a b x
y
o
A
曲边梯形由连续曲线实例 1 （求曲边梯形的面积）
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,
一、问题的提出
)( xfy?
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i?ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间分成把区间
，上任取一点在每个小区间
i
ii xx
],[ 1?
iii xfA )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
i
n
i
i xfA
)(
1
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(lim
10
时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
nxxx?
曲边梯形面积为实例 2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（ 1）分割 212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs
)(
1
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
路程的精确值设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
记 },,,m a x { 21 nxxx,如果不论对 ],[ ba
在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1 iii xxx,),2,1(i,在各小区间上任取一点 i? （ ii x ），作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i并作和
ii
n
i
xfS
)(
1
,
二、定积分的定义定义怎样的分法，
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(lim
10
被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ ba
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上点 i? 怎样的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为积分上限积分下限积分和注意：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在三、存在定理区间 ],[ ba 上可积,
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a
四、定积分的几何意义几何意义：
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
例 1 利用定义计算定积分,10 2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 n
ix
i?,( ni,,2,1 )
小区间 ],[ 1 ii xx? 的长度 nx i 1,( ni,,2,1 )
取 ii x,( ni,,2,1 )
ii
n
i
xf
)(
1
ii
n
i
x
2
1
,
1
2
i
n
i
i xx
nn
in
i
12
1
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
nnn
n
,121161 nn n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x
2
10
l i m?
nnn 121161lim,31?
例 2 利用定义计算定积分,121 dxx?
解 在 ]2,1[ 中插入分点 12,,,?nqqq?,
典型小区间为 ],[ 1 ii qq?,（ ni,,2,1 ）
小区间的长度 )1(11 qqqqx iiii,
取 1 ii q?,（ ni,,2,1 ）
ii
n
i
xf
)(
1
i
n
i i
x
1
1
)1(
1 1
1
1
qqq
i
n
i
i
n
i
q
1
)1( )1( qn 取 2?nq 即 nq 12?
),12( 1 nn
)12(lim 1 xxx?
x
x
x 1
12
l i m
1
,2ln?
)12(lim
1
n
n
n,2ln?
dxx?21 1 i
n
i i
x
10
1l i m
)12(lim
1
n
n
n,2ln?
ii
n
i
xf
)(
1
例 3 设函数 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且取正值,
证明
n
n n
nf
nfnf
21lim
n
n n
nf
nfnfe?
21limln
n
n n
nf
nfnf
21lim试证,
1
0
)(ln dxxfe
利用对数的性质得
n
if
n
n
ine 1
ln1l i m nnif
n
ine
1lnlim
1
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间上的一个积分和,分割是将 ]1,0[ n 等分分点为 nix i?,（ ni,,2,1 ）
n
n n
nf
nfnfe?
21lnlim
极限运算与对数运算换序得
nn
ifn
in
1lnlim
1
10 )(ln dxxf
故 nn n
nf
nfnf
21lim
.
1
0
)(ln dxxfe
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)(?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
五、小结
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限思考题将和式极限：
n
n
nnnn
)1(s in2s ins in1li m?
表示成定积分,
思考题解答原式
n
n
n
n
nnnn s in
)1(s in2s ins in1lim?
n
in n
i
n 1 s in
1li m
nn
in
in
1 s i nlim
1
.s i n1 0 x d x
ix?i?
一,填空题：
1,函数 )( xf 在ba,上的定积分是积分和的极限，
即?
b
a
dxxf )( ____ ______ ___ ____,
2,定积分的值只与 ______ 及 ___ ____ 有关，而与
____ _____ 的记法无关,
3,定积分的几何意义是 _ ______ ___ ______ ______ _,
4,区间
ba,
长度的定积分表示是 ___ ______ __ _ _,
二,利用定积分的定义计算由抛物线,1
2
xy 两直线
)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积,
三,利用定积分的定义计算积分?
b
a
x d x,)( ba?,
练 习 题四,利用定积分的几何意义，说明下列等式,
1,
4
1
1
0
2
dxx ;
2,
2
0
2
2
co s2co s xdxxdx;
一,1,
n
i
ii
xf
1
0
)(l i m?；
2,被积函数,积分区间,积分变量；
3,介于曲线
)( xfy?
,
轴x
,直线
bxax,
之间各部分面积的代数和；
4,
b
a
dx
,
二,abab )(
3
1
33
,
三,)(
2
1
22
ab?,
练习题答案对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba? 时,0)( ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba? 时, abba dxxfdxxf )()(,
说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
一、基本内容证ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf
)]()([l i m
10
ii
n
i
xf
)(lim
10
ii
n
i
xg
)(lim
10
ba dxxf )(,)( ba dxxg
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf
)(lim
10
ii
n
i
xfk
)(l i m
10
ii
n
i
xfk
)(lim
10
.)( ba dxxfk
性质 2
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba
ca dxxf )( cbba dxxfdxxf )()(
ba dxxf )( cbca dxxfdxxf )()(
.)()( bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
则假设 bca性质 3
dxba 1 dxba ab,
则 0)( dxxfba,)( ba?
证,0)(?xf?,0)( if ),,2,1( ni
,0 ix?,0)(
1
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx
ii
n
i
xf
)(lim
10
,0)(
b
a dxxf
性质 4
性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
例 1 比较积分值 dxe x 20 和 dxx 20 的大小,
解 令,)( xexf x ]0,2[x
,0)(?xf?,0)(0 2 dxxe x
dxe x 02,02 dxx
于是 dxe x20,20 dxx
性质 5的推论：
证 ),()( xgxf,0)()( xfx
,0)]()([ dxxfxgba
,0)()( baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba )(,
则 dxxfba? )( dxxgba )(,)( ba?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba )(,)( ba?
证,)()()( xfxfxf
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa
即 dxxfba? )( dxxfba )(,
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的性质 5的推论：
（ 2）
设 M 及 m 分别是函数证,)( Mxfm
,)( bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
则 )()()( abMdxxfabm ba,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
例 2 估计积分 dxx
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ],,0[ x
,1s i n0 3 x,31s i n3 141 3 x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx
.3s i n3 14 0 3 dxx
例 3 估计积分 dx
x
x
2
4
s i n
的值,
解,s i n)( x xxf?
2
s i nco s)(
x
xxxxf
2
)ta n(co s
x
xxx
]2,4[x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ 上单调下降,
故 4x 为极大点,2x 为极小点,
,22)4( fM,2)2( fm
,442 ab?
,422s i n42 2
4
dxx
x
.2 2s i n21 2
4
dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba )(1
)()()( abMdxxfabm ba
由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
性质 7（定积分中值定理）
积分中值公式在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使,)(1)( ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
即积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy?底边，
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 )(?f
的一个矩形的面积。
例 4 设 )( xf 可导，且 1)(l i m?
xf
x
，
求 dttf
t
t
x
xx?
2
)(
3
s i nl i m,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ xx
使 dttfttxx 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf
dttfttxx
x?
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2?
f
)(3l i m2 f,6?
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大小．
二、小结思考题定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思考题解答由 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例一,填空题：
1,如果积分区间ba,被点 c 分成bcca,,与,则定积分的可加性为
b
a
dxxf )( _ ___ ___ __ _ ；
2,如果baxf,)( 在 上的最大值与最小值分别 为
M m与
，则
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ ___ ___ __
_ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ；
3,
时当 ba?
，我们规定
b
a
dxxf )( 与
a
b
dxxf )( 的关系是 ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ；
4,积分中值公式
b
a
dxxf )( )(,))(( baabf 的几何意义是
_ ___ ___ ___ ___ __ ；
练 习 题
5,下列两积分的大小关系是：
（ 1 ）?
1
0
2
dxx ___ _ _?
1
0
3
dxx
（ 2 ）?
2
1
ln x d x ___ _ __ _?
2
1
2
)(l n dxx
（ 3 ） dxe
x
1
0
___ _ __ _
1
0
)1( dxx
二,证明,
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ 是常数k ）,
三,估计下列积分?
3
3
3 c o t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1,)
2
1
.,,
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
;
2.,
4
0
s i nlim
xdx
n
n
.
七、设
)( xf
及
baxg,)( 在上连续，证明：
1,若在
ba,
上
0)(?xf
,且
b
a
dxxf 0)(,则在
ba,
上
0)(?xf；
2,若在
ba,
上，
0)(?xf
,且
)( xf
不
0恒等于
，则
b
a
dxxf 0)( ；
3,若在
ba,
上
)()( xgxf?
,且
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
，则在
)()(,xgxfba?上
,
一,1,
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ；
2,baabMdxxfabm
b
a
,)()()( ；
3,
b
a
dxxf )(
a
b
dxxf )( ；
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于为邻与 abf?)(? 边的矩形面积；
5,(1)> ； (2 )> ； ( 3) >.
三,1,?
3
2
a r c ta n
9
3
3
1
xdxx ；
2,
5
3
a r c s i n
242
1
32
1
0
xxx
dx
.
练习题答案变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为? 2
1
)(TT dttv
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
一、问题的提出
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )(
记,)()( xa dttfx 积分上限函数如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、积分上限函数及其导数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xx
a?
)()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(?
x
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(l i ml i m 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
如果 )( tf 连续,)( xa,)( xb 可导，
则 dttfxF
xb
xa?
)(
)(
)()( 的导数 )( xF? 为补充
)()()()( xaxafxbxbf
证 dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0
dttfxb )(0 )(,)()(0 dttfxa
)()()()()( xaxafxbxbfxF
)( )( )()( xb xa dttfdxdxF
例 1 求,l i m 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
解1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2 x t dte
dx
d
)(co s2co s xe x,s i n 2c o s xex
2
1
c o s
0
2
lim x
dte
x
t
x
x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 2 设 )( xf 在 ),( 内连续，且 0)(?xf,
证明函数
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( 内为单调增加函数,
证? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf x dttfdxd 0 )( ),( xf?
2
0
00
)(
)()()()(
)(
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( xxf?,0)(0 x dttf
,0)()( tftx?,0)()(0 x dttftx
).0(0)( xxF
故 )( xF 在 ),0( 内为单调增加函数,
例 3 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)(?xf,证明
1)(2
0
dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证,1)(2)( 0 dttfxxF x
,0)(2)( xfxF,1)(?xf?
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,,01)0(F
10 )(1)1( dttfF 10 )](1[ dttf,0?
所以 0)(?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
令定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
又? dttfx xa )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF )()( ],[ bax?
证三、牛顿 — 莱布尼茨公式令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
),()()( aFxFdttfxa
,)()( CdttfxF xa
令 bx ).()()( aFbFdxxfba
牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba
微积分基本公式表明：
baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
注意 当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
例 4 求,)1s i nc o s2(20 dxxx
原式 20c o ss i n2?xxx,23
例 5 设,求,
215
102)(
x
xxxf
20 )( dxxf
解解 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)(?xf,
10 21 52 dxx d x原式,6? x
y
o 1 2
例 6 求,},m a x {2 2 2 dxxx
解 由图形可知
},m a x {)( 2xxxf?
,
21
10
02
2
2
xx
xx
xx
21 2100 2 2 dxxx d xdxx原式,211?
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
例 7 求解
.112 dxx
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx 12 1 12||ln x,2ln2ln1ln
例 8 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[? 上与 x 轴所围成的平面图形的面积,
解 面积
x
y
o?
0 s in xdxA
0co s x.2?
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 x
a dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx
)()()( aFbFdxxfba
四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
思考题设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa
)()( xfduufdxd bx
一,填空题：
1,
b
a
x
dxe
dx
d
2
2
= ______ _,
2,
x
a
dxxf
dx
d
))(( ___ ______ _,
3,
2
23
)1l n (
x
dttt
dx
d
___ ____,
4,
2
0
)( dxxf ___ _,其中
21,2
10,
)(
2
xx
xx
xf,
5,设?
,co sco s1 n x d xmxI
dxnxmx?
s i ns i n,
练 习 题
（ 1 ）、当 nm? 时,
1
I = __,
2
I = __ _ __,
（ 2 ）、当 nm? 时，
1
I = __ _,
2
I = __ __ _,
6,设,s i nc o s
n x d xmx
（ 1 ）、当
nm?
时，
3
I = __ _ _,
（ 2 ）、当
nm?
时，
3
I = __ _ __,
7,
9
4
)1( dxxx _____,
8,?
3
3
1
2
1 x
dx
_____,
9,?
x
dtt
x
x
0
2
0
c o s
l i m __ __ __ __,
二,求导数：
1,设函数 )( xyy? 由方程 0c o s
00
xy
t
t d tdte 所确定，求
dx
dy；
2,设
1
2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
u d uuy
u d uux
)1(?t
,求
2
2
dx
yd；
3,
x
x
dtt
dx
d c o s
s i n
2
)c o s ( ；
4,设?
2
0
3
1
)(
x
x
dx
xg
，求
)1(g
,
三,计算下列各定积分：
1,
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2,?
2
1
2
1 2
1 x
dx;
3,?
0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4,?
2
0
s i n dxx,
四,求下列极限：
、
x
t
x
t
x
dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(
l i m ; 2,
2
5
0
2
0
2
1
)c o s1(
lim
x
dtt
x
x
.
五,设 )( xf 为连续函数，证明,
x x t
dtduufdttxtf
0 0 0
))(())((,
六,求函数
x
dt
tt
t
xf
0
2
1
13
)( 在区间1,0 上的最大值与最小值,
七,设
时，或，当时，当
xx
xx
xf
00
0,s i n
2
1
)(
求
x
dttfx
0
)()（? 在 ),( 内的表达式,
八,设baxf,)( 在 上连续且,0)(?xf
x
a
x
b tf
dt
dttfxF
)(
)()(,证明：
（ 1 ）,2)(
'
xF ;
（ 2 ）、方程 0)(?xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根,
一,1,0 ； 2,)()( afxf? ； 3,)1l n (
23
xx ；
4,
6
5； 5,( 1),； (2) 0,0 ；
7,;
6
1
45 8,
6； 9,1.
二,1,
1s i n
c o s
x
x； 2,
tt ln2
1
2；
3,
)s i nc os ()c os(s i n
2
xxx； 4,
2?
.
三,1,
8
5
2 ； 2,
3； 3,1
4
； 4,4.
练习题答案四,1,0 ； 2,
10
1
.
六、
33
5?
,0.
七、
x
xx
x
x
,1
0,)co s1(
2
1
0,0
)(,
定理 假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfba )()]([)(,
一、换元公式证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba
)],([)( tFt
dt
dx
dx
dFt )( )()( txf ),()]([ ttf
),()()()]([ dtttf
)( t 是 )()]([ ttf 的一个原函数,
a?)(,b?)(,
)()( )]([)]([ FF
),()( aFbF
)()()( aFbFdxxfba )()(
.)()]([ dtttf
注意 当 时，换元公式仍成立,
应用换元公式时应注意,
（ 1）求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应的改变,
例 1 计算,s i nco s20 5 x d xx
解 令,c o s xt?
2
x,0 t 0?x,1 t
20 5 s i nco s x d xx
01 5dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n x d xdt
例 2 计算解
.s i ns i n0 53 dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( 23s i nc o s xx?
0 53 s ins in dxxx 0 23s inc o s dxxx
20 23s inco s dxxx
2
2
3
s inco s dxx
20 23 s i ns i n xdx
2
2
3
s ins in xdx
2
0
2
5
s i n52
x
2
2
5
s i n
5
2 x
.54?
例 3 计算解
.
)ln1(ln
4
3
e e xxx dx
原式
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd?
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
43)lna r c s i n (2 e ex?,6
例 4 计算解
a adxxax0 22 )0(.1
令,s i n tax?
ax?,2 t 0?x,0 t
,c o s td tadx?
原式?
2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
2
0 co ss in
co s dt
tt
t
2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
20c o ss inln21221 tt.4
例 5 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数例 6 计算解
.11 c o s21
1 2
2
dxx xxx
原式
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
10 2
2
114 dxx
x?
1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx
.4 单位圆的面积例 7 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ）
22
00
)( co s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ）
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算?
0
2
co s1
s i n
dx
x
xx
.
证 （ 1）设 tx 2,dtdx
0?x,2 t 2x,0 t
20 )( s i n dxxf 02 2s i n dttf
20 )( co s dttf ;)( co s20 dxxf
（ 2）设 tx,dtdx
0?x, tx,0 t
0 )( s in dxxxf 0 )][ s in()( dttft
,)( s in)(0 dttft
0 )( s in dttf 0 )( s in dtttf
0 )( s in dxxf,)( s in0 dxxxf
.)( s in2)( s in 00 dxxfdxxxf
0 2co s1 s i n dxxxx 0 2c o s1 s in2 dxxx
0 2 )( c o sc o s1 12 xdx 0)a rct a n ( co s2 x
.4
2?
)44(2
0 )( s in dxxxf
几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法
dxxfba? )( dtttf )()]([
二、小结思考题指出求
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确的解法,
解 令,s e c tx?,4332,,s e ct a n td ttdx?
22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2
dt 43
3
2,12
思考题解答计算中第二步是错误的,tx s e c
,43,32t,0tan?t,t a nt a n12 ttx
正确解法是
22 2 1xx dx tx s e c? t d tttt t a ns ect a ns ec 14
3
3
2
dt 43
3
2,12
一,填空题：
1,
3
)
3
s i n ( dxx ___ __ ___ ___ _ ___ ___ _ ；
2,
0
3
)s i n1( d ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
3,
2
0
2
2 dxx ___ __ ___ ___ _ _ ；
4,?
2
1
2
1
2
2
1
)(a r c s i n
dx
x
x
___ __ ___ ___ ；
5,?
5
5
24
23
12
s i n
dx
xx
xx
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __,,
练 习 题二,计算下列定积分：
1,
2
0
3
co ss i n
d ； 2,
3
1 22
1 xx
dx；
3,
1
4
3
11 x
dx； 4,
2
2
3
co sco s dxxx ；
5,?
0
2c o s1 dxx ； 6,
2
2
4
c o s4
dx ；
7,
1
1
2322
)11( dxxxxx ；
8,?
2
0
3
},m a x { dxxx ；
9,
2
0
dxxx? （
为参数?
）,
三,设
时，当时，当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
求
2
0
)1( dxxf,
四、设baxf,)( 在 上连续，
证明
b
a
b
a
dxxbafdxxf )()(,
五,证明：
1
0
1
`0
)1()1( dxxxdxxx
mnnm
.
六、证明：
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
1,0)( 在xf
上连续，
证明
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,
练习题答案一,1,0 ； 2,
3
4
； 3,
2； 4,
32
3； 5,0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2? ； 3,2ln21? ； 4,
3
4；
5,
22； 6,?
2
3； 7,
4； 8,
8；
9,
4
17； 1 0,时当 0,?2
3
8； 当
20
时,
3
2
3
8
3
； 当
2
时,?2
3
8
,
三,)1l n (1
1?
e,
六,2,
设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)( baba uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, bab
a
b
a v d uuvu d v
一、分部积分公式例 1 计算,a rc s i n210? x d x
解 令,a r c s i n xu?,dxdv?
,1 2xdxdu,xv?
210 a rc s i n x d x 210a r c s i n xx 2
1
0 21 x
x d x
62
1 )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx
12
21
021 x,12
3
12
则例 2 计算解
.2co s140 xx d x
,co s22co s1 2 xx
40 2co s1 xxdx 40 2c o s2 xxdxxdx t a n240
40t a n21 xx x d xt a n21 40
40s ecln218 x.4 2ln8
例 3 计算解
.)2( )1l n (1
0 2
dx
x
x
10 2)2( )1l n ( dxx x 10 2 1)1l n( xdx
1
02
)1ln (
x
x
1
0 )1l n(2
1 xd
x
3
2ln dx
xx
1
0 1
1
2
1 xx 2 11 1
10)2l n()1l n(3 2ln xx,3ln2ln35
例 4 设 求解
21,s i n)( x dtt txf,)(10? dxxxf
因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf
102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx
)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
21,s i n)( x dtt txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf
10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
10 2s i n221 dxxx 10 22s i n21 dxx
102c o s21 x? ).11( co s21
,0s i n)1( 11 dtt tf
例 5 证明定积分公式
22 00 c o ss i n xdxxdxI nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
为正偶数为大于 1的正奇数证 设,s i n 1 xu n,s i n xdxdv?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n,c o s xv
dxxxnxxI nnn 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
x2s in1?0
dxxndxxnI nnn 22 00 2 s i n)1(s i n)1(
nn InIn )1()1( 2
2
1
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式
nI
42 2
3
nn In
nI, 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m
,32547612 2212 2 112 Immm mI m
),2,1(m
,2200 dxI,1s i n201 x d xI
,221436522 322 122mmmmI m
.32547612 2212 212mmm mI m
于是定积分的分部积分公式
, bab
a
b
a v d uuvud v
二、小结
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题设 )( xf 在1,0 上连续，且 1)0(?f,
3)2(?f,5)2(f,求1
0
)2( dxxfx,
思考题解答
10 )2( dxxfx 10 )2(21 xfxd
1
0
1
0 )2(2
1)2(
2
1 dxxfxfx
10)2(41)2(21 xff
)0()2(4125 ff,2?
一,填空题：
1,设 n 为正奇数，则?
2
0
s i n x d x
n
____ ____ ___ ；
2,设 n 为正偶数，则
2
0
co s xdx
n
= ___ ____ _ __ _ ；
3,?
dxxe
x
1
0
_____ ___ ____ __ ；
4,?
e
x d xx
1
ln _____ ___ ____ _ ；
5,
1
0
a r c ta n x d xx ____________,
二,计算下列定积分：
1,?
e
dxx
1
)s i n (l n ； 2,?
e
e
dxx1 ln ；
练 习 题
3,?
0
s i n)( x d xxmJ
m
,（ m 为自然数）
4,?
0
1
)1c o s (s i n xdxnx
n
.
三、已知 xxf 2t a n)(?,求?
4
0 )()( dxxfxf,
四、若,0)( 在xf 连续，,1)(,2)0( ff
证明,3s i n])()([
0
x d xxfxf?,
一,1,
!!
!)!1(
n
n?； 2,
2!!
!)!1(?
n
n； 3,
e
2
1? ；
4,)1(
4
1
2
e ； 5,
2
3
ln
2
1
)
9
3
4
1
(,
二,1,
2
11c o s1s i n ee； 2,)
1
1(2
e；
练习题答案
3,
为奇数为偶数
1,
531
)1(642
,
2642
)1(531
)(
2
m
m
m
m
m
m
mJ
；
4,
为正偶数时当为正奇数时当
n
n
n
n
,
!!
!)!1(2
,0；
5,0.
三,8.
一、问题的提出计算定积分的方法：
(1) 求原函数；
问题：
(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；
(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；
(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难．
(2) 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．
解决办法,建立定积分的近似计算方法．
常用方法,矩形法、梯形法、抛物线法．
思路：
分的近似值．面积，就得到所给定积出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算在数值上表示曲边梯形)0)(()( xfdxxf
b
a
二、矩形法窄矩形的高，如图作为值取小区间左端点的函数等分，将区间用分点
),,1,0(
],[,,,10
niy
nbabxxxa
i
n
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny
)1(
)(
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
则有的高，如图作为窄矩形取右端点的函数值 ),,2,1( niy i
)2(
)(
1
1
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
称为矩形法公式．,)2()1(
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny
则有三、梯形法梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图 o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
)3(])(
2
1
[
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
1210
1
2110
nn
nn
b
a
yyyyy
n
ab
xyy
xyyxyydxxf
例１
的近似值．
积分用矩形法和梯形法计算
1
0
2
dxe x
解,,ix设分点为把区间十等分相应的函数值为 )10,,1,0(2 iey ixi
)10,,1,0(i
i
ix
iy
0 1 2 3 4 5
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
00000.1 99005,96079.0 91393.0 85214.0 77880.0
列表,
i
ix
iy
106 7 8 9
16.0 7.0 8.0 9.0
69768.0 61263.0 52729.0 44486.0 36788.0
利用矩形法公式（１），得
10
01)(
910
1
0
2 yyydxe x?.7 7 7 8 2.0?
利用矩形法公式（２），得
10
01)(
1021
1
0
2 yyydxe x?.7 1 4 6 1.0?
利用梯形法公式（３），得
))(21[10 01 92110010 2 yyyyydxe x
实际上是前面两值的平均值，
)7 1 4 6 1.07 7 7 8 2.0(2110 2 dxe x
.7 4 6 2 1.0?
四、抛物线法到定积分的近似值．原来的曲线弧，从而得段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一行于许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为
y
),2,1,0(
) ),((),(
,,,
10
ni
xfyyxM
n
bxxxa
iiiii
n
点为这些分点对应曲线上的
（偶数）等分，把区间分成用分点
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
2y
因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
}.,,{,},,,{},,,{
,
2
12432210 nnn
i
MMMMMMMMM
n
M
组互相衔接的分成故可将这些曲线上的点
.
,,,],[
)
2
,,2,1(},,{
2
2
1222222
21222
线弧近似代替曲的二次抛物线用经过点上应的子区间所对在每组
rqxpxyM
MMxx
n
kMMM
k
kkkk
kkk
边梯形的面积．
为曲边的曲的抛物线上过三点［计算在
rqxpxyyhM
yMyhMhh
2
22
1100
),,(
),,0(),,(],
可由下列方程组确定：抛物线方程中的 rqp,,
.
,
,
2
2
1
2
0
rqhphy
ry
rqhphy
.22 2102 yyyph由此得于是所求面积为
h h dxrqxpxA )( 2
rhph 232 3 )62(31 2 rphh
),4(31 210 yyyh
有关．及底边所在的区间长度标的纵坐只与显然，曲边梯形的面积
hyyy
MMM
2,,
,,
210
210
组曲边梯形的面积为由此可知 2n
),4(
3
1
),4(
3
1
),4(
3
1
12
2
43222101
nnnn
yyyhA
yyyhAyyyhA
.n abh其中
)4() ],(4
)(2)[(
3
)(
131
2420
n
nn
b
a
yyy
yyyyy
n
ab
dxxf
例２ 对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积,A
0 1 2 3 4 51? 6站号
y高 0 305.2 865.4 974.6 568.8 559.9 011.10 183.10
7 8 9 10 11 12 13站号
y高 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10
14 15 16 17 18 2019站号
y高 400.10 416.9 015.8 083.6 909.3 814.1 0
y
xo
1A 2A
米．站之间的距离为站到而
．）为两站之间的距离（站距米，相邻站之间的距离为站到这里，
501
359.72018.147
18.147200
解来近似表示，即轴构成的三角形的面积的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴表示．站这一段的面积用站到从 101 A?
3 0 5.25211A ).(763,平方米?
根据抛物线公式 (4)，得
3
)](2
)(4)[(
1842
195312002
x
yyy
yyyyyyA
).(8 3 9.1 1 9 4 平方米?
839.1 1 9 4768.521 AAA ).(6 0 2.1 2 0 0 平方米?
五、小结求定积分近似值的方法：
矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当 取得越大时近似程度就越好．
n
一,某河床的横断面如教材图 125? 所示，为了计算最大排洪量，需要计算它的断面积．试根据图示的测量数据 （单位为米）用梯形法计算其断面积,
二,用三种积分近似计算法计算
2
0
2
s i n
2
1
1
dtts,
（ 6?n取,被积函数值取四位小数）,
练 习 题一,)(6.145 平方米,
二,1,1,3 8 9 0 ；
2,1,3 5 0 6 ；
3,1,3 5 0 6,
练习题答案定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续，取
ab?,如果极限?
b
ab
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分，记作?
a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续，取
ba?,如果极限?
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分，记作?
b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(lim
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分?
0
)( dxxf 和?
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分，记作?
dxxf )(,
dxxf )( 0 )( dxxf 0 )( dxxf
0 )(l i m aa dxxf bb dxxf0 )(lim
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
例 1 计算广义积分,1 2 xdx
解 21 xdx 0 21 xdx 0 21 xdx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1lim
0a rct a nlim aa xbb x 0a rc t a nlim
aa a r c t a nlim bb a r c t a nlim,22
例 2 计算广义积分解
.1s i n12 2
dxxx
2
1s i n1
2 dxxx?
2 11s i n xdx
b
b x
dx2 11s i nl im
b
b
2
1co slim
2
c o s1c o slim?b
b,1?
例 3 证明广义积分?
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛，
当 1?p 时发散,
证,1)1(?p1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x,
,1)2(?p1 1 dxx p
1
1
1 p
x p
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
p；
当 1?p 时广义积分发散,
例 4 证明广义积分?
a
px dxe 当 0?p 时收敛，
当 0?p 时发散,
证
a
px dxe
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
l i m
p
e
p
e pbpa
b
lim?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取 0,如果极限
b
a
dxxf
)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界,取 0,如果极限
b
a
dxxf )(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作?
b
a
dxxf )(?
b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续，而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(l i m 0 bc dxxf )(l i m 0
否则，就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 C为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分解
).0(
0 22
axa dxa
,1lim 22
0
xaax
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220l i m
a
a
x
00
a r c s i nl i m?
0a r c s i nl i m
0 a
a?
.2
例 6 证明广义积分?
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当
1?q 时发散,
证,1)1(?q 10 1 dxx10ln x?,
,1)2(?q?10 1 dxx q
1
0
1
1
q
x q
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
10 1 dxx q
例 7 计算广义积分解
.ln21? xxdx
21 ln xxdx 210 lnlim xx dx
210 ln )(l nl i m xxd 210 )l n(l nlim x
))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0
. 故原广义积分发散,
例 8 计算广义积分解
.
)1(
3
0 32x
dx 1?x
瑕点
30 32)1( x dx 10 31
3
2)1()( x
dx
10 32)1( x dx 100
3
2)1(lim x
dx3?
31 32)1( x dx 310 32)1(lim x dx,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3
无界函数的广义积分（ 瑕积分 ）
无穷限的广义积分
dxxf )(b dxxf )(a dxxf )(
ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
（ 注意,不能忽略内部的瑕点）
ba dxxf )(
三、小结思考题积分 的瑕点是哪几点？?10 1ln dxx x
思考题解答积分 可能的瑕点是10 1ln dxx x 1,0 xx
1
lnl i m
1 x
x
x
,11lim
1
xx 1 x 不是瑕点,
10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
一,填空题：
1,广义积分
1
p
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ _ 时发散；
2,广义积分?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ __ 时发散；
3,广义积分?
2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛；在 __ __ __ _
时发散；
4,广义积分 dxxx 21 =____ ；
练 习 题
5,广义积分?
1
0 21 x
x d x
_ _ _ _ _ _ __ ；
6,广义积分?
x
dttf )( 的几何意义是 ______ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：
1,?
0
c o s h t d te
pt
)1(?p ； 2,?
22
2
xx
dx；
3,?
0
dxex
xn
（ 为自然数n ）； 4,?
2
0
2
)1( x
dx；
5,
2
1
1x
xdx； 6,
0
22
)1(
ln
dx
x
xx；
7,
1
0
ln x d x
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
收敛？又 为何值时k,这广义积分发散？
四,已知
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示
x
dttf )(
.
一,1,1,1 pp ； 2,1,1 qq ； 3,1,1 kk ；
4,发散； 5,1 ； 6,过点 轴平行于 yx 的直线左边,曲线 )( xfy? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
p
p； 2,； 3,!n ； 4,发散；
5,
3
2
2 ； 6,0 ； 7,!)1( n
n
,
三、当
1?k
时收敛于
k
ab
k
1
)(
1
1； 当
1?k
时发散,
四、
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.
练习题答案第五章习题课问题 1:
曲边梯形的面积问题 2:
变速直线运动的路程存在定理 广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a
一、主要内容
1、问题的提出实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA
)(lim
10
曲边梯形由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,bx? 所围成,
实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程 S.
方法,分割、求和、取极限,
2、定积分的定义设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意若干若干个分点 bxxxxxa
nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1 iii xxx,),2,1(i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x ），
定义
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx
怎样的分法，
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(l i m
10
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为记 },,,m a x { 21 nxxx,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i
点 i? 怎样并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,
可积的两个 充分 条件：
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
4、定积分的性质
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(性质 1
baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )性质 2
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca性质 3
则 0)( dxxfba )( ba?
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
推论：
则 dxxfba? )( dxxgba )( )( ba?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba )()( ba?（ 2）
dxba 1 dxba ab性质 4
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf )( ba
性质 7 (定积分中值定理 )
设 M 及 m 分别是函数则 )()()( abMdxxfabm ba,
)( xf 在区间 ],[ ba性质 6
上的最大值及最小值，
积分中值公式
5、牛顿 — 莱布尼茨公式如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa定理 1
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是
)( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
.)]([)( baba xFdxxf也可写成牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
6、定积分的计算法
dtttfdxxfba )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法分部积分公式
bababa v d uuvud v ][
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在时，称广义积分 发散,
b dxxf )( baa dxxf )(lim
(2)无界函数的广义积分
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在时，称广义积分 发散,
ba dxxf )( ba dxxf )(lim 0
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(l i m 0 bc dxxf )(lim 0
例 1
解
.2s i n120?
dxx求
20 co ss i n dxxx原式
2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222
二、典型例题例 2
解
.c o ss i n s i n2
0?
dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
dxxx
xJ设
,220
dxJI则
2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI
2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22I故得,4I即例 3
解
.12ln0 2 dxe x求
,s i n te x令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx则
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
6
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln (
例 4
解
.2s i nln40?
x d x求
,2 tx?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0
t d tx d x
40 2s i nln x d xI?
40 )co ss i n2l n ( dxxx
40 )co slns i nln2( ln dxxx
2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4
.2ln4 I
例 5,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8 dxxx
x求解 dxx?
2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23
例 6,},
1m i n {2
2
2?
dxxx求解?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
原式
2110 2 122 dxxdxx,2ln232
例 7,)()1(,)(
1
0
2
0
22 dxxfxdyexf x yy 求设解 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux 2)1(令 0
16 duue
e u ).2(
6
1 e
例 8,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设证,tx令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft左边
,dtdx
dxx xfx 0 2co s1 )( s i n)(
dxxxxfdxxxf 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf
例 9,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
证明上连续，且在区间设证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
,2)( )()( )( x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
0)2)( )()( )(()( dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( xf tftf xf,0)(?xf?
.)( 单调增加xF
,0)(?aF?又,0)()( aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
即例 10,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22
xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分解 (1)
0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim
.5
(2),123 1lim)(lim 2
11
xxx
xf
xx
.)(1 的瑕点为 xfx
21 20 123lim xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim?
x.
4
3a rcs i n
2?
一,选择题：
1,
22222
21
l i m
nn
n
n
n
n
n
n
( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4； （ D ）
2
,
2,
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1l n (
2
x ； （ B ） )1l n (
2
t ；
（ C ） )1l n (2
2
xx ； （ D ） )1l n (2
2
tt,
测 验 题
3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ）?,
4,,定积分?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ）?
2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令
ux
2
1；
（ D ）?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx?
,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ）?
1
1
2 dxx ； ( B ）
2
1
3 dxx ；
（ C ）?
1
1
dx ； （ D ）?
1
1
2 s i n x d xx
,
7,已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
fff,
则
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ）
)
1
1l n (1
e
； （ B ）
3ln)1l n (2
2
e；
（ C ）
2ln)
1
1l n (1
e; （ D ）
)
1
1l n (1
e
.
9,广义积分
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
n
x
dx
n
.
三、求下列函数的导数：
1,?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s i n
2
2
00
xy
t
dt
t
t
dte,的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
四、求下列定积分：
1,?
4
1
)1( xx
dx； 2,?
a
xax
dx
0 22；
3,?
3
0
1
a r c s i n dx
x
x； 4,?
5
2
2
32 dxxx ；
5,?
1
1
1
21
x
dx； 6,?
94
2
xx
dx；
7,?
2
1 2
123 xxx
dx； 8,?
1
1
1
dx
xx
.
五,设1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0(?f
且 1)(0 xf,试证：
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0,1] 上有二阶连续导数，证明：
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
一,1,C ； 2,A ； 3,C ； 4,D ； 5,C ；
6,D ； 7,B ； 8,A ； 9,C ； 1 0,D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
； 2,
2
s i n2
2
xe
y?
,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4； 3,3
3
4
； 4,
3
71；
5,1 ； 6,
5； 7,
4
3
a rc s i n
2
； 8,
.
测验题答案
y
o
A
曲边梯形由连续曲线实例 1 （求曲边梯形的面积）
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,
一、问题的提出
)( xfy?
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i?ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间分成把区间
，上任取一点在每个小区间
i
ii xx
],[ 1?
iii xfA )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
i
n
i
i xfA
)(
1
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(lim
10
时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
nxxx?
曲边梯形面积为实例 2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（ 1）分割 212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs
)(
1
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
路程的精确值设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
记 },,,m a x { 21 nxxx,如果不论对 ],[ ba
在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1 iii xxx,),2,1(i,在各小区间上任取一点 i? （ ii x ），作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i并作和
ii
n
i
xfS
)(
1
,
二、定积分的定义定义怎样的分法，
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(lim
10
被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ ba
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上点 i? 怎样的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为积分上限积分下限积分和注意：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在三、存在定理区间 ],[ ba 上可积,
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a
四、定积分的几何意义几何意义：
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
例 1 利用定义计算定积分,10 2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 n
ix
i?,( ni,,2,1 )
小区间 ],[ 1 ii xx? 的长度 nx i 1,( ni,,2,1 )
取 ii x,( ni,,2,1 )
ii
n
i
xf
)(
1
ii
n
i
x
2
1
,
1
2
i
n
i
i xx
nn
in
i
12
1
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
nnn
n
,121161 nn n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x
2
10
l i m?
nnn 121161lim,31?
例 2 利用定义计算定积分,121 dxx?
解 在 ]2,1[ 中插入分点 12,,,?nqqq?,
典型小区间为 ],[ 1 ii qq?,（ ni,,2,1 ）
小区间的长度 )1(11 qqqqx iiii,
取 1 ii q?,（ ni,,2,1 ）
ii
n
i
xf
)(
1
i
n
i i
x
1
1
)1(
1 1
1
1
qqq
i
n
i
i
n
i
q
1
)1( )1( qn 取 2?nq 即 nq 12?
),12( 1 nn
)12(lim 1 xxx?
x
x
x 1
12
l i m
1
,2ln?
)12(lim
1
n
n
n,2ln?
dxx?21 1 i
n
i i
x
10
1l i m
)12(lim
1
n
n
n,2ln?
ii
n
i
xf
)(
1
例 3 设函数 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且取正值,
证明
n
n n
nf
nfnf
21lim
n
n n
nf
nfnfe?
21limln
n
n n
nf
nfnf
21lim试证,
1
0
)(ln dxxfe
利用对数的性质得
n
if
n
n
ine 1
ln1l i m nnif
n
ine
1lnlim
1
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间上的一个积分和,分割是将 ]1,0[ n 等分分点为 nix i?,（ ni,,2,1 ）
n
n n
nf
nfnfe?
21lnlim
极限运算与对数运算换序得
nn
ifn
in
1lnlim
1
10 )(ln dxxf
故 nn n
nf
nfnf
21lim
.
1
0
)(ln dxxfe
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)(?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
五、小结
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限思考题将和式极限：
n
n
nnnn
)1(s in2s ins in1li m?
表示成定积分,
思考题解答原式
n
n
n
n
nnnn s in
)1(s in2s ins in1lim?
n
in n
i
n 1 s in
1li m
nn
in
in
1 s i nlim
1
.s i n1 0 x d x
ix?i?
一,填空题：
1,函数 )( xf 在ba,上的定积分是积分和的极限，
即?
b
a
dxxf )( ____ ______ ___ ____,
2,定积分的值只与 ______ 及 ___ ____ 有关，而与
____ _____ 的记法无关,
3,定积分的几何意义是 _ ______ ___ ______ ______ _,
4,区间
ba,
长度的定积分表示是 ___ ______ __ _ _,
二,利用定积分的定义计算由抛物线,1
2
xy 两直线
)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积,
三,利用定积分的定义计算积分?
b
a
x d x,)( ba?,
练 习 题四,利用定积分的几何意义，说明下列等式,
1,
4
1
1
0
2
dxx ;
2,
2
0
2
2
co s2co s xdxxdx;
一,1,
n
i
ii
xf
1
0
)(l i m?；
2,被积函数,积分区间,积分变量；
3,介于曲线
)( xfy?
,
轴x
,直线
bxax,
之间各部分面积的代数和；
4,
b
a
dx
,
二,abab )(
3
1
33
,
三,)(
2
1
22
ab?,
练习题答案对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba? 时,0)( ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba? 时, abba dxxfdxxf )()(,
说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
一、基本内容证ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf
)]()([l i m
10
ii
n
i
xf
)(lim
10
ii
n
i
xg
)(lim
10
ba dxxf )(,)( ba dxxg
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf
)(lim
10
ii
n
i
xfk
)(l i m
10
ii
n
i
xfk
)(lim
10
.)( ba dxxfk
性质 2
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba
ca dxxf )( cbba dxxfdxxf )()(
ba dxxf )( cbca dxxfdxxf )()(
.)()( bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
则假设 bca性质 3
dxba 1 dxba ab,
则 0)( dxxfba,)( ba?
证,0)(?xf?,0)( if ),,2,1( ni
,0 ix?,0)(
1
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx
ii
n
i
xf
)(lim
10
,0)(
b
a dxxf
性质 4
性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
例 1 比较积分值 dxe x 20 和 dxx 20 的大小,
解 令,)( xexf x ]0,2[x
,0)(?xf?,0)(0 2 dxxe x
dxe x 02,02 dxx
于是 dxe x20,20 dxx
性质 5的推论：
证 ),()( xgxf,0)()( xfx
,0)]()([ dxxfxgba
,0)()( baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba )(,
则 dxxfba? )( dxxgba )(,)( ba?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba )(,)( ba?
证,)()()( xfxfxf
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa
即 dxxfba? )( dxxfba )(,
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的性质 5的推论：
（ 2）
设 M 及 m 分别是函数证,)( Mxfm
,)( bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
则 )()()( abMdxxfabm ba,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
例 2 估计积分 dxx
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ],,0[ x
,1s i n0 3 x,31s i n3 141 3 x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx
.3s i n3 14 0 3 dxx
例 3 估计积分 dx
x
x
2
4
s i n
的值,
解,s i n)( x xxf?
2
s i nco s)(
x
xxxxf
2
)ta n(co s
x
xxx
]2,4[x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ 上单调下降,
故 4x 为极大点,2x 为极小点,
,22)4( fM,2)2( fm
,442 ab?
,422s i n42 2
4
dxx
x
.2 2s i n21 2
4
dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba )(1
)()()( abMdxxfabm ba
由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
性质 7（定积分中值定理）
积分中值公式在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使,)(1)( ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
即积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy?底边，
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 )(?f
的一个矩形的面积。
例 4 设 )( xf 可导，且 1)(l i m?
xf
x
，
求 dttf
t
t
x
xx?
2
)(
3
s i nl i m,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ xx
使 dttfttxx 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf
dttfttxx
x?
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2?
f
)(3l i m2 f,6?
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大小．
二、小结思考题定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思考题解答由 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例一,填空题：
1,如果积分区间ba,被点 c 分成bcca,,与,则定积分的可加性为
b
a
dxxf )( _ ___ ___ __ _ ；
2,如果baxf,)( 在 上的最大值与最小值分别 为
M m与
，则
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ ___ ___ __
_ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ；
3,
时当 ba?
，我们规定
b
a
dxxf )( 与
a
b
dxxf )( 的关系是 ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ；
4,积分中值公式
b
a
dxxf )( )(,))(( baabf 的几何意义是
_ ___ ___ ___ ___ __ ；
练 习 题
5,下列两积分的大小关系是：
（ 1 ）?
1
0
2
dxx ___ _ _?
1
0
3
dxx
（ 2 ）?
2
1
ln x d x ___ _ __ _?
2
1
2
)(l n dxx
（ 3 ） dxe
x
1
0
___ _ __ _
1
0
)1( dxx
二,证明,
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ 是常数k ）,
三,估计下列积分?
3
3
3 c o t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1,)
2
1
.,,
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
;
2.,
4
0
s i nlim
xdx
n
n
.
七、设
)( xf
及
baxg,)( 在上连续，证明：
1,若在
ba,
上
0)(?xf
,且
b
a
dxxf 0)(,则在
ba,
上
0)(?xf；
2,若在
ba,
上，
0)(?xf
,且
)( xf
不
0恒等于
，则
b
a
dxxf 0)( ；
3,若在
ba,
上
)()( xgxf?
,且
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
，则在
)()(,xgxfba?上
,
一,1,
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ；
2,baabMdxxfabm
b
a
,)()()( ；
3,
b
a
dxxf )(
a
b
dxxf )( ；
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于为邻与 abf?)(? 边的矩形面积；
5,(1)> ； (2 )> ； ( 3) >.
三,1,?
3
2
a r c ta n
9
3
3
1
xdxx ；
2,
5
3
a r c s i n
242
1
32
1
0
xxx
dx
.
练习题答案变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为? 2
1
)(TT dttv
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
一、问题的提出
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )(
记,)()( xa dttfx 积分上限函数如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、积分上限函数及其导数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xx
a?
)()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(?
x
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(l i ml i m 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
如果 )( tf 连续,)( xa,)( xb 可导，
则 dttfxF
xb
xa?
)(
)(
)()( 的导数 )( xF? 为补充
)()()()( xaxafxbxbf
证 dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0
dttfxb )(0 )(,)()(0 dttfxa
)()()()()( xaxafxbxbfxF
)( )( )()( xb xa dttfdxdxF
例 1 求,l i m 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
解1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2 x t dte
dx
d
)(co s2co s xe x,s i n 2c o s xex
2
1
c o s
0
2
lim x
dte
x
t
x
x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 2 设 )( xf 在 ),( 内连续，且 0)(?xf,
证明函数
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( 内为单调增加函数,
证? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf x dttfdxd 0 )( ),( xf?
2
0
00
)(
)()()()(
)(
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( xxf?,0)(0 x dttf
,0)()( tftx?,0)()(0 x dttftx
).0(0)( xxF
故 )( xF 在 ),0( 内为单调增加函数,
例 3 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)(?xf,证明
1)(2
0
dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证,1)(2)( 0 dttfxxF x
,0)(2)( xfxF,1)(?xf?
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,,01)0(F
10 )(1)1( dttfF 10 )](1[ dttf,0?
所以 0)(?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
令定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
又? dttfx xa )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF )()( ],[ bax?
证三、牛顿 — 莱布尼茨公式令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
),()()( aFxFdttfxa
,)()( CdttfxF xa
令 bx ).()()( aFbFdxxfba
牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba
微积分基本公式表明：
baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
注意 当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
例 4 求,)1s i nc o s2(20 dxxx
原式 20c o ss i n2?xxx,23
例 5 设,求,
215
102)(
x
xxxf
20 )( dxxf
解解 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)(?xf,
10 21 52 dxx d x原式,6? x
y
o 1 2
例 6 求,},m a x {2 2 2 dxxx
解 由图形可知
},m a x {)( 2xxxf?
,
21
10
02
2
2
xx
xx
xx
21 2100 2 2 dxxx d xdxx原式,211?
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
例 7 求解
.112 dxx
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx 12 1 12||ln x,2ln2ln1ln
例 8 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[? 上与 x 轴所围成的平面图形的面积,
解 面积
x
y
o?
0 s in xdxA
0co s x.2?
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 x
a dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx
)()()( aFbFdxxfba
四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
思考题设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa
)()( xfduufdxd bx
一,填空题：
1,
b
a
x
dxe
dx
d
2
2
= ______ _,
2,
x
a
dxxf
dx
d
))(( ___ ______ _,
3,
2
23
)1l n (
x
dttt
dx
d
___ ____,
4,
2
0
)( dxxf ___ _,其中
21,2
10,
)(
2
xx
xx
xf,
5,设?
,co sco s1 n x d xmxI
dxnxmx?
s i ns i n,
练 习 题
（ 1 ）、当 nm? 时,
1
I = __,
2
I = __ _ __,
（ 2 ）、当 nm? 时，
1
I = __ _,
2
I = __ __ _,
6,设,s i nc o s
n x d xmx
（ 1 ）、当
nm?
时，
3
I = __ _ _,
（ 2 ）、当
nm?
时，
3
I = __ _ __,
7,
9
4
)1( dxxx _____,
8,?
3
3
1
2
1 x
dx
_____,
9,?
x
dtt
x
x
0
2
0
c o s
l i m __ __ __ __,
二,求导数：
1,设函数 )( xyy? 由方程 0c o s
00
xy
t
t d tdte 所确定，求
dx
dy；
2,设
1
2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
u d uuy
u d uux
)1(?t
,求
2
2
dx
yd；
3,
x
x
dtt
dx
d c o s
s i n
2
)c o s ( ；
4,设?
2
0
3
1
)(
x
x
dx
xg
，求
)1(g
,
三,计算下列各定积分：
1,
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2,?
2
1
2
1 2
1 x
dx;
3,?
0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4,?
2
0
s i n dxx,
四,求下列极限：
、
x
t
x
t
x
dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(
l i m ; 2,
2
5
0
2
0
2
1
)c o s1(
lim
x
dtt
x
x
.
五,设 )( xf 为连续函数，证明,
x x t
dtduufdttxtf
0 0 0
))(())((,
六,求函数
x
dt
tt
t
xf
0
2
1
13
)( 在区间1,0 上的最大值与最小值,
七,设
时，或，当时，当
xx
xx
xf
00
0,s i n
2
1
)(
求
x
dttfx
0
)()（? 在 ),( 内的表达式,
八,设baxf,)( 在 上连续且,0)(?xf
x
a
x
b tf
dt
dttfxF
)(
)()(,证明：
（ 1 ）,2)(
'
xF ;
（ 2 ）、方程 0)(?xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根,
一,1,0 ； 2,)()( afxf? ； 3,)1l n (
23
xx ；
4,
6
5； 5,( 1),； (2) 0,0 ；
7,;
6
1
45 8,
6； 9,1.
二,1,
1s i n
c o s
x
x； 2,
tt ln2
1
2；
3,
)s i nc os ()c os(s i n
2
xxx； 4,
2?
.
三,1,
8
5
2 ； 2,
3； 3,1
4
； 4,4.
练习题答案四,1,0 ； 2,
10
1
.
六、
33
5?
,0.
七、
x
xx
x
x
,1
0,)co s1(
2
1
0,0
)(,
定理 假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfba )()]([)(,
一、换元公式证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba
)],([)( tFt
dt
dx
dx
dFt )( )()( txf ),()]([ ttf
),()()()]([ dtttf
)( t 是 )()]([ ttf 的一个原函数,
a?)(,b?)(,
)()( )]([)]([ FF
),()( aFbF
)()()( aFbFdxxfba )()(
.)()]([ dtttf
注意 当 时，换元公式仍成立,
应用换元公式时应注意,
（ 1）求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应的改变,
例 1 计算,s i nco s20 5 x d xx
解 令,c o s xt?
2
x,0 t 0?x,1 t
20 5 s i nco s x d xx
01 5dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n x d xdt
例 2 计算解
.s i ns i n0 53 dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( 23s i nc o s xx?
0 53 s ins in dxxx 0 23s inc o s dxxx
20 23s inco s dxxx
2
2
3
s inco s dxx
20 23 s i ns i n xdx
2
2
3
s ins in xdx
2
0
2
5
s i n52
x
2
2
5
s i n
5
2 x
.54?
例 3 计算解
.
)ln1(ln
4
3
e e xxx dx
原式
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd?
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
43)lna r c s i n (2 e ex?,6
例 4 计算解
a adxxax0 22 )0(.1
令,s i n tax?
ax?,2 t 0?x,0 t
,c o s td tadx?
原式?
2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
2
0 co ss in
co s dt
tt
t
2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
20c o ss inln21221 tt.4
例 5 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数例 6 计算解
.11 c o s21
1 2
2
dxx xxx
原式
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
10 2
2
114 dxx
x?
1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx
.4 单位圆的面积例 7 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ）
22
00
)( co s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ）
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算?
0
2
co s1
s i n
dx
x
xx
.
证 （ 1）设 tx 2,dtdx
0?x,2 t 2x,0 t
20 )( s i n dxxf 02 2s i n dttf
20 )( co s dttf ;)( co s20 dxxf
（ 2）设 tx,dtdx
0?x, tx,0 t
0 )( s in dxxxf 0 )][ s in()( dttft
,)( s in)(0 dttft
0 )( s in dttf 0 )( s in dtttf
0 )( s in dxxf,)( s in0 dxxxf
.)( s in2)( s in 00 dxxfdxxxf
0 2co s1 s i n dxxxx 0 2c o s1 s in2 dxxx
0 2 )( c o sc o s1 12 xdx 0)a rct a n ( co s2 x
.4
2?
)44(2
0 )( s in dxxxf
几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法
dxxfba? )( dtttf )()]([
二、小结思考题指出求
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确的解法,
解 令,s e c tx?,4332,,s e ct a n td ttdx?
22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2
dt 43
3
2,12
思考题解答计算中第二步是错误的,tx s e c
,43,32t,0tan?t,t a nt a n12 ttx
正确解法是
22 2 1xx dx tx s e c? t d tttt t a ns ect a ns ec 14
3
3
2
dt 43
3
2,12
一,填空题：
1,
3
)
3
s i n ( dxx ___ __ ___ ___ _ ___ ___ _ ；
2,
0
3
)s i n1( d ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
3,
2
0
2
2 dxx ___ __ ___ ___ _ _ ；
4,?
2
1
2
1
2
2
1
)(a r c s i n
dx
x
x
___ __ ___ ___ ；
5,?
5
5
24
23
12
s i n
dx
xx
xx
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __,,
练 习 题二,计算下列定积分：
1,
2
0
3
co ss i n
d ； 2,
3
1 22
1 xx
dx；
3,
1
4
3
11 x
dx； 4,
2
2
3
co sco s dxxx ；
5,?
0
2c o s1 dxx ； 6,
2
2
4
c o s4
dx ；
7,
1
1
2322
)11( dxxxxx ；
8,?
2
0
3
},m a x { dxxx ；
9,
2
0
dxxx? （
为参数?
）,
三,设
时，当时，当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
求
2
0
)1( dxxf,
四、设baxf,)( 在 上连续，
证明
b
a
b
a
dxxbafdxxf )()(,
五,证明：
1
0
1
`0
)1()1( dxxxdxxx
mnnm
.
六、证明：
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
1,0)( 在xf
上连续，
证明
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,
练习题答案一,1,0 ； 2,
3
4
； 3,
2； 4,
32
3； 5,0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2? ； 3,2ln21? ； 4,
3
4；
5,
22； 6,?
2
3； 7,
4； 8,
8；
9,
4
17； 1 0,时当 0,?2
3
8； 当
20
时,
3
2
3
8
3
； 当
2
时,?2
3
8
,
三,)1l n (1
1?
e,
六,2,
设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)( baba uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, bab
a
b
a v d uuvu d v
一、分部积分公式例 1 计算,a rc s i n210? x d x
解 令,a r c s i n xu?,dxdv?
,1 2xdxdu,xv?
210 a rc s i n x d x 210a r c s i n xx 2
1
0 21 x
x d x
62
1 )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx
12
21
021 x,12
3
12
则例 2 计算解
.2co s140 xx d x
,co s22co s1 2 xx
40 2co s1 xxdx 40 2c o s2 xxdxxdx t a n240
40t a n21 xx x d xt a n21 40
40s ecln218 x.4 2ln8
例 3 计算解
.)2( )1l n (1
0 2
dx
x
x
10 2)2( )1l n ( dxx x 10 2 1)1l n( xdx
1
02
)1ln (
x
x
1
0 )1l n(2
1 xd
x
3
2ln dx
xx
1
0 1
1
2
1 xx 2 11 1
10)2l n()1l n(3 2ln xx,3ln2ln35
例 4 设 求解
21,s i n)( x dtt txf,)(10? dxxxf
因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf
102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx
)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
21,s i n)( x dtt txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf
10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
10 2s i n221 dxxx 10 22s i n21 dxx
102c o s21 x? ).11( co s21
,0s i n)1( 11 dtt tf
例 5 证明定积分公式
22 00 c o ss i n xdxxdxI nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
为正偶数为大于 1的正奇数证 设,s i n 1 xu n,s i n xdxdv?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n,c o s xv
dxxxnxxI nnn 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
x2s in1?0
dxxndxxnI nnn 22 00 2 s i n)1(s i n)1(
nn InIn )1()1( 2
2
1
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式
nI
42 2
3
nn In
nI, 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m
,32547612 2212 2 112 Immm mI m
),2,1(m
,2200 dxI,1s i n201 x d xI
,221436522 322 122mmmmI m
.32547612 2212 212mmm mI m
于是定积分的分部积分公式
, bab
a
b
a v d uuvud v
二、小结
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题设 )( xf 在1,0 上连续，且 1)0(?f,
3)2(?f,5)2(f,求1
0
)2( dxxfx,
思考题解答
10 )2( dxxfx 10 )2(21 xfxd
1
0
1
0 )2(2
1)2(
2
1 dxxfxfx
10)2(41)2(21 xff
)0()2(4125 ff,2?
一,填空题：
1,设 n 为正奇数，则?
2
0
s i n x d x
n
____ ____ ___ ；
2,设 n 为正偶数，则
2
0
co s xdx
n
= ___ ____ _ __ _ ；
3,?
dxxe
x
1
0
_____ ___ ____ __ ；
4,?
e
x d xx
1
ln _____ ___ ____ _ ；
5,
1
0
a r c ta n x d xx ____________,
二,计算下列定积分：
1,?
e
dxx
1
)s i n (l n ； 2,?
e
e
dxx1 ln ；
练 习 题
3,?
0
s i n)( x d xxmJ
m
,（ m 为自然数）
4,?
0
1
)1c o s (s i n xdxnx
n
.
三、已知 xxf 2t a n)(?,求?
4
0 )()( dxxfxf,
四、若,0)( 在xf 连续，,1)(,2)0( ff
证明,3s i n])()([
0
x d xxfxf?,
一,1,
!!
!)!1(
n
n?； 2,
2!!
!)!1(?
n
n； 3,
e
2
1? ；
4,)1(
4
1
2
e ； 5,
2
3
ln
2
1
)
9
3
4
1
(,
二,1,
2
11c o s1s i n ee； 2,)
1
1(2
e；
练习题答案
3,
为奇数为偶数
1,
531
)1(642
,
2642
)1(531
)(
2
m
m
m
m
m
m
mJ
；
4,
为正偶数时当为正奇数时当
n
n
n
n
,
!!
!)!1(2
,0；
5,0.
三,8.
一、问题的提出计算定积分的方法：
(1) 求原函数；
问题：
(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；
(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；
(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难．
(2) 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．
解决办法,建立定积分的近似计算方法．
常用方法,矩形法、梯形法、抛物线法．
思路：
分的近似值．面积，就得到所给定积出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算在数值上表示曲边梯形)0)(()( xfdxxf
b
a
二、矩形法窄矩形的高，如图作为值取小区间左端点的函数等分，将区间用分点
),,1,0(
],[,,,10
niy
nbabxxxa
i
n
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny
)1(
)(
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
则有的高，如图作为窄矩形取右端点的函数值 ),,2,1( niy i
)2(
)(
1
1
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
称为矩形法公式．,)2()1(
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny
则有三、梯形法梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图 o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
)3(])(
2
1
[
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
1210
1
2110
nn
nn
b
a
yyyyy
n
ab
xyy
xyyxyydxxf
例１
的近似值．
积分用矩形法和梯形法计算
1
0
2
dxe x
解,,ix设分点为把区间十等分相应的函数值为 )10,,1,0(2 iey ixi
)10,,1,0(i
i
ix
iy
0 1 2 3 4 5
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
00000.1 99005,96079.0 91393.0 85214.0 77880.0
列表,
i
ix
iy
106 7 8 9
16.0 7.0 8.0 9.0
69768.0 61263.0 52729.0 44486.0 36788.0
利用矩形法公式（１），得
10
01)(
910
1
0
2 yyydxe x?.7 7 7 8 2.0?
利用矩形法公式（２），得
10
01)(
1021
1
0
2 yyydxe x?.7 1 4 6 1.0?
利用梯形法公式（３），得
))(21[10 01 92110010 2 yyyyydxe x
实际上是前面两值的平均值，
)7 1 4 6 1.07 7 7 8 2.0(2110 2 dxe x
.7 4 6 2 1.0?
四、抛物线法到定积分的近似值．原来的曲线弧，从而得段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一行于许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为
y
),2,1,0(
) ),((),(
,,,
10
ni
xfyyxM
n
bxxxa
iiiii
n
点为这些分点对应曲线上的
（偶数）等分，把区间分成用分点
o x
y )( xfy?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
2y
因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
}.,,{,},,,{},,,{
,
2
12432210 nnn
i
MMMMMMMMM
n
M
组互相衔接的分成故可将这些曲线上的点
.
,,,],[
)
2
,,2,1(},,{
2
2
1222222
21222
线弧近似代替曲的二次抛物线用经过点上应的子区间所对在每组
rqxpxyM
MMxx
n
kMMM
k
kkkk
kkk
边梯形的面积．
为曲边的曲的抛物线上过三点［计算在
rqxpxyyhM
yMyhMhh
2
22
1100
),,(
),,0(),,(],
可由下列方程组确定：抛物线方程中的 rqp,,
.
,
,
2
2
1
2
0
rqhphy
ry
rqhphy
.22 2102 yyyph由此得于是所求面积为
h h dxrqxpxA )( 2
rhph 232 3 )62(31 2 rphh
),4(31 210 yyyh
有关．及底边所在的区间长度标的纵坐只与显然，曲边梯形的面积
hyyy
MMM
2,,
,,
210
210
组曲边梯形的面积为由此可知 2n
),4(
3
1
),4(
3
1
),4(
3
1
12
2
43222101
nnnn
yyyhA
yyyhAyyyhA
.n abh其中
)4() ],(4
)(2)[(
3
)(
131
2420
n
nn
b
a
yyy
yyyyy
n
ab
dxxf
例２ 对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积,A
0 1 2 3 4 51? 6站号
y高 0 305.2 865.4 974.6 568.8 559.9 011.10 183.10
7 8 9 10 11 12 13站号
y高 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10
14 15 16 17 18 2019站号
y高 400.10 416.9 015.8 083.6 909.3 814.1 0
y
xo
1A 2A
米．站之间的距离为站到而
．）为两站之间的距离（站距米，相邻站之间的距离为站到这里，
501
359.72018.147
18.147200
解来近似表示，即轴构成的三角形的面积的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴表示．站这一段的面积用站到从 101 A?
3 0 5.25211A ).(763,平方米?
根据抛物线公式 (4)，得
3
)](2
)(4)[(
1842
195312002
x
yyy
yyyyyyA
).(8 3 9.1 1 9 4 平方米?
839.1 1 9 4768.521 AAA ).(6 0 2.1 2 0 0 平方米?
五、小结求定积分近似值的方法：
矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当 取得越大时近似程度就越好．
n
一,某河床的横断面如教材图 125? 所示，为了计算最大排洪量，需要计算它的断面积．试根据图示的测量数据 （单位为米）用梯形法计算其断面积,
二,用三种积分近似计算法计算
2
0
2
s i n
2
1
1
dtts,
（ 6?n取,被积函数值取四位小数）,
练 习 题一,)(6.145 平方米,
二,1,1,3 8 9 0 ；
2,1,3 5 0 6 ；
3,1,3 5 0 6,
练习题答案定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续，取
ab?,如果极限?
b
ab
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分，记作?
a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续，取
ba?,如果极限?
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分，记作?
b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(lim
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分?
0
)( dxxf 和?
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分，记作?
dxxf )(,
dxxf )( 0 )( dxxf 0 )( dxxf
0 )(l i m aa dxxf bb dxxf0 )(lim
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
例 1 计算广义积分,1 2 xdx
解 21 xdx 0 21 xdx 0 21 xdx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1lim
0a rct a nlim aa xbb x 0a rc t a nlim
aa a r c t a nlim bb a r c t a nlim,22
例 2 计算广义积分解
.1s i n12 2
dxxx
2
1s i n1
2 dxxx?
2 11s i n xdx
b
b x
dx2 11s i nl im
b
b
2
1co slim
2
c o s1c o slim?b
b,1?
例 3 证明广义积分?
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛，
当 1?p 时发散,
证,1)1(?p1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x,
,1)2(?p1 1 dxx p
1
1
1 p
x p
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
p；
当 1?p 时广义积分发散,
例 4 证明广义积分?
a
px dxe 当 0?p 时收敛，
当 0?p 时发散,
证
a
px dxe
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
l i m
p
e
p
e pbpa
b
lim?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取 0,如果极限
b
a
dxxf
)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界,取 0,如果极限
b
a
dxxf )(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作?
b
a
dxxf )(?
b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续，而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(l i m 0 bc dxxf )(l i m 0
否则，就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 C为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分解
).0(
0 22
axa dxa
,1lim 22
0
xaax
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220l i m
a
a
x
00
a r c s i nl i m?
0a r c s i nl i m
0 a
a?
.2
例 6 证明广义积分?
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当
1?q 时发散,
证,1)1(?q 10 1 dxx10ln x?,
,1)2(?q?10 1 dxx q
1
0
1
1
q
x q
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
10 1 dxx q
例 7 计算广义积分解
.ln21? xxdx
21 ln xxdx 210 lnlim xx dx
210 ln )(l nl i m xxd 210 )l n(l nlim x
))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0
. 故原广义积分发散,
例 8 计算广义积分解
.
)1(
3
0 32x
dx 1?x
瑕点
30 32)1( x dx 10 31
3
2)1()( x
dx
10 32)1( x dx 100
3
2)1(lim x
dx3?
31 32)1( x dx 310 32)1(lim x dx,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3
无界函数的广义积分（ 瑕积分 ）
无穷限的广义积分
dxxf )(b dxxf )(a dxxf )(
ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
（ 注意,不能忽略内部的瑕点）
ba dxxf )(
三、小结思考题积分 的瑕点是哪几点？?10 1ln dxx x
思考题解答积分 可能的瑕点是10 1ln dxx x 1,0 xx
1
lnl i m
1 x
x
x
,11lim
1
xx 1 x 不是瑕点,
10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
一,填空题：
1,广义积分
1
p
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ _ 时发散；
2,广义积分?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛；当 __ _ __ __ 时发散；
3,广义积分?
2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛；在 __ __ __ _
时发散；
4,广义积分 dxxx 21 =____ ；
练 习 题
5,广义积分?
1
0 21 x
x d x
_ _ _ _ _ _ __ ；
6,广义积分?
x
dttf )( 的几何意义是 ______ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：
1,?
0
c o s h t d te
pt
)1(?p ； 2,?
22
2
xx
dx；
3,?
0
dxex
xn
（ 为自然数n ）； 4,?
2
0
2
)1( x
dx；
5,
2
1
1x
xdx； 6,
0
22
)1(
ln
dx
x
xx；
7,
1
0
ln x d x
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
收敛？又 为何值时k,这广义积分发散？
四,已知
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示
x
dttf )(
.
一,1,1,1 pp ； 2,1,1 qq ； 3,1,1 kk ；
4,发散； 5,1 ； 6,过点 轴平行于 yx 的直线左边,曲线 )( xfy? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
p
p； 2,； 3,!n ； 4,发散；
5,
3
2
2 ； 6,0 ； 7,!)1( n
n
,
三、当
1?k
时收敛于
k
ab
k
1
)(
1
1； 当
1?k
时发散,
四、
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.
练习题答案第五章习题课问题 1:
曲边梯形的面积问题 2:
变速直线运动的路程存在定理 广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a
一、主要内容
1、问题的提出实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA
)(lim
10
曲边梯形由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,bx? 所围成,
实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程 S.
方法,分割、求和、取极限,
2、定积分的定义设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意若干若干个分点 bxxxxxa
nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1 iii xxx,),2,1(i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x ），
定义
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx
怎样的分法，
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(l i m
10
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为记 },,,m a x { 21 nxxx,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i
点 i? 怎样并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,
可积的两个 充分 条件：
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
4、定积分的性质
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(性质 1
baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )性质 2
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca性质 3
则 0)( dxxfba )( ba?
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
推论：
则 dxxfba? )( dxxgba )( )( ba?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba )()( ba?（ 2）
dxba 1 dxba ab性质 4
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf )( ba
性质 7 (定积分中值定理 )
设 M 及 m 分别是函数则 )()()( abMdxxfabm ba,
)( xf 在区间 ],[ ba性质 6
上的最大值及最小值，
积分中值公式
5、牛顿 — 莱布尼茨公式如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa定理 1
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是
)( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
.)]([)( baba xFdxxf也可写成牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
6、定积分的计算法
dtttfdxxfba )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法分部积分公式
bababa v d uuvud v ][
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在时，称广义积分 发散,
b dxxf )( baa dxxf )(lim
(2)无界函数的广义积分
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在时，称广义积分 发散,
ba dxxf )( ba dxxf )(lim 0
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(l i m 0 bc dxxf )(lim 0
例 1
解
.2s i n120?
dxx求
20 co ss i n dxxx原式
2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222
二、典型例题例 2
解
.c o ss i n s i n2
0?
dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
dxxx
xJ设
,220
dxJI则
2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI
2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22I故得,4I即例 3
解
.12ln0 2 dxe x求
,s i n te x令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx则
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
6
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln (
例 4
解
.2s i nln40?
x d x求
,2 tx?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0
t d tx d x
40 2s i nln x d xI?
40 )co ss i n2l n ( dxxx
40 )co slns i nln2( ln dxxx
2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4
.2ln4 I
例 5,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8 dxxx
x求解 dxx?
2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23
例 6,},
1m i n {2
2
2?
dxxx求解?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
原式
2110 2 122 dxxdxx,2ln232
例 7,)()1(,)(
1
0
2
0
22 dxxfxdyexf x yy 求设解 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux 2)1(令 0
16 duue
e u ).2(
6
1 e
例 8,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设证,tx令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft左边
,dtdx
dxx xfx 0 2co s1 )( s i n)(
dxxxxfdxxxf 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf
例 9,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
证明上连续，且在区间设证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
,2)( )()( )( x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
0)2)( )()( )(()( dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( xf tftf xf,0)(?xf?
.)( 单调增加xF
,0)(?aF?又,0)()( aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
即例 10,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22
xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分解 (1)
0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim
.5
(2),123 1lim)(lim 2
11
xxx
xf
xx
.)(1 的瑕点为 xfx
21 20 123lim xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim?
x.
4
3a rcs i n
2?
一,选择题：
1,
22222
21
l i m
nn
n
n
n
n
n
n
( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4； （ D ）
2
,
2,
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1l n (
2
x ； （ B ） )1l n (
2
t ；
（ C ） )1l n (2
2
xx ； （ D ） )1l n (2
2
tt,
测 验 题
3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ）?,
4,,定积分?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ）?
2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令
ux
2
1；
（ D ）?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx?
,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ）?
1
1
2 dxx ； ( B ）
2
1
3 dxx ；
（ C ）?
1
1
dx ； （ D ）?
1
1
2 s i n x d xx
,
7,已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
fff,
则
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ）
)
1
1l n (1
e
； （ B ）
3ln)1l n (2
2
e；
（ C ）
2ln)
1
1l n (1
e; （ D ）
)
1
1l n (1
e
.
9,广义积分
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
n
x
dx
n
.
三、求下列函数的导数：
1,?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s i n
2
2
00
xy
t
dt
t
t
dte,的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
四、求下列定积分：
1,?
4
1
)1( xx
dx； 2,?
a
xax
dx
0 22；
3,?
3
0
1
a r c s i n dx
x
x； 4,?
5
2
2
32 dxxx ；
5,?
1
1
1
21
x
dx； 6,?
94
2
xx
dx；
7,?
2
1 2
123 xxx
dx； 8,?
1
1
1
dx
xx
.
五,设1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0(?f
且 1)(0 xf,试证：
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0,1] 上有二阶连续导数，证明：
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
一,1,C ； 2,A ； 3,C ； 4,D ； 5,C ；
6,D ； 7,B ； 8,A ； 9,C ； 1 0,D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
； 2,
2
s i n2
2
xe
y?
,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4； 3,3
3
4
； 4,
3
71；
5,1 ； 6,
5； 7,
4
3
a rc s i n
2
； 8,
.
测验题答案
