例 1 一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2?
xdxy 2
2,1 yx 时其中
,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为一、问题的提出例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 )(,tssst?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
dt sd,20,0,0
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv
2122.0 CtCts
代入条件后知 0,20 21 CC
,202.0 2 tts
,204.0 tdtdsv
故
),(504.020 秒t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米s
开始制动到列车完全停住共需微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy
,0)( 2 xdxdtxt
,32 xeyyy
,yxxz
实质,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的定义微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
,0),,(yyxF一阶微分方程 );,( yxfy
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( nyyyxF?
).,,,,( )1()( nn yyyxfy?
分类 2:
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0))(,),(),(,( )( xxxxF n?
微分方程的解的分类：
三、主要问题 -----求方程的解
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解,
,yy例 ;xcey?通解
,0 yy ;c o ss i n 21 xcxcy通解解的图象,微分方程的积分曲线,
通解的图象,积分曲线族,
初始条件,用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ;
00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证,函数 ktcktcx s i nc os
21
是微分方程 0
2
2
2
xk
dt
xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,0,
0
0
t
t dt
dxAx?,0,
21 CAC
所求特解为,c o s ktAx?
补充,微分方程的初等解法,初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
四、小结思考题函数 xey 23? 是微分方程 04 yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey,12 2 xey
yy 4,03412 22 xx ee
xey 23 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程,
一,填空题,
1,02
2
yxyyx 是 _____ _ 阶微分方程；
2,0
2
2
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 ____ __ 阶微分方程；
3,
2
s i n
d
d
是 ____ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 ___ _ 个任意常数,二、确定函数关系式 )s i n (
21 cxcy 所含的参数,使其满足初始条件 1xy,0xy,
练 习 题四、已知函数 1 xbeaey xx,其中 ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案一,1,3 ； 2,2 ； 3,1 ； 4,2.
二,.
2
,1
21
CC
三,02
xyy
.
四,xyy
1
.
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy?例如,2 254 dxxdyy
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函数,CxFyG )()( 为微分方程的解,
分离变量法例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy?
解 分离变量,2 x d xydy?
两端积分,2 xdxy
dy
12ln Cxy
.2 为所求通解xcey
二、典型例题
.0)()(2 通解求方程例 xdyxygyd xxyf
,xyu?令,y d xx d ydu则
,0)()( x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ duugdxxuuguf
,0)]()([ )( duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx通解为解例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 00 MM t,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数 MdtdM dtM
dM
, dtMdM
00 MM t代入
,lnln ctM,tceM即
00 ceM?得,C?
teMM 0 衰变规律例 4 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时间 t的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
hdhh? )1(,262.0 dtghdV
设在微小的时间间隔 ],,[ ttt
水面的高度由 h降至,hh,2 dhrdV则
,2 0 0)1 0 0(1 0 0 222 hhhr
)2(,)2 0 0( 2 dhhhdV
比较 (1)和 (2)得,dhhh )2 0 0( 2,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )2 0 0( 2,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程,可分离变量
,)2 0 0(262.0 3 dhhhgdt
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt
,100| 0th?,1015
14
262.0
5
gC
).310107(265.4 5335 hhgt所求规律为解例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 dt
),(2000 txdt
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量
03.02 0 0 01 2 0 0 0 dtdx ),(2 0 0 0 txdt
),03.0(61 xdtdx,03.0 61 tCex
,1.0| 0tx?,07.0 C,07.003.0 6
1 tex
,056.007.003.0| 16 ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
三、小结思考题求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy
思考题解答
,02co s2co s yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy?,
2co s2 C
x 为所求解,
一、求下列微分方程的通解,
1,0ta ns e cta ns e c
22
x d yyy d xx ；
2,0)()(
dyeedxee
yyxxyx；
3,0)1(
32
x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
xdxyy d yx si nc o ssi nc o s?
,
4
0
x
y ；
2,0s i n)1(c o s
y d yey d x
x
,
4
0
x
y,
练 习 题三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比,在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路线,
练习题答案一,1,Cyx?t a nt a n ； 2,Cee
yx
)1)(1( ；
3,Cxy
43
3)1(4,
二,1,xy c o sc o s2? ； 2,ye
x
c o s221,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对岸,则所求航线为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x,
一、齐次方程
)( xyfdxdy?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法,x
yu?
作变量代换,xuy?即代入原式
,dxduxudxdy
),( ufdxduxu
.)( x uufdxdu即 可分离变量的方程
1.定义
,0)( 时当 uuf,ln)( 1 xCuuf du得
,)( uCex即 ）（ uuf
duu
)()(?
,代入将 xyu?,)( xyCex得通解
,0u?当,0)( 00 uuf使,0 是新方程的解则 uu?
,代回原方程,0 xuy?得齐次方程的解例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,则 u d xxdudy
,0)(co s)co s( xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u,lns i n Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
,
1
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu?令,u d xx d udy则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
.2 222 xyy dyyxyx dx例 2 求解微分方程解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy
,]1122)121(21[ xdxduuuuu
例 3 抛物线的光学性质实例,车灯的反射镜面 ------旋转抛物面解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT?斜率为为切线
,1,yMN斜率为为法线
,N M RO M N
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
,022 yyxyy
得微分方程,1)( 2
y
x
y
xy即
,t a nt a n N M RO M N
由夹角正切公式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu?,11 2
u
u
dx
duxu得分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
ud u
，令 221 tu,)1( xdxtt td t
积分得,ln1ln xCt,112 xCu即平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu
得代回,xyu? )2(22 CxCy 抛物线轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy
二、可化为齐次的方程的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
为齐次方程,,01 时当 cc
，
令
kYy
hXx
,
（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
2.解法
1.定义
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
得通解代回
，kyY
hxX,
,0)2(未必有解,上述方法不能用,
,01 时当?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
方程可化为
,byaxz令
，则 dxdybadxdz ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ab若 ),(
1 a
dx
dz
bdx
dy
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
可分离变量的微分方程,
,01 时当?b
,byaxz令可分离变量,
.314 的通解求例 yx yxdxdy
解,0211
11
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 kh
.2,1 YyXx令
,YX YXdXdY
代入原方程得
，令 XYu?
,11 uudXduXu 分离变量法得
,)12( 22 cuuX,2 22 CXXYY即代回，将 2,1 yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy
.622 122 Cyxyxyx或方程变为利用变量代换求微分方程的解
.)(5 2 的通解求例 yxdxdy
解,uyx令 1 dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy,a r c t a n Cxu解得得代回,yxu,)a r ct a n( Cxyx
原方程的通解为,)t a n ( xCxy
三、小结齐次方程 ).( x
y
dx
dy
齐次方程的解法,x
yu?令可化为齐次方程的方程
.
,
kYy
hXx
令思考题方程 )()()(20 22 xxydttyttyx
是否为齐次方程?
思考题解答方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy
,22 yyxyx,1
2
x
y
x
yy
原方程 是 齐次方程,
一,求下列齐次方程的通解,
1,0)(
22
x y d ydxyx ；
2,0)1(2)21( dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1,
1,02)3(
0
22
x
yx y d xdyxy；
2,,0)2()2(
2222
dyxxyydxyxyx
1
1
x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
yx
yx
y；
2,
0)642()352( dyyxdxyx
.
练 习 题练习题答案一,1,)ln2(
22
cxxy ；
2,cyex
y
x
2,
二,1,
322
yxy ；
2,yxyx
22
.
三,1,Cyx
x
y
])2()1l n [(
2
1
1
2
a r c ta n
22；
2,Cxyxy
2
)32)(34(,
)()( xQyxPdxdy
一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)(?xQ当一、线性方程例如,2xydxdy,s i n 2ttxdtdx
,32 xyyy,1c o s yy
线性的 ;
非线性的,
.0)( yxPdxdy
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
1,线性齐次方程一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
两边积分,)(
)(ln dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设?,)()(ln dxxPxvy
.)()( dxxPxv eey即 非齐方程通解形式与齐方程通解相比,)( xuC?
常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质,未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数?
作变换 dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy?
,)()( )( CdxexQxu dxxP
),()( )( xQexu dxxP
积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为,
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
解例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy? )0(3 xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx
x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy
解解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy?
)( xfy?
dxexCey dxdx 23
,663 2 xxCe x
,0| 0xy由,6C得所求曲线为 ).22(3 2 xxey x
23 xyy
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()(
)1,0(?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法,需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn
),()1()()1( xQnzxPndxdz
求出通解后，将 代入即得 nyz 1
，得两端除以 ny
代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy
,41 2xyxdxdyy
,yz?令,
42 2xz
xdx
dz
,22 Cxxz解得,2
2
4?
Cxxy即解,得两端除以 ny
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy
解,21 1
2 yxexyy x
,2)1(1 yyz令,2 dxdyydxdz?则
,2 2xxexzdxdz ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy
解,xyz?令,dxdyxydxdz则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz
,42s i n2 Cxzz分离变量法得
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy;1.3 yxdxdy
解,uyx令,1 dxdudxdy则代入原式,11 udxdu
分离变量法得,)1l n( Cxuu
,代回将 yxu 所求通解为
,)1l n( Cyxy 11 yeCx y或另解,yxdy
dx方程变形为三、小结
1.齐次方程
2.线性非齐次方程
3.伯努利方程
)( xyfy ;xuy?令;)( )( dxxPexuy令;1 zy n令思考题求微分方程 的通解,yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s,ta n2s i n yxy
,2s i nt a n yxydydx
Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s
.c o s2c o s yCy
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
；
2,0)ln(ln dyyxy d xy ；
3,02)6(
2
y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,4,5c o t
2
c o s
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
x
yy
x
x
dx
dy
练 习 题三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
；
2,0)]ln1([
3
dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解,
1,1
1
yxdx
dy；
2,1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy
,其中
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy?
,满足条件
0)0(?y
,且在区间
),0[
满足上述方程,
练习题答案一,1,
x
eCxy
s i n
)(
；
2,Cyyx
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx,
二,1,15s i n
c o s
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
,
四,1,Cxxy ；
2,)
3
2
(l n
3
2
3
2
2
xxC
y
x
.
五,1,Cxyx 2)(
2；
2,
Cx
xy
1
s i n1 ；
3,Cxxyxy 4)2s i n (2,
六、
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.
一、定义
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0 qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
,rxey?设 将其代入上方程,得
0)( 2 rxeqprr,0?rxe?
故有 02 qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr特征根
0 qyypy
有两个不相等的实根
,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
,11 xrey?,22 xrey?
两个线性无关的特解得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
特征根为
有两个相等的实根
,11 xrey?,221 prr
)0(
一特解为得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则
,)( 12 xrexuy?设另一特解为特征根为
有一对共轭复根
,1 jr,2 jr
,)(1 xjey,)(2 xjey
)0(
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyjy,s i n xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
特征根为定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0442 rr
解得,221 rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy
例 1
.052 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0522 rr
解得,2121 jr，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x
例 2
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数,
nn yCyCyCy2211
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
解,0122 2345 rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 rr
.022 )3()4()5( 的通解求方程
yyyyyy例 3
四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
02 qprr 0 qyypy
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
思考题求微分方程 的通解, yyyyy ln22
思考题解答
,0?y?
,ln
2
2
yy yyy
,ln y
y
y
,ln yyy x,lnln yy
令 yz ln? 则,0 zz 特征根 1
通解 xx eCeCz 21,ln 21 xx eCeCy
一,求下列微分方程的通解,
1,04 yy ； 2,025204 2
2
x
dt
dx
dt
xd；
3,0136 yyy ； 4,0365)4( yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0,2,044
00
xx
yyyyy ；
2,3,0,0134
00
xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒 在水中上 下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练 习 题练习题答案一,1,
x
eCCy
4
21
； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ；
3,)2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
x
；
4,xCxCeCeCy
xx
3s i n3c o s
43
2
2
2
1
.
二,1,)2(
2
xey
x
； 2,xey
x
3s i n
2
,
三、
0 yy
,( 提示,为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,1 9 5?M kg.
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0 qyypy
通解结构,yYy
常见类型 ),( xPm,)( xm exP?
,c o s)( xexP xm,s i n)( xexP xm
难点,如何求特解？ 方法,待定系数法,
)()( xPexf mx一,型设非齐方程特解为 xexQy?)(? 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp?
),()( xQxQ m?可设是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p
),()( xxQxQ m?可设;)( xexQy;)( xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p?
),()( 2 xQxxQ m?可设综上讨论
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程（ k是重根次数）,
.)(2 xm exQxy
特别地 xAeqyypy
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
.23 2 的通解求方程 xxeyyy
解对应齐次方程通解特征方程,0232 rr
特征根,,21 21 rr
,221 xx ececY
是单根，2,)( 2 xeBAxxy设代入方程,得 xABAx 22
,
1
2
1
B
A
xexxy 2)1
2
1(于是原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy
例 1
型二,]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx
]s i nco s[)( xPxPexf nlx
]22[ jeePeePe
xjxj
n
xjxj
l
x
xjnlxjnl e
j
PPe
j
PP )()( )
22()22(
,)()( )()( xjxj exPexP
,)( )( xjexPqyypy设,)(1 xjmk eQxy
利用欧拉公式
,)( )( xjexPqyypy设,)(1 xjmk eQxy
][ xjmxjmxk eQeQexy
],s i n)(co s)([ )2()1( xxRxxRex mmxk
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m a x?
,10
是单根不是根
j
jk
注意上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程,
.s i n4 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
作辅助方程,4 jxeyy
,是单根j,* jxA x ey?故代入上式,42?Aj,2 jA
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx
所求非齐方程特解为,co s2 xxy
原方程通解为,c o s2s inc o s 21 xxxCxCy
（取虚部）
例 2
.2co s 的通解求方程 xxyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
作辅助方程,2 jxxeyy
,2 不是特征方程的根j
,)( 2* jxeBAxy设 代入辅助方程
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA,
,)9431( 2* jxejxy
例 3
)2s i n2)(co s9431( xjxjx
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx
（取实部）
注意 xAexAe xx s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe
.t a n 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy设
,1)(?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy
例 4
三、小结可以是复数） (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk
(待定系数法 )
只含上式一项解法,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题写出微分方程 xexyyy 22 8644
的待定特解的形式,
思考题解答设 的特解为 2644 xyyy *1y
xeyyy 2844设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy?则所求特解为
0442 rr? 特征根 22,1?r?
CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2? （重根）
*2y?*1* yy? CBxAx 2,22 xeDx?
一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay
2；
2,
x
xeyyy
323 ；
3,xxyy c o s4 ；
4,xyy
2
s i n,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,
0,1,54
00
xx
yyyy；
2,
xx
exeyyy 2,1,1
11
xx
yy；
3,
)2c o s(
2
1
4 xxyy
,
0,0
00
xx
yy
.
练 习 题三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对电 充电容器 C,已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
xx
x
dttxdtttex
00
)()()(,
)( x?求,
练习题答案一,1,
221
1
s i nc o s
a
e
axCaxCy
x
；
2,)3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
；
3,xxxxCxCy s i n
9
2
c o s
3
1
2s i n2c o s
21
；
4,
2
1
2c o s
10
1
21
xeCeCy
xx
.
二,1,xey
x
4
5
)511(
16
1
4
；
2,
xxx
e
x
e
x
ex
ee
y
26
])
1
2
1
(
6
12
[
23
；
3,)2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy,
三,)105si n (104)(
31052
3
teti
t
( 安 ),
]105si n ()105[ c o s(2020)(
33105
3
ttetu
t
c
( 伏 ),
四,)s i n(c o s
2
1
)(
x
exxx,
第十一章习题课基本概念一阶方程类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次方程
5.线性方程
7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项
f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换
1、基本概念微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．
通解 如果 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，
叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件,
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，
叫初值问题．
dxxfdyyg )()(?形如
(1) 可分离变量的微分方程解法 dxxfdyyg )()(
分离变量法
2、一阶微分方程的解法
)( xyfdxdy?形如(2) 齐次方程解法 x
yu?
作变量代换
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
形如齐次方程．,01 时当 cc
，
令
kYy
hXx
,
（其中 h和 k是待定的常数）
否则为非齐次方程．
(3) 可化为齐次的方程解法化为齐次方程．
)()( xQyxPdxdy形如
(4) 一阶线性微分方程
,0)(?xQ当 上方程称为齐次的．
上方程称为非齐次的,,0)(?xQ当齐次方程的通解为,)( dxxPCey
（使用分离变量法）
解法非齐次微分方程的通解为
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法）
(5) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()(形如 )1,0(?n
方程为线性微分方程,时，当 1,0?n
方程为非线性微分方程,时，当 1,0?n
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
,1 nyz令
.))1)(((
)()1()()1(
1
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
3、可降阶的高阶微分方程的解法解法
),( xPy令特点,y不显含未知函数
),()2( yxfy
型 )()1( )( xfy n?
接连积分 n次，得通解．
型解法代入原方程,得 )).(,( xPxfP
,Py
),( xPy令特点,x不显含自变量
),()3( yyfy型解法代入原方程,得 ).,( PyfdydpP?
,dydpPy
４、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy形如定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解,（ 21,CC 是常数）
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 ( 1 ) 的通解,
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy形如定理 3 设
*
y 是 )2( 的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2) 的通解,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
５、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn形如
n阶常系数线性微分方程
0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
02 qprr
0 qyypy
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
特征方程为
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
推广,阶常系数齐次线性方程解法n
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程型)()()1( xPexf mx
解法 待定系数法,
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk设次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m a x?
.1;0
是特征方程的单根时不是特征方程的根时
j
jk
二、典型例题
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy
求通解例 1
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
,xyu?令,,uxuyuxy 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu
分离变量两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu,co s 2xCu
,co s 2xCxyxy 所求通解为,co s Cxyxy?
.32 343 yxyyx求通解例 2
解 原式可化为,32 3
4
2 yxy
xy
,32 23
1
3
4
xyxyy即
,31 yz令 原式变为,323 2xzxz
,3 2 2xzxz即对应齐方通解为,32Cxz?
一阶线性非齐方程伯努利方程
,)( 32xxCz?设 代入非齐方程得
,)( 232 xxxC,73)( 3
7
CxxC
原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy
利用常数变易法
.21
2
y
yy求通解例 3
解,x方程不显含
,,dydPPyPy令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP
,1 12 yCP解得，
,11 yCP,11 yCdxdy即故方程的通解为,12 21
1
CxyCC
.1)1()1(,2 yyexeyyy xx
求特解例 4
解 特征方程,0122 rr
特征根,121 rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** yyy
,21,61 ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy
,1)1(?y?,1)31( 21 eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy
,1)1(y?,1)652( 21 eCC
,31121 eCC
,6512 21 eCC
由 解得?
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey
).2c o s(212 xxyyy求解方程例 5
解 特征方程,042r
特征根,22,1 ir
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY
设原方程的特解为,*2*1* yyy
,)1( *1 baxy设,)( *1 ay则,0)( *1y
，得代入 xyy 214,xbax 2144
由
，04?b
，214?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy
，得代入 xyy 2co s214
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy
,2co s212s i n42co s4 xxcxd
由
，04 c
，214?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy
例 6
解 （１） 由题设可得：
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxx
（２） 原方程为,31 3xyxy
，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy
是原方程的一个特解，又 xy 1*?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy
一,选择题,
1,一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是 ( ).
(A)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
测 验 题
3,2)1(,0
22
y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
yx ； (B) 93
3
yx ；
(C) 1
33
yx ； (D) 1
33
33
yx
.
4,方程
xy si n
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
c o s CxCxCxy ；
(B)
32
2
1
2
1
s i n CxCxCxy ；
(C) 1
c o s Cxy；
(D)
xy 2si n2?
.
5,方程 0 yy 的通解是 ( ).
(A)
1
c o ss i n Cxxy ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy ；
(D) 1
si n Cxy
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy 则,；
(B)
dy
dP
PyPy 则,；
(C)
dx
dP
PyPy 则,；
(D)
dy
dP
PyPy 则,.
8,已知方程 0
2
yyxyx 的一个特解为 xy?,于是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ； ( B )
x
CxCy
1
21
；
( C )
x
eCxCy
21
； ( D )
x
eCxCy
21,
9,已知方程 0)()( yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D)?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2c o s23 的一个特解形式是
( ),
(A) xeAy
x
2c o s
1；
(B) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
；
(C) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1,)1( l nln xaxyxyx ；
2,0
33
yxxy
dx
dy；
3,0
22
yx
xdyy d x
y d yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1,012 yyy ；
2,)4(2 xexyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0)(2 223 dyxyxdxy,11 yx 时,；
2,xyyy co s2,
2
3
,00 yyx 时,,
五、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
xt d ttxx
x
,求 )( x?,
测验题答案一,1,A ； 2,A ； 3,B ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,B ； 8,B ； 9,A ； 1 0,C.
二,1,
x
c
axy
ln
；
2,1
2
1
2
2
xeCy
x；
3,C
x
y
yx a r c ta n2
22
.
三,1,)c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ；
2,xxexxeCeCCy
xxx
222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1,0)ln21( 2 yyx ；
2,xxey x s i n
2
1
,
五,xxxy ln,
六,xxx s i nc o s)(,
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2?
xdxy 2
2,1 yx 时其中
,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为一、问题的提出例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 )(,tssst?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
dt sd,20,0,0
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv
2122.0 CtCts
代入条件后知 0,20 21 CC
,202.0 2 tts
,204.0 tdtdsv
故
),(504.020 秒t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米s
开始制动到列车完全停住共需微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy
,0)( 2 xdxdtxt
,32 xeyyy
,yxxz
实质,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的定义微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
,0),,(yyxF一阶微分方程 );,( yxfy
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( nyyyxF?
).,,,,( )1()( nn yyyxfy?
分类 2:
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0))(,),(),(,( )( xxxxF n?
微分方程的解的分类：
三、主要问题 -----求方程的解
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解,
,yy例 ;xcey?通解
,0 yy ;c o ss i n 21 xcxcy通解解的图象,微分方程的积分曲线,
通解的图象,积分曲线族,
初始条件,用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ;
00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证,函数 ktcktcx s i nc os
21
是微分方程 0
2
2
2
xk
dt
xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,0,
0
0
t
t dt
dxAx?,0,
21 CAC
所求特解为,c o s ktAx?
补充,微分方程的初等解法,初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
四、小结思考题函数 xey 23? 是微分方程 04 yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey,12 2 xey
yy 4,03412 22 xx ee
xey 23 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程,
一,填空题,
1,02
2
yxyyx 是 _____ _ 阶微分方程；
2,0
2
2
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 ____ __ 阶微分方程；
3,
2
s i n
d
d
是 ____ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 ___ _ 个任意常数,二、确定函数关系式 )s i n (
21 cxcy 所含的参数,使其满足初始条件 1xy,0xy,
练 习 题四、已知函数 1 xbeaey xx,其中 ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案一,1,3 ； 2,2 ； 3,1 ； 4,2.
二,.
2
,1
21
CC
三,02
xyy
.
四,xyy
1
.
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy?例如,2 254 dxxdyy
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函数,CxFyG )()( 为微分方程的解,
分离变量法例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy?
解 分离变量,2 x d xydy?
两端积分,2 xdxy
dy
12ln Cxy
.2 为所求通解xcey
二、典型例题
.0)()(2 通解求方程例 xdyxygyd xxyf
,xyu?令,y d xx d ydu则
,0)()( x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ duugdxxuuguf
,0)]()([ )( duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx通解为解例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 00 MM t,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数 MdtdM dtM
dM
, dtMdM
00 MM t代入
,lnln ctM,tceM即
00 ceM?得,C?
teMM 0 衰变规律例 4 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时间 t的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
hdhh? )1(,262.0 dtghdV
设在微小的时间间隔 ],,[ ttt
水面的高度由 h降至,hh,2 dhrdV则
,2 0 0)1 0 0(1 0 0 222 hhhr
)2(,)2 0 0( 2 dhhhdV
比较 (1)和 (2)得,dhhh )2 0 0( 2,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )2 0 0( 2,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程,可分离变量
,)2 0 0(262.0 3 dhhhgdt
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt
,100| 0th?,1015
14
262.0
5
gC
).310107(265.4 5335 hhgt所求规律为解例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 dt
),(2000 txdt
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量
03.02 0 0 01 2 0 0 0 dtdx ),(2 0 0 0 txdt
),03.0(61 xdtdx,03.0 61 tCex
,1.0| 0tx?,07.0 C,07.003.0 6
1 tex
,056.007.003.0| 16 ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
三、小结思考题求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy
思考题解答
,02co s2co s yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy?,
2co s2 C
x 为所求解,
一、求下列微分方程的通解,
1,0ta ns e cta ns e c
22
x d yyy d xx ；
2,0)()(
dyeedxee
yyxxyx；
3,0)1(
32
x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
xdxyy d yx si nc o ssi nc o s?
,
4
0
x
y ；
2,0s i n)1(c o s
y d yey d x
x
,
4
0
x
y,
练 习 题三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比,在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路线,
练习题答案一,1,Cyx?t a nt a n ； 2,Cee
yx
)1)(1( ；
3,Cxy
43
3)1(4,
二,1,xy c o sc o s2? ； 2,ye
x
c o s221,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对岸,则所求航线为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x,
一、齐次方程
)( xyfdxdy?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法,x
yu?
作变量代换,xuy?即代入原式
,dxduxudxdy
),( ufdxduxu
.)( x uufdxdu即 可分离变量的方程
1.定义
,0)( 时当 uuf,ln)( 1 xCuuf du得
,)( uCex即 ）（ uuf
duu
)()(?
,代入将 xyu?,)( xyCex得通解
,0u?当,0)( 00 uuf使,0 是新方程的解则 uu?
,代回原方程,0 xuy?得齐次方程的解例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,则 u d xxdudy
,0)(co s)co s( xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u,lns i n Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
,
1
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu?令,u d xx d udy则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
.2 222 xyy dyyxyx dx例 2 求解微分方程解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy
,]1122)121(21[ xdxduuuuu
例 3 抛物线的光学性质实例,车灯的反射镜面 ------旋转抛物面解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT?斜率为为切线
,1,yMN斜率为为法线
,N M RO M N
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
,022 yyxyy
得微分方程,1)( 2
y
x
y
xy即
,t a nt a n N M RO M N
由夹角正切公式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu?,11 2
u
u
dx
duxu得分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
ud u
，令 221 tu,)1( xdxtt td t
积分得,ln1ln xCt,112 xCu即平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu
得代回,xyu? )2(22 CxCy 抛物线轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy
二、可化为齐次的方程的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
为齐次方程,,01 时当 cc
，
令
kYy
hXx
,
（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
2.解法
1.定义
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
得通解代回
，kyY
hxX,
,0)2(未必有解,上述方法不能用,
,01 时当?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
方程可化为
,byaxz令
，则 dxdybadxdz ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ab若 ),(
1 a
dx
dz
bdx
dy
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
可分离变量的微分方程,
,01 时当?b
,byaxz令可分离变量,
.314 的通解求例 yx yxdxdy
解,0211
11
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 kh
.2,1 YyXx令
,YX YXdXdY
代入原方程得
，令 XYu?
,11 uudXduXu 分离变量法得
,)12( 22 cuuX,2 22 CXXYY即代回，将 2,1 yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy
.622 122 Cyxyxyx或方程变为利用变量代换求微分方程的解
.)(5 2 的通解求例 yxdxdy
解,uyx令 1 dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy,a r c t a n Cxu解得得代回,yxu,)a r ct a n( Cxyx
原方程的通解为,)t a n ( xCxy
三、小结齐次方程 ).( x
y
dx
dy
齐次方程的解法,x
yu?令可化为齐次方程的方程
.
,
kYy
hXx
令思考题方程 )()()(20 22 xxydttyttyx
是否为齐次方程?
思考题解答方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy
,22 yyxyx,1
2
x
y
x
yy
原方程 是 齐次方程,
一,求下列齐次方程的通解,
1,0)(
22
x y d ydxyx ；
2,0)1(2)21( dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1,
1,02)3(
0
22
x
yx y d xdyxy；
2,,0)2()2(
2222
dyxxyydxyxyx
1
1
x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
yx
yx
y；
2,
0)642()352( dyyxdxyx
.
练 习 题练习题答案一,1,)ln2(
22
cxxy ；
2,cyex
y
x
2,
二,1,
322
yxy ；
2,yxyx
22
.
三,1,Cyx
x
y
])2()1l n [(
2
1
1
2
a r c ta n
22；
2,Cxyxy
2
)32)(34(,
)()( xQyxPdxdy
一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)(?xQ当一、线性方程例如,2xydxdy,s i n 2ttxdtdx
,32 xyyy,1c o s yy
线性的 ;
非线性的,
.0)( yxPdxdy
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
1,线性齐次方程一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
两边积分,)(
)(ln dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设?,)()(ln dxxPxvy
.)()( dxxPxv eey即 非齐方程通解形式与齐方程通解相比,)( xuC?
常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质,未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数?
作变换 dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy?
,)()( )( CdxexQxu dxxP
),()( )( xQexu dxxP
积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为,
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
解例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy? )0(3 xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx
x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy
解解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy?
)( xfy?
dxexCey dxdx 23
,663 2 xxCe x
,0| 0xy由,6C得所求曲线为 ).22(3 2 xxey x
23 xyy
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()(
)1,0(?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法,需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn
),()1()()1( xQnzxPndxdz
求出通解后，将 代入即得 nyz 1
，得两端除以 ny
代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy
,41 2xyxdxdyy
,yz?令,
42 2xz
xdx
dz
,22 Cxxz解得,2
2
4?
Cxxy即解,得两端除以 ny
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy
解,21 1
2 yxexyy x
,2)1(1 yyz令,2 dxdyydxdz?则
,2 2xxexzdxdz ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy
解,xyz?令,dxdyxydxdz则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz
,42s i n2 Cxzz分离变量法得
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy;1.3 yxdxdy
解,uyx令,1 dxdudxdy则代入原式,11 udxdu
分离变量法得,)1l n( Cxuu
,代回将 yxu 所求通解为
,)1l n( Cyxy 11 yeCx y或另解,yxdy
dx方程变形为三、小结
1.齐次方程
2.线性非齐次方程
3.伯努利方程
)( xyfy ;xuy?令;)( )( dxxPexuy令;1 zy n令思考题求微分方程 的通解,yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s,ta n2s i n yxy
,2s i nt a n yxydydx
Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s
.c o s2c o s yCy
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
；
2,0)ln(ln dyyxy d xy ；
3,02)6(
2
y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,4,5c o t
2
c o s
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
x
yy
x
x
dx
dy
练 习 题三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
；
2,0)]ln1([
3
dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解,
1,1
1
yxdx
dy；
2,1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy
,其中
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy?
,满足条件
0)0(?y
,且在区间
),0[
满足上述方程,
练习题答案一,1,
x
eCxy
s i n
)(
；
2,Cyyx
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx,
二,1,15s i n
c o s
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
,
四,1,Cxxy ；
2,)
3
2
(l n
3
2
3
2
2
xxC
y
x
.
五,1,Cxyx 2)(
2；
2,
Cx
xy
1
s i n1 ；
3,Cxxyxy 4)2s i n (2,
六、
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.
一、定义
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0 qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
,rxey?设 将其代入上方程,得
0)( 2 rxeqprr,0?rxe?
故有 02 qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr特征根
0 qyypy
有两个不相等的实根
,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
,11 xrey?,22 xrey?
两个线性无关的特解得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
特征根为
有两个相等的实根
,11 xrey?,221 prr
)0(
一特解为得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则
,)( 12 xrexuy?设另一特解为特征根为
有一对共轭复根
,1 jr,2 jr
,)(1 xjey,)(2 xjey
)0(
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyjy,s i n xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
特征根为定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0442 rr
解得,221 rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy
例 1
.052 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0522 rr
解得,2121 jr，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x
例 2
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数,
nn yCyCyCy2211
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
解,0122 2345 rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 rr
.022 )3()4()5( 的通解求方程
yyyyyy例 3
四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
02 qprr 0 qyypy
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
思考题求微分方程 的通解, yyyyy ln22
思考题解答
,0?y?
,ln
2
2
yy yyy
,ln y
y
y
,ln yyy x,lnln yy
令 yz ln? 则,0 zz 特征根 1
通解 xx eCeCz 21,ln 21 xx eCeCy
一,求下列微分方程的通解,
1,04 yy ； 2,025204 2
2
x
dt
dx
dt
xd；
3,0136 yyy ； 4,0365)4( yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0,2,044
00
xx
yyyyy ；
2,3,0,0134
00
xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒 在水中上 下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练 习 题练习题答案一,1,
x
eCCy
4
21
； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ；
3,)2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
x
；
4,xCxCeCeCy
xx
3s i n3c o s
43
2
2
2
1
.
二,1,)2(
2
xey
x
； 2,xey
x
3s i n
2
,
三、
0 yy
,( 提示,为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,1 9 5?M kg.
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0 qyypy
通解结构,yYy
常见类型 ),( xPm,)( xm exP?
,c o s)( xexP xm,s i n)( xexP xm
难点,如何求特解？ 方法,待定系数法,
)()( xPexf mx一,型设非齐方程特解为 xexQy?)(? 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp?
),()( xQxQ m?可设是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p
),()( xxQxQ m?可设;)( xexQy;)( xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p?
),()( 2 xQxxQ m?可设综上讨论
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程（ k是重根次数）,
.)(2 xm exQxy
特别地 xAeqyypy
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
.23 2 的通解求方程 xxeyyy
解对应齐次方程通解特征方程,0232 rr
特征根,,21 21 rr
,221 xx ececY
是单根，2,)( 2 xeBAxxy设代入方程,得 xABAx 22
,
1
2
1
B
A
xexxy 2)1
2
1(于是原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy
例 1
型二,]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx
]s i nco s[)( xPxPexf nlx
]22[ jeePeePe
xjxj
n
xjxj
l
x
xjnlxjnl e
j
PPe
j
PP )()( )
22()22(
,)()( )()( xjxj exPexP
,)( )( xjexPqyypy设,)(1 xjmk eQxy
利用欧拉公式
,)( )( xjexPqyypy设,)(1 xjmk eQxy
][ xjmxjmxk eQeQexy
],s i n)(co s)([ )2()1( xxRxxRex mmxk
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m a x?
,10
是单根不是根
j
jk
注意上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程,
.s i n4 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
作辅助方程,4 jxeyy
,是单根j,* jxA x ey?故代入上式,42?Aj,2 jA
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx
所求非齐方程特解为,co s2 xxy
原方程通解为,c o s2s inc o s 21 xxxCxCy
（取虚部）
例 2
.2co s 的通解求方程 xxyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
作辅助方程,2 jxxeyy
,2 不是特征方程的根j
,)( 2* jxeBAxy设 代入辅助方程
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA,
,)9431( 2* jxejxy
例 3
)2s i n2)(co s9431( xjxjx
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx
（取实部）
注意 xAexAe xx s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe
.t a n 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy设
,1)(?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy
例 4
三、小结可以是复数） (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk
(待定系数法 )
只含上式一项解法,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题写出微分方程 xexyyy 22 8644
的待定特解的形式,
思考题解答设 的特解为 2644 xyyy *1y
xeyyy 2844设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy?则所求特解为
0442 rr? 特征根 22,1?r?
CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2? （重根）
*2y?*1* yy? CBxAx 2,22 xeDx?
一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay
2；
2,
x
xeyyy
323 ；
3,xxyy c o s4 ；
4,xyy
2
s i n,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,
0,1,54
00
xx
yyyy；
2,
xx
exeyyy 2,1,1
11
xx
yy；
3,
)2c o s(
2
1
4 xxyy
,
0,0
00
xx
yy
.
练 习 题三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对电 充电容器 C,已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
xx
x
dttxdtttex
00
)()()(,
)( x?求,
练习题答案一,1,
221
1
s i nc o s
a
e
axCaxCy
x
；
2,)3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
；
3,xxxxCxCy s i n
9
2
c o s
3
1
2s i n2c o s
21
；
4,
2
1
2c o s
10
1
21
xeCeCy
xx
.
二,1,xey
x
4
5
)511(
16
1
4
；
2,
xxx
e
x
e
x
ex
ee
y
26
])
1
2
1
(
6
12
[
23
；
3,)2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy,
三,)105si n (104)(
31052
3
teti
t
( 安 ),
]105si n ()105[ c o s(2020)(
33105
3
ttetu
t
c
( 伏 ),
四,)s i n(c o s
2
1
)(
x
exxx,
第十一章习题课基本概念一阶方程类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次方程
5.线性方程
7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项
f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换
1、基本概念微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．
通解 如果 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，
叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件,
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，
叫初值问题．
dxxfdyyg )()(?形如
(1) 可分离变量的微分方程解法 dxxfdyyg )()(
分离变量法
2、一阶微分方程的解法
)( xyfdxdy?形如(2) 齐次方程解法 x
yu?
作变量代换
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
形如齐次方程．,01 时当 cc
，
令
kYy
hXx
,
（其中 h和 k是待定的常数）
否则为非齐次方程．
(3) 可化为齐次的方程解法化为齐次方程．
)()( xQyxPdxdy形如
(4) 一阶线性微分方程
,0)(?xQ当 上方程称为齐次的．
上方程称为非齐次的,,0)(?xQ当齐次方程的通解为,)( dxxPCey
（使用分离变量法）
解法非齐次微分方程的通解为
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法）
(5) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()(形如 )1,0(?n
方程为线性微分方程,时，当 1,0?n
方程为非线性微分方程,时，当 1,0?n
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
,1 nyz令
.))1)(((
)()1()()1(
1
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
3、可降阶的高阶微分方程的解法解法
),( xPy令特点,y不显含未知函数
),()2( yxfy
型 )()1( )( xfy n?
接连积分 n次，得通解．
型解法代入原方程,得 )).(,( xPxfP
,Py
),( xPy令特点,x不显含自变量
),()3( yyfy型解法代入原方程,得 ).,( PyfdydpP?
,dydpPy
４、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy形如定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解,（ 21,CC 是常数）
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 ( 1 ) 的通解,
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy形如定理 3 设
*
y 是 )2( 的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2) 的通解,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
５、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn形如
n阶常系数线性微分方程
0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
02 qprr
0 qyypy
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
特征方程为
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
推广,阶常系数齐次线性方程解法n
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程型)()()1( xPexf mx
解法 待定系数法,
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk设次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m a x?
.1;0
是特征方程的单根时不是特征方程的根时
j
jk
二、典型例题
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy
求通解例 1
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
,xyu?令,,uxuyuxy 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu
分离变量两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu,co s 2xCu
,co s 2xCxyxy 所求通解为,co s Cxyxy?
.32 343 yxyyx求通解例 2
解 原式可化为,32 3
4
2 yxy
xy
,32 23
1
3
4
xyxyy即
,31 yz令 原式变为,323 2xzxz
,3 2 2xzxz即对应齐方通解为,32Cxz?
一阶线性非齐方程伯努利方程
,)( 32xxCz?设 代入非齐方程得
,)( 232 xxxC,73)( 3
7
CxxC
原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy
利用常数变易法
.21
2
y
yy求通解例 3
解,x方程不显含
,,dydPPyPy令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP
,1 12 yCP解得，
,11 yCP,11 yCdxdy即故方程的通解为,12 21
1
CxyCC
.1)1()1(,2 yyexeyyy xx
求特解例 4
解 特征方程,0122 rr
特征根,121 rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** yyy
,21,61 ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy
,1)1(?y?,1)31( 21 eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy
,1)1(y?,1)652( 21 eCC
,31121 eCC
,6512 21 eCC
由 解得?
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey
).2c o s(212 xxyyy求解方程例 5
解 特征方程,042r
特征根,22,1 ir
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY
设原方程的特解为,*2*1* yyy
,)1( *1 baxy设,)( *1 ay则,0)( *1y
，得代入 xyy 214,xbax 2144
由
，04?b
，214?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy
，得代入 xyy 2co s214
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy
,2co s212s i n42co s4 xxcxd
由
，04 c
，214?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy
例 6
解 （１） 由题设可得：
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxx
（２） 原方程为,31 3xyxy
，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy
是原方程的一个特解，又 xy 1*?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy
一,选择题,
1,一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是 ( ).
(A)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
测 验 题
3,2)1(,0
22
y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
yx ； (B) 93
3
yx ；
(C) 1
33
yx ； (D) 1
33
33
yx
.
4,方程
xy si n
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
c o s CxCxCxy ；
(B)
32
2
1
2
1
s i n CxCxCxy ；
(C) 1
c o s Cxy；
(D)
xy 2si n2?
.
5,方程 0 yy 的通解是 ( ).
(A)
1
c o ss i n Cxxy ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy ；
(D) 1
si n Cxy
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy 则,；
(B)
dy
dP
PyPy 则,；
(C)
dx
dP
PyPy 则,；
(D)
dy
dP
PyPy 则,.
8,已知方程 0
2
yyxyx 的一个特解为 xy?,于是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ； ( B )
x
CxCy
1
21
；
( C )
x
eCxCy
21
； ( D )
x
eCxCy
21,
9,已知方程 0)()( yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D)?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2c o s23 的一个特解形式是
( ),
(A) xeAy
x
2c o s
1；
(B) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
；
(C) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1,)1( l nln xaxyxyx ；
2,0
33
yxxy
dx
dy；
3,0
22
yx
xdyy d x
y d yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1,012 yyy ；
2,)4(2 xexyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0)(2 223 dyxyxdxy,11 yx 时,；
2,xyyy co s2,
2
3
,00 yyx 时,,
五、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
xt d ttxx
x
,求 )( x?,
测验题答案一,1,A ； 2,A ； 3,B ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,B ； 8,B ； 9,A ； 1 0,C.
二,1,
x
c
axy
ln
；
2,1
2
1
2
2
xeCy
x；
3,C
x
y
yx a r c ta n2
22
.
三,1,)c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ；
2,xxexxeCeCCy
xxx
222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1,0)ln21( 2 yyx ；
2,xxey x s i n
2
1
,
五,xxxy ln,
六,xxx s i nc o s)(,
