例 xx c o ss i n s i n 是 xc os 的原函数,
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a rcta n 2xx
.a rcta n1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxx d x?,)( 2 Cxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ); );1(
1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[l n (,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s i n Cx?
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2co s)8(xdx2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(xdx2c s c ;c o t Cx
xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
xdxs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s i n h Cx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s i n2? C?
例 6 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
dxxx x )1( 21 22
2 dx
xx
xx?
)1(
1
22
22
dxxdxx 22 1 11
.a rct a n1 Cxx
例 8 求积分解
.2co s1 1 dxx
dxx2co s1 1 dxx 1c o s21
1
2
dxx2co s121,ta n21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 9 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns ec 2?，且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns ec 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6co sta n xxy
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s g n)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
一,填空题：
1,一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意两个的差是一个 ______ ；
2,)( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3,把
)( xf
的一个原函数
)( xF
的图形叫做函数
)( xf
的 ________,它的方程是
)( xFy?
，这样不定积
dxxf )( 在几何上就表示 ___ _ ___ _,它的方程是
CxFy )(；
4,由
)()(
'
xfxF?
可 知,在 积 分 曲 线 族
CxFy )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5,若
)( xf
在某区间上 ___ __ _,则在该区间上
)( xf
的原函数一定存在；
练习题
6,?
dxxx ___ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _ _ ；
7,
xx
dx
2
___ ___ ___ __ __ ___ ___ _ ___ ；
8, dxxx )23(
2
___ ___ ___ _ _ ___ __ _ ；
9, dxxx )1)(1(
3
_____ _ ___ __ __ ；
10,?
dx
x
x
2
)1(
=__ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _,
二,求下列不定积分：
1,?
dx
x
x
2
2
1
2,?
dx
x
xx
3
2532
3,? dx
x
2
c o s
2
4,? dx
xx
x
22
s i nc o s
2c o s
5, dxxx
x
)
1
1(
2
6,?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i n hc o s h
c o s hs i n h,
2
1
2
都是和的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6,Cx?
2
5
5
2； 7,Cx
2
3
3
2；
8,Cxx
x
2
2
3
3
2
3；
9,Cxxx
x
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10,Cxxx
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题答案二,1,Cxx a r c t a n ； 2,Cx
x
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3,C
xx
2
s i n； Cxx )t a n( c o t.4 ；
5,C
x
x
4
2
7
)7(4； 6,Cxa r cx c o tt a n,
三、
Cxy ln
.
问题? x d x2c o s,2s i n Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
x d x2c o s dtt co s21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法在一般情况下：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
)(])([ xuduuf?由此可得换元法定理设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
例 1 求,2s i n? xdx
解 （一）? xdx2s i n )2(2s i n21 xxd;2co s21 Cx
解 （二）? xdx2s i n xdxx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? xdx2s i n xdxx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
例 2 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )(l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,)ln21l n(21 Cx
例 4 求,)1( 3 dxxx
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa
例 6 求,25812 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx
例 7 求,1 1 dxe x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n( Cex x
例 8 求,)11(
1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 9 求,1232 1 dxxx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 10 求解
.co s1 1 dxx
dxxco s1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2co s1 co s1 dxx x2s i nco s1
)(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx
例 11 求解
.co ss i n 52 x d xx
x d xx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 12 求解
.2c o s3c o s? xdxx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5co s(co s212co s3co s xxxx
dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 13 求解 （一） dxxs i n1
.c s c? xdx
xdxc s c
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
c o s
2
t a n
1
2
x
d
xx
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx 2ta nln,)co tl n(c s c Cxx
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） dxxs i n1? xdxc s c dxx
x
2s i n
s i n
)(co sco s1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx
类似地可推出,)ta nl n(s ecs ec Cxxx d x
解例 14 设 求,,c o s)( s i n 22 xxf )(f
令 xu 2s i n?,1co s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 15 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( a r c s i n
2
a r c s i n
1 x
d
x?
.2a rc s i nln Cx
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx s in?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf
令 )]([)( xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf,)(1t
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元公式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元公式
CxFdxxf )()(,)]([ Cx
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
)]([ tf ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 16 求解
).0(1 22 adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec
dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1
tdts e c Ctt )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
例 17 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? td tdx c o s2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )co s51co s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
例 18 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t td ttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttata nta ns ec
tdts e c Ctt )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s i n tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
说明 (2)
例 19 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
21 xt令,122 tx,tdtxdx?
dxxx 2
5
1
td t
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
解例 20 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
说明 (3) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx?
例 21 求 dxxx )2(
1
7
令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx
解例 22 求解
.11 24 dxxx
dxxx 11 24
令 tx 1?,12 dttdx dx
t
tt
2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
2tu?
duuu121
du
u
u
1
11
2
1
)1(11 121 uduu
Cuu 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x
说明 (4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 23 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r ct a n[6
.]ar c t an[6 66 Cxx
基本积分表;co slnta n)16( Cxx d x;s i nlnco t)17( Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax;ln2 11)21( 22 Cax axadxax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
一,填空题,
1,若
CxFdxxf )()(
而 )( xu 则
duuf )(
___ ___________ _ ；
2,求
)0(
22
adxax
时，可作变量代换 _______
____ __________,然后再求积分；
3,求
dx
xx
2
1
1
时可先令?x _ ________ ；
4,?dxx _____ )1( 2xd? ；
5,?
dxe
x
2 ___ )1( 2
x
ed
；
6,?
x
dx
____ )ln53( xd? ；
练 习 题
7,
2
91 x
dx
= ___ _ )3a r c t a n( xd ；
8,?
2
1 x
x d x
____ )1(
2
xd? ；
9,dt
t
ts i n
____ ______ __ _____ ；
10,
22
2
xa
dxx
____ ______ __ ___,
二,求下列不定积分,（第一类换元法）
1,?
dx
xa
xa； 2,?
)ln(lnln xxx
dx；
3,
2
2
1
.1ta n
x
xdx
x ； 4,
xx
ee
dx；
5,
dxxx
32
1 ； 6,
dx
x
xx
4
s i n1
c o ss i n；
7,
dx
xx
xx
3
c o ss i n
c o ss i n； 8,
dx
x
x
2
49
1；
9,?
dx
x
x
2
3
9； 10,
)4(
6
xx
dx；
11,?
dx
xx
x
)1(
a r c ta n； 1 2,
dx
xex
x
x
)1(
1；
13,?
dx
x
x
2
a r c c o s2
1
10； 14,
dx
xx
x
s i nc o s
ta nln
.
三,求下列不定积分,（第二类换元法）
1,
2
1 xx
dx；
2,
32
)1( x
dx；
3,
x
dx
21；
4,?
dx
xa
x
x
2；
5,设? x d x
n
ta n,求证：
2
1
ta n
1
1
n
n
n
Ix
n
I,并求? x d x
5
ta n,
练习题答案一,1,CuF?)( ; ； 2,tax s e c? 或 tax csc? ；
3,
t
1； 4,
2
1； 5,-2 ； 6,
5
1；
7,
3
1； 8,? ； 9,Ct?c o s2 ；
10,Cxa
a
x
a
xa
)(a r c s i n
2
22
2
2
.
二,1,Cxa
a
x
a
22
a r c s i n ； 2,Cx?lnlnln ；
3,Cx )1l n ( c o s
2； 4,Ce
x
a r c t a n ；
5,Cx
2
3
3
)1(
9
2； 6,Cx?)a r c ta n (s i n
2
1
2；
7,Cxx
3
2
)c o s(s i n
2
3；
8,C
xx
4
49
3
2
a r c s i n
2
1
2；
9,Cx
x
)9l n (
2
9
2
2
2；
10,C
x
x
4
ln
24
1
6
6；
11,Cx?
2
)(a r c ta n ；
12,Cxexe
xx
)1l n ()l n ( ；
13,C
x
10ln2
10
a r c c o s2； 1 4,Cx?
2
)ta n(l n
2
1
.
三,1,Cxxx )]1l n ([a r c s i n
2
1
2；
2,C
x
x
2
1；
3,Cxx )21l n (2 ；
4,)2(2
2
a r c s i n3
2
xaxa
a
x
a
+ Cxax
xa
)2(
2
.
问题dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容例 1 求积分,c o s? xdxx
解（一） 令,c o s xu? dvdxxdx 221
xd xx c o s xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
xd xx c o s xxd s i n x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?,dvdedxe xx
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 3 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu? dvxdx d x 2
2
xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
例 4 求积分,ln3? xdxx
解,ln xu?,4
4
3 dvxddxx
xdxx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,u
例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s i n xx d es i n
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx xdexe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 7 求积分,1a r c t a n 2 dxx xx
解,11 22 xxx
dxx xx 21a r c t a n 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx
dxxxxx 222 1 11a rct a n1
dxxxx 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx 21 1?
td tt
2
2 s e ct a n1
1 tdts e c
Ctt )ta nl n( s ec Cxx )1l n( 2
dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2,)1l n( 2 Cxx
例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe?,求 dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xxd f,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,Ce
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
x d xe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
一、填空题：
1,x d xx s i n ____ ___ __ __ ___ __ ；
2,x d xa r c s i n ____ ___ __ __ ___ _ ；
3,计算? x d xx ln
2
,?u可设 _____,?dv ___ __ __ _ ；
4,计算?
xdxe
x
c o s,?u可设 __ _ _,?dv __ ___ __ _ ；
5,计算? xdxx a r c ta n
2
,?u可设 ____,?dv __ ___ _ ；
6,计算 dxxe x,?u可设 _ _ _ _ _ _,?dv _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列不定积分：
1,? dx
x
x
2
c o s 22 ； 2,? dx
x
x
2
3)(l n；
练 习 题
3,? n x d xe
ax
c o s ； 4,? dxe
x3；
5,? dxx )c o s (l n ； 6,?
dx
x
xe
x
2
3
2
a r c t a n
)1(
,
三,已知
x
xs i n
是 )( xf 的原函数，求? dxxxf )(
'
.
四,设 CxFdxxf )()(,)( xf 可微，且 )( xf 的反函数 )(
1
xf
存在，则
CxfFxxfdxxf )()()( 111,
一,1,Cxxx s i nc o s ；
2,Cxxx 21a r c s i n ；
3,dxxx 2,ln ； 4,,xe? x d xc o s ；
5,dxxx 2,a r c ta n ； 6,dxex x?,.
二,1,Cxxxxx
x
s i nc o ss i n
2
1
6
2
3；
2,Cxxx
x
]6ln6)( l n3)[ (l n
1
23；
3,Cnxnnxa
na
e
ax
)s i nc o s(
22
4,Cxxe
x
)22(3
33 2
3；
练习题答案
5,Cxx
x
)]s i n (l n)[c o s (l n
2；
6,Ce
x
x
x
a r c t a n
2
12
1；
7,Cexe
x
ex
xx
x
2
2
.
三,C
x
x
x
s i n2
c o s,
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数；
naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2a r c t a n Ca
px
a
b
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
,2s i n2co sco s 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
令 2ta n xu?
,1 2s i n 2uux,11c o s 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,co ss i n1 s i n dxxx x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1c o s
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x co ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2ta n xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s i n1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s i n1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,co tco t31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )(c o t xd?
.co t31co t 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1 dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xco s2s i n2 s i n1
dxxx x 2co ss i n4 s i n1
dxxx 2co ss i n 141 dxx2co s141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
dxx2co s141
dxxdxxx s i n141co ss i n41 2 dxx2co s141
dxxxdx s i n141)(co sco s141 2 dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 dxx xx 11
解 令 tx x1,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t td tdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1,
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其?A ____,
B ____ __ _ _,?C ___ __ _ __ __ ；
2,
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
A
____ _,
B
__ ___,?C ___ ___ _ ；
3,计算?
,
s i n2 x
dx
可用万能代换?xs i n __ _ __ __ ___ _,
dx _ _ __ __ ___ __ __ ；
4,计算?
,
mbax
dx
令?t ___,?x __ _,?dx ___ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ ___ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
321 xxx
x d x； 2,
xxx
dx
22
1；
3,
dx
x
4
1
1； 4,
x
dx
2
s i n3；
5,?
5c o ss i n2 xx
dx； 6,?
dx
x
x
11
11；
7,?
x
dx
x
x
1
1； 8,?
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
dx
x
x
3
1； 2,
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
24
1 xx
dx； 4,
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
dx
x
x
28
3
)1(； 6,dx
x
x
s i n1
s i n；
7,
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
xdxx a r c s i n1
2；
11,dx
xx
xx
c o ss i n
c o ss i n； 12,?
))(( xbax
dx
.
二,1,C
xx
x
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2,Cx
xx
x
a r c ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3,)12a r c ta n (
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
x
xx
xx
C )12a r c t a n (
4
2；
一,1,2,1,1? ； 2,-1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
；
4,bax?,
a
bt?2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4,C
x
3
ta n2
a r c ta n
32
1；
5,C
x
5
1
2
ta n3
a r c ta n
5
1；
6,Cxxx )11l n (414 ；
7,
xx
xx
11
11
ln C
x
x
1
1
a r c ta n2,或
Cx
x
x
a r c s i n
11
ln
2；
8,C
x
x
3
1
1
2
3
.
三,1,C
xx
1
1
)1(2
1
2；
2,Cxx )si nl n ( ；
3,C
x
x
x
x
2
3
32
1
3
)1(；
4,Cxx
x
x
)t a nl n ( s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5,Cx
x
x
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6,Cx
x
2
ta n1
2
,或
Cxxx t a ns e c；
7,C
x
x
66
)1(
ln ；
8,Ce
e
xe
x
x
x
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
2)1l n (12
)]1[ l n
22
22；
10,xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
C
x
4
2；
11,C
x
x
xx?
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12,C
xb
ax
a r c t a n2,
第四章习题课积分法原 函 数选择
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的导函数为
)( xf,即 Ix,都 有 )()( xfxF 或
dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf 或
dxxf )( 在区间 I 内原函数,
定义原函数存在定理如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,使 Ix,都有
)()( xfxF,
即,连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义在区间 I 内，函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数称为 )( xf 在区间 I 内的 不定积分,记为? dxxf )(,
CxFdxxf )()(
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
dxxgxf )]()([1 0 dxxgdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
dxxkf )(2 0? dxxfk )( （ k 是常数,)0?k
(3) 不定积分的性质
)()( xfdxxfdxd dxxfdxxfd )(])([
CxFdxxF )()( CxFxdF )()(
3、基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ) )1(
1)2(
1
Cxdxx
Cxxdx ln)3(
dxx 21 1)4( Cx?a r c ta n
dxx 21 1)5( Cx?a r c s in
xdxc o s)6( Cx?sin
x d xs i n)7( Cx c o s
x d xx t a ns ec)10( Cx?sec
x d xx co tcs c)11( Cx csc
dxe x)12( Cex?
xdx2c o s)8(xdx2s e c Cx?tan
xdx2si n)9(xdx2c s c Cx cot
dxa x)13( Caa
x?
ln
Cxx d x co slnt a n)16(
Cxx d x s i nlnco t)17(
Cxxxdx )t a nl n ( s ecs ec)18(
Cxxx d x )co tl n ( cs ccs c)19(
Caxadxxa a r ct a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ln2 11)22( 22
Caxdxxa a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
)l n (
1)24(
22
22
Cax axadxax ln2 11)21( 22Cxsh)14(?xdx ch
xdx Cx ch)15( sh
5、第一类换元法
4、直接积分法定理 1 设 )( uf 具有原函数,)( xu 可导，
则有换元公式
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)( l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( s i n.5 xdxxf ;)(.6 dxaaf xx
常见类型,;s e c)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )( ar c t an.8 2 dxx xf?
6、第二类换元法定理 设 )( tx 是单调的、可导的函数，并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
则有换元公式
)()()]([)( xtdtttfdxxf
其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
第二类换元公式常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.si n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
7、分部积分法分部积分公式
dxvuuvdxvu
duvuvu d v
8.选择 u的有效方法,LIATE选择法
L----对数函数； I----反三角函数；
A----代数函数； T----三角函数；
E----指数函数； 哪 个在前哪个选作 u.
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分定义 两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
真分式化为部分分式之和的 待定系数法四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA dx ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn;a r c t an
ln
2
.3
4
2
4
2
2
2
22
C
q
x
q
N
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
p
p
p
Mp
dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222
此两积分都可积,后者有递推公式令 2ta n
xu?
21
2s i n
u
ux
2
2
1
1c o s
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 2） 三角函数有理式的积分定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型,),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法,作代换去掉根号．;n ecx baxt令 ;n baxt令二、典型例题例 1?
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求?
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[ln ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx
(倒代换 )
例 5
解
.
1 632
xxx
eee
dx求
,6 te x?令,ln6 tx?,6 dttdx?
dttttt 61 1 23原式 dtttt )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt?
设
)1()()1()1)(1(6 22 ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 DCBA
dttttt )1 331 36( 2原式
Ctttt ar c t an3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
例 6
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
例 7
解
.)2( 10 xx dx求
)2( 1010
9
xx
dxx原式?
)2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx )]2l n ([ l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 8
解
.)1()1(
3 42 xx
dx求
.)1()11()1()1( 23 43 42 xxxxx?
,11 xxt令,)1( 2 2 dxxdt则有
原式
2
3 4 )1()
1
1
( x
x
x
dx
dtt 3
4
2
1
Ct 3
1
2
3,
1
1
2
3 3 C
x
x?
例 9
解
.c o s1 s i n dxxxx求
dx
x
xx
x
2
c os2
2
c os
2
si n2
2
原式
dxxdxxx
2
t a n
2
c o s2 2
dxxdxxxx 2t an2t an2t an
.2t an Cxx
例 10
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 11
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令一,选择题：
1,设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不同的原函数，且 0)(?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF )()( 21 ；
（ B ）
CxFxF )()(
21 ；
（ C ）
)()(
21
xCFxF?；
（ D ）
CxFxF )()(
21,
2,若,)()(
'
xfxF? 则
)( xdF = （ ）
（ A ）
)( xf； （ B ）
)( xF；
（ C ）
Cxf?)(； （ D ）
CxF?)(
.
测 验 题
3,)( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ）
CBA,,
都不对,
5,函数
2
)()( xxxf 的一个原函数?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx?,
6,已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2?
，
21 yx 时且,这个函数是 （ ）
（ A ） ;
2
Cxy
（ B ） ;1
2
xy
（ C ）
C
x
y
2
2;
（ D ）
.1 xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
dxe
x
2； （ B ）
3
1 x
dx；
（ C ）
dx
xln
1； （ D ）
dx
x
xln
.
8,
,)()( CxFdxxf 且
,batx
则
dttf )( （ ）
（ A ）
CxF?)(；
（ B ）
CtF?)(;
（ C ） CbatF
a
)(
1;
（ D ）
CbatF )(
,
9,
dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
1
ln
1
.
10,
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
9
)14(
1
36
1；
（ C ） C
x
9
)14(
1
36
1； （ D ） C
x
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
dx
xx
1
c o s
1
2; 2,
52
2
xx
dx;
3,?
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n (; 4,
dx
x
x
22
2
)1(;
5,?
2
11 x
dx; 6,?
dx
xx
x
1
1
22;
7,?
)1(
2 xx
ee
dx; 8,? xdxx a r c c o s
2;
9,?
23
48
11
xx
dxx; 10,?
dx
x
x
32
)1(
a r c c o s
.
三、设
0,)32(
0,)1l n (
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
c o ss i n)(
'
,( ba,为不同时为零的常数 ),求 )( xf,
五,0?x设当 时,)(
'
xf 连续，求
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1,D ； 2,D ； 3,B ； 4,D ； 5,D ；
6,B ； 7,D ； 8,B ； 9,D ； 1 0,C.
二,1,C
x
1
s i n ； 2,C
x
2
1
a r c ta n
2
1；
3,Cxx
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4,xa r c ta n
2
1
C
x
x
2
12
1；
5,Cx
x
x
x
a r c s i n
11
2；
测验题答案
6,C
xx
x
1
a r c s i n
1
2；
7,Cee
xx
)a r c ta n ( ；
8,Cxxxx
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a r c c o s
3
1；
9,
4
1
4
4
x
Cxx )2l n ()1l n (
44；
10,Cxx
x
x
2
2
1ln
2
1
a r c c o s
1
.
四, )s i n (l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab )]c o s( l n)(,
五,C
xe
xf
x
)(
.
三、
dxxf )(
0,1)14(
0,)]1l n ([
2
1
)1l n (
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a rcta n 2xx
.a rcta n1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxx d x?,)( 2 Cxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ); );1(
1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[l n (,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s i n Cx?
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2co s)8(xdx2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(xdx2c s c ;c o t Cx
xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
xdxs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s i n h Cx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s i n2? C?
例 6 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
dxxx x )1( 21 22
2 dx
xx
xx?
)1(
1
22
22
dxxdxx 22 1 11
.a rct a n1 Cxx
例 8 求积分解
.2co s1 1 dxx
dxx2co s1 1 dxx 1c o s21
1
2
dxx2co s121,ta n21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 9 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns ec 2?，且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns ec 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6co sta n xxy
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s g n)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
一,填空题：
1,一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意两个的差是一个 ______ ；
2,)( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3,把
)( xf
的一个原函数
)( xF
的图形叫做函数
)( xf
的 ________,它的方程是
)( xFy?
，这样不定积
dxxf )( 在几何上就表示 ___ _ ___ _,它的方程是
CxFy )(；
4,由
)()(
'
xfxF?
可 知,在 积 分 曲 线 族
CxFy )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5,若
)( xf
在某区间上 ___ __ _,则在该区间上
)( xf
的原函数一定存在；
练习题
6,?
dxxx ___ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _ _ ；
7,
xx
dx
2
___ ___ ___ __ __ ___ ___ _ ___ ；
8, dxxx )23(
2
___ ___ ___ _ _ ___ __ _ ；
9, dxxx )1)(1(
3
_____ _ ___ __ __ ；
10,?
dx
x
x
2
)1(
=__ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _,
二,求下列不定积分：
1,?
dx
x
x
2
2
1
2,?
dx
x
xx
3
2532
3,? dx
x
2
c o s
2
4,? dx
xx
x
22
s i nc o s
2c o s
5, dxxx
x
)
1
1(
2
6,?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i n hc o s h
c o s hs i n h,
2
1
2
都是和的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6,Cx?
2
5
5
2； 7,Cx
2
3
3
2；
8,Cxx
x
2
2
3
3
2
3；
9,Cxxx
x
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10,Cxxx
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题答案二,1,Cxx a r c t a n ； 2,Cx
x
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3,C
xx
2
s i n； Cxx )t a n( c o t.4 ；
5,C
x
x
4
2
7
)7(4； 6,Cxa r cx c o tt a n,
三、
Cxy ln
.
问题? x d x2c o s,2s i n Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
x d x2c o s dtt co s21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法在一般情况下：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
)(])([ xuduuf?由此可得换元法定理设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
例 1 求,2s i n? xdx
解 （一）? xdx2s i n )2(2s i n21 xxd;2co s21 Cx
解 （二）? xdx2s i n xdxx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? xdx2s i n xdxx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
例 2 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )(l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,)ln21l n(21 Cx
例 4 求,)1( 3 dxxx
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa
例 6 求,25812 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx
例 7 求,1 1 dxe x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n( Cex x
例 8 求,)11(
1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 9 求,1232 1 dxxx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 10 求解
.co s1 1 dxx
dxxco s1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2co s1 co s1 dxx x2s i nco s1
)(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx
例 11 求解
.co ss i n 52 x d xx
x d xx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 12 求解
.2c o s3c o s? xdxx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5co s(co s212co s3co s xxxx
dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 13 求解 （一） dxxs i n1
.c s c? xdx
xdxc s c
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
c o s
2
t a n
1
2
x
d
xx
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx 2ta nln,)co tl n(c s c Cxx
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） dxxs i n1? xdxc s c dxx
x
2s i n
s i n
)(co sco s1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx
类似地可推出,)ta nl n(s ecs ec Cxxx d x
解例 14 设 求,,c o s)( s i n 22 xxf )(f
令 xu 2s i n?,1co s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 15 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( a r c s i n
2
a r c s i n
1 x
d
x?
.2a rc s i nln Cx
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx s in?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf
令 )]([)( xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf,)(1t
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元公式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元公式
CxFdxxf )()(,)]([ Cx
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
)]([ tf ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 16 求解
).0(1 22 adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec
dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1
tdts e c Ctt )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
例 17 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? td tdx c o s2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )co s51co s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
例 18 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t td ttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttata nta ns ec
tdts e c Ctt )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s i n tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
说明 (2)
例 19 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
21 xt令,122 tx,tdtxdx?
dxxx 2
5
1
td t
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
解例 20 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
说明 (3) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx?
例 21 求 dxxx )2(
1
7
令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx
解例 22 求解
.11 24 dxxx
dxxx 11 24
令 tx 1?,12 dttdx dx
t
tt
2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
2tu?
duuu121
du
u
u
1
11
2
1
)1(11 121 uduu
Cuu 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x
说明 (4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 23 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r ct a n[6
.]ar c t an[6 66 Cxx
基本积分表;co slnta n)16( Cxx d x;s i nlnco t)17( Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax;ln2 11)21( 22 Cax axadxax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
一,填空题,
1,若
CxFdxxf )()(
而 )( xu 则
duuf )(
___ ___________ _ ；
2,求
)0(
22
adxax
时，可作变量代换 _______
____ __________,然后再求积分；
3,求
dx
xx
2
1
1
时可先令?x _ ________ ；
4,?dxx _____ )1( 2xd? ；
5,?
dxe
x
2 ___ )1( 2
x
ed
；
6,?
x
dx
____ )ln53( xd? ；
练 习 题
7,
2
91 x
dx
= ___ _ )3a r c t a n( xd ；
8,?
2
1 x
x d x
____ )1(
2
xd? ；
9,dt
t
ts i n
____ ______ __ _____ ；
10,
22
2
xa
dxx
____ ______ __ ___,
二,求下列不定积分,（第一类换元法）
1,?
dx
xa
xa； 2,?
)ln(lnln xxx
dx；
3,
2
2
1
.1ta n
x
xdx
x ； 4,
xx
ee
dx；
5,
dxxx
32
1 ； 6,
dx
x
xx
4
s i n1
c o ss i n；
7,
dx
xx
xx
3
c o ss i n
c o ss i n； 8,
dx
x
x
2
49
1；
9,?
dx
x
x
2
3
9； 10,
)4(
6
xx
dx；
11,?
dx
xx
x
)1(
a r c ta n； 1 2,
dx
xex
x
x
)1(
1；
13,?
dx
x
x
2
a r c c o s2
1
10； 14,
dx
xx
x
s i nc o s
ta nln
.
三,求下列不定积分,（第二类换元法）
1,
2
1 xx
dx；
2,
32
)1( x
dx；
3,
x
dx
21；
4,?
dx
xa
x
x
2；
5,设? x d x
n
ta n,求证：
2
1
ta n
1
1
n
n
n
Ix
n
I,并求? x d x
5
ta n,
练习题答案一,1,CuF?)( ; ； 2,tax s e c? 或 tax csc? ；
3,
t
1； 4,
2
1； 5,-2 ； 6,
5
1；
7,
3
1； 8,? ； 9,Ct?c o s2 ；
10,Cxa
a
x
a
xa
)(a r c s i n
2
22
2
2
.
二,1,Cxa
a
x
a
22
a r c s i n ； 2,Cx?lnlnln ；
3,Cx )1l n ( c o s
2； 4,Ce
x
a r c t a n ；
5,Cx
2
3
3
)1(
9
2； 6,Cx?)a r c ta n (s i n
2
1
2；
7,Cxx
3
2
)c o s(s i n
2
3；
8,C
xx
4
49
3
2
a r c s i n
2
1
2；
9,Cx
x
)9l n (
2
9
2
2
2；
10,C
x
x
4
ln
24
1
6
6；
11,Cx?
2
)(a r c ta n ；
12,Cxexe
xx
)1l n ()l n ( ；
13,C
x
10ln2
10
a r c c o s2； 1 4,Cx?
2
)ta n(l n
2
1
.
三,1,Cxxx )]1l n ([a r c s i n
2
1
2；
2,C
x
x
2
1；
3,Cxx )21l n (2 ；
4,)2(2
2
a r c s i n3
2
xaxa
a
x
a
+ Cxax
xa
)2(
2
.
问题dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容例 1 求积分,c o s? xdxx
解（一） 令,c o s xu? dvdxxdx 221
xd xx c o s xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
xd xx c o s xxd s i n x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?,dvdedxe xx
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 3 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu? dvxdx d x 2
2
xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
例 4 求积分,ln3? xdxx
解,ln xu?,4
4
3 dvxddxx
xdxx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,u
例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s i n xx d es i n
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx xdexe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 7 求积分,1a r c t a n 2 dxx xx
解,11 22 xxx
dxx xx 21a r c t a n 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx
dxxxxx 222 1 11a rct a n1
dxxxx 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx 21 1?
td tt
2
2 s e ct a n1
1 tdts e c
Ctt )ta nl n( s ec Cxx )1l n( 2
dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2,)1l n( 2 Cxx
例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe?,求 dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xxd f,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,Ce
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
x d xe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
一、填空题：
1,x d xx s i n ____ ___ __ __ ___ __ ；
2,x d xa r c s i n ____ ___ __ __ ___ _ ；
3,计算? x d xx ln
2
,?u可设 _____,?dv ___ __ __ _ ；
4,计算?
xdxe
x
c o s,?u可设 __ _ _,?dv __ ___ __ _ ；
5,计算? xdxx a r c ta n
2
,?u可设 ____,?dv __ ___ _ ；
6,计算 dxxe x,?u可设 _ _ _ _ _ _,?dv _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列不定积分：
1,? dx
x
x
2
c o s 22 ； 2,? dx
x
x
2
3)(l n；
练 习 题
3,? n x d xe
ax
c o s ； 4,? dxe
x3；
5,? dxx )c o s (l n ； 6,?
dx
x
xe
x
2
3
2
a r c t a n
)1(
,
三,已知
x
xs i n
是 )( xf 的原函数，求? dxxxf )(
'
.
四,设 CxFdxxf )()(,)( xf 可微，且 )( xf 的反函数 )(
1
xf
存在，则
CxfFxxfdxxf )()()( 111,
一,1,Cxxx s i nc o s ；
2,Cxxx 21a r c s i n ；
3,dxxx 2,ln ； 4,,xe? x d xc o s ；
5,dxxx 2,a r c ta n ； 6,dxex x?,.
二,1,Cxxxxx
x
s i nc o ss i n
2
1
6
2
3；
2,Cxxx
x
]6ln6)( l n3)[ (l n
1
23；
3,Cnxnnxa
na
e
ax
)s i nc o s(
22
4,Cxxe
x
)22(3
33 2
3；
练习题答案
5,Cxx
x
)]s i n (l n)[c o s (l n
2；
6,Ce
x
x
x
a r c t a n
2
12
1；
7,Cexe
x
ex
xx
x
2
2
.
三,C
x
x
x
s i n2
c o s,
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数；
naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2a r c t a n Ca
px
a
b
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
,2s i n2co sco s 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
令 2ta n xu?
,1 2s i n 2uux,11c o s 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,co ss i n1 s i n dxxx x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1c o s
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x co ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2ta n xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s i n1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s i n1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,co tco t31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )(c o t xd?
.co t31co t 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1 dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xco s2s i n2 s i n1
dxxx x 2co ss i n4 s i n1
dxxx 2co ss i n 141 dxx2co s141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
dxx2co s141
dxxdxxx s i n141co ss i n41 2 dxx2co s141
dxxxdx s i n141)(co sco s141 2 dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 dxx xx 11
解 令 tx x1,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t td tdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1,
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其?A ____,
B ____ __ _ _,?C ___ __ _ __ __ ；
2,
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
A
____ _,
B
__ ___,?C ___ ___ _ ；
3,计算?
,
s i n2 x
dx
可用万能代换?xs i n __ _ __ __ ___ _,
dx _ _ __ __ ___ __ __ ；
4,计算?
,
mbax
dx
令?t ___,?x __ _,?dx ___ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ ___ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
321 xxx
x d x； 2,
xxx
dx
22
1；
3,
dx
x
4
1
1； 4,
x
dx
2
s i n3；
5,?
5c o ss i n2 xx
dx； 6,?
dx
x
x
11
11；
7,?
x
dx
x
x
1
1； 8,?
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
dx
x
x
3
1； 2,
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
24
1 xx
dx； 4,
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
dx
x
x
28
3
)1(； 6,dx
x
x
s i n1
s i n；
7,
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
xdxx a r c s i n1
2；
11,dx
xx
xx
c o ss i n
c o ss i n； 12,?
))(( xbax
dx
.
二,1,C
xx
x
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2,Cx
xx
x
a r c ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3,)12a r c ta n (
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
x
xx
xx
C )12a r c t a n (
4
2；
一,1,2,1,1? ； 2,-1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
；
4,bax?,
a
bt?2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4,C
x
3
ta n2
a r c ta n
32
1；
5,C
x
5
1
2
ta n3
a r c ta n
5
1；
6,Cxxx )11l n (414 ；
7,
xx
xx
11
11
ln C
x
x
1
1
a r c ta n2,或
Cx
x
x
a r c s i n
11
ln
2；
8,C
x
x
3
1
1
2
3
.
三,1,C
xx
1
1
)1(2
1
2；
2,Cxx )si nl n ( ；
3,C
x
x
x
x
2
3
32
1
3
)1(；
4,Cxx
x
x
)t a nl n ( s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5,Cx
x
x
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6,Cx
x
2
ta n1
2
,或
Cxxx t a ns e c；
7,C
x
x
66
)1(
ln ；
8,Ce
e
xe
x
x
x
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
2)1l n (12
)]1[ l n
22
22；
10,xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
C
x
4
2；
11,C
x
x
xx?
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12,C
xb
ax
a r c t a n2,
第四章习题课积分法原 函 数选择
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的导函数为
)( xf,即 Ix,都 有 )()( xfxF 或
dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf 或
dxxf )( 在区间 I 内原函数,
定义原函数存在定理如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,使 Ix,都有
)()( xfxF,
即,连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义在区间 I 内，函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数称为 )( xf 在区间 I 内的 不定积分,记为? dxxf )(,
CxFdxxf )()(
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
dxxgxf )]()([1 0 dxxgdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
dxxkf )(2 0? dxxfk )( （ k 是常数,)0?k
(3) 不定积分的性质
)()( xfdxxfdxd dxxfdxxfd )(])([
CxFdxxF )()( CxFxdF )()(
3、基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ) )1(
1)2(
1
Cxdxx
Cxxdx ln)3(
dxx 21 1)4( Cx?a r c ta n
dxx 21 1)5( Cx?a r c s in
xdxc o s)6( Cx?sin
x d xs i n)7( Cx c o s
x d xx t a ns ec)10( Cx?sec
x d xx co tcs c)11( Cx csc
dxe x)12( Cex?
xdx2c o s)8(xdx2s e c Cx?tan
xdx2si n)9(xdx2c s c Cx cot
dxa x)13( Caa
x?
ln
Cxx d x co slnt a n)16(
Cxx d x s i nlnco t)17(
Cxxxdx )t a nl n ( s ecs ec)18(
Cxxx d x )co tl n ( cs ccs c)19(
Caxadxxa a r ct a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ln2 11)22( 22
Caxdxxa a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
)l n (
1)24(
22
22
Cax axadxax ln2 11)21( 22Cxsh)14(?xdx ch
xdx Cx ch)15( sh
5、第一类换元法
4、直接积分法定理 1 设 )( uf 具有原函数,)( xu 可导，
则有换元公式
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)( l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( s i n.5 xdxxf ;)(.6 dxaaf xx
常见类型,;s e c)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )( ar c t an.8 2 dxx xf?
6、第二类换元法定理 设 )( tx 是单调的、可导的函数，并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
则有换元公式
)()()]([)( xtdtttfdxxf
其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
第二类换元公式常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.si n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
7、分部积分法分部积分公式
dxvuuvdxvu
duvuvu d v
8.选择 u的有效方法,LIATE选择法
L----对数函数； I----反三角函数；
A----代数函数； T----三角函数；
E----指数函数； 哪 个在前哪个选作 u.
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分定义 两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
真分式化为部分分式之和的 待定系数法四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA dx ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn;a r c t an
ln
2
.3
4
2
4
2
2
2
22
C
q
x
q
N
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
p
p
p
Mp
dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222
此两积分都可积,后者有递推公式令 2ta n
xu?
21
2s i n
u
ux
2
2
1
1c o s
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 2） 三角函数有理式的积分定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型,),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法,作代换去掉根号．;n ecx baxt令 ;n baxt令二、典型例题例 1?
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求?
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[ln ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx
(倒代换 )
例 5
解
.
1 632
xxx
eee
dx求
,6 te x?令,ln6 tx?,6 dttdx?
dttttt 61 1 23原式 dtttt )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt?
设
)1()()1()1)(1(6 22 ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 DCBA
dttttt )1 331 36( 2原式
Ctttt ar c t an3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
例 6
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
例 7
解
.)2( 10 xx dx求
)2( 1010
9
xx
dxx原式?
)2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx )]2l n ([ l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 8
解
.)1()1(
3 42 xx
dx求
.)1()11()1()1( 23 43 42 xxxxx?
,11 xxt令,)1( 2 2 dxxdt则有
原式
2
3 4 )1()
1
1
( x
x
x
dx
dtt 3
4
2
1
Ct 3
1
2
3,
1
1
2
3 3 C
x
x?
例 9
解
.c o s1 s i n dxxxx求
dx
x
xx
x
2
c os2
2
c os
2
si n2
2
原式
dxxdxxx
2
t a n
2
c o s2 2
dxxdxxxx 2t an2t an2t an
.2t an Cxx
例 10
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 11
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令一,选择题：
1,设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不同的原函数，且 0)(?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF )()( 21 ；
（ B ）
CxFxF )()(
21 ；
（ C ）
)()(
21
xCFxF?；
（ D ）
CxFxF )()(
21,
2,若,)()(
'
xfxF? 则
)( xdF = （ ）
（ A ）
)( xf； （ B ）
)( xF；
（ C ）
Cxf?)(； （ D ）
CxF?)(
.
测 验 题
3,)( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ）
CBA,,
都不对,
5,函数
2
)()( xxxf 的一个原函数?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx?,
6,已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2?
，
21 yx 时且,这个函数是 （ ）
（ A ） ;
2
Cxy
（ B ） ;1
2
xy
（ C ）
C
x
y
2
2;
（ D ）
.1 xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
dxe
x
2； （ B ）
3
1 x
dx；
（ C ）
dx
xln
1； （ D ）
dx
x
xln
.
8,
,)()( CxFdxxf 且
,batx
则
dttf )( （ ）
（ A ）
CxF?)(；
（ B ）
CtF?)(;
（ C ） CbatF
a
)(
1;
（ D ）
CbatF )(
,
9,
dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
1
ln
1
.
10,
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
9
)14(
1
36
1；
（ C ） C
x
9
)14(
1
36
1； （ D ） C
x
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
dx
xx
1
c o s
1
2; 2,
52
2
xx
dx;
3,?
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n (; 4,
dx
x
x
22
2
)1(;
5,?
2
11 x
dx; 6,?
dx
xx
x
1
1
22;
7,?
)1(
2 xx
ee
dx; 8,? xdxx a r c c o s
2;
9,?
23
48
11
xx
dxx; 10,?
dx
x
x
32
)1(
a r c c o s
.
三、设
0,)32(
0,)1l n (
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
c o ss i n)(
'
,( ba,为不同时为零的常数 ),求 )( xf,
五,0?x设当 时,)(
'
xf 连续，求
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1,D ； 2,D ； 3,B ； 4,D ； 5,D ；
6,B ； 7,D ； 8,B ； 9,D ； 1 0,C.
二,1,C
x
1
s i n ； 2,C
x
2
1
a r c ta n
2
1；
3,Cxx
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4,xa r c ta n
2
1
C
x
x
2
12
1；
5,Cx
x
x
x
a r c s i n
11
2；
测验题答案
6,C
xx
x
1
a r c s i n
1
2；
7,Cee
xx
)a r c ta n ( ；
8,Cxxxx
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a r c c o s
3
1；
9,
4
1
4
4
x
Cxx )2l n ()1l n (
44；
10,Cxx
x
x
2
2
1ln
2
1
a r c c o s
1
.
四, )s i n (l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab )]c o s( l n)(,
五,C
xe
xf
x
)(
.
三、
dxxf )(
0,1)14(
0,)]1l n ([
2
1
)1l n (
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
