,
8,若函数 )( xf 为可微函数，则 dy （ ）
（ A ）与 x? 无关；
（ B ）为 x? 的线性函数；
（ C ）当 0 x 时为 x? 的高阶无穷小；
（ D ）与 x? 为等价无穷小,
9,设函数 )( xfy? 在点
0
x
处可导，当自变量 x 由 0x 增加到
xx
0 时，记 y? 为 )( xf 的增量,dy 为 )( xf 的微分，
x
dyy
x
0
lim 等于 （ ）
（ A ） -1 ； （ B ） 0 ；
（ C ） 1 ； （ D ）
.
10,设函数 )( xfy? 在点 0x 处可导，且 0)( 0 xf,
则
x
dyy
x?
0
lim 等于 （ ）,
（ A ） 0 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 1 ； （ D ）?,
二、求下列函数的导数：
1,
2
lns i n xxy? ； 2,
x
ay
c o s h
（ 0?a ）；
3,
x
xy
s e c2
)1( ； 4,)]310l n [c o s (
2
xy ；
5,设 y 为 x 的函数是由方程
x
y
yx a r c ta nln
22
确定的；
6,设 yyx
2
，
2
3
2
)( xxu,求
du
dy
.
三、证明 tex
t
si n?,tey
t
c o s? 满足方程
)(2)(
2
2
2
y
dx
dy
x
dx
yd
yx,
四、已知
0,
0,
c o s)(
)(
xa
x
x
xxg
xf 其中
)( xg
有二阶连续导数，且
1)0(?g
，
1,确定
a
的值，使
)( xf
在
0?x
点连续；
2,求
)( xf?
五、设
,ln xxy?
求 )1(
)( n
f,
六、计算
3
02.9
的近似值,
七、一人走过一桥之速率为 4 公里 / 小时，同时一船在此人底下以 8 公里 / 小时之速率划过，此桥比船高
200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
一,1,D ； 2,B ； 3,A ； 4,D ； 5,D ；
6,A ； 7,C ； 8,B ； 9,B ； 10,A ；
二,1,
x
x
xx
s i n2
lnc o s
2；
2,
x
xaa
c o s h
si n hln；
3,x
x
x
xxx
x
s e c]
1
2
)1l n ([t a n)1(
2
2s e c2
；
4,)310ta n (6
2
xx? ；
5,
yx
yx
；
6,
xxxy
2
)12)(12(3
1
.
测验题答案四,1,)0(ga ；
2,
0),1)0((
2
1
0,
]c o s)([]s i n)([
)(
2
xg
x
x
xxgxxgx
xf,
五,)!2()1()1(
2)(
nf
nn
.
六,2.09.
七,16.8
6
20
( 公里 / 小时 ).
1.自由落体运动的瞬时速度问题
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
g
tt
瞬时速度,0gt?
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放
T
0x xo x
y )(xfy?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0xxMN C 沿曲线的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
二、导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
或即
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
★
关于导数的说明：
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
★
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近函数,
★
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,★
如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及
)( bf 都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)(
0 存在xf
★
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)()( 00 axfxf且
.)( 0 axf且三、由定义求导数步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0l i m
.0?
.0)(C即例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解 h xhxx h s in)s in (li m)( s in 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
co s)( s i n?
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)(?x例如,12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x
0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
.ln aa x?
.ln)( aaa xx即,)( xx ee
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0
.l o g1)( l o g exx aa即,
1)(ln
xx
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
00 li m
)0()0(li m,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx )( 0xfxy
xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 x?
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
注意,该定理的逆定理不成立,
★
3 1 xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 xxx
.0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x
x
x
x
y
00
1s i n)0(
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
0)(lim)0( 0 xff x?
六、小结
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值．
一,填空题：
1,设 )( xf 在
0
xx? 处可导，即 )(
0
xf? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
2,已知物体的运动规律为
2
ts?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3,设
3 2
1
)( xxy?,
2
2
1
)(
x
xy?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy?,则它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4,设 2)( xxf?,则 )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
)( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,曲线 xey? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf? 存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1,A
xx
xfxf
xx
0
0
)()(
l i m
0；
2,A
h
hf
h
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
且存在；
3,A
h
hxfhxf
h
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f?
存在，则
0)0(f
.
四,设函数
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条件，
)( xf
在 0?x 处 ( 1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在 1?x 处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf,求 )( xf,
一,1,
)(
0
xf?； 2,
)(
0
xf；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2
x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5,
01 yx
,
二,1,
)(
0
xf?； 2,
)0(f?； 3,
)(2
0
xf?
,
四,(1) 当 0?k 时,
)( xf
在 0?x 处连续；
(2) 当 1?k 时,
)( xf
在 0?x 处可导,且
0)0(f；
(3) 当 2?k 及 0?x 时,
)( xf?
在 0?x 处连续,
五、
1,2 ba
,
六,
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf,,
练习题答案一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnco ss in2
xxxy lnc o sc o s2 xxx ln)s i n(s i n2
xxx
1co ss i n2
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in
x
xx
2
22
c o s
s inc o s x
x
2
2 s ecco s
1
.s e c)( t a n 2 xx即
.c s c)( c o t 2 xx同理可得例 4,s e c 的导数求 xy?
解 )co s1()( s ec xxy
x
x
2co s
)( co s,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx同理可得例 5,s i n h 的导数求 xy?
解 ])(21[)( s i n h xx eexy )(21 xx ee,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h xx 2c o s h
1)( t a nh
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf?
求设解,1)( xf,0时当?x
,0时当?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
)11l n (1lim 0 xhhh
,1 1 x
,0时当?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
,1?
.1)0( f
.0,
1
1
0,1
)(
x
x
x
xf
三、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu
.)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
思考题解答
232 xy 令 0y 032 2 x
3
2
1?x 3
2
2x
切点为?
9
64,
3
2?
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64y和一,填空题：
1,设 xxy s i n,则 y? = __ __ _ __ _ __,
2,设
x
eay
xx
2
3,则
dx
dy
=_ __ __ __ _ __,
3,设 )13(
2
xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __ _ __ __ __ _,
4,设
1se ct a n2 xxy
,则
y?
= __ _ __ __ __,
5,设
55
3
)(
2
x
x
xfy?
,则 )0(f
= __ _ __ __ _.
6,曲线 xy s i n
2
在
0?x
处的切线轴与 x
正向的夹角为 __ __ __ __ _,
练 习 题二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
； 2,
110
110
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
； 4,
t
t
xf
1
1
)(,求 )4(f；
5,)0,0(
ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
与
x
轴交点处的切线方程,
一,1,)c o s
2
s i n
( x
x
x
x? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx?； 5,
25
3； 6,
4
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
； 2,
2
)110(
10ln210
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
； 4,
18
1；
5,)(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b?
.
四、
022 yx
和
022 yx
.
练习题答案一、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx?任取 x?以增量给的单调性可知由 )( xfy?,0y
于是有
,1
y
xx
y
,)( 连续xf?
),0(0 xy 0)( y?又知
x
yxf
x?
0l i m)(
y
xy
1lim
0
)(
1
y
.)(1)( yxf即
),0( xIxxx
例 1,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)( s in yy且 内有在 )11( xI
)( s in
1)( a r c s in
yx ycos
1?
y2s i n1
1
.1 1 2x
.1 1)( a r c c o s 2xx同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx
)rcs in?x
.1 1)co t( 2xxarc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
特别地,1)( ln xx
二、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy? )(l i m 00 ufuyu
)0lim()( 00 uufuy故
uuufy)( 0则
x
y
x?
0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x?
x
u
x
uuf
xxx?
0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf
推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
例 3,s inln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 xy
解 )1()1(10 292 xxdxdy
xx 2)1(10 92,)1(20 92 xx
例 5,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy
解 )a r c s in2()2(
2
22
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
.22 xa
)0(?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 xxxy )2(3
1
12 xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey?
解 )1( s in
1s i n
xey x )1(1co s
1s i n
xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x
三、小结反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf?在 处不可导，0?x?)1(
取 4)( xxgu 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf在 处可导，0?x?)2(
一,填空题,
1,设 4
)52( xy
,则
y?
= _ _______ ___,
2,设
xy
2
s i n?
,则
y?
= _ _______ ____,
3,设
)a r c t a n (
2
xy?
,则
y?
= _ _______ ____,
4,设
xy c o sln?
,则
y?
= _ _______ __ __,
5,设 xx
y
2t a n
10?
，则
y?
= _ _______ ____,
6,设
)( xf
可导，且 )( 2xfy?,
则
dx
dy
= _ _______ ___,
7,设 x
k
exf
t a n
)(?,则 )( xf? = _ _______ __,
若 ef?
4
，则
k
_ _______ ___,
练 习 题二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n；
3,)l n (
22
xaxy ； 4,)c o tl n ( csc xxy ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y? ； 6,
x
ey
a r c ta n；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n； 8,
x
x
y
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0(?f,0)0(f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明)( xfF 在 0?x 处也可导,
一,1,
3
)52(8?x ； 2,x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x；
4,xt a n? ； 5,)2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx；
6,)(2
2
xfx? ； 7,xxke
kx
k
21t a n
s e cta n
,
2
1
.
二,1,
1
22
xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx?；
3,
22
1
xa?； 4,xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x；
练习题答案
7,
22
)( a r c c o s12 xx?； 8,
)1(2)1(
1
xxx
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
.
初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1） vuvu)(,（ 2） uccu)(
（ 3） vuvuuv)(,（ 4） )0()( 2 vv vuvuvu,
( 是常数 )C
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy
解 )(2 1 xxxxxxy
))(2 11(2 1 xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
例 2,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy
)( s i n)( s i n1 nnn xxn 1co s n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
小 结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf? ),(x
在 处不可导，0?x?)1(
2)( xxf? ),(
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题,
1,设
n
x
x
y
ln
,则 y? = _ _______ __,
2,设
x
y
1
c o sln?,则 y? = _ _______ __,
3,设 xxy,则 y? = _ _______ __,
4,设
tt
tt
ee
ee
y
,则 y? = _ _______ _,
5,设 )9 9 9()2)(1()( xxxxxf则
)0(f? = __ _______ _,
二,求下列函数的导数,
1,)1t an ( 2xy ；
2,?y s i ncar )1( 2?x ；
练 习 题一,1,
1
ln1
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
4
12；
4,
t
2
c o s h
1； 5,- 999!,
练习题答案一、高阶导数的定义问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs?设 )()( tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
.,),( 3
3
dx
ydyxf
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy 求设解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx
))1( 2( 22 x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
022 )1(
2)0(
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
xx
xf;0?,2
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2xy
)1()1()1()( nxny nn?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy?,!n? )!()1( ny,0?
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设
解注意,
xy 1
1
2)1(
1
xy
3)1(
!2
xy 4
)4(
)1(
!3
xy
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s i n )( nyxy 求设?
解 xy c o s )2s i n ( x
)2co s ( xy )22s i n ( x )22s i n ( x
)22co s ( xy )
23s i n (
x
)2s i n ()( nxy n
)2co s ()( co s )( nxx n同理可得例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设?
解 bxbebxaey axax c o ss i n
)c o ss i n( bxbbxae ax
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax
)]co s ()s i n ([22 bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 bxbaeba ax
)s i n ()( 222)( nbxebay axnn )a rct a n( ab
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
莱布尼兹公式例 6,,)20(22 yexy x 求设?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx )1()1()()4( )(?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)(
)2s in ()( s in)2( )( nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设
解 )1111(21112 xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( xxy
])1( 1)1( 1[60 66 xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设
解 3232 )( c o s)( s i n xxy
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n
x2s i n431 2 2 4co s1431 x
x4co s8385
).24co s (483)( nxy nn
三、小结高阶导数的定义；
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf
求,)(af
思考题解答
)(xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf
)( xg 不一定存在 故用定义求 )(af
)(af ax afxfax )()(lim 0)( af
ax
xf
ax?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax )(2 ag?
一,填空题：
1,设
t
e
t
y
s i n
则 y =__ __ __ ___,
2,设
xy t an?
,则 y
= ___ __ ___ _.
3,设 xxy a r c ta n)1(
2
,则 y
= _ ___ __ __.
4,设
2
x
xey?,则
y
= ___ __ ___ _.
5,设 )(
2
xfy?,
)( xf
存在，则
y
= __ ___ __ __,
6,设
6
)10()( xxf,则
)2(f
=___ __ ___ _.
7,设
nn
nnn
axaxaxax
1
2
2
1
1
( n
aaa,,,
21
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
)1(
xf
n?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题二,求下列函数的二阶导数：
1,
x
xx
y
42
3
；
2,xxy lnc o s
2；
3,)1l n (
2
xxy,
三,试从
ydy
dx
1
，导出：
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
；
2,
6
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
,
五、验证函数 xx ececy 21 (?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 yy?,
六,求下列函数的 n 阶导数：
1,xey
x
c o s? ；
2,
x
x
y
1
1；
3,
23
2
3
xx
x
y ;
4,
xxxy 3si n2si nsi n?
.
一,1,te
t
c o s2
； 2,xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c t a n2
x
x
x
； 4,)23(2
2
2
xxe
x；
5,)(4)(2
222
xfxxf ； 6,20 736 0 ；
7,!n ； 8,)!1(?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ；
3,
2
3
2
)1( x
x
.
练习题答案六,1,)
4
c o s ()2(
nxe
xn；
2,
1
)1(
!2
)1(
n
n
x
n；
3,)2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
n
xx
n
nn
n；
4,)
2
2s i n (2[
4
1?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
n
x
n
x
nn
.
一、隐函数的导数定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
.1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
得41
1
0
y
xy,1,0 yx代入,16
1
1
0
y
xy
二、对数求导法观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x 求设例 5
解
.),0(s i n yxxy x 求设等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1
)1s inln( co s xxxxyy
)s inln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt?
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
消去参数问题,消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,)( )( 中在方程
ty
tx
,)( )( 二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
即例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
c o s1
s i n
taa
ta
co s
s i n
2
co s1
2
s i n
2
tdx
dy
.1?
.方程处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n(
t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
c o s
s i n
0
0
v
gtv
.co ss i n
0
00
0?
v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
00 s i n gtv
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
例 8
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
tta n
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
)co s(
)t a n(
3?
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
ta
t
s i n3
s e c 4?
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 9
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
5 0 0ta n
h
求导得上式两边对 t dtdhdtd 5 0 01s ec 2
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2米时当 h
)/(14.0 分弧度 dtd? 仰角增加率
米500
米500
例 10
解
,20
,1 2 0,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 h
五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
t
y
x
)0)(( t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
,对吗？
思考题解答不对．
xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt
t
一,填空题,
1,设
01552
223
yxyyxx
确定了
y
是 x 的函数，则
)1,1(
dx
dy
= ________,?
2
2
dx
yd
_____ ___,
2,曲线
7
33
xyyx
在点（ 1,2 ）处的切线方程是 ____ _______,
3,曲线
tty
ttx
s i n
c o s
在
2
t 处的法线方 程 ______ __,
4,已知
tey
tex
t
t
s i n
c o s
,则
dx
dy
= ______ ；
3
t
dx
dy
=______,
5,设 yx
exy
,则
dx
dy
=_ _______,
练 习 题二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
,
1,yxey 1 ；
2,
)t a n ( yxy；
3,yx xy?
)00( yx,
,
三,用对数求导法则求下列函数的导数,
1,
2
x
xy? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
x
xx
y ；
3,xexxy 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
tby
tax
s i n
c o s；
2,
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf
存在且不为零,
五,求由参数方程
tty
tx
a r c ta n
)1l n (
2
所确定的函数的三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)(
，求
)( xf?
,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？
八,注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
xxy
yxyyyxxyx；
2,
02311 yx
3,0
22
yx ；
4,32,
s i nc o s
c o ss i n
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
；
2,- )(ta n)(c s c2
32
yxcyx ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
yxy
xxyy
.
练习题答案三,1,)1ln2(
1
2
xx
x；
2,]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
xxxx
xx；
3,]
)1(2
c o t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf
.
五、
3
4
8
1
t
t?
,六、
2
1
2
x
,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
( 米 / 分 ).
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx变到设边长由
,20xA?正方形面积?
2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx?0
xx?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy
),()2( xox 的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo
)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx
三、可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy,)( xxoAxy
x
xoA
x
y
xx?
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy从而
,)( 0 xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx
),0(0 x?
),()( 0 xoxxf
.)(,)( 00 Axfxxf且可微在点函数?
).(,0xfA 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 xxxy
xxdy )( 3?,3 2 x
02.0
2
2
02.0
2 3
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
xx0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设
,21 2
2
x
x
ex
xey
,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131
.)s i nc o s3(31 dxxxe x
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
),()( xfxfy 有导数设函数
dttxfdy )()(
,)( dxdtt,)( dxxfdy
结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
微分形式的不变性
dxxfdy )(
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设
.12,s i n xuuy?
u d udy co s )12()12co s ( xdx
dxx 2)12co s (,)12co s (2 dxx
例 5
解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd
,co s)( s in)1( td ttd
)( s i n1co s tdtd t
.co s)s i n1( td tCtd
);s i n1( td
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd
七、小结微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题函数的增量问题 微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
00
00
它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxfdy
xfxxf
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量方程在点处的切线在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
★
思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题：
1,已知函数
2
)( xxf? 在点 x 处的自变量的增量为
0.2,对应的函数增量的线性全部是
dy
=0,8,那么自变量 x 的始值为 ____ __ ___ _.
2,微分的几何意义是 ____ __ ___ _.
3,若
)( xfy?
是可微函数，则当
0 x
时，
dyy
是关于
x?
的 ___ ___ __ 无穷小,
4,
x d xd?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?
.
5,dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,
6,xdxd 3s e c____________
2
,
7,
x
exY
22
,_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
22
dxdedY
x
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
( a r c ta n
2
x
e
d
,_ _ _ _ _ _ _ _?
x
de,
练 习 题二,求下列的函数的微分,
1,
1
2
x
x
y ；
2,2)]1[ l n ( xy ；
3,21ar c s i n xy ；
4,
2
2
1
1
a r c t a n
x
x
y
；
5,xey x 3c o s3,求
3
x
dy；
6,求由方程 22)c o s ( yxxy?所确定的
y
微分,
一,1,-2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4,Cx
c o s
1；
5,Ce
x
2
2
1； 6,Cx?3ta n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
e
e
4
2
22
.
二,1,dxx
2
3
2
)1(
；
2,dx
x
x
1
)1l n (2
；
练习题答案
3,
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4,dx
x
x
4
1
2；
5,dx3 ；
6,dx
x
y
.
一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时且处的导数在点若
x
xfxxfy
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设,05.0,10 厘米厘米 rr
rrdA 2 05.0102 ).( 2厘米
.)( 0 xxf 00 xxxx dyy
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xxf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?
例 1,0360c o s o 的近似值计算?
解,c o s)( xxf?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf
,3 6 0,30 xx?
.2 3)3(,21)3( ff
)3603co s (0360co s o 3603si n3c os
3602
3
2
1,4 9 2 4.0?;0)(.2 附近的近似值在点求?xxf
.)0()0()( xffxf
,)()()( 000 xxfxfxxf
.,00 xxx令常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
为弧度为弧度证明,1)()1( n xxf设,)1(1)(
11 nx
nxf
.1)0(,1)0( nff
xffxf )0()0()(,1 nx
例 2,计算下列各数的近似值解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03?e
33 5.110005.998)1(
3 )
10 00
5.11(10 00 3 0015.0110
)00 15.0311(10,995.9?
03.01)2( 03.0e,97.0?
三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义：
.,
,
的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy?
,41.2 时当?x ).(80 81.5)41.2( 22 my
41.241.2 2 xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
005.082.4 y?面积的绝对误差为 ).(02 41.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf
00 xxxx dyy,)( 0 xxf
),()()()( 000 xxxfxfxf
,很小时当 x?
,0时当?x
一,填空题：
1,利用公式 ))(()()(
000
xxxfxfxf 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2,当 0?x 时,由 公 式 dyy 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( x ； _ _ _ _ _ _ _ _t a n?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ； _ _ _ _ _ _ _ _002.1ln?,
二,利用微分计算当 x 由?45 变到 0145,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 017453.01 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T 2,其中 9 8 0?g 厘米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多少？
练习题四,求近似值：
1,?1 3 6ta n ； 2,5 0 0 2.0a r c s i n ； 3,3 9 9 6,
五、设 0?A,且 nAB,证明
1?
n
n n
nA
B
ABA,并计算 10 1000 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产（教材 2 - 18 图）所示的扇形板，半径 R =200
毫米，要求中心角? 为?55 产品检验时，一般用测量弦长 L 的办法来间接测量中心角?,如果测量弦长 L
时的误差
L?
= 0.1 毫米，问由此而引起的中心角测量误差
是多少？
一,1,
0
xx? ； 2,002.0,0 1 3 0 9.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1,-0.96 509 ； 2,7430
o； 3,9,9 867,
六,3%.
七,0 0 0 5 6.0 ( 弧度 )= 551
.
练习题答案第二章习题课求 导 法 则基本公式导 数
x
y
x?
0
lim 微 分 xydy
关系
)( xodyydxydyydxdy
高阶导数高阶微分一、主要内容
1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数
,
)(
,,
)(,)(
,0
);()(,)
(
,)(
000
0
0
00
00
0
xxxxxx
dx
xdf
dx
dy
yx
xfyxxfy
xxy
xfxxfyy
xxxxx
xxfy
定义
.)()(limlim 00
000 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
2、基本导数公式
2
2
2
1
1
)( a rc t a n
1
1
)( a rc s i n
ln
1
)( l o g
ln)(
s ec)( s ec
s ec)( t a n
co s)( s i n
0)(
x
x
x
x
ax
x
aaa
x tg xx
xx
xx
C
a
xx
（常数和基本初等函数的导数公式）
2
2
2
1
1
1
)co t(
1
1
)( a rc co s
1
)( l n
)(
cs c)( cs c
cs c)( co t
s i n)( co s
)(
x
x
x
x
x
x
ee
x ct g xx
xx
xx
xx
xx
arc
3、求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1 ） vuvu )(,（ 2 ） uccu)( (c 是常数 ),
（ 3 ） vuvuuv)(,（ 4 ） )0()(
2
v
v
vuvu
v
u
.
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则
.
)(
1
)(
),()(
x
xf
xfyyx
则有的反函数为如果函数
(3) 复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或的导数为则复合函数而设
(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
,)( )( 间的函数关系与确定若参数方程 xyty tx
;
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
(6) 参变量函数的求导法则
4、高阶导数,
)()(
lim))((
0 x
xfxxf
xf
x?
二阶导数记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
.,),( 3
3
dx
ydyxf
二阶导数的导数称为三阶导数,
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
(二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )
5,微分的定义定义
.
),(,
)(,
)(),(
)()()(
,
,)(
0
0
0
00
00
00
xAdy
xdfdyx
xxfyxAx
xfyxA
xoxAxfxxfy
xxxxfy
xx
xx
即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
6、导数与微分的关系
).(,
)()(
00
0
xfAx
xfxxf
且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理
7,微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
arc
函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
8,微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(,xfyx?
dxxfdy )(
二、典型例题例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
求设?
解 0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 xxxx?
!100?
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
求设解,1 2xu设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 uuuy u? 41 1u,2 1 42 xx
)1( 2 xu x,1 2xx
.1)2( 1 23 xxxy x
例 3
.,
45
2
02?
tdx
dy
ttty
ttx
求设解 分析,,,0 不存在时当 tt?
,,,0 不存在时当 dtdydtdxt 不能用公式求导,
tt
ttt
x
y
tx
2
4)(5l i ml i m 2
00 )s g n (2
)]s g n (45[l i m
0 t
tt
t
.0?
.00tdxdy故
.,
)0,0()(
2
2
dx
yd
yxxyxfy yx
求所确定由方程设函数
例 4
解 两边取对数,ln1ln1 xyyx?,lnln xxyy?即
,1ln)ln1( xyy,ln1 1ln yxy
2)ln1(
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
xy
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
yxy
xxyy
).(,)2()( xfxxxxf 求设例 5
解 先去掉绝对值
,
2),2(
20),2(
0),2(
)(
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xf
,0时当?x,0)0()0( ff ;)0(f
,20 时当 x;43)( 2 xxxf,02 时或当 xx;43)( 2 xxxf
,2时当?x
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2?
x
xx
x
.4
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2?
x
xx
x,4?
),2()2( ff,2)( 处不可导在 xxf
,20,43
,0,0
0,2,43
)(
2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
.,)(s i n c o s yxxy x 求设例 6
解 )( l n yyy
)s i nlnc o s( l n xxxy
)s i nc o ss i nlns i n1()( s i n
2
c o s
x
xxx
xxx
x
.,114 )(2
2
ny
x
xy 求设
例 7
解 1
344
1
14
2
2
2
2
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
xx
,)1( !)1()11( 1)( n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( nnnn xxny
一,选择题：
1,函数 )( xf 在点
0
x 的导数 )(
0
xf? 定义为 （ ）
（ A ）
x
xfxxf
)()(
00；
（ B ）
x
xfxxf
xx
)()(
l i m
00
0；
（ C ）
x
xfxf
xx
)()(
lim
0
0；
（ D ）
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx
；
2,若函数
)( xfy?
在点 0
x
处的导数
0)(
0
xf
，则曲线
)( xfy?
在点 (
)(,
00
xfx
) 处的法线 （ ）
（ A ）与
x
轴相平行； （ B ）与
x
轴垂直；
（ C ）与 y 轴相垂直； （ D ）与
x
轴即不平行也不垂直：
测 验 题
3,若函数 )( xf 在点
0
x 不连续，则 )( xf 在
0
x ( )
（ A ）必不可导； （ B ）必定可导；
（ C ）不一定可导； （ D ）必无定义,
4,如果
)( xf
= （ ），那么 0)(?
xf
.
(A) xx a r c c o s2a r c si n? ；
(B)
xx
22
t a nse c?；
(C) )1(c o ss i n
22
xx ；
(D)
xa r c t a n
a r c
xc o t
.
5,如果
0),1(
0,
)(
2
xxb
xe
xf
ax
处处可导，那末 （ ）
（ A ）
1 ba； （ B ）
1,2 ba；
（ C ）
0,1 ba； （ D ）
1,0 ba
.
6,已知函数
)( xf
具有任意阶导数，且
2)()( xfxf,则当 n 为大于 2 的正整数时,
)( xf
的 n 阶导数
)(
)(
xf
n 是（ ）
（ A ） 1
)](]([； （ D ） n
xfn
2
)](![
,
7,若函数
)( txx?
,
)( tyy?
对 t 可导且
0)( tx
,又
)( txx?
的反函数存在且可导，则
dx
dy
= （ ）
（ A ）
)(
)(
tx
ty?； （ B ）
)(
)(
tx
ty
；
（ C ）
)(
)(
tx
ty
； （ D ）
)(
)(
tx
ty
,
8,若函数 )( xf 为可微函数，则 dy （ ）
（ A ）与 x? 无关；
（ B ）为 x? 的线性函数；
（ C ）当 0 x 时为 x? 的高阶无穷小；
（ D ）与 x? 为等价无穷小,
9,设函数 )( xfy? 在点
0
x
处可导，当自变量 x 由 0x 增加到
xx
0 时，记 y? 为 )( xf 的增量,dy 为 )( xf 的微分，
x
dyy
x
0
lim 等于 （ ）
（ A ） -1 ； （ B ） 0 ；
（ C ） 1 ； （ D ）
.
10,设函数 )( xfy? 在点 0x 处可导，且 0)( 0 xf,
则
x
dyy
x?
0
lim 等于 （ ）,
（ A ） 0 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 1 ； （ D ）?,
二、求下列函数的导数：
1,
2
lns i n xxy? ； 2,
x
ay
c o s h
（ 0?a ）；
3,
x
xy
s e c2
)1( ； 4,)]310l n [c o s (
2
xy ；
5,设 y 为 x 的函数是由方程
x
y
yx a r c ta nln
22
确定的；
6,设 yyx
2
，
2
3
2
)( xxu,求
du
dy
.
三、证明 tex
t
si n?,tey
t
c o s? 满足方程
)(2)(
2
2
2
y
dx
dy
x
dx
yd
yx,
四、已知
0,
0,
c o s)(
)(
xa
x
x
xxg
xf 其中
)( xg
有二阶连续导数，且
1)0(?g
，
1,确定
a
的值，使
)( xf
在
0?x
点连续；
2,求
)( xf?
五、设
,ln xxy?
求 )1(
)( n
f,
六、计算
3
02.9
的近似值,
七、一人走过一桥之速率为 4 公里 / 小时，同时一船在此人底下以 8 公里 / 小时之速率划过，此桥比船高
200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
一,1,D ； 2,B ； 3,A ； 4,D ； 5,D ；
6,A ； 7,C ； 8,B ； 9,B ； 10,A ；
二,1,
x
x
xx
s i n2
lnc o s
2；
2,
x
xaa
c o s h
si n hln；
3,x
x
x
xxx
x
s e c]
1
2
)1l n ([t a n)1(
2
2s e c2
；
4,)310ta n (6
2
xx? ；
5,
yx
yx
；
6,
xxxy
2
)12)(12(3
1
.
测验题答案四,1,)0(ga ；
2,
0),1)0((
2
1
0,
]c o s)([]s i n)([
)(
2
xg
x
x
xxgxxgx
xf,
五,)!2()1()1(
2)(
nf
nn
.
六,2.09.
七,16.8
6
20
( 公里 / 小时 ).
