一、罗尔 (Rolle)定理罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f)1()2( )3(
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
证
.)1( mM?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0x若 ;0)()( x fxf则有
,0x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(lim)( 0 x fxff x;0)()(li m)( 0 x fxff x,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在 f
.0)( xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1 fxxy
].1,0[, xxy
又例如,
例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx,0)(f
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成
a b1? 2?x xo
y
)(xfy?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,微分中值定理推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
例 2 ).11(2a rc co sa rc s in xxx证明证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf,0?
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a rc co sa rc s in xx
例 3,)1ln (1,0 xxxxx 时证明当证 ),1ln ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1ln( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf ).()()(
f
ab
afbf
例 4
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
一,填空题,
1,函数 4
)( xxf?
在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值定理，则 ξ =_____ _ _,
2,设
)4)(3)(2)(1()( xxxxxf
,方程
0)( xf
有 __ __ _____ ___ 个根，它们分别在区间
_____ ________ 上,
3,罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
_____ ___________ _,
4,微分中值定理精确地 表达函数在一个区间 上的
_____ __ 与函数在这区间内某点处的 _______ 之间的关系,
5,如果函数
)( xf
在区间 I 上的导数 ____ _____ _,那么
)( xf
在区间 I 上是一个常数,
练 习 题二、试证明对函数 rqxpxy
2
应用拉氏中值定理时所求得的点? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c s i n
2
2
x
x
x
))1,0((?x
,
四、设
0 ba
，
1?n
，证明
)()(
11
banababanb
nnnn
,
五,证明下列不等式：
1,baba a r c ta na r c ta n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
,
六、证明方程 015 xx 只有一个正根,
七、设函数 )( xfy? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0( )1( nfff?试用柯西中值定理证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
,（ 10 ）,
八、设 )( xf 在 [ ba,] 内上连续，在 ( ba,) 内可导，若
ba0,则在 ( ba,) 内存在一?点,使
)) ] (()([)()( baffabfbaf],
洛必达法则型未定式解法型及一,:00
定义,
0
0
)(
)(
lim
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xF
xf
xF
xfxax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx?,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx?)0
0( )(
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfx
axax
ax
那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 xaxx
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1 ax axxfxf,,0 ),()(1 ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
)(
)(
F
f
)( 之间与在 ax?
,,aax时当,)( )(lim AxF xfax,)( )(li m AFfa
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax
例 1
解
.t a nlim
0 x
x
x?
求
)(
)( t a nli m
0?
x
x
x
原式 1s e cl im
2
0
x
x
,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1
xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1
xx
x
x
原式 26 6l i m
1?
x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m
0 bx
ax
x?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c os
c osi m
0?
例 5
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
,3?
)(
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nl i m 2
0 xx
xx
x
求
30
t a nl i m
x
xx
x
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
x
x
x
t a nlim
3
1
0?
,31?
型未定式解法二,00,1,0,,0
例 7
解
.lim 2 xx ex求 )0(
x
e x
x 2
lim
原式 2li m
x
x
e
2li m
x
x
e
,
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
型0.1
步骤,,
10
,0
100或例 8
解
).1s i n1(l i m
0 xxx
求 )(
0
1
0
1,
00
00
xx
xx
x s i n
s i nlim
0?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0?
,0?
型.2
步骤,
步骤,
型00,1,0.3
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0
例 9
解
.lim0 xx x求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m原式
xxxe lnlim0
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x?
求 )1(?
xx
x
e ln1
1
1
li m?
原式 xxxe 1lnlim1
1
lim
1
x
xe,1e
例 11
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
xx
x
x s i nco s
lim
0?
,1,1 e原式例 12
解
.co sl i m x xx
x
求
1
s i n1l i m x
x
原式 ).s in1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
三、小结洛必达法则 型00,1,0
型 型0型0
0
型 gfgf 1 fg fggf 11 11
取对数令 gfy?
思考题设
)(
)(
lim
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
的极限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答不一定．
例,s i n)( xxxf xxg?)(
显然
)(
)(lim
xg
xf
x 1
co s1l i m x
x
极限不存在．
但?
)(
)(l i m
xg
xf
x x
xx
x
s i nl i m?
1?
极限存在．
一,填空题：
1,洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,_ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,等型的未定式的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n (
l i m
0
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
l i m
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
s inln
li m
x
x
x
； 2,
x
x
x
a r c ta n
)
1
1l n (
l i m
；
3,xx
x
2c o tlim
0?； 4,
)
1
1
1
2
(lim
2
1
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
lim
； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim
,
三,讨论函数
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当当
,
在处点 0?x
的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0； 2,1 ； 3,1.
二,1,
8
1； 2,1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5,1 ；
6,1 ； 7,
2
e,
三、连续,
练习题答案一、单调性的判别法
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xf
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
a b
B
A
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,D?又二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间确定函数
x
xxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x
,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0
,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n (,0 成立试证时当 xxx
),1ln ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x,0)1l n ( xx ).1ln( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(l i m 0 xxx 01
但 0,1co s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
一,填空题：
1,函数 71862
23
xxxy 单调区间为 ____ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2,函数
2
1
2
x
x
y
在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ____ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy 的单调区间为 _____ __ ___ __,
单减区间为 ____ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23
；
2,
3 2))(2( xaaxy
( 0?a ) ；
3,xxy 2s i n,
练 习 题三,证明下列不等式：
1,当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ；
2,当 4?x 时，
2
2 x
x；
3,若 0?x,则
3
6
1
s i n xxx,
四,方程 )0(ln aaxx 有几个实根,
五,设 )( xf 在 [
ba,
] 上连续，在 (
ba,
) 内
)( xf
,试证明：对于 [
ba,
] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( xf
，
)( xf?
单增；方法 （ 2 ）
0)( xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1,),3[],1,( 单调增加,]3,1[? 单调减少；
2,增加,),1[],1,(
3,]1,(,),1[ ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( 内单调减少,
在
]1,
2
1
[
上单调增加；
2,在
),[],
3
2
,( aa
内单调增加,
在
],
3
2
[ aa
上单调减少；
练习题答案
3,在 ]
32
,
2
[
kk
上单调增加,
在 ]
22
,
32
[
kk
上单调减少,),2,1,0(k,
四,(1)
e
a
1
时没有实根；
(2)
e
a
1
0 时有两个实根；
(3)
e
a
1
时只有
ex?
一个实根,
一、函数极值的定义
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,),(
,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
x
y
o x
y
o0x 0x
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
(1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,0?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
三、小结极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时, )0()( fxf )
1s i n2(2
xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
xxxxf
1co s)1s i n2(2)(
一,填空题：
1,极值反映的是函数的 ___ __ ___ 性质,
2,若函数 )( xfy? 在
0
xx? 可导，则它在点
0
x 处到得极值的必要条件中为 ___ __ ___ _ _ _,
3,函数
3
2
)1(2 xy 的 极 值 点 为 ___ _ ___ _ ；
3
1
)1(23 xy 的极值为 ___ ___ ___ _,
4,已知函数
0,1
0,
)(
3
xx
xx
xf
x
当
_ _ _ _ _ _ _?x
时，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
小值 ； 当时_ _ _ _ _ _ _ _?x
，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
大值,
练 习 题二、求下列函数的极值：
1,xey
x
c o s? ；
2,
x
xy
1；
3,方程 0
2
ye
yx
所确定的函数 )( xfy? ；
4,
0,0
0,
2
1
x
xe
y
x
.
三,证明题：
1,如果 dcxbxaxy
23
满足条
03
2
acb
，
则函数无极值,
2,设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)( xf,
则 0?x 为 )( xf 的极值点,
一,1,局部； 2,0)(
0
xf ；
3,(1,2),无； 4,1,0,)
1
(,
1
3
e
ee;
二,1,极大值
k
eky
2
4
2
2
)2
4
(,极小值
),2,1,0(
2
2
))12(
4
(
)12(
4
keky
k；
2,极大值
e
eey
1
)(? ；
3,极小值
1)0(y；
4,极小值
0)0(?y
.
练习题答案一、最值的求法
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存在为零的点，则并且至多有有限个导数处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
，最大值 1 4 2)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
点击图片任意处播放 \暂停例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts公里4B
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 3 5 0 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为?
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
点击图片任意处播放 \暂停例 4
形面积最大．
所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,2174096)316( 为极大值 s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?
在 有最小值，但0?x 01)0(f
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ( 41 x ) 的最大值为 __ __
____ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3,函数
2
1 0 0 xy 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
____ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4,设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
=0,25,问力
f
与水平线的交角? 为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5,从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为 ___ __ _ _ _ _ 时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
___ __ ___ __ ___ __ _ 考察区间为 ___ __ ___ _ _ _ _ ___,
二,求函数
x
xy
54
2
( 0?x ) 的最值,
三,求数列
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
五、由 2xy?,0?y,ax? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
O AB,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲线 2xy? 的切线与 OA,OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4(?y,最小值 5)1(y ；
3,10,6 ； 4,)
2
,0[,
s i nc os
,ar c t an
p
f ；
5,?
3
8
,)2,0(,4
24
642
2
3
R
V,
二、
3x
时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
2
2,
2
33
hd
v
h
v
r
五,)
9
4
,
3
2
(
2
aa,
练习题答案一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B C
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
递增)( xf? a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
例 2
.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 xxy
解,s inc o s xxy,c o ss in xxy
.s inc o s xxy
,0y令,47,43 21 xx得
2)43(f,0? 2)47(f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,47(),0,43(
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,94 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
四、小结曲线的弯曲方向 ——凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 ——拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2.
思考题设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf,
其中 ),(0 bax?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答因为 0)( 0 xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf? ),( 0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1,若函数 )( xfy? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2,曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3,曲线 )1l n (
2
xy 的拐点为 _____ ____ _.
4,曲线
)1l n ( xy
拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r c t a n
的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
)( yx?
.
四、求曲线
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题五,试证明曲线
1
1
2
x
x
y 有三个拐点位于同一直线上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy
的拐点？
七,试决定
22
)3( xky 中 k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点,
一,1,),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3,]2,(),,2[),
2
,2(
2
e； 4,
)2ln,1(),2ln,1(?
.
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r c t a n
e,在 ]
2
1
,( 内是凹的,
在 ),
2
1
[ 内是凸的,
四、拐点
)
2
3
,
3
32
( aa
及
)
2
3
,
3
32
( aa?
.
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
练习题答案六、
2
9
,
2
3
ba,
七,
8
2
k,
一、渐近线定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c t a n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([l i m
0)]()([l i m
的一条斜渐近线就是那么为常数或如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
注意,;
)(
l i m)1( 不存在如果
x
xf
x
,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy?
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
)(li m1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
xf
x
)(lim?又
)1(
)3)(2(2li m
xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[lim xxx xx
x
1
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
三、作图举例例 2,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[lim)(lim 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
:补充点 );0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 xxxf
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点 )
21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex?
例 4,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值 0
x
y
o )0,1(?A
)1,0(B )85,23(C
11? 3131?
123 xxxy
四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
s i n
)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy s in?
一,填空题：
1,曲线
x
ey
1
的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ __.
2,曲线
1
1
x
y 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ _,
铅直渐近线为 ____ ___ __ __ ___,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
；
2,
22
)1( xxy ；
3,
xy si nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
的渐近线并画图,
练 习 题一,1,1?y ； 2,1,0 xy,
练习题答案第三章习题课洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f
2、拉格朗日中值定理拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
).10()( 0 xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
3、柯西中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
4、洛必达法则定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
注意,洛必达法则的使用条件,
5、导数的应用定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；
在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个点内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
定义
(2) 函数的极值及其求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf 符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号在在驻点左右的正负号或检查 xfxf
.)4( 求极值步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在导数内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性上在验证罗尔定理对
xy
解 ),1,0(,22, kkxkD
.]65,6[ 上连续且在
内处处存在在又 )65,6(co t xy
)65()6( ff并且 2ln
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的条件上满足罗尔定理在函数
xy
,0c o t xy由内显然有解在 )65,6(,2x
,2取,0)(f则这就验证了命题的正确性,
例 2,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
例 3,
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与 ba? 10 ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af使得 ),1,0(存在有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)(xf
),0(),()0()0()( fff
)1,(),()1()()1( fff
,1)1(,0)0( ff注意到 由?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
)(?f
ba
a
)( )(11 f f )(?f ba
b
+?,得
)(
)(
f
f
.)()( baf bf a
例 4 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx
证明不等式证 ),0(ln)( ttttf令
,1ln)( ttf则,01)( ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx即
.2ln)(lnln yxyxyyxx即例 5 ])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
xxfxff
fxf
证明且上二阶可微在若函数证 ],1,0[0?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf
则有令,1,0 xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf
–?,),1()0( ff?注意到 则有
,1)( xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf
4
1)
2
1( 2
0 x
,]1,0[0 知又由?x,21210x 21)( 0 xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
例 6
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 yx又,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1l i m 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图一,选择题：
1,一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的方法。
（ C ） 它们都先肯定了
点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是什么，也没有给出求 ξ 的方法,
测 验 题
2,若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba,使 0)(f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba,使 0)(?
f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba
，使 0)(?
f；
（ D ） 对任意的
),( ba
，不一定能使
0)(f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有两个不同的根
与
，那么在
),( ba
（ ）
0)( xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax?
时，
0)( xf
，又
0)(?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)(?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)(?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)(?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的正负号无法确定,
6,0)(
0
xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( xf,
二阶导数 0)( xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim
xFxf
axax
，且在点
a
的某邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)(?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10,?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
；
3,)]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
)1l n (
1
,
五、设
dcxbxaxxf
23
)(
有拐点（ 1,2 ）,
并在该点有水平切线，
)( xf
交 x 轴于点（ 3,0 ）,
求
)( xf
,
六,绘出函数 2
)1(4
)(
2
x
x
xf 的 图形,
七,设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 (0,1) 内可导，且
1)1(,0)0( ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的,，使 ba
f
b
f
a
)()(
''
,
一,1,D ； 2,D ； 3,A ； 4,B ； 5,D ；
6,B ； 7,C ； 8,D ； 9,B ； 10,C,
二,1,
a2
1； 2,2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三,1:2,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
xxxxf,
测验题答案
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f)1()2( )3(
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
证
.)1( mM?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0x若 ;0)()( x fxf则有
,0x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(lim)( 0 x fxff x;0)()(li m)( 0 x fxff x,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在 f
.0)( xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1 fxxy
].1,0[, xxy
又例如,
例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx,0)(f
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成
a b1? 2?x xo
y
)(xfy?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,微分中值定理推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
例 2 ).11(2a rc co sa rc s in xxx证明证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf,0?
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a rc co sa rc s in xx
例 3,)1ln (1,0 xxxxx 时证明当证 ),1ln ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1ln( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf ).()()(
f
ab
afbf
例 4
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
一,填空题,
1,函数 4
)( xxf?
在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值定理，则 ξ =_____ _ _,
2,设
)4)(3)(2)(1()( xxxxxf
,方程
0)( xf
有 __ __ _____ ___ 个根，它们分别在区间
_____ ________ 上,
3,罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
_____ ___________ _,
4,微分中值定理精确地 表达函数在一个区间 上的
_____ __ 与函数在这区间内某点处的 _______ 之间的关系,
5,如果函数
)( xf
在区间 I 上的导数 ____ _____ _,那么
)( xf
在区间 I 上是一个常数,
练 习 题二、试证明对函数 rqxpxy
2
应用拉氏中值定理时所求得的点? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c s i n
2
2
x
x
x
))1,0((?x
,
四、设
0 ba
，
1?n
，证明
)()(
11
banababanb
nnnn
,
五,证明下列不等式：
1,baba a r c ta na r c ta n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
,
六、证明方程 015 xx 只有一个正根,
七、设函数 )( xfy? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0( )1( nfff?试用柯西中值定理证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
,（ 10 ）,
八、设 )( xf 在 [ ba,] 内上连续，在 ( ba,) 内可导，若
ba0,则在 ( ba,) 内存在一?点,使
)) ] (()([)()( baffabfbaf],
洛必达法则型未定式解法型及一,:00
定义,
0
0
)(
)(
lim
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xF
xf
xF
xfxax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx?,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx?)0
0( )(
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfx
axax
ax
那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 xaxx
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1 ax axxfxf,,0 ),()(1 ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
)(
)(
F
f
)( 之间与在 ax?
,,aax时当,)( )(lim AxF xfax,)( )(li m AFfa
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax
例 1
解
.t a nlim
0 x
x
x?
求
)(
)( t a nli m
0?
x
x
x
原式 1s e cl im
2
0
x
x
,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1
xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1
xx
x
x
原式 26 6l i m
1?
x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m
0 bx
ax
x?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c os
c osi m
0?
例 5
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
,3?
)(
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nl i m 2
0 xx
xx
x
求
30
t a nl i m
x
xx
x
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
x
x
x
t a nlim
3
1
0?
,31?
型未定式解法二,00,1,0,,0
例 7
解
.lim 2 xx ex求 )0(
x
e x
x 2
lim
原式 2li m
x
x
e
2li m
x
x
e
,
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
型0.1
步骤,,
10
,0
100或例 8
解
).1s i n1(l i m
0 xxx
求 )(
0
1
0
1,
00
00
xx
xx
x s i n
s i nlim
0?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0?
,0?
型.2
步骤,
步骤,
型00,1,0.3
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0
例 9
解
.lim0 xx x求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m原式
xxxe lnlim0
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x?
求 )1(?
xx
x
e ln1
1
1
li m?
原式 xxxe 1lnlim1
1
lim
1
x
xe,1e
例 11
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
xx
x
x s i nco s
lim
0?
,1,1 e原式例 12
解
.co sl i m x xx
x
求
1
s i n1l i m x
x
原式 ).s in1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
三、小结洛必达法则 型00,1,0
型 型0型0
0
型 gfgf 1 fg fggf 11 11
取对数令 gfy?
思考题设
)(
)(
lim
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
的极限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答不一定．
例,s i n)( xxxf xxg?)(
显然
)(
)(lim
xg
xf
x 1
co s1l i m x
x
极限不存在．
但?
)(
)(l i m
xg
xf
x x
xx
x
s i nl i m?
1?
极限存在．
一,填空题：
1,洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,_ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,等型的未定式的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n (
l i m
0
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
l i m
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
s inln
li m
x
x
x
； 2,
x
x
x
a r c ta n
)
1
1l n (
l i m
；
3,xx
x
2c o tlim
0?； 4,
)
1
1
1
2
(lim
2
1
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
lim
； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim
,
三,讨论函数
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当当
,
在处点 0?x
的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0； 2,1 ； 3,1.
二,1,
8
1； 2,1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5,1 ；
6,1 ； 7,
2
e,
三、连续,
练习题答案一、单调性的判别法
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xf
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
a b
B
A
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,D?又二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间确定函数
x
xxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x
,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0
,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n (,0 成立试证时当 xxx
),1ln ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x,0)1l n ( xx ).1ln( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(l i m 0 xxx 01
但 0,1co s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
一,填空题：
1,函数 71862
23
xxxy 单调区间为 ____ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2,函数
2
1
2
x
x
y
在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ____ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy 的单调区间为 _____ __ ___ __,
单减区间为 ____ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23
；
2,
3 2))(2( xaaxy
( 0?a ) ；
3,xxy 2s i n,
练 习 题三,证明下列不等式：
1,当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ；
2,当 4?x 时，
2
2 x
x；
3,若 0?x,则
3
6
1
s i n xxx,
四,方程 )0(ln aaxx 有几个实根,
五,设 )( xf 在 [
ba,
] 上连续，在 (
ba,
) 内
)( xf
,试证明：对于 [
ba,
] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( xf
，
)( xf?
单增；方法 （ 2 ）
0)( xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1,),3[],1,( 单调增加,]3,1[? 单调减少；
2,增加,),1[],1,(
3,]1,(,),1[ ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( 内单调减少,
在
]1,
2
1
[
上单调增加；
2,在
),[],
3
2
,( aa
内单调增加,
在
],
3
2
[ aa
上单调减少；
练习题答案
3,在 ]
32
,
2
[
kk
上单调增加,
在 ]
22
,
32
[
kk
上单调减少,),2,1,0(k,
四,(1)
e
a
1
时没有实根；
(2)
e
a
1
0 时有两个实根；
(3)
e
a
1
时只有
ex?
一个实根,
一、函数极值的定义
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,),(
,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
x
y
o x
y
o0x 0x
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
(1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,0?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
三、小结极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时, )0()( fxf )
1s i n2(2
xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
xxxxf
1co s)1s i n2(2)(
一,填空题：
1,极值反映的是函数的 ___ __ ___ 性质,
2,若函数 )( xfy? 在
0
xx? 可导，则它在点
0
x 处到得极值的必要条件中为 ___ __ ___ _ _ _,
3,函数
3
2
)1(2 xy 的 极 值 点 为 ___ _ ___ _ ；
3
1
)1(23 xy 的极值为 ___ ___ ___ _,
4,已知函数
0,1
0,
)(
3
xx
xx
xf
x
当
_ _ _ _ _ _ _?x
时，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
小值 ； 当时_ _ _ _ _ _ _ _?x
，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
大值,
练 习 题二、求下列函数的极值：
1,xey
x
c o s? ；
2,
x
xy
1；
3,方程 0
2
ye
yx
所确定的函数 )( xfy? ；
4,
0,0
0,
2
1
x
xe
y
x
.
三,证明题：
1,如果 dcxbxaxy
23
满足条
03
2
acb
，
则函数无极值,
2,设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)( xf,
则 0?x 为 )( xf 的极值点,
一,1,局部； 2,0)(
0
xf ；
3,(1,2),无； 4,1,0,)
1
(,
1
3
e
ee;
二,1,极大值
k
eky
2
4
2
2
)2
4
(,极小值
),2,1,0(
2
2
))12(
4
(
)12(
4
keky
k；
2,极大值
e
eey
1
)(? ；
3,极小值
1)0(y；
4,极小值
0)0(?y
.
练习题答案一、最值的求法
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存在为零的点，则并且至多有有限个导数处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
，最大值 1 4 2)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
点击图片任意处播放 \暂停例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts公里4B
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 3 5 0 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为?
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
点击图片任意处播放 \暂停例 4
形面积最大．
所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,2174096)316( 为极大值 s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?
在 有最小值，但0?x 01)0(f
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ( 41 x ) 的最大值为 __ __
____ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3,函数
2
1 0 0 xy 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
____ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4,设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
=0,25,问力
f
与水平线的交角? 为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5,从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为 ___ __ _ _ _ _ 时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
___ __ ___ __ ___ __ _ 考察区间为 ___ __ ___ _ _ _ _ ___,
二,求函数
x
xy
54
2
( 0?x ) 的最值,
三,求数列
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
五、由 2xy?,0?y,ax? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
O AB,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲线 2xy? 的切线与 OA,OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4(?y,最小值 5)1(y ；
3,10,6 ； 4,)
2
,0[,
s i nc os
,ar c t an
p
f ；
5,?
3
8
,)2,0(,4
24
642
2
3
R
V,
二、
3x
时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
2
2,
2
33
hd
v
h
v
r
五,)
9
4
,
3
2
(
2
aa,
练习题答案一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B C
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
递增)( xf? a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
例 2
.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 xxy
解,s inc o s xxy,c o ss in xxy
.s inc o s xxy
,0y令,47,43 21 xx得
2)43(f,0? 2)47(f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,47(),0,43(
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,94 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
四、小结曲线的弯曲方向 ——凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 ——拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2.
思考题设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf,
其中 ),(0 bax?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答因为 0)( 0 xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf? ),( 0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1,若函数 )( xfy? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2,曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3,曲线 )1l n (
2
xy 的拐点为 _____ ____ _.
4,曲线
)1l n ( xy
拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r c t a n
的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
)( yx?
.
四、求曲线
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题五,试证明曲线
1
1
2
x
x
y 有三个拐点位于同一直线上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy
的拐点？
七,试决定
22
)3( xky 中 k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点,
一,1,),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3,]2,(),,2[),
2
,2(
2
e； 4,
)2ln,1(),2ln,1(?
.
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r c t a n
e,在 ]
2
1
,( 内是凹的,
在 ),
2
1
[ 内是凸的,
四、拐点
)
2
3
,
3
32
( aa
及
)
2
3
,
3
32
( aa?
.
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
练习题答案六、
2
9
,
2
3
ba,
七,
8
2
k,
一、渐近线定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c t a n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([l i m
0)]()([l i m
的一条斜渐近线就是那么为常数或如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
注意,;
)(
l i m)1( 不存在如果
x
xf
x
,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy?
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
)(li m1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
xf
x
)(lim?又
)1(
)3)(2(2li m
xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[lim xxx xx
x
1
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
三、作图举例例 2,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[lim)(lim 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
:补充点 );0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 xxxf
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点 )
21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex?
例 4,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值 0
x
y
o )0,1(?A
)1,0(B )85,23(C
11? 3131?
123 xxxy
四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
s i n
)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy s in?
一,填空题：
1,曲线
x
ey
1
的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ __.
2,曲线
1
1
x
y 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ _,
铅直渐近线为 ____ ___ __ __ ___,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
；
2,
22
)1( xxy ；
3,
xy si nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
的渐近线并画图,
练 习 题一,1,1?y ； 2,1,0 xy,
练习题答案第三章习题课洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f
2、拉格朗日中值定理拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
).10()( 0 xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
3、柯西中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
4、洛必达法则定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
注意,洛必达法则的使用条件,
5、导数的应用定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；
在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个点内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
定义
(2) 函数的极值及其求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf 符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号在在驻点左右的正负号或检查 xfxf
.)4( 求极值步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在导数内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性上在验证罗尔定理对
xy
解 ),1,0(,22, kkxkD
.]65,6[ 上连续且在
内处处存在在又 )65,6(co t xy
)65()6( ff并且 2ln
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的条件上满足罗尔定理在函数
xy
,0c o t xy由内显然有解在 )65,6(,2x
,2取,0)(f则这就验证了命题的正确性,
例 2,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
例 3,
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与 ba? 10 ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af使得 ),1,0(存在有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)(xf
),0(),()0()0()( fff
)1,(),()1()()1( fff
,1)1(,0)0( ff注意到 由?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
)(?f
ba
a
)( )(11 f f )(?f ba
b
+?,得
)(
)(
f
f
.)()( baf bf a
例 4 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx
证明不等式证 ),0(ln)( ttttf令
,1ln)( ttf则,01)( ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx即
.2ln)(lnln yxyxyyxx即例 5 ])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
xxfxff
fxf
证明且上二阶可微在若函数证 ],1,0[0?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf
则有令,1,0 xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf
–?,),1()0( ff?注意到 则有
,1)( xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf
4
1)
2
1( 2
0 x
,]1,0[0 知又由?x,21210x 21)( 0 xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
例 6
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 yx又,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1l i m 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图一,选择题：
1,一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的方法。
（ C ） 它们都先肯定了
点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是什么，也没有给出求 ξ 的方法,
测 验 题
2,若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba,使 0)(f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba,使 0)(?
f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba
，使 0)(?
f；
（ D ） 对任意的
),( ba
，不一定能使
0)(f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有两个不同的根
与
，那么在
),( ba
（ ）
0)( xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax?
时，
0)( xf
，又
0)(?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)(?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)(?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)(?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的正负号无法确定,
6,0)(
0
xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( xf,
二阶导数 0)( xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim
xFxf
axax
，且在点
a
的某邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)(?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10,?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
；
3,)]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
)1l n (
1
,
五、设
dcxbxaxxf
23
)(
有拐点（ 1,2 ）,
并在该点有水平切线，
)( xf
交 x 轴于点（ 3,0 ）,
求
)( xf
,
六,绘出函数 2
)1(4
)(
2
x
x
xf 的 图形,
七,设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 (0,1) 内可导，且
1)1(,0)0( ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的,，使 ba
f
b
f
a
)()(
''
,
一,1,D ； 2,D ； 3,A ； 4,B ； 5,D ；
6,B ； 7,C ； 8,D ； 9,B ； 10,C,
二,1,
a2
1； 2,2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三,1:2,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
xxxxf,
测验题答案
