柱体体积 =底面积 × 高特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz?
D
１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用,分割、求和
、取极限,的方法，如下动画演示．
步骤如下：
用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz?
i
),( ii
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域，
.),(lim
10
ii
n
i
ifV
曲顶柱体的体积设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i
),( ii
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似看作均匀薄片，
所有小块质量之和近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
n
i
iM
x
y
o
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
,
,
2
,
n
,其中
i
表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
上任取 一点
),(
ii
,
作乘积
),(
ii
f
i
,),,2,1( ni,
并作和
ii
n
i
i
f
),(
1
，
二、二重积分的概念积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为
D
dyxf?),(,
即
D
dyxf?),(
ii
n
i
i
f
),(l i m
1
0
.
积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明：
二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
dxdyd
故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为性质１ 当 为常数时,k
.),(),(
DD
dyxfkdyxkf
性质２
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
性质４?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf?
.),(),(
DD
dyxgdyxf
特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
)( 21 DDD
则有设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得性质７
（二重积分中值定理）
D
Mdyxfm ),(
),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计?deI
D
yx
)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
2
2
b
y
a
x
)0( ab,
在 D 上 2220 ayx,
,1 2220 ayx eee
由性质 6 知,222 )( a
D
yx ede
解
de
D
yx )( 22?ab,2aeab?
区域 D 的面积,?ab
例 2 估计
D xyyx
d
I
16222
的值，
其中 D,20,10 yx,
区域面积 2,,16)(
1),(
2 yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22m )2,1( yx
故 4252 I,5.04.0 I
解例 3 判断
1
22 )l n (
yxr
d x d yyx 的符号,
当 1 yxr 时,,1)(0 222 yxyx
故 0)l n ( 22 yx ;
又当 1 yx 时,,0)l n ( 22 yx
于是 0)l n (
1
22
yxr
dxdyyx,
解例 4 比较积分
D
dyx?)l n ( 与
D
dyx?2)][ l n (
的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2 yx
在 D 内有 eyx 21,
故 1)l n( yx,
于是 2)l n ()l n ( yxyx,
因此
D
dyx?)l n (
D
dyx?2)][ l n (,
o x
y
1
21
D
二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积）
（和式的极限）
四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处,
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．
思考题解答一,填空题,
1,当函数 ),( yxf 在闭区域 D 上 _________ ____ _ 时,
则其在 D 上的二重积分必定存在,
2,二 重 积 分
D
dyxf?),( 的 几 何 意 义 是
______ _____ _____ ____ _____ _____ ____ _.
3,若
),( yxf
在 有 界 闭 区 域
D
上 可 积,且
21
DDD
,当
0),(?yxf
时,
则
1
),(
D
dyxf? _____ ____ _
2
),(
D
dyxf? ;
当
0),(?yxf
时,
则
1
),(
D
dyxf? _____ ____ _
2
),(
D
dyxf?,
练 习 题
4,
D
dyx?)s i n ( 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,其中? 是圆域
222 4 yx 的面积, 16,
二,利用二重积分定义证明,
DD
dyxfkdyxkf ),(),(,( 其中 k 为常数 )
三,比较下列积分的大小,
1,
D D
dyxdyx
322
)()( 与,其中 D 是由圆
2)1()2(
22
yx 所围成,
2, dyxdyx
D
2
)][ l n ()l n ( 与,其中 D 是矩形闭区域,10,53 yx,
四、估计积分
D
dyxI?)94( 22 的值,其中 D 是圆形区域,422 yx,
一,1,连续；
2,以 ),( yxfz? 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体体积的代数和；
3,>,< ； 4,
.
三,1,
DD
dyxdyx
32
)()( ；
2,
dyxdyx
D
2
)][l n ()l n (,
四, 100)94(36
22
dyx,
练习题答案如果积分区域为：,bxa ).()( 21 xyx
其中函数,在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
一、利用直角坐标系计算二重积分
［ X－型］
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz?
)(1 xy
)(2 xy
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
得
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
如果积分区域为：,dyc ).()( 21 yxy
［ Y－型］
)(2 yx)(1 yx Dc
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
X型区域的特点,穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图，
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
.
321
DDDD
则必须分割,
xy 1
例 1 改变积分
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy2
22 xxy
例 2 改变积分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
=a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2 aa aay dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax
a2a
a2
a
例 4 求
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy? 和 2yx? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy
D
d x d yyx )( 2 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
dye y 2? 无法用初等函数表示解
积分时必须考虑次序
D
y dxdyex 22 y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y ).21(
6
1
e
例 6 计算积分
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解? dxe x
y
不能用初等函数表示
先改变积分次序,
原式
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz,xyz?,1 yx,0?x,0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 yx?,xyyx
所求体积
D
dxyyxV?)(
10 10 )(x dyxyyxdx
10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
二、小结
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
［ Y－型］
［ X－型］
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题
1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
思考题解答则原式
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 x dyyfdxxf
故
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf
一,填空题,
1,
D
dyyxx?)3(
323
_____ ____ _____ __,其中
,10,10, yxD
2,
D
dyxx?)c o s ( _____ ____ _____ _,其中 D 是顶点分别为
)0,0(
，
)0,(?
，
),(
的三角形闭区域,
3,将二重积分
D
dyxf?),(,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
yryx
所围成的闭区域,化为先对 y
后对 x 的二次积分,应为 _____ _____ ____ _____ __.
练 习 题
4,将二重积分
D
dyxf?),(,其中 D 是由直线
2, xxy 及双曲线 )0(
1
x
x
y 所围成的闭区域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,将二次积分
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
6,将二次积分
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
7,将二次积分
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 ______ _ _____ _____ ____ _____,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1,
D
yx
de?,其中 D 是由 1 yx 所确定的闭区域,
2,
D
dxyx?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 及 所围成的闭区域,
3,
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
c o s
),( 。
4,,2
D
dxdyxy 其中 D,20,11 yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2 yx xy?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx,求该薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz 及
22
26 yxz,所围成的立体的体积,
一,1,1 ； 2,
2
3?；
3,
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5,
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6,
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
ar c s i n
ar c s i n
1
0ar c s i n2
0
1
),(),(
；
7,
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
练习题答案二,1,
1?
ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
5?
,
三、
3
4
.
四,?6,
一、二重积分的换元法
.s i n
,c o s
ry
rx
间的关系为坐标与极坐标之平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角标平面上式可看成是从直角坐
xoy
ro?
换是一对一的．
，且这种变平面上的一点成
，通过上式变换，变面上的一点平即对于
),(
),(
yxMx o y
rM
ro
.),()],(),,([),(
:)3(;0
),(
),(
),()2(
),(),,()1(
),(),,(:
),(
DD
d u d vvuJvuyvuxfd x d yyxf
DDT
vu
yx
vuJD
Dvuyvux
Dx o yDu o v
vuyyvuxxT
Dx o yyxf
是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足
，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理例 1
解所围成的闭区域．线轴和直轴、由其中计算
2
,
yx
yxDd x d ye
D
xy
xy
,,xyvxyu令
.2,2 uvyuvx则
,DD
D
x
y
o
2 yx
D?
u
v
o
vu?vu
2?v
.22;0;0
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
v
u
D
xy
xy
d u d vedxdye
2
1
故
v
v
v
u
duedv
2
02
1
20 1 )(21 vd vee,1 ee
例 2
解所围成的闭区域．椭圆为其中计算
1
,1
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
Ddxdy
b
y
a
x
D
.20,0,0,0 rba其中
,s i n
,c o s
bry
arx作广义极坐标变换
},20,10),{( rrDD在这变换下
.),( ),( a b rr yxJ
故换元公式仍成立，
处为零，内仅当在 0 rDJ
d r dabrrd x d ybyax
DD
22
2
2
2
11.
3
2 ab
二、小结的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决
),(
1
yxf
D
基本要求,变换后定限简便，求积容易．,
),(
),(
1
),(
),(
.2
yx
vuvu
yx
J
计算?de
yx
y yx
D
2)(?
,其中 D,1 yx,
0?x 和 0?y 所围成,
思考题令
yv
yxu
,
vy
vux
雅可比行列式 1),( ),( vu yxJ,
变换后区域为思考题解答
o x
y
1 yx
D
o u
v vu?
D?
deyx y yx
D
2)(
D d u d vJvuf ||),(
dve
u
vdu uu 2
0
1
0
dueu u 2
1
0 2
).1(41 e
D?,1 yx 1 u
0?x 0 vu
0?y 0 v
一,作适当的变换,计算下列二重积分,
1,
D
d x d yyx
22
,其中 D 是由两条双曲线 1?xy 和
2?xy,直线 xy? 和 xy 4? 所围成的在第Ⅰ象限的闭区域,
2,
D
dxdyyx )(
22
,其中
D
是椭圆区域,
14
22
yx,
二,设
D
是由曲线
333
,4,yxxyxy
,
3
4 yx?
所围成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积,
三、试证,
D
dxdycbyaxf )(
1
1
222
)(12 ducbaufu
,其中
D
为
0,1
2222
bayx 且
.
练 习 题一,1,2ln
3
7； 2,?
32
5
.
二、
8
1
.
练习题答案一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
d
d
dyxf ),(
dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 元素,记为,所求量的积分表达式为
D
dyxfU?),(
dU
实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为
R
，
问卫星距地面的高度
h
应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
二、曲面的面积卫星
h
o x
z
１．设曲面的方程为,),( yxfz?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd设小区域
,),(?dyx?点
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，
d ),( yx
M dA
x
y
z
s
o?
,面上的投影在为 xoydAd,co s dAd
,1 1c o s 22
yx ff
dffdA yx 221
,1 22
D
yx dffA?
曲面 S的面积元素曲面面积公式为,d x d yA
xyD
y
z
x
z
22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y
２．设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为, ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x
同理可得例 1 求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA?,
1D,axyx 22
曲面方程 222 yxaz,
于是 221 yzxz,222 yxa
a
解
)0,(?yx
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
d x d y
yxa
a
c o s0 220 14 2 a r d rrada
.42 22 aa
例 2 求由曲面 azyx 22 和 222 yxaz
)0(?a 所围立体的表面积,
解 解方程组,2 22
22
yxaz
azyx
得两曲面的交线为圆周,
222
az
ayx
在 平面上的投影域为xy,,222 ayxD xy
得由 )(1 22 yxaz,2axz x?,2ayz y?
221 yx zz
22 22
1?
a
y
a
x
,441 222 yxaa
知由 222 yxaz 221 yx zz,2
dxdyyxaaS
xyD
222 441故 d x d y
xy
2
r d rraad a 0 2220 4122 a
).15526(6
2
a
),( yx
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系的 重心 的坐标为
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1
D
xdAx?,1
D
ydAy
D
dA?其中
,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
由元素法设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心例 3 设平面薄板由
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( t
与 x 轴围成，它的面密度 1,求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A,
20 t?,ax 20
a dxxyA 2
0
)( 2
0 )]s in([)c o s1( ttadta
20 22 )c o s1( dtta,3 2a
D a?2a?
)(xy
所以形心在 ax 上，即 ax,
D
y d x d yAy 1 )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
a dxxya 20 22 )]([6 1 20 3]co s1[6 dtta,65?
所求形心坐标为 ),( 65 a,
由于区域关于直线 ax 对称,
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为 nmmm,,,21?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量 依次为
n
i
iix
ymI
1
2
,?
n
i
iiy
xmI
1
2
.
四、平面薄片的转动惯量
,),(2
D
x dyxyI
.),(2
D
y dyxxI
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为薄片对于 轴的转动惯量x
薄片对于 轴的转动惯量y
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量,
解 设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图
a
b
o
y
x
对 y 轴的转动惯量为
,2 dxdyxI
D
y
b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
dxdyyI
D
x
2?,
12
1 3?ab?
例 5 已知均匀矩形板 （面密度为常数? ）的长和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
解 先求形心,1
D
x d x d yAx,1
D
yd x d yAy
建立坐标系如图 o
y
x
,hbA区域面积因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标 2
bx?,
2
hy?,
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
h
b
u
v
o?
对 u 轴的转动惯量
D
u d ud vvI
2?
2 2 2 22h h b b dudvv?,12
3?bh
对 v 轴的转动惯量
D
v d u d vuI
2?,
12
3?hb
薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的单位质点的 引力,)0(?a
},,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
3222?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
五、平面薄片对质点的引力例 6 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,222 Ryx,0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
解 由积分区域的对称性知,0 yx FF
d
ayx
yxafF
D
z 23)(
),(
222
d
ayx
af
D
23)( 1 222o y
z
x
F
drr
ar
daf R
0 22
2
0 23)(
1
.112 22 aaRfa
所求引力为
.112,0,0 22
a
aR
fa
几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、
对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
六、小结思考题
.
)0(co s,co s
之间的均匀薄片的重心求位于两圆 babrar
a b x
y
o
薄片关于 轴对称x
,0?y则
D
D
d
dx
x
D
r d rrd
b
a
2
0
c o s
c o s
c o s2
)(
)(
22
4
33
8
ab
ab
.)(2
22
ab
abab
思考题解答一,求锥面
22
yxz 被柱面 xz 2
2
所割下部分的曲面面积,
二,设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆
co s,co s brar )0( ba 之间的闭区域,求均匀薄片的重心,
三,设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片的重心,
四,设均匀薄片 ( 面密度为常数 1) 所占闭区域
D
由抛物线 xy
2
9
2
与直线
2?x
所围成,求 x
I
和
y
I,
练 习 题五、求面密度为常量? 的匀质半圆环形薄片,
0,
22
2
22
1
zyRxyR 对位于 z 轴上点
)0)(,0,0(
0
aaM 处单位质量的质点的引力 F,
六、设由 exoyxy 及,ln 所围的均匀薄板 ( 密度 1 ),
求此薄板绕哪一条垂直于 x 轴的直线旋转时转动惯量最小?
一,?2,
二,)0,
)(2
(
22
ba
baba
.
三,).
5
2
,
5
2
( aa
四,.
7
96
,
5
72
yx
II
五、
),( l n2
22
1
1
22
2
2
22
11
22
22
aR
R
aR
R
aRR
aRR
fF
)
11
(,0
22
1
22
2
aRaR
fa
练习题答案设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域? 上的有界函数，将闭区域? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积 iiii vf),,(,),,2,1( ni,并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf 在闭区域
上的 三重积分,记为
dvzyxf ),,(,
一、三重积分的定义即
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(lim
10
.
.叫做体积元素其中 dv
,?的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果
.lkji zyxv则三重积记为
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(l i m
1
0
.
.积元素叫做直角坐标系中的体其中 d x d y d z
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、三重积分的计算
x
y
z
o
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz?
),(2 yxzz?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
如图，
,D
xoy
面上的投影为闭区域在闭区域?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
,),( 作直线过点 Dyx?
穿出．穿入，从从 21 zz
函数，则的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF
,),()(,21 bxaxyyxyD 得
dvzyxf ),,(
.),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
注意于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
例 1 化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中积分区域? 为由曲面
22
2 yxz
及
2
2 xz 所围成的闭区域,
解 由
2
22
2
2
xz
yxz
,
得交线投影区域
,122 yx
故?,
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,(1 1 2 21 1
2
22
2
2
x
yx
x
x dzzyxfdydxI
例 2 化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域
为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z 所围成的空间闭区域,
1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解
.11,1
,0:
2
22
xyx
yxz
如图，
x y
z
例 3 将
1
0
1
0 0
22
),,(
yx
dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
1D,
10
0 2
y
xz
解
1D
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
11
0
1
2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
2D,
1
1
2
22
yxz
xzx
2D
截面法的一般步骤：
( 1) 把积分区域? 向某轴 （例如 z 轴）投影，得投影区间 ],[ 21 cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去截?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分
z
D
d x d yzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 4 计算三重积分
z d x d yd z,其中? 为三个坐标面及平面 1 zyx 所围成的闭区域,
解 （一）
zd x d yd z,
1
0
zD
d x d yz d z
}1|),{( zyxyxD z
)1)(1(21 zzd x d y
zD
原式
1
0
2)1(
2
1 dzzz
24
1?
.
x
o
z
y1
1
1
z d x d y d z
解 （二）
z zy dxdyz d z 10 1010
z dyzyz d z 1010 )1(
10 2)1(21 dzzz 241?,
x
o
z
y1
1
1
例 5 计算三重积分 dxd y dzz
2
，其中? 是由椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx
}1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
原式,2
zD
c
c
d x d ydzzx
y
z
o
zD解
)1()1( 2
2
2
2
2
2
c
zb
c
zad x d y
zD
),1( 2
2
c
zab
c c dzzczab 22
2
)1(,154 3a b c
|),{( yxD z }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
原式例 6 计算三重积分 d x d y d zxy
2
1,其中?
由曲面
22
1 zxy,122 zx,1?y 所围成,
将? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 zx,
先对 y 积分，
再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
1
1
2
221 zx
D
dyd x d zxy
xz
原式
dzzxxdx x
x 2
1
221
1
1
1
2
2
2
dxzzxx x x2 21 1
3
21
1
2 |)
3(1
1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素
d x d yd zdv?
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结思考题? 为六个平面 0?x,2?x,1?y,42 yx,
xz?,2?z 围成的区域,),,( zyxf 在? 上连续，
则累次积分 ____
dvzyxf ),,(,
选择题,;),,()( 20 1
22 2
x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2
x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2
x
x dzzyxfdydxD
一,填空题,
1,若? 由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成,
则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 化为三次积分是
_ _ ____ ____ ____ _ ____ _ ___,
2,若
是由曲面
0( cxycz
),1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
0?z
所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 可化为三次积分为 ____ _____,
3,若
10,10,10, zyx
,则
d x d y d zzyx )( 可化为三次积分 _______ ___,
其值为 ________ ____.
练 习 题
4,若?,是由 ),0(,0,0 hhzzx
)0(2
222
aayxayx 及 所围成,则三重积分
dvzyxf ),,( 可化为：
(1) 次序为 xyz 的三次积分 ____ _____ ___.
(2) 次序为 zxy 的三次积分 ______ ____ __.
(3) 次序为 yzx 的三次积分 _________ ___.
二、计算
d x d y d zzxy
32
,其中
是由曲面 xyz?,与平面 01, zxxy 和 所围成的闭区域,
三、计算
x z d x d y d z,其中? 是曲面 1,,0 yyzz,
以及抛物柱面
2
xy? 所围成的闭区域,
四、计算
dv
yx
22
1
,其中? 是由六个顶点
),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1( DCBA
)4,2,2(),0,2,2( FE 组成的三棱锥台,
一,1,
11
1
1
1
22
2
2
),,(
yx
x
x
dzzyxfdydx ；
2,
c
xy
a
x
ba
dzzyxfdydx
0
1
00
),,(
2
2；
3,
1
0
1
0
1
0
)( dzzyxdydx,
2
3；
4,
hxa
xa
a
dzzyxfdydx
0
2
0
),,(
22
，
22
2
00
),,(
xa
xa
ah
dyzyxfdxdz；
2222
00
2
20
2
0
),,(),,(
yaha
a
ya
ya
h
a
dxzyxfdzdydxzyxfdzdy
练习题答案二,
364
1
.
三,0.
四,2ln,
,0 r
,20
. z
一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
),(?rP?
r
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平 面．
),,( zyxM
),(?rP r
z
x
y
z
o
d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(
dzr d r dzrrf
d
r
x
y
z
o
dzdr
rd如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzrd rddv
例 1 计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222
zyx 与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
解由
zz
ry
rx
s in
c o s
,
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 rz
知交线为
2
3
2
42
0
3
0
r
r z d zrdrdI,4
13
面上，如图，投影到把闭区域 x o y?
.20
,30
4
3
:
2
2
r
rz
r
，
例２ 计算
d x d y d zyxI )(
22
,其中?
是 曲线 zy 2
2
,0?x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲 面 与两平面,2?z 8?z 所围的立体,
解由
0
22
x
zy
绕 oz 轴旋转得，
旋转面方程为,222 zyx
所围成的立体如图，
:2D,422 yx
.
2
2
20
20
:
22
z
r
r
:1D,1622 yx
,
8
2
40
20
:
21
z
r
r
所围成立体的投影区域如图，
2D1D
,)()(
21
2222
21
d x d yd zyxd x d yd zyx
III
1
2
8
2
1
D
r f d zr d r dI,3
45
2
2
2
2
2
D
r f d zr d r dI,6
25
原式?I?34
5
62
5
336,
8 24020 22r dzrrdrd
2 220 20 22r dzrrdrd
二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
M
rx o yM
POP
xz
zOMMO
rr
MzyxM
),,(
,r0,20,0
规定：
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为如图，
Px y
z
o
),,( zyxM
r
z
y
xA
，轴上的投影为在点
，面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA则
d x d y d zzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ddrdrdv?
d
r
x
y
z
o
dr
dsinr?rd
d
d?sinr
如图，
例 3 计算
d x d yd zyxI )( 22,其中? 是 锥面
222 zyx,与 平面 az? )0(?a 所围的立体,
解 1 采用球面坐标
az,c o s ar
222 zyx,4
,20,40,c o s0, ar
d x d y d zyxI )( 22
drrdd
a
4
0
c o s
0
342
0 s in
da )0c o s(51s in2 5
5
4
0
3
.10 5a
解 2 采用柱面坐标
,,222 ayxD
d x d y d zyxI )( 22 a
r
a dzrr d rd 2
0
2
0
a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a,10 5a
222 zyx,rz
,20,0,, arazr
例 4 求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
解? 由锥面和球面围成,采用球面坐标，
由 2222 2 azyx
,2 ar
22 yxz,4
,20,40,20, ar
由三重积分的性质知
d x d y d zV,
a drrddV 20 2020 s i n4
4
0
3
3
)2(s in2 da.)12(
3
4 3a
补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域? 关于 x o y 平面对称，且被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的偶函数，则三重积分为? 在 x o y 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍,
奇偶性．
例５ 利用对称性简化计算
d x d y d z
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
zyxzyx,
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1ln( 222
222
d x d y d zzyx zyxz
解 2)( zyx
)(2222 zxyzxyzyx
例 6 计算
d x d y d zzyx 2)( 其中? 是由抛物面
22 yxz
和球面 2
222 zyx
所围成的空间闭区域,
其中 yzxy? 是关于 y 的奇函数,
且? 关于 z o x 面对称,
0)( dvyzxy,
同理? zx 是关于 x 的奇函数,
且? 关于 y o z 面对称,,0
x z d v
由对称性知
dvydvx 22,
则
d x d y d zzyxI 2)(
,)2( 22
d x d yd zzx
在柱面坐标下：
,20,10 r,2 22 rzr
,122 yx投影区域 xyD,
22 2 22220 10 )c o s2(rr dzzrrdrdI
).89290(60
（ 1） 柱面坐标的体积元素
dzr d r dd x d yd z
（ 2） 球面坐标的体积元素
ddrdrdx dy dz s i n2?
（ 3） 对称性简化运算三重积分换元法
柱面坐标球面坐标三、小结思考题则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若
,
),,(3
zyxfxyR
;0),,(,_ _ _ _),,( dvzyxfzyxf 为奇函数时关于当
1
),,(___),,(
,____),,(
dvzyxfdvzyxf
zyxf 为偶函数时关于当
.1 面上方的部分在为其中 xy
z
z
2
一,填空题,
1,若? 由曲面 和)(3
222
yxz 16
222
zyx 所围,则三重积分
dvzyxf ),,( 表示成直角坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在柱面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在球面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ __,
2,若
由曲面及
22
2 yxz
22
yxz 所围,
将
z d v 表为柱面坐标下的三次积分 __ __ _ __ __,
其值为 _______,
练 习 题
3,若空间区域? 为二曲面 azyx
22
及
22
2 yxaz 所围,则其体积可表为三重积分
___ __ ___ __ ___ __ ; 或二重积分 ___ __ ___ _ _ _ _ __ ;
或柱面坐标下的三次积分 ___ ___ __ __ __ _ _ _ ___ _,
4,若由不等式
2222
)( aazyx,
222
zyx
所确定,将
z d v 表为球面坐标下的三次积分为
___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ _ ；其值为 ___ _ _ _ __ __,
二、计算下列三重积分,
1,
dvyx )( 22,其中? 是由曲面?24 z )(25 22 yx?
及平面 5?z 所围成的闭区域,
2,
dvyx )(
22
,其中? 由不等式
0,0
222
zAzyxa 所确定,
3,
d x d y d z
c
z
b
y
a
x
)(
2
2
2
2
2
2
,
其中
1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx,
三、求曲面
22
5 yxz
及 zyx 4
22
所围成的立体的体积,
四、曲面
222
4 aazyx 将球体 azzyx 4
222
分成两部分,试求两部分的体积之比,
五、求由曲面,0,,22 xayxyxz 0,0 zy
所围成立体的重心 ( 设密度 1 ).
六、求半径为 a,高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 ( 设密度 )1,
一,1,
22
22
2
2
16
)(3
4
4
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx
)(3
16
4
4
2
2
22
22
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx,
2
16
3
2
0
2
0
),s i n,c o s(
r
r
dzzrrfr d rd
r
r
dzzrrfr d rd
3
16
2
0
2
0
2
),s i n,c o s(,
4
0
6
0
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr s i n)c o s,s i ns i n
2
4
0
6
5
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr s i n)c os,s i ns i n
2；
练习题答案
2,
2
2
21
0
2
0
r
r
z d zr d rd,
12
7?；
3,
dv,
D
d x d y
a
yx
yxa )2(
22
22
,
ra
a
r
a
dzr d rd
2
0
2
0
2；
4,
4
c o s2
0
3
4
0
2
0
6
7
,c o ss i n adrrdd
a
.
二,1,
8； 2,)(
15
4
55
aA?；
3,a b c?
5
4
.
三,)455(
3
2
,
四、
27
37
6
27
6
37
3
3
2
1
a
a
V
V
.
五,)
30
7
,
5
2
,
5
2
(
2
aaa,
六,)
3
(
4
2
2
h
a
M
( 其中 haM
2
为圆柱体的质量 ).
第八章习题课定 义几何意义性 质计算法应 用二重积分定 义几何意义性 质计算法应 用三重积分一、主要内容定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
,?,
2
,
n
,其中
i
表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点 ),( ii,
作乘积
),(
ii
f
i
,),,2,1( ni,
并作和
ii
n
i
i
f
),(
1
，
1、二重积分的定义如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为
D
dyxf?),(,
即
D
dyxf?),(
ii
n
i
i
f
),(l i m
1
0
２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
性质１ 当 为常数时，k
.),(),(
DD
dyxfkdyxkf
性质２
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
３、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质４?若 为 D的面积,1
D D
dd
性质５ 若在 D上,),(),( yxgyxf?
.),(),(
DD
dyxgdyxf
特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(
（二重积分估值不等式）
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
),(),( fdyxf
D
.性质７
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
,,bxaD ).()( 21 xyx［ X－型］
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
X-型区域的特点,穿过区域且平行于 y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
（１）直角坐标系下
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
,,dycD ).()( 21 yxy［ Y－型］
.)s in,c o s()( )(2
1
r d rrrfd
1
)s i n,co s(
D
r d r drrf
,:1D ).()( 21 r
（２）极坐标系下
.)s in,c o s()(0 r d rrrfd
,:2D ).(0 r
2
)s i n,co s(
D
r d r drrf
3
)s i n,co s(
D
r d r drrf
.)s in,c o s()(020 r d rrrfd
,20:3D ).(0 r
5、二重积分的应用
(1) 体积的体积为之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(?
D
dxdyyxfV,),(
设 S曲面的方程为,).,( yxfz?
曲面 S的面积为 ;1 22 d x d yA
xyD
y
z
x
z
(2) 曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心,
,1
D
xdAx?,1
D
ydAy
D
dA?其中
,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心为
(3) 重心薄片对于 x轴的转动惯量薄片对于 y轴的转动惯量
,),(2
D
x dyxyI
.),(2
D
y dyxxI
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
(4) 转动惯量薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
},,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
322?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
(5) 引力
6、三重积分的定义设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域? 上的有界函数，将闭区域? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,
,?
n
v?,其中
n
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积
iiii
vf),,(,),,2,1( ni,并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域
上的三重积分，记为
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(lim
10
.
7、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．
时当
Vdv
zyxf,1),,(
8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．
9、三重积分的计算
.);()();,(),(,2121 bxaxyyxyyxzzyxz
.),,(),,( )(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz
dzzyxfdydxdvzyxf
}.,),(),,{( 21 czcDyxzyx z
.),,(),,( 2
1
zD
c
c
dxdyzyxfdzdvzyxf
(１ ) 直角坐标
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
(２ ) 柱面坐标
.),s in,c o s(
),,(
dzr d r dzrrf
dvzyxf
,dzrd rddv
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
,s i n2 ddrdrdv?
d x d y d zzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dd rdrrrrf
(３ ) 球面坐标
10、三重积分的应用
.
dvM?其中
,1
dvxMx?
设物体占有空间闭区域?,在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在? 上连续，则该物体的重心为
(１ ) 重心
,1
dvyMy?,1
dvzMz?
,2
dvzI xy?
(２ ) 转动惯量 设物体占有空间闭区域?,在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在? 上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
,2
dvxI yz?,2
dvyI zx?
,)( 22
dvzyI x?,)( 22
dvxzI y?
,)( 22
dvyxI z?,)( 222
dvzyxI o?
D
二、典型例题例 1
解围成．
由其中计算 2,
1
,.
2
2
x
x
yxyDd
y
x
D
X-型
x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
21 1
2
)( dxyx x
x?
21 3 )( dxxx.49?
.21,1, xxyxD
例 2
解
.10,11:.2 yxDdxy
D
其中计算?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
dxydyx
dxy
DDD
D
321
)()( 22
2
1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
)0(.),(2220 2 adyyxfdxI ax xaxa更换积分次序例 3
解
,22
,20
,2
axyxax
ax
D
,
,
3
21
三部分及分成将积分区域
D
DDD
2D
1D 3D;0
,
2
,22
2
1
ay
yaax
a
y
D
;2,22:
2
2 ayaaxa
yD;0
,2,223
ay
axyaaD
.),(),(
),(
2
0
2
2
2
0
2
0
22
2
22
2
a
yaa
aa
a
y
a
yaa
a
y
a
dxyxfdydxyxfdy
dxyxfdyI故例 4
解
）．所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算
arar
Ddyx
D
)c o s1(
.22
)c o s1(
2
2
22
a
a
D
r d rrd
dyx
2
2
33 ]1)c o s1[(
3
1 da
).2922(3 a
例 5
解所围成．及由其中计算
00
,1.)c o s (
yx
yxDdxdy
yx
yx
I
D
,,yxvyxu令
.2,2 uvyvux则
,DD
D
x
y
o
1 yx
D?
u
v
o
vu?vu
1?v
.11;0;0
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
d ud vJ
v
u
I c o s故
v
v
du
v
u
dv c o s
2
1 1
0
.1s i n211s i n221 1
0
vd v
例 6,)()(
1
1
)()( 12
b
a
n
x
a
n
b
a
dyyfyb
n
dyyfyxdx
证明证
b
y
n
b
a
x
a
n
b
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
ba bynyxndyyf ])(11[)( 1
.)()(11 1 b
a
n dyyfyb
n
D
xy?
b
b
a
a
例 7
组成的三棱锥台．
是由六个顶点，其中计算
)4,2,2(
),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
:
1
22
F
EDCBA
dv
yx
解,ABEDx o y 面上的投影为梯形在
为顶的柱体．以梯形为底，是以梯形
A C F D
A B E D
,轴所在平面过梯形 xA C F D?
,0 zy设其方程为 x
y
z
C
A
F
EDB
O
.02,)2,1,1( yzC 得其方程为点又因过
.21;0;20, xxyyz
yx dzdy
yxdxdvyx
2
00 22
2
122
11
x dyyx ydx 0 2221 2
21 22 ]ln)2[ l n( dxxx.2ln?
例 8
所围成的．
与由其中，计算
22
22
1
)(
yxz
yxzdvzx
解利用球面坐标奇函数，
的为面为对称，关于 xxzyxfyo z ),,(?
.0
xdv有
z d vdvzx )(
1
0
24
0
2
0 s i nco s drrrdd,8
例９,1,222
zyxdve z,计算解法．，故采用＂先二后一＂
为圆域的函数，截面被积函数仅为
222 1
)(
zyx
zDz
上
dvedve zz 2
10
)(
][2 dzed x d y z
zD
10 2 )1(2 dzez z.2
例 10,)()(
2
1
]))(([
0
2
0 0 0
xx v u
dttftxdvdudttf
证明证 思路：从改变积分次序入手．
v vtv u dutfdtdttfdu 00 0 )()( v dttftv0,)()(
x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([
x xt dvtftvdt0 )()(,)()(21 0 2 x dttftx
一、选择题,
1,
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( =( )
( A)
1
0
1
0
),( dxyxfdy
x； (B)
x
dxyxfdy
1
0
1
0
),( ；
( C)
1
0
1
0
),( dxyxfdy ； (D)
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
2,设
D
为
222
ayx,当
a
( ) 时,
D
d x d yyxa
222
.
( A) 1 ； (B)
3
2
3；
( C)
3
4
3； (D)
3
2
1
,
测 验 题
3,当 D 是 ( ) 围成的区域时,二重积分
D
dxdy =1.
(A) x 轴,y 轴及 022 yx ； ( B)
3
1
,
2
1
yx ；
(C) x 轴,y 轴及
3,4 yx； (D),1,1 yxyx
4,
D
xy
dxdyxe 的值为 ( ),其中区域为
D
01,10 yx
.
(A)
e
1； ( B)
e；
(C)
e
1； (D) 1,
5,设
D
d x d yyxI )(
22
,其中 D 由
222
ayx 所围成,则 I =( ).
( A)
4
0
2
2
0
ar d rad
a
;(B)
4
0
2
2
0
2
1
ar d rrd
a
;
( C)
3
0
2
2
0
3
2
adrrd
a
;(D)
4
0
2
2
0
2 aa d rad
a
.
6,设
是由三个坐标面与平面
zyx 2
=1 所围成的空间区域,则
x d x d y d z
=( ).
(A)
48
1； (B)
48
1；
(C )
24
1； (D )
24
1
,
7,设? 是锥面,0(
2
2
2
2
2
2
a
b
y
a
x
c
z
)0,0 cb 与平面
czyx,0,0 所围成的空间区域在第一卦限的部分,则
d x d y d z
z
xy
=( ).
(A) cba
22
36
1； (B) bba
22
36
1；
(C) acb
22
36
1； (D) abc
36
1
.
8,计算
z d vI
,其 1,
222
zyxz为中 围成的立体,则正确的解法为 ( ) 和 ( ).
9,曲面
22
yxz 包含在圆柱 xyx 2
22
内部的那部分面积?s ( ).
(A)?3 ； (B)?2 ；
(C)?5 ； ( D )?22,
10,由直线
2,2,2 yxyx
所围成的质量分布均匀
( 设面密度为
) 的平面薄板,关于
x
轴的转动惯量
xI = ( ).
(A)
3； (B)
5；
(C)
4； (D)
6
.
(A)
1
0
1
0
2
0
z d zr d rdI ； (B)
11
0
2
0 r
z d zr d rdI ；
(C)
11
0
2
0 r
r d rdzdI ； ( D )
z
z r d rddzI
0
2
0
1
0
.
二、计算下列二重积分,
1,
D
dyx?)(
22
,其中 D 是闭区域,
,0,s i n0 xxy
2,
D
d
x
y
a r c ta n,其中
D
是由直线 0?y 及圆周
1,4
2222
yxyx,xy? 所围成的在第一象限内的闭区域,
3,
D
dyxy?)963(
2
,其中 D 是闭区域,
222
Ryx
4,
D
dyx?2
22
,其中
D
,3
22
yx,
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序,
1,
yy
dxyxfdydxyxfdy
3
0
3
1
2
0
1
0
),(),( ；
2,
2
111
0
),(
x
x
dyyxfdx ；
3,
00
)s i n,c o s( r d rrrfd
a
.
四、将三次积分
y
xx
dzzyxfdydx ),,(
11
0
改换积分次序为
zyx
.
五、计算下列三重积分,
1,
,)c o s ( d x d y d zzxy,抛物柱面 xy?
2
,,
zxozoy及平面所围成的区域,
2,,)(
22
dvzy 其中? 是由 x o y 平面上曲线
xy 2
2
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5?x 所围成的闭区域,
3,,
1
)1l n (
222
222
dv
zyx
zyxz
其中
是由球面
1
222
zyx 所围成的闭区域,
六、求平面 1
c
z
b
y
a
x
被三坐标面所割出的有限部分的面积,
七,设
)( xf
在
]1,0[
上连续,试证,
3
1
0
1
0
1
])([
6
1
)()()(
dxxfd x d y d zzfyfxf
x
y
x
,
一,1,D ； 2,C ； 3,A ； 4,A ； 5,B ；
6,A ； 7,A ； 8,B,D ； 9,B ； 10,C.
二,1,
9
40
2
； 2,
2
64
3； 3,
24
9
4
RR； 4,,
2
5
三,1,
x
x
dyyxfdx
3
2
2
0
),( ；
2,
22
2
0
2
10
1
0
),(),(
yyy
dxyxfdydxyxfdy；
3,
a
r
a
drrfr d r )s i n,c o s(
0
.
四、
z
z
dxzyxfdydz
0
11
0
),,(,
五,1,
2
1
16
2
； 2,?
3
2 5 0； 3,0.
测验题答案六、
222222
2
1
accbba,
七、提示：
0)0(,)()(
)()(,)()(
1
0
0
FdxxftF
xfxFdttfxF
x
且则
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz?
D
１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用,分割、求和
、取极限,的方法，如下动画演示．
步骤如下：
用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz?
i
),( ii
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域，
.),(lim
10
ii
n
i
ifV
曲顶柱体的体积设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i
),( ii
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似看作均匀薄片，
所有小块质量之和近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
n
i
iM
x
y
o
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
,
,
2
,
n
,其中
i
表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
上任取 一点
),(
ii
,
作乘积
),(
ii
f
i
,),,2,1( ni,
并作和
ii
n
i
i
f
),(
1
，
二、二重积分的概念积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为
D
dyxf?),(,
即
D
dyxf?),(
ii
n
i
i
f
),(l i m
1
0
.
积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明：
二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
dxdyd
故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为性质１ 当 为常数时,k
.),(),(
DD
dyxfkdyxkf
性质２
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
性质４?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf?
.),(),(
DD
dyxgdyxf
特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
)( 21 DDD
则有设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得性质７
（二重积分中值定理）
D
Mdyxfm ),(
),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计?deI
D
yx
)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
2
2
b
y
a
x
)0( ab,
在 D 上 2220 ayx,
,1 2220 ayx eee
由性质 6 知,222 )( a
D
yx ede
解
de
D
yx )( 22?ab,2aeab?
区域 D 的面积,?ab
例 2 估计
D xyyx
d
I
16222
的值，
其中 D,20,10 yx,
区域面积 2,,16)(
1),(
2 yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22m )2,1( yx
故 4252 I,5.04.0 I
解例 3 判断
1
22 )l n (
yxr
d x d yyx 的符号,
当 1 yxr 时,,1)(0 222 yxyx
故 0)l n ( 22 yx ;
又当 1 yx 时,,0)l n ( 22 yx
于是 0)l n (
1
22
yxr
dxdyyx,
解例 4 比较积分
D
dyx?)l n ( 与
D
dyx?2)][ l n (
的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2 yx
在 D 内有 eyx 21,
故 1)l n( yx,
于是 2)l n ()l n ( yxyx,
因此
D
dyx?)l n (
D
dyx?2)][ l n (,
o x
y
1
21
D
二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积）
（和式的极限）
四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处,
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．
思考题解答一,填空题,
1,当函数 ),( yxf 在闭区域 D 上 _________ ____ _ 时,
则其在 D 上的二重积分必定存在,
2,二 重 积 分
D
dyxf?),( 的 几 何 意 义 是
______ _____ _____ ____ _____ _____ ____ _.
3,若
),( yxf
在 有 界 闭 区 域
D
上 可 积,且
21
DDD
,当
0),(?yxf
时,
则
1
),(
D
dyxf? _____ ____ _
2
),(
D
dyxf? ;
当
0),(?yxf
时,
则
1
),(
D
dyxf? _____ ____ _
2
),(
D
dyxf?,
练 习 题
4,
D
dyx?)s i n ( 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,其中? 是圆域
222 4 yx 的面积, 16,
二,利用二重积分定义证明,
DD
dyxfkdyxkf ),(),(,( 其中 k 为常数 )
三,比较下列积分的大小,
1,
D D
dyxdyx
322
)()( 与,其中 D 是由圆
2)1()2(
22
yx 所围成,
2, dyxdyx
D
2
)][ l n ()l n ( 与,其中 D 是矩形闭区域,10,53 yx,
四、估计积分
D
dyxI?)94( 22 的值,其中 D 是圆形区域,422 yx,
一,1,连续；
2,以 ),( yxfz? 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体体积的代数和；
3,>,< ； 4,
.
三,1,
DD
dyxdyx
32
)()( ；
2,
dyxdyx
D
2
)][l n ()l n (,
四, 100)94(36
22
dyx,
练习题答案如果积分区域为：,bxa ).()( 21 xyx
其中函数,在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
一、利用直角坐标系计算二重积分
［ X－型］
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz?
)(1 xy
)(2 xy
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
得
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
如果积分区域为：,dyc ).()( 21 yxy
［ Y－型］
)(2 yx)(1 yx Dc
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
X型区域的特点,穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图，
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
.
321
DDDD
则必须分割,
xy 1
例 1 改变积分
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy2
22 xxy
例 2 改变积分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
=a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2 aa aay dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax
a2a
a2
a
例 4 求
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy? 和 2yx? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy
D
d x d yyx )( 2 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
dye y 2? 无法用初等函数表示解
积分时必须考虑次序
D
y dxdyex 22 y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y ).21(
6
1
e
例 6 计算积分
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解? dxe x
y
不能用初等函数表示
先改变积分次序,
原式
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz,xyz?,1 yx,0?x,0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 yx?,xyyx
所求体积
D
dxyyxV?)(
10 10 )(x dyxyyxdx
10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
二、小结
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
［ Y－型］
［ X－型］
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题
1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
思考题解答则原式
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 x dyyfdxxf
故
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf
一,填空题,
1,
D
dyyxx?)3(
323
_____ ____ _____ __,其中
,10,10, yxD
2,
D
dyxx?)c o s ( _____ ____ _____ _,其中 D 是顶点分别为
)0,0(
，
)0,(?
，
),(
的三角形闭区域,
3,将二重积分
D
dyxf?),(,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
yryx
所围成的闭区域,化为先对 y
后对 x 的二次积分,应为 _____ _____ ____ _____ __.
练 习 题
4,将二重积分
D
dyxf?),(,其中 D 是由直线
2, xxy 及双曲线 )0(
1
x
x
y 所围成的闭区域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,将二次积分
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
6,将二次积分
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
7,将二次积分
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 ______ _ _____ _____ ____ _____,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1,
D
yx
de?,其中 D 是由 1 yx 所确定的闭区域,
2,
D
dxyx?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 及 所围成的闭区域,
3,
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
c o s
),( 。
4,,2
D
dxdyxy 其中 D,20,11 yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2 yx xy?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx,求该薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz 及
22
26 yxz,所围成的立体的体积,
一,1,1 ； 2,
2
3?；
3,
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5,
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6,
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
ar c s i n
ar c s i n
1
0ar c s i n2
0
1
),(),(
；
7,
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
练习题答案二,1,
1?
ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
5?
,
三、
3
4
.
四,?6,
一、二重积分的换元法
.s i n
,c o s
ry
rx
间的关系为坐标与极坐标之平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角标平面上式可看成是从直角坐
xoy
ro?
换是一对一的．
，且这种变平面上的一点成
，通过上式变换，变面上的一点平即对于
),(
),(
yxMx o y
rM
ro
.),()],(),,([),(
:)3(;0
),(
),(
),()2(
),(),,()1(
),(),,(:
),(
DD
d u d vvuJvuyvuxfd x d yyxf
DDT
vu
yx
vuJD
Dvuyvux
Dx o yDu o v
vuyyvuxxT
Dx o yyxf
是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足
，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理例 1
解所围成的闭区域．线轴和直轴、由其中计算
2
,
yx
yxDd x d ye
D
xy
xy
,,xyvxyu令
.2,2 uvyuvx则
,DD
D
x
y
o
2 yx
D?
u
v
o
vu?vu
2?v
.22;0;0
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
v
u
D
xy
xy
d u d vedxdye
2
1
故
v
v
v
u
duedv
2
02
1
20 1 )(21 vd vee,1 ee
例 2
解所围成的闭区域．椭圆为其中计算
1
,1
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
Ddxdy
b
y
a
x
D
.20,0,0,0 rba其中
,s i n
,c o s
bry
arx作广义极坐标变换
},20,10),{( rrDD在这变换下
.),( ),( a b rr yxJ
故换元公式仍成立，
处为零，内仅当在 0 rDJ
d r dabrrd x d ybyax
DD
22
2
2
2
11.
3
2 ab
二、小结的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决
),(
1
yxf
D
基本要求,变换后定限简便，求积容易．,
),(
),(
1
),(
),(
.2
yx
vuvu
yx
J
计算?de
yx
y yx
D
2)(?
,其中 D,1 yx,
0?x 和 0?y 所围成,
思考题令
yv
yxu
,
vy
vux
雅可比行列式 1),( ),( vu yxJ,
变换后区域为思考题解答
o x
y
1 yx
D
o u
v vu?
D?
deyx y yx
D
2)(
D d u d vJvuf ||),(
dve
u
vdu uu 2
0
1
0
dueu u 2
1
0 2
).1(41 e
D?,1 yx 1 u
0?x 0 vu
0?y 0 v
一,作适当的变换,计算下列二重积分,
1,
D
d x d yyx
22
,其中 D 是由两条双曲线 1?xy 和
2?xy,直线 xy? 和 xy 4? 所围成的在第Ⅰ象限的闭区域,
2,
D
dxdyyx )(
22
,其中
D
是椭圆区域,
14
22
yx,
二,设
D
是由曲线
333
,4,yxxyxy
,
3
4 yx?
所围成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积,
三、试证,
D
dxdycbyaxf )(
1
1
222
)(12 ducbaufu
,其中
D
为
0,1
2222
bayx 且
.
练 习 题一,1,2ln
3
7； 2,?
32
5
.
二、
8
1
.
练习题答案一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
d
d
dyxf ),(
dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 元素,记为,所求量的积分表达式为
D
dyxfU?),(
dU
实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为
R
，
问卫星距地面的高度
h
应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
二、曲面的面积卫星
h
o x
z
１．设曲面的方程为,),( yxfz?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd设小区域
,),(?dyx?点
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，
d ),( yx
M dA
x
y
z
s
o?
,面上的投影在为 xoydAd,co s dAd
,1 1c o s 22
yx ff
dffdA yx 221
,1 22
D
yx dffA?
曲面 S的面积元素曲面面积公式为,d x d yA
xyD
y
z
x
z
22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y
２．设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为, ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x
同理可得例 1 求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA?,
1D,axyx 22
曲面方程 222 yxaz,
于是 221 yzxz,222 yxa
a
解
)0,(?yx
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
d x d y
yxa
a
c o s0 220 14 2 a r d rrada
.42 22 aa
例 2 求由曲面 azyx 22 和 222 yxaz
)0(?a 所围立体的表面积,
解 解方程组,2 22
22
yxaz
azyx
得两曲面的交线为圆周,
222
az
ayx
在 平面上的投影域为xy,,222 ayxD xy
得由 )(1 22 yxaz,2axz x?,2ayz y?
221 yx zz
22 22
1?
a
y
a
x
,441 222 yxaa
知由 222 yxaz 221 yx zz,2
dxdyyxaaS
xyD
222 441故 d x d y
xy
2
r d rraad a 0 2220 4122 a
).15526(6
2
a
),( yx
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系的 重心 的坐标为
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1
D
xdAx?,1
D
ydAy
D
dA?其中
,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
由元素法设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心例 3 设平面薄板由
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( t
与 x 轴围成，它的面密度 1,求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A,
20 t?,ax 20
a dxxyA 2
0
)( 2
0 )]s in([)c o s1( ttadta
20 22 )c o s1( dtta,3 2a
D a?2a?
)(xy
所以形心在 ax 上，即 ax,
D
y d x d yAy 1 )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
a dxxya 20 22 )]([6 1 20 3]co s1[6 dtta,65?
所求形心坐标为 ),( 65 a,
由于区域关于直线 ax 对称,
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为 nmmm,,,21?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量 依次为
n
i
iix
ymI
1
2
,?
n
i
iiy
xmI
1
2
.
四、平面薄片的转动惯量
,),(2
D
x dyxyI
.),(2
D
y dyxxI
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为薄片对于 轴的转动惯量x
薄片对于 轴的转动惯量y
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量,
解 设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图
a
b
o
y
x
对 y 轴的转动惯量为
,2 dxdyxI
D
y
b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
dxdyyI
D
x
2?,
12
1 3?ab?
例 5 已知均匀矩形板 （面密度为常数? ）的长和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
解 先求形心,1
D
x d x d yAx,1
D
yd x d yAy
建立坐标系如图 o
y
x
,hbA区域面积因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标 2
bx?,
2
hy?,
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
h
b
u
v
o?
对 u 轴的转动惯量
D
u d ud vvI
2?
2 2 2 22h h b b dudvv?,12
3?bh
对 v 轴的转动惯量
D
v d u d vuI
2?,
12
3?hb
薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的单位质点的 引力,)0(?a
},,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
3222?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
五、平面薄片对质点的引力例 6 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,222 Ryx,0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
解 由积分区域的对称性知,0 yx FF
d
ayx
yxafF
D
z 23)(
),(
222
d
ayx
af
D
23)( 1 222o y
z
x
F
drr
ar
daf R
0 22
2
0 23)(
1
.112 22 aaRfa
所求引力为
.112,0,0 22
a
aR
fa
几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、
对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
六、小结思考题
.
)0(co s,co s
之间的均匀薄片的重心求位于两圆 babrar
a b x
y
o
薄片关于 轴对称x
,0?y则
D
D
d
dx
x
D
r d rrd
b
a
2
0
c o s
c o s
c o s2
)(
)(
22
4
33
8
ab
ab
.)(2
22
ab
abab
思考题解答一,求锥面
22
yxz 被柱面 xz 2
2
所割下部分的曲面面积,
二,设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆
co s,co s brar )0( ba 之间的闭区域,求均匀薄片的重心,
三,设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片的重心,
四,设均匀薄片 ( 面密度为常数 1) 所占闭区域
D
由抛物线 xy
2
9
2
与直线
2?x
所围成,求 x
I
和
y
I,
练 习 题五、求面密度为常量? 的匀质半圆环形薄片,
0,
22
2
22
1
zyRxyR 对位于 z 轴上点
)0)(,0,0(
0
aaM 处单位质量的质点的引力 F,
六、设由 exoyxy 及,ln 所围的均匀薄板 ( 密度 1 ),
求此薄板绕哪一条垂直于 x 轴的直线旋转时转动惯量最小?
一,?2,
二,)0,
)(2
(
22
ba
baba
.
三,).
5
2
,
5
2
( aa
四,.
7
96
,
5
72
yx
II
五、
),( l n2
22
1
1
22
2
2
22
11
22
22
aR
R
aR
R
aRR
aRR
fF
)
11
(,0
22
1
22
2
aRaR
fa
练习题答案设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域? 上的有界函数，将闭区域? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积 iiii vf),,(,),,2,1( ni,并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf 在闭区域
上的 三重积分,记为
dvzyxf ),,(,
一、三重积分的定义即
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(lim
10
.
.叫做体积元素其中 dv
,?的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果
.lkji zyxv则三重积记为
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(l i m
1
0
.
.积元素叫做直角坐标系中的体其中 d x d y d z
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、三重积分的计算
x
y
z
o
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz?
),(2 yxzz?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
如图，
,D
xoy
面上的投影为闭区域在闭区域?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
,),( 作直线过点 Dyx?
穿出．穿入，从从 21 zz
函数，则的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF
,),()(,21 bxaxyyxyD 得
dvzyxf ),,(
.),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
注意于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
例 1 化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中积分区域? 为由曲面
22
2 yxz
及
2
2 xz 所围成的闭区域,
解 由
2
22
2
2
xz
yxz
,
得交线投影区域
,122 yx
故?,
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,(1 1 2 21 1
2
22
2
2
x
yx
x
x dzzyxfdydxI
例 2 化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域
为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z 所围成的空间闭区域,
1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解
.11,1
,0:
2
22
xyx
yxz
如图，
x y
z
例 3 将
1
0
1
0 0
22
),,(
yx
dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
1D,
10
0 2
y
xz
解
1D
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
11
0
1
2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
2D,
1
1
2
22
yxz
xzx
2D
截面法的一般步骤：
( 1) 把积分区域? 向某轴 （例如 z 轴）投影，得投影区间 ],[ 21 cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去截?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分
z
D
d x d yzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 4 计算三重积分
z d x d yd z,其中? 为三个坐标面及平面 1 zyx 所围成的闭区域,
解 （一）
zd x d yd z,
1
0
zD
d x d yz d z
}1|),{( zyxyxD z
)1)(1(21 zzd x d y
zD
原式
1
0
2)1(
2
1 dzzz
24
1?
.
x
o
z
y1
1
1
z d x d y d z
解 （二）
z zy dxdyz d z 10 1010
z dyzyz d z 1010 )1(
10 2)1(21 dzzz 241?,
x
o
z
y1
1
1
例 5 计算三重积分 dxd y dzz
2
，其中? 是由椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx
}1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
原式,2
zD
c
c
d x d ydzzx
y
z
o
zD解
)1()1( 2
2
2
2
2
2
c
zb
c
zad x d y
zD
),1( 2
2
c
zab
c c dzzczab 22
2
)1(,154 3a b c
|),{( yxD z }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
原式例 6 计算三重积分 d x d y d zxy
2
1,其中?
由曲面
22
1 zxy,122 zx,1?y 所围成,
将? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 zx,
先对 y 积分，
再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
1
1
2
221 zx
D
dyd x d zxy
xz
原式
dzzxxdx x
x 2
1
221
1
1
1
2
2
2
dxzzxx x x2 21 1
3
21
1
2 |)
3(1
1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素
d x d yd zdv?
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结思考题? 为六个平面 0?x,2?x,1?y,42 yx,
xz?,2?z 围成的区域,),,( zyxf 在? 上连续，
则累次积分 ____
dvzyxf ),,(,
选择题,;),,()( 20 1
22 2
x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2
x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2
x
x dzzyxfdydxD
一,填空题,
1,若? 由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成,
则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 化为三次积分是
_ _ ____ ____ ____ _ ____ _ ___,
2,若
是由曲面
0( cxycz
),1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
0?z
所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 可化为三次积分为 ____ _____,
3,若
10,10,10, zyx
,则
d x d y d zzyx )( 可化为三次积分 _______ ___,
其值为 ________ ____.
练 习 题
4,若?,是由 ),0(,0,0 hhzzx
)0(2
222
aayxayx 及 所围成,则三重积分
dvzyxf ),,( 可化为：
(1) 次序为 xyz 的三次积分 ____ _____ ___.
(2) 次序为 zxy 的三次积分 ______ ____ __.
(3) 次序为 yzx 的三次积分 _________ ___.
二、计算
d x d y d zzxy
32
,其中
是由曲面 xyz?,与平面 01, zxxy 和 所围成的闭区域,
三、计算
x z d x d y d z,其中? 是曲面 1,,0 yyzz,
以及抛物柱面
2
xy? 所围成的闭区域,
四、计算
dv
yx
22
1
,其中? 是由六个顶点
),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1( DCBA
)4,2,2(),0,2,2( FE 组成的三棱锥台,
一,1,
11
1
1
1
22
2
2
),,(
yx
x
x
dzzyxfdydx ；
2,
c
xy
a
x
ba
dzzyxfdydx
0
1
00
),,(
2
2；
3,
1
0
1
0
1
0
)( dzzyxdydx,
2
3；
4,
hxa
xa
a
dzzyxfdydx
0
2
0
),,(
22
，
22
2
00
),,(
xa
xa
ah
dyzyxfdxdz；
2222
00
2
20
2
0
),,(),,(
yaha
a
ya
ya
h
a
dxzyxfdzdydxzyxfdzdy
练习题答案二,
364
1
.
三,0.
四,2ln,
,0 r
,20
. z
一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
),(?rP?
r
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平 面．
),,( zyxM
),(?rP r
z
x
y
z
o
d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(
dzr d r dzrrf
d
r
x
y
z
o
dzdr
rd如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzrd rddv
例 1 计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222
zyx 与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
解由
zz
ry
rx
s in
c o s
,
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 rz
知交线为
2
3
2
42
0
3
0
r
r z d zrdrdI,4
13
面上，如图，投影到把闭区域 x o y?
.20
,30
4
3
:
2
2
r
rz
r
，
例２ 计算
d x d y d zyxI )(
22
,其中?
是 曲线 zy 2
2
,0?x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲 面 与两平面,2?z 8?z 所围的立体,
解由
0
22
x
zy
绕 oz 轴旋转得，
旋转面方程为,222 zyx
所围成的立体如图，
:2D,422 yx
.
2
2
20
20
:
22
z
r
r
:1D,1622 yx
,
8
2
40
20
:
21
z
r
r
所围成立体的投影区域如图，
2D1D
,)()(
21
2222
21
d x d yd zyxd x d yd zyx
III
1
2
8
2
1
D
r f d zr d r dI,3
45
2
2
2
2
2
D
r f d zr d r dI,6
25
原式?I?34
5
62
5
336,
8 24020 22r dzrrdrd
2 220 20 22r dzrrdrd
二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
M
rx o yM
POP
xz
zOMMO
rr
MzyxM
),,(
,r0,20,0
规定：
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为如图，
Px y
z
o
),,( zyxM
r
z
y
xA
，轴上的投影为在点
，面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA则
d x d y d zzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ddrdrdv?
d
r
x
y
z
o
dr
dsinr?rd
d
d?sinr
如图，
例 3 计算
d x d yd zyxI )( 22,其中? 是 锥面
222 zyx,与 平面 az? )0(?a 所围的立体,
解 1 采用球面坐标
az,c o s ar
222 zyx,4
,20,40,c o s0, ar
d x d y d zyxI )( 22
drrdd
a
4
0
c o s
0
342
0 s in
da )0c o s(51s in2 5
5
4
0
3
.10 5a
解 2 采用柱面坐标
,,222 ayxD
d x d y d zyxI )( 22 a
r
a dzrr d rd 2
0
2
0
a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a,10 5a
222 zyx,rz
,20,0,, arazr
例 4 求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
解? 由锥面和球面围成,采用球面坐标，
由 2222 2 azyx
,2 ar
22 yxz,4
,20,40,20, ar
由三重积分的性质知
d x d y d zV,
a drrddV 20 2020 s i n4
4
0
3
3
)2(s in2 da.)12(
3
4 3a
补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域? 关于 x o y 平面对称，且被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的偶函数，则三重积分为? 在 x o y 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍,
奇偶性．
例５ 利用对称性简化计算
d x d y d z
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
zyxzyx,
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1ln( 222
222
d x d y d zzyx zyxz
解 2)( zyx
)(2222 zxyzxyzyx
例 6 计算
d x d y d zzyx 2)( 其中? 是由抛物面
22 yxz
和球面 2
222 zyx
所围成的空间闭区域,
其中 yzxy? 是关于 y 的奇函数,
且? 关于 z o x 面对称,
0)( dvyzxy,
同理? zx 是关于 x 的奇函数,
且? 关于 y o z 面对称,,0
x z d v
由对称性知
dvydvx 22,
则
d x d y d zzyxI 2)(
,)2( 22
d x d yd zzx
在柱面坐标下：
,20,10 r,2 22 rzr
,122 yx投影区域 xyD,
22 2 22220 10 )c o s2(rr dzzrrdrdI
).89290(60
（ 1） 柱面坐标的体积元素
dzr d r dd x d yd z
（ 2） 球面坐标的体积元素
ddrdrdx dy dz s i n2?
（ 3） 对称性简化运算三重积分换元法
柱面坐标球面坐标三、小结思考题则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若
,
),,(3
zyxfxyR
;0),,(,_ _ _ _),,( dvzyxfzyxf 为奇函数时关于当
1
),,(___),,(
,____),,(
dvzyxfdvzyxf
zyxf 为偶函数时关于当
.1 面上方的部分在为其中 xy
z
z
2
一,填空题,
1,若? 由曲面 和)(3
222
yxz 16
222
zyx 所围,则三重积分
dvzyxf ),,( 表示成直角坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在柱面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在球面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ __,
2,若
由曲面及
22
2 yxz
22
yxz 所围,
将
z d v 表为柱面坐标下的三次积分 __ __ _ __ __,
其值为 _______,
练 习 题
3,若空间区域? 为二曲面 azyx
22
及
22
2 yxaz 所围,则其体积可表为三重积分
___ __ ___ __ ___ __ ; 或二重积分 ___ __ ___ _ _ _ _ __ ;
或柱面坐标下的三次积分 ___ ___ __ __ __ _ _ _ ___ _,
4,若由不等式
2222
)( aazyx,
222
zyx
所确定,将
z d v 表为球面坐标下的三次积分为
___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ _ ；其值为 ___ _ _ _ __ __,
二、计算下列三重积分,
1,
dvyx )( 22,其中? 是由曲面?24 z )(25 22 yx?
及平面 5?z 所围成的闭区域,
2,
dvyx )(
22
,其中? 由不等式
0,0
222
zAzyxa 所确定,
3,
d x d y d z
c
z
b
y
a
x
)(
2
2
2
2
2
2
,
其中
1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx,
三、求曲面
22
5 yxz
及 zyx 4
22
所围成的立体的体积,
四、曲面
222
4 aazyx 将球体 azzyx 4
222
分成两部分,试求两部分的体积之比,
五、求由曲面,0,,22 xayxyxz 0,0 zy
所围成立体的重心 ( 设密度 1 ).
六、求半径为 a,高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 ( 设密度 )1,
一,1,
22
22
2
2
16
)(3
4
4
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx
)(3
16
4
4
2
2
22
22
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx,
2
16
3
2
0
2
0
),s i n,c o s(
r
r
dzzrrfr d rd
r
r
dzzrrfr d rd
3
16
2
0
2
0
2
),s i n,c o s(,
4
0
6
0
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr s i n)c o s,s i ns i n
2
4
0
6
5
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr s i n)c os,s i ns i n
2；
练习题答案
2,
2
2
21
0
2
0
r
r
z d zr d rd,
12
7?；
3,
dv,
D
d x d y
a
yx
yxa )2(
22
22
,
ra
a
r
a
dzr d rd
2
0
2
0
2；
4,
4
c o s2
0
3
4
0
2
0
6
7
,c o ss i n adrrdd
a
.
二,1,
8； 2,)(
15
4
55
aA?；
3,a b c?
5
4
.
三,)455(
3
2
,
四、
27
37
6
27
6
37
3
3
2
1
a
a
V
V
.
五,)
30
7
,
5
2
,
5
2
(
2
aaa,
六,)
3
(
4
2
2
h
a
M
( 其中 haM
2
为圆柱体的质量 ).
第八章习题课定 义几何意义性 质计算法应 用二重积分定 义几何意义性 质计算法应 用三重积分一、主要内容定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
,?,
2
,
n
,其中
i
表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点 ),( ii,
作乘积
),(
ii
f
i
,),,2,1( ni,
并作和
ii
n
i
i
f
),(
1
，
1、二重积分的定义如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为
D
dyxf?),(,
即
D
dyxf?),(
ii
n
i
i
f
),(l i m
1
0
２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
性质１ 当 为常数时，k
.),(),(
DD
dyxfkdyxkf
性质２
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
３、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质４?若 为 D的面积,1
D D
dd
性质５ 若在 D上,),(),( yxgyxf?
.),(),(
DD
dyxgdyxf
特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(
（二重积分估值不等式）
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
),(),( fdyxf
D
.性质７
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
,,bxaD ).()( 21 xyx［ X－型］
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
X-型区域的特点,穿过区域且平行于 y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
（１）直角坐标系下
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
,,dycD ).()( 21 yxy［ Y－型］
.)s in,c o s()( )(2
1
r d rrrfd
1
)s i n,co s(
D
r d r drrf
,:1D ).()( 21 r
（２）极坐标系下
.)s in,c o s()(0 r d rrrfd
,:2D ).(0 r
2
)s i n,co s(
D
r d r drrf
3
)s i n,co s(
D
r d r drrf
.)s in,c o s()(020 r d rrrfd
,20:3D ).(0 r
5、二重积分的应用
(1) 体积的体积为之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(?
D
dxdyyxfV,),(
设 S曲面的方程为,).,( yxfz?
曲面 S的面积为 ;1 22 d x d yA
xyD
y
z
x
z
(2) 曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心,
,1
D
xdAx?,1
D
ydAy
D
dA?其中
,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心为
(3) 重心薄片对于 x轴的转动惯量薄片对于 y轴的转动惯量
,),(2
D
x dyxyI
.),(2
D
y dyxxI
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
(4) 转动惯量薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
},,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
322?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
(5) 引力
6、三重积分的定义设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域? 上的有界函数，将闭区域? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,
,?
n
v?,其中
n
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积
iiii
vf),,(,),,2,1( ni,并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域
上的三重积分，记为
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf
),,(lim
10
.
7、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．
时当
Vdv
zyxf,1),,(
8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．
9、三重积分的计算
.);()();,(),(,2121 bxaxyyxyyxzzyxz
.),,(),,( )(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz
dzzyxfdydxdvzyxf
}.,),(),,{( 21 czcDyxzyx z
.),,(),,( 2
1
zD
c
c
dxdyzyxfdzdvzyxf
(１ ) 直角坐标
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
(２ ) 柱面坐标
.),s in,c o s(
),,(
dzr d r dzrrf
dvzyxf
,dzrd rddv
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
,s i n2 ddrdrdv?
d x d y d zzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dd rdrrrrf
(３ ) 球面坐标
10、三重积分的应用
.
dvM?其中
,1
dvxMx?
设物体占有空间闭区域?,在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在? 上连续，则该物体的重心为
(１ ) 重心
,1
dvyMy?,1
dvzMz?
,2
dvzI xy?
(２ ) 转动惯量 设物体占有空间闭区域?,在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在? 上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
,2
dvxI yz?,2
dvyI zx?
,)( 22
dvzyI x?,)( 22
dvxzI y?
,)( 22
dvyxI z?,)( 222
dvzyxI o?
D
二、典型例题例 1
解围成．
由其中计算 2,
1
,.
2
2
x
x
yxyDd
y
x
D
X-型
x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
21 1
2
)( dxyx x
x?
21 3 )( dxxx.49?
.21,1, xxyxD
例 2
解
.10,11:.2 yxDdxy
D
其中计算?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
dxydyx
dxy
DDD
D
321
)()( 22
2
1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
)0(.),(2220 2 adyyxfdxI ax xaxa更换积分次序例 3
解
,22
,20
,2
axyxax
ax
D
,
,
3
21
三部分及分成将积分区域
D
DDD
2D
1D 3D;0
,
2
,22
2
1
ay
yaax
a
y
D
;2,22:
2
2 ayaaxa
yD;0
,2,223
ay
axyaaD
.),(),(
),(
2
0
2
2
2
0
2
0
22
2
22
2
a
yaa
aa
a
y
a
yaa
a
y
a
dxyxfdydxyxfdy
dxyxfdyI故例 4
解
）．所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算
arar
Ddyx
D
)c o s1(
.22
)c o s1(
2
2
22
a
a
D
r d rrd
dyx
2
2
33 ]1)c o s1[(
3
1 da
).2922(3 a
例 5
解所围成．及由其中计算
00
,1.)c o s (
yx
yxDdxdy
yx
yx
I
D
,,yxvyxu令
.2,2 uvyvux则
,DD
D
x
y
o
1 yx
D?
u
v
o
vu?vu
1?v
.11;0;0
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
d ud vJ
v
u
I c o s故
v
v
du
v
u
dv c o s
2
1 1
0
.1s i n211s i n221 1
0
vd v
例 6,)()(
1
1
)()( 12
b
a
n
x
a
n
b
a
dyyfyb
n
dyyfyxdx
证明证
b
y
n
b
a
x
a
n
b
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
ba bynyxndyyf ])(11[)( 1
.)()(11 1 b
a
n dyyfyb
n
D
xy?
b
b
a
a
例 7
组成的三棱锥台．
是由六个顶点，其中计算
)4,2,2(
),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
:
1
22
F
EDCBA
dv
yx
解,ABEDx o y 面上的投影为梯形在
为顶的柱体．以梯形为底，是以梯形
A C F D
A B E D
,轴所在平面过梯形 xA C F D?
,0 zy设其方程为 x
y
z
C
A
F
EDB
O
.02,)2,1,1( yzC 得其方程为点又因过
.21;0;20, xxyyz
yx dzdy
yxdxdvyx
2
00 22
2
122
11
x dyyx ydx 0 2221 2
21 22 ]ln)2[ l n( dxxx.2ln?
例 8
所围成的．
与由其中，计算
22
22
1
)(
yxz
yxzdvzx
解利用球面坐标奇函数，
的为面为对称，关于 xxzyxfyo z ),,(?
.0
xdv有
z d vdvzx )(
1
0
24
0
2
0 s i nco s drrrdd,8
例９,1,222
zyxdve z,计算解法．，故采用＂先二后一＂
为圆域的函数，截面被积函数仅为
222 1
)(
zyx
zDz
上
dvedve zz 2
10
)(
][2 dzed x d y z
zD
10 2 )1(2 dzez z.2
例 10,)()(
2
1
]))(([
0
2
0 0 0
xx v u
dttftxdvdudttf
证明证 思路：从改变积分次序入手．
v vtv u dutfdtdttfdu 00 0 )()( v dttftv0,)()(
x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([
x xt dvtftvdt0 )()(,)()(21 0 2 x dttftx
一、选择题,
1,
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( =( )
( A)
1
0
1
0
),( dxyxfdy
x； (B)
x
dxyxfdy
1
0
1
0
),( ；
( C)
1
0
1
0
),( dxyxfdy ； (D)
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
2,设
D
为
222
ayx,当
a
( ) 时,
D
d x d yyxa
222
.
( A) 1 ； (B)
3
2
3；
( C)
3
4
3； (D)
3
2
1
,
测 验 题
3,当 D 是 ( ) 围成的区域时,二重积分
D
dxdy =1.
(A) x 轴,y 轴及 022 yx ； ( B)
3
1
,
2
1
yx ；
(C) x 轴,y 轴及
3,4 yx； (D),1,1 yxyx
4,
D
xy
dxdyxe 的值为 ( ),其中区域为
D
01,10 yx
.
(A)
e
1； ( B)
e；
(C)
e
1； (D) 1,
5,设
D
d x d yyxI )(
22
,其中 D 由
222
ayx 所围成,则 I =( ).
( A)
4
0
2
2
0
ar d rad
a
;(B)
4
0
2
2
0
2
1
ar d rrd
a
;
( C)
3
0
2
2
0
3
2
adrrd
a
;(D)
4
0
2
2
0
2 aa d rad
a
.
6,设
是由三个坐标面与平面
zyx 2
=1 所围成的空间区域,则
x d x d y d z
=( ).
(A)
48
1； (B)
48
1；
(C )
24
1； (D )
24
1
,
7,设? 是锥面,0(
2
2
2
2
2
2
a
b
y
a
x
c
z
)0,0 cb 与平面
czyx,0,0 所围成的空间区域在第一卦限的部分,则
d x d y d z
z
xy
=( ).
(A) cba
22
36
1； (B) bba
22
36
1；
(C) acb
22
36
1； (D) abc
36
1
.
8,计算
z d vI
,其 1,
222
zyxz为中 围成的立体,则正确的解法为 ( ) 和 ( ).
9,曲面
22
yxz 包含在圆柱 xyx 2
22
内部的那部分面积?s ( ).
(A)?3 ； (B)?2 ；
(C)?5 ； ( D )?22,
10,由直线
2,2,2 yxyx
所围成的质量分布均匀
( 设面密度为
) 的平面薄板,关于
x
轴的转动惯量
xI = ( ).
(A)
3； (B)
5；
(C)
4； (D)
6
.
(A)
1
0
1
0
2
0
z d zr d rdI ； (B)
11
0
2
0 r
z d zr d rdI ；
(C)
11
0
2
0 r
r d rdzdI ； ( D )
z
z r d rddzI
0
2
0
1
0
.
二、计算下列二重积分,
1,
D
dyx?)(
22
,其中 D 是闭区域,
,0,s i n0 xxy
2,
D
d
x
y
a r c ta n,其中
D
是由直线 0?y 及圆周
1,4
2222
yxyx,xy? 所围成的在第一象限内的闭区域,
3,
D
dyxy?)963(
2
,其中 D 是闭区域,
222
Ryx
4,
D
dyx?2
22
,其中
D
,3
22
yx,
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序,
1,
yy
dxyxfdydxyxfdy
3
0
3
1
2
0
1
0
),(),( ；
2,
2
111
0
),(
x
x
dyyxfdx ；
3,
00
)s i n,c o s( r d rrrfd
a
.
四、将三次积分
y
xx
dzzyxfdydx ),,(
11
0
改换积分次序为
zyx
.
五、计算下列三重积分,
1,
,)c o s ( d x d y d zzxy,抛物柱面 xy?
2
,,
zxozoy及平面所围成的区域,
2,,)(
22
dvzy 其中? 是由 x o y 平面上曲线
xy 2
2
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5?x 所围成的闭区域,
3,,
1
)1l n (
222
222
dv
zyx
zyxz
其中
是由球面
1
222
zyx 所围成的闭区域,
六、求平面 1
c
z
b
y
a
x
被三坐标面所割出的有限部分的面积,
七,设
)( xf
在
]1,0[
上连续,试证,
3
1
0
1
0
1
])([
6
1
)()()(
dxxfd x d y d zzfyfxf
x
y
x
,
一,1,D ； 2,C ； 3,A ； 4,A ； 5,B ；
6,A ； 7,A ； 8,B,D ； 9,B ； 10,C.
二,1,
9
40
2
； 2,
2
64
3； 3,
24
9
4
RR； 4,,
2
5
三,1,
x
x
dyyxfdx
3
2
2
0
),( ；
2,
22
2
0
2
10
1
0
),(),(
yyy
dxyxfdydxyxfdy；
3,
a
r
a
drrfr d r )s i n,c o s(
0
.
四、
z
z
dxzyxfdydz
0
11
0
),,(,
五,1,
2
1
16
2
； 2,?
3
2 5 0； 3,0.
测验题答案六、
222222
2
1
accbba,
七、提示：
0)0(,)()(
)()(,)()(
1
0
0
FdxxftF
xfxFdttfxF
x
且则
