一、问题的提出实例,曲线形构件的质量
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii L
.sM匀质之质量分割,,,,121 in sMMM
,),( iii s取,),( iiii sM
求和,),(
1
n
i
iii sM
取极限,),(l i m
10
n
i
iii sM
近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设
1.定义
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量,),( L dsyxM?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf
注意：
)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121
LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
三、对弧长曲线积分的计算定理
)(
)()()](),([),(
,],[)(),(
)(
),(
),(
,),(
22
dtttttfdsyxf
tt
t
ty
tx
L
Lyxf
L
且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意,;.1 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL)( ba?
推广,)().(),(),(, ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
dtttttttf
dszyxf
.)(:)2( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL
)( dc?
例 1 ).(,s in,c o s:,象限第椭圆求?
tby
taxLx y d sI
L
解 dttbtatbtaI 222
0 )co s()s in(s inco s
dttbtattab 222220 co ss i nco ss i n
ab duuba ab 222 )c o ss i n( 2222 tbtau令
.)(3 )(
22
ba
babaab
例 2
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中求
xyL
y d sI
L
解 dyyyI 22
2 )2(1,0?
例 3
)20(.
,s i n,co s:,
的一段其中求
kz
ayaxx yz d sI
解
.21 222 kaka
xy 42?
dkaka 222 s i nc o s 20I
例 4
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中求解 由对称性,知,222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故
dsa3
2
.32
3a?
),2( 球面大圆周长?
dsa
四、几何与 物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),( L dsyxM?;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点上的表示立于当
yx
Lyxf
.),( L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz?
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
.,22 LyLx dsyIdsxI
曲线弧的重心坐标)5(
.,
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
一,填空题,
1,已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
2,?
L
ds = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
3,对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4,?
L
dsyxf ),( =
dtttttf )()()](),([
22
中要求? ________
.
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1,?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx,直线 xy?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
练习题
2,
y z d sx
2
,其中 L 为折线 ABCD,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
)c o s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( t；
4,计算
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
ayxayx,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay si n?
,
ktz?,其中 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案一,1,
L
dsyx ),(? ； 2,的弧长L ；
3,弧长； 4,<,
二,1,2)
4
2(?
ae
a； 2,9 ；
3,
)21(2
232
a； 4,)22(2
2
a,
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
；
222
2
43
6
ka
ak
x
；
222
2
43
6
ka
ak
y
；
222
222
43
)2(3
ka
kak
z
,
o x
y
A
B
L
一、问题的提出
1?nMiM
1?iM2M
1M
ix?
iy?实例,变力沿曲线所作的功
,,BAL?
jyxQiyxPyxF ),(),(),(
常力所作的功分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn
.)()(1 jyixMM iiii
.ABFW
求和
.]),(),([
1
n
i
iiiiii yQxP
取极限,]),(),([lim
10
n
i
iiiiii yQxPW
近似值精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii取
,),( 1 iiiii MMFW
.),(),( iiiiiii yQxPW即
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L 1?nMiM1?iM2M
1M
),( iiF
ix?
iy?
二、对坐标的曲线积分的概念
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
1.定义
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF其中
. L dsF?
4.推广
空间有向曲线弧
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
. Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
5.性质
.
,)1(
21
21
LLL Q d yPdxQ d yPdxQ d yPdx
LLL 则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
三、对坐标的曲线积分的计算
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
定理
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
且特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQ d yP d x baL则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ d yP d x dcL则
.,,
)(
)(
)(
:)3(
终点起点推广 t
tz
ty
tx
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
ty
txL
：设有向平面曲线弧为
,,),(为处的切线向量的方向角上点 yxL
LL dsQPQd yP d x )co sco s(则其中,)()( )(c o s 22 tt t
,
)()(
)(c o s
22 tt
t
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx
dsRQPR d zQd yP d x )c o sc o sc o s(则
dstA rdA, dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA },c o s,c o s,{c o st?
},,{ dzdydxdstrd 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到上从为抛物线其中计算
BA
xyLx yd x
L
解 的定积分，化为对 x)1(,xy
OBAOL x yd xx yd xx yd x
1001 )( dxxxdxxx
10 232 dxx,54?
xy?2
)1,1(?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx?
ABL x yd xx yd x
1 1 22 )( dyyyy
.11到从?y
11 42 dyy,54?
xy?2
)1,1(?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
例 2
解,s in
c o s:)1(
ay
axL?
，变到从 0
)0,(aA)0,( aB
0原式 daa )s i n(s i n 22?
)0,(aA)0,( aB?
.34 3a
,0:)2(?yL?
，变到从 aax?
aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,
03a )( c o s)c o s1( 2 d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算
BAOOA B
BOyx
BOxy
Ldyxx yd x
L
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL?
10 22 )22( dxxxxx原式
10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL?
10 42 )22( dyyyyy原式
10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
AB
OA
dyxx y d x
dyxx y d x
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy?
10 22 )002(2 dxxxdyxxy dxOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx?
102 )102(2 dyydyxx y d xAB,1?
10 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同,
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系思考题当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后 （例如 L,tax c os?,tay s i n?,
]2,0[t,a 是正常数），试问如何表示 L 的方向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L,tax c o s?,tay s i n?,]2,0[t 中当 t 从 0 变到?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
一,填空题,
1,对 __ __ _ __ _ __ __ __ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2,设 0),(),(
dyyxQdxyxP
L
,则
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
__ __ __ __ _ __ _ ；
3,在公式
dyyxQdxyxP
L
),(),(
dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
限对应于
L
的 __ _ _ 点,上限? 对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __
__ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ _,
练 习 题二,计算下列对坐标的曲线积分,
1,?
L
x y d x,L其中 为圆周 )0()(
222
aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按逆时针方向绕行 ) ；
2,?
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3,?
y d zdydx,其中为有向闭折线 ABCD,这里的 CBA,,依次为点 (1,0,0 ),( 0,1,0),( 0,0,1) ；
4,?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C DA 是以 )0,1(A,)1,0(B,
)0,1(?C,)1,0(?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作的功,
四,把对坐标的曲线积分
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成对弧长的积分,L其中 为,
1,在
x o y
面内沿直线从点 (0,0 ) 到点 (1,1) ；
2,沿抛物线
2
xy? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1 ) ；
3,沿上半圆周 xyx 2
22
从点 (0,0 ) 到点 (1,1).
练习题答案一,1,坐标； 2,-1 ； 3,起,点；
4,dzRQ d yPd x?
dsRQP )c o sc o sc o s(
,
二,1,;
2
3
a
2, 2 ；
3,
2
1； 4,0,
三, )(,,0,0
12
zzmgWmgF,
四,1,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
.
一、区域连通性的分类设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连续偏导数,则有
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向,当观察者沿边界行走时,区域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
证明 (1)
若区域 D 既是?X 型又是?Y 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
)( )(21
dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12
CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
L dyyxQ ),(
同理可证
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx
D
c C
E
)(1 yx
若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成,如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲线所围成,添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知
D
d x d yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL QdyPdx )(}3
L Q d yP d x
2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算?
AB
xdy,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分三、简单应用
A
B
D
BOABOAL
应用格林公式,xQP,0 有
L
D
xdydxdy
, BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
例 2 计算
D
y
dxdye
2
,其中 D 是以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1 e
例 3 计算?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
则当 022 yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解令 2222,
yx
xQ
yx
yP
,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向取逆时针方向 ).2
(注意格林公式的条件 )
dr rr 2
2222 s inc o s 2
0
格林公式, L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP 得
L
xdyA
取,0, QyP 得
L
y d xA
3,计算平面面积曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与 x 轴所围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
L yd xxdyA 21
A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0
.614 20 adxxa a
)0,(aAN
M
四、小结
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
3,格林公式的应用,
——格林公式 ;
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L
的方向。
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G
思考题思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
BCD AB
EGFE
G
y
xo
1L Q d yP d x
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
一、曲线积分与路径无关的定义
2L Q d yP d x
1L
2L
B
A
如果在区域 G内有
否则与路径有关,
二、曲线积分与路径无关的条件设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 2
(1) 开区域 G 是一个单连通域,(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可有关定理的说明：
三、二元函数的全微分求积设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,则 dyyxQdxyxP ),(),(? 在 G 内为某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 3
x
Q
y
P
若
),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
x
y
o
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10
或例 1 计算
L
dyyxdxxyx )()2( 422,其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
,
xxyx
yy
P
2)2(
2
xyx
xx
Q
2)(
42
解
x
Q
y
P
,
原积分与路径无关故原式
1
0
1
0
42 )1( dyydxx
.1523?
例 2 设曲线积分
L
dyxydxxy )(
2
与路径无关,其中? 具有连续的导数,且 0)0(,
计算
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
积分与路径无关 xQyP,
解
,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
,),( 2xyyxP? ),(),( xyyxQ
由 0)0(,知 0?c 2)( xx,
故)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( cxx 2)(
1010 0 y d ydx,21?
四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题一,填空题,
1,设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
),(,),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数,则有?
D
d x d y
y
P
x
Q
)( ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
2,设
D
为平面上的一个单连通域,函数
),(,),( yxQyxP 在
D
内有一阶连续偏导数,则
L
Q d yP d x 在
D
内与路径无关的充要条件是
___ __ ___ __ ___ __ 在
D
内处处成立；
3,设
D
为由分段光滑的曲线
L
所围成的闭区域,其面积为 5,又 ),( yxP 及 ),( yxQ 在
D
上有一阶连续偏导数,且 1?
x
Q
,
1
y
P
,则
L
Q d yPd x ___,
练 习 题二,计算
L
dyyxdxxxy )()2(
22
其中 L 是由抛物线
2
xy? 和 xy?
2
所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性,
三,利用曲线积分,求星形线 taytax
33
s i n,c o s 所围成的图形的面积,
四、证明曲线积分
)4,3(
)2,1(
2232
)36()6( dyxyyxdxyxy 在整个 x o y 面内与路径无关,并计算积分值,
五、利用格林公式,计算下列曲线积分,
1,
L
dyyxdxyx )s i n()(
22
其中 L 是在圆周
2
2 xxy 上由点 ( 0,0 ) 到点 ( 1,1 ) 的一段弧；
2,求曲线积分
A MB
dyyxdxyxI
22
1
)()( 和
A N B
dyyxdxyxI
22
2
)()( 的差,其中 A M B
是过原点和 )1,1(A,)6,2(B 且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段,A M B 是连接
BA,
的线段,
六、计算
L
yx
y d xx d y
22
,其中
L
为不经过原点的光滑闭曲线,( 取逆时针方向 )
七、验证 yxxdxxyyx
2322
8()83( dyye
y
)12? 在整个 x o y 平面内是某一函数
),( yxu
的全微分,并求这样一个
),( yxu
.
八、试确定?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x
2
2
是某个函数
),( yxu 的全微分,其中
22
yxr,并求
),( yxu,
九、设在半平面 0?x 内有力 )(
3
jyix
r
k
F 构成力场,其中 k 为常数,
22
yxr,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关,
练习题答案一,1,
L
d y QPd x ； 2,
x
Q
y
p
； 3,10.
三、
30
1
,四、
2
8
3
a?,五,236,
六,1,2s i n
4
1
6
7
； 2,-2,
七,1,当 所包围L 的 D区域 不包含原点时,0 ；
2,当 所包围L 的 D区域 包含原点,仅绕且 L 原点一圈时,?2 ；
3,当所包围L
的
D区域包含原点,
绕且 L n原点圈时,?n2,
七,)(124),( 223 yy eyeyxyxyxu,
八、
y
ryxu ),(,1?,
一、概念的引入若曲面? 是光滑的,它的面密度为连续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
二、对面积的曲面积分的定义设曲面? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在?
上有界,把? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii 为 iS? 上任意取定的点,作乘积?),,( iiif iS?,
并作和?
n
i
iii
f
1
),,(
i
S?,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面? 上对面积的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义即
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
1
0
记为
dSzyxf ),,(,
dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?
三、计算法;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx
dSzyxf ),,(
),(:.2 zxyy若曲面则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx,若曲面则计算
dszyx )(,其中? 为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
,yz 5,
解投影域,
}25|),{( 22 yxyxD xy
dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd 5020 )c o s5(2,2125
d x d yzzdS yx 221
d x d y2)1(01,2d x d y?
例 2 计算 dSx y z
||,
其中? 为抛物面
22
yxz （ 10 z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz,y o z 坐标面对称轴对称，关于抛物面
z
yxz 22
有
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221
d x d yyx 22 )2()2(1
原式 dSx yz
|| dSx y z
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4
其中 1|),{( 22 yxyxD xy,}0,0 yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt 10 22220 41s i nc o s4
drrrtd t 210 50 412s i n2 2 令 241 ru
duuu 25
1
)4 1(41,420 15125
计算
xdS,其中? 是圆柱面 122 yx,
平面 2 xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解
321
其中 1?,0?z,2?,2 xz,
3?,122 yx,投影域 1D,122 yx
显然 0
11
D
x d x d yxdS,
,011
12
D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy 分为左、右两片 ）
3
x d S
31
xdS
32
xdS
（左右两片投影相同）
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
1 1 20212 x dzdxxx
,
xdS 00,
计算 dSzyx )( 222
,其中? 为内接于球面
2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面,
例 4
被积函数?),,( zyxf 222 zyx,解关于坐标面、原点均对称,
积分曲面? 也具有对称性,
故原积分
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?,azyx,即 yxaz
d x d yzzdS yx 221 dxdy3?
dSzyx )( 222
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
3])([8 222
.32 4a?
四、小结
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算,
1,对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(l i m
1
0
（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义,
221 yx zz
思考题解答是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
221 yx zz故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数,
z
一,填空题,
1,已知曲面? 的面 a积为,则?
ds10 ___ _ ___ ；
2,
dszyxf ),,( =
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ ___ _
d y d z；
3,设? 为球面
2222
azyx 在
x o y
平面的上方部分,则
dszyx )(
222
___ ___ ___ ___ ；
4,?
z d s3 _____,其中? 为抛物面 )(2
22
yxz
在
x o y
面上方的部分；
5,
dsyx )(
22
___ __ _,其中
为锥面
22
yxz
及平面 1?z 所围成的区域的整个边界曲面,
练 习 题二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
dszxxxy )22(
2
,其中? 为平面
622 zyx 在第一卦限中的部分；
2,
dszxyzxy )(,其中? 为锥面
22
yxz 被柱面 axyx 2
22
所截得的有限部分,
三、求抛物面壳
)10)((
2
1
22
zyxz
的质量,此壳的面密度的大小为 z,
四、求抛物面壳
)10()(
2
1
22
zyxz
的质量，此壳的面密度的大小为,z
练习题答案一,1,a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
；
3,
4
2 a? ； 4,?
10
1 1 1；
5,?
2
21?
.
二,1,
4
27； 2,
4
2
15
64
a,
三、
6
.
四,)136(
15
2
.
一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类,1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典型双侧曲面莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
时当时当时当
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy
为上的投影 xyS )(?曲面 S?
二、概念的引入实例,流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位时间流过 A 的流体的质量? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
AvnvA
vA
0
c o s?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
),,(),,(),,(),,(
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位时间内流向 Σ 指定侧的流体的质量?,
x
y
z
o
x
y
z
o
iS? ),,( iii
iv
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
,
1,分割则该点流速为,iv?
法向量为,in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii c o sc o sc o s0,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
3.取极限 0,的精确值取极限得到流量?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )(?,),,(
iii
是
i
S? 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质记作
dxdyzyxR ),,(,即
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
被积函数积分曲面类似可定义
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
性质,
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
四、计算法设积分曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 所给出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域为
xy
D,函数
),( yxzz? 在
xy
D 上具有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
),( yxfz?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
又取上侧
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS 取下侧若
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx
yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy
zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,
解 两部分和分成把 21;1,2211 yxz
,1,2222 yxz
x
y
z
2?
1
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22
xyD
r d r drr
五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz?
x
y
z
o
dsn?
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
对面积的曲面积分为
xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,(?所以 dSzyxRd x d yzyxR?c o s),,(),,(
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
两类曲面积分之间的联系向量形式
dSAsdAdSnASdA n 或其中 }c os,c os,{ c os},,,{ nRQPA
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd
称为 有 向 曲 面元,nA 为向量 A
在 n
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz
)(
2
,其中 Σ 是旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解
d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
dsxz?co s)( 2
dxdyxzco sco s)( 2
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
.8
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题设? 为球面 1
222
zyx,若以其球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy 的左侧是正侧吗？
思考题解答此时 的左侧为 负 侧,221 zxy
而 的左侧为 正 侧,221 zxy
一,填空题,
1,
d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ _,
2,第二类曲面积分 d x d yRQ d z d xP d y d z
化成第一类曲面积分是 __ _ __ __ __ _,其中
,,
为有向曲面
上点
),,( zyx
处的 __ __ _ __ _ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1,
y d z d xx d y d zz d x d y,其中? 是柱面 1
22
yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
练 习 题
2,
y z d z d xx y d y d zx z d x d y,其中? 是平面
1,0,0,0 zyxzyx 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
3,d x d y
yx
e
z
22
,其中
为锥面
22
yxz 和
2,1 zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
d z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(
d x d yzyxR ),,(?
化成对面积的曲面积分,其中
是平面
63223 zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案一,1,0 ；
2,
dSRQP )co sco sco s(,法向量,
二,1,?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(,
（一） 曲线积分与曲面积分
（二）各种积分之间的联系
（三）场论初步一、主要内容第九章习题课曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算 计算联系 联系
（一） 曲线积分与曲面积分曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分定义
n
i
iiiL sfdsyxf
10
),(lim),(L dyyxQdxyxP ),(),( ]),(),([l i m
10
iii
n
i
iii yQxP
联系 dsQPQ d yP d x LL )co sco s(
计算
dtf
dsyxf
L
22],[
),(
三代一定 )(
dtQP
QdyP dx
L
]),(),([
二代一定 (与方向有关 )
与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定义
n
i iiii
sfdszyxf
10
),,(l i m),,( xyin
i iii
SRdxdyzyxR )(),,(l i m),,(
10
联系
R dx d yQd z d xP d y d z
计算 一代,二换,三投 (与侧无关 ) 一代,二投,三定向 (与侧有关 )
dSRQP )c o sc o sc o s(
dszyxf ),,(
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
dxdyzyxR ),,(
xyD
d x d yyxzyxR )],(,,[
定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i
.)()(
,],[1
b
a
dxxfdMf
baR
时上区间当
.),()(
,2
D
dyxfdMf
DR
时上区域当积分概念的联系定积分二重积分
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
时上区域当
.),,()(
,3
dszyxfdMf
R
时上空间曲线当
.),,()(
,3
S
dSzyxfdMf
SR
时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分
.),()(
,2
L
dsyxfdMf
LR
时上平面曲线当曲线积分计算上的联系
)(,]),([),( )( )(2
1
面元素 ddxdyyxfdyxf ba xy xy
D
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz
baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
xyD
yx dx d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s(
))(( 曲面元素dS
))(( 投影面元素d x d y
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
DL dxdykAr otsdA )( DL dxdyAdi vdsnA )(
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
dSnAr o tdSA )(
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQ dyP dx
dvAdi vdsnA )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
DL d x d yyPxQQ d yP d x )( DL d x d yyQxPP d yd x )(或推广 推广为平面向量场)( MA?
为空间向量场)( MA?
梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u
通量旋度环流量
z
R
y
Q
x
PAdi v
R d xd yQd z dxP d y dz
kyPxQjxRzPizQyRAr ot )()()(
R d zQd yP d x
散度
（三） 场论初步例 1 计算
L
dyyxdxxyxI )()2(
422
,
其中 L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy
2
s i n
,
思路, L Qd yP d xI
x
Q
y
P
x
Q
y
P
0 L Qd yP d xI?
),( ),(
00
yx
yx Q d yP d xI
闭合非闭 闭合
D
d x d yyPxQI )(
非闭 补充曲线或用公式二,典型例题解
xxyxyyP 2)2( 2知
xyxxxQ 2)( 42
,xQyP即
10 410 2 )1( dyydxx故原式,1523?
x
y
o 1
1 A
dyyxdxxyxI )()2( 422由例 2 计算
L
xx
dymyedxmyyeI )c o s()s in(,
其中 L 为由点 )0,( a 到点 )0,0( 的上半圆周
0,
22
yaxyx,
解 myemyyeyyP xx c o s)s i n(?
yemyexxQ xx co s)co s(
x
Q
y
P
即
(如下图 )
x
y
o )0,(aA
M dxdy
y
P
x
Q
D
A M O A
)(
D
dxdym,
8
2am
0)(00 medx xaAO,0?
08 2 am,8 2am
A M O A AOAOAOLI
A M O A AOI
曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz?
x
yo
z
dSS
xyD
yx d x d yzz 221
dsyxfS BAL ),( ),(
dxyyxfba 21),(
z
x
o y
),( yxfz?
s
LA Ba b
曲顶柱体的表面积
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22?
x
z
yo
),( yxfz?
LD
如图曲顶柱体，
例 3 求柱面 13
2
3
2
yx 在球面 1222 zyx 内的侧面积,
解 由对称性
L
L
dsyx
z d sS
221
8
,1,3232 yxL? )20(,s i n
,c o s
3
3?
t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 t d ttdtyxds tt
t d ttttS co ss i n3s i nco s18 20 66?
t d tttt co ss i nco ss i n324 20 22?
20 22 co ss i n324 td tt.2
33
．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例４
x
yo
z 1
11?
解 利用两类曲面积分之间的关系
},1,1,1{ n 的法向量为
.31c o s,31c o s,31c o s
dSzzyxfyzyxf
xzyxfI
]}),,([
3
1
]),,(2[
3
1
]),,([
3
1
{
dSzyx )(31
xyD
dxdy3131,21?
向量点积法
,1,,),,(,yx ffyxfz 法向量为设
R d x d yQ d z d xP d y d zI
d x d yffRQP yx }1,,{},,{
dSnA 0 },,{},,{
d x d yd z d xd y d zRQP
.}1,,{},,{ dx d yffRQPxoy yx
面投影在将所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算
2,1
,
22
2
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
例５
解
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
D
利用向量点积法
21 220 r d rrd,215
d x d yz 2
xyD
dxdyyx )( 22
d x d yyx yyx xzxyI
1,,,,
2222
2
]41:[ 22 yxD xy
例 6 计算曲面积分
y z d x d yd z d xyx d y d zyI 4)1(2)18(
2
,
其中? 是由曲线 )31(
0
1
y
x
yz
绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于
2
.
解
221
0
1
xzy
y
x
yz
轴旋转面方程为绕
(如下图 )
x
y
z
o 1 3
2*
* *
I且有
dvzRyQxP )(
*?
dvyyy )4418(
y z dx dydz dxyxd y dzyI 4)1(2)18( 2
欲求
dv
xzD
xz
dyd x d z 3
1 22
3
1
2
0
2
0 2 dydd
20 3 )2(2 d,2
* *
2 )31(2 d z d x,32
)32(2I故,34?
一,选择题,
1,设 L 为
2
3
0,
0
yxx,则
L
ds4 的值为 ( ).
( A)
0
4 x,(B ),6 ( C)
0
6 x,
2,设
L
为直线
0
yy? 上从点 ),0(
0
yA 到点 ),3(
0
yB 的有向直线段,则
L
dy2 =( ).
( A )6 ; (B) 0
6 y; (C) 0.
3,若
L
是上半椭圆
,s i n
,c o s
tby
tax
取顺时针方向,则
L
x d yy d x 的值为 ( ),
(A ) 0 ; (B) ab
2; (C ) ab?,
测 验 题
4,设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,则在 D 内与
L
Q d yP d x 路径无关的条件
Dyx
y
P
x
Q
),(,是 ( ).
(A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件,
5,设
为球面 1
222
zyx,
1
为其上半球面,则
( ) 式正确,
(A)
1
2 z d sz d s ;
(B)
1
2 z d x d yz d x d y ;
(C)
1
22
2 dxdyzdxdyz,
6,若? 为 )(2
22
yxz 在 x o y 面上方部分的曲面,
则
ds 等于 ( ).
(A)
r
r d rrd
0
2
2
0
41
;(B)
2
0
2
2
0
41 r d rrd
;
(C)
2
0
2
2
0
41 rd rrd
.
7,若
为球面
2222
Rzyx 的外侧,则
z d x d yyx
22
等于 ( ).
(A)
xy
D
dxdyyxRyx
22222;
(B) 2
xy
D
dxdyyxRyx
22222; (C) 0,
8,曲面积分
d x d yz
2
在数值上等于 ( ).
(A) 向量 iz
2
穿过曲面? 的流量；
(B) 面密度为
2
z 的曲面? 的质量；
(C) 向量 kz
2
穿过曲面? 的流量,
9,设? 是球面
2222
Rzyx 的外侧,
xy
D 是 x o y 面上的圆域
222
Ryx,下述等式正确的是 ( ),
(A )
xy
D
d x d yyxRyxz d syx
2222222；
(B )
xy
D
d x d yyxd x d yyx )()(
2222；
(C )
xy
D
d x d yyxRz d x d y
222
2,
10,若? 是空间区域? 的外表面,下述计算中运用奥 - 高公式正确的是 ( ),
(A)
外侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
=
d x d y d zx )22( ；
(B)
外侧
z d x d yy d z d xxd y d zyzx
23
2)(
=
d x d y d zxx )123(
22；
(C)
内侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
=
d x d y d zx )12(
.
二、计算下列各题,
1,求
z d s,其中? 为曲线
,
,s i n
,c o s
tz
tty
ttx
)0(
0
tt ；
2,求
L
xx
dyyedxyye )2c o s()2s i n(,其中
L
为上半圆周
222
)( ayax,0?y,沿逆时针方向,
三、计算下列各题,
1,求
222
zyx
ds
其中
是界于平面
Hzz 及0
之间的圆柱面
222
Ryx ；
2,求
d x d yyxd z d xxzd y d zzy )()()(
222
，
其中? 为锥面 )0(
22
hzyxz 的外侧；
3,
3222
)( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
其中
为 曲 面
9
)1(
16
)2(
5
1
22
yxz
)0(?z
的上侧,
四、证明,
22
yx
y d yx d x
在整个 x o y 平面除去 y 的负半轴及原点的开区域
G
内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数,
五、求均匀曲面
222
yxaz
的重心的坐标,
六、求向量 kzjyixA
通过区域,?,10 x
10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量,
七、流体在空间流动,流体的密度? 处处相同 ( 1 ),
已知流速函数 kzyjyxixzV
222
,求流体在单位时间内流过曲面 zzyx 2:
222
的流量 (
流向外侧 ) 和沿曲线
:L
zzyx 2
222
,
1?z
的环流量 ( 从
z
轴正向看去逆时针方向 ),
测验题答案一,1,B ； 2,C ； 3,C ； 4,C ； 5,B ；
6,C ； 7,B ； 8,C ； 9,C ； 10,B,
二,1,
3
22)2(
2
3
2
0
t； 2,
2
a?,
三,1,
R
H
a r c ta n2? ； 2,
4
4
h
； 3,0,
四,)l n (
2
1
),(
22
yxyxu,
五,)
2
,0,0(
a
,六,3.
七,0,
15
32
,
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii L
.sM匀质之质量分割,,,,121 in sMMM
,),( iii s取,),( iiii sM
求和,),(
1
n
i
iii sM
取极限,),(l i m
10
n
i
iii sM
近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设
1.定义
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量,),( L dsyxM?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf
注意：
)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121
LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
三、对弧长曲线积分的计算定理
)(
)()()](),([),(
,],[)(),(
)(
),(
),(
,),(
22
dtttttfdsyxf
tt
t
ty
tx
L
Lyxf
L
且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意,;.1 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL)( ba?
推广,)().(),(),(, ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
dtttttttf
dszyxf
.)(:)2( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL
)( dc?
例 1 ).(,s in,c o s:,象限第椭圆求?
tby
taxLx y d sI
L
解 dttbtatbtaI 222
0 )co s()s in(s inco s
dttbtattab 222220 co ss i nco ss i n
ab duuba ab 222 )c o ss i n( 2222 tbtau令
.)(3 )(
22
ba
babaab
例 2
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中求
xyL
y d sI
L
解 dyyyI 22
2 )2(1,0?
例 3
)20(.
,s i n,co s:,
的一段其中求
kz
ayaxx yz d sI
解
.21 222 kaka
xy 42?
dkaka 222 s i nc o s 20I
例 4
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中求解 由对称性,知,222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故
dsa3
2
.32
3a?
),2( 球面大圆周长?
dsa
四、几何与 物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),( L dsyxM?;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点上的表示立于当
yx
Lyxf
.),( L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz?
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
.,22 LyLx dsyIdsxI
曲线弧的重心坐标)5(
.,
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
一,填空题,
1,已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
2,?
L
ds = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
3,对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4,?
L
dsyxf ),( =
dtttttf )()()](),([
22
中要求? ________
.
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1,?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx,直线 xy?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
练习题
2,
y z d sx
2
,其中 L 为折线 ABCD,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
)c o s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( t；
4,计算
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
ayxayx,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay si n?
,
ktz?,其中 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案一,1,
L
dsyx ),(? ； 2,的弧长L ；
3,弧长； 4,<,
二,1,2)
4
2(?
ae
a； 2,9 ；
3,
)21(2
232
a； 4,)22(2
2
a,
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
；
222
2
43
6
ka
ak
x
；
222
2
43
6
ka
ak
y
；
222
222
43
)2(3
ka
kak
z
,
o x
y
A
B
L
一、问题的提出
1?nMiM
1?iM2M
1M
ix?
iy?实例,变力沿曲线所作的功
,,BAL?
jyxQiyxPyxF ),(),(),(
常力所作的功分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn
.)()(1 jyixMM iiii
.ABFW
求和
.]),(),([
1
n
i
iiiiii yQxP
取极限,]),(),([lim
10
n
i
iiiiii yQxPW
近似值精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii取
,),( 1 iiiii MMFW
.),(),( iiiiiii yQxPW即
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L 1?nMiM1?iM2M
1M
),( iiF
ix?
iy?
二、对坐标的曲线积分的概念
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
1.定义
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF其中
. L dsF?
4.推广
空间有向曲线弧
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
. Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
5.性质
.
,)1(
21
21
LLL Q d yPdxQ d yPdxQ d yPdx
LLL 则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
三、对坐标的曲线积分的计算
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
定理
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
且特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQ d yP d x baL则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ d yP d x dcL则
.,,
)(
)(
)(
:)3(
终点起点推广 t
tz
ty
tx
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
ty
txL
：设有向平面曲线弧为
,,),(为处的切线向量的方向角上点 yxL
LL dsQPQd yP d x )co sco s(则其中,)()( )(c o s 22 tt t
,
)()(
)(c o s
22 tt
t
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx
dsRQPR d zQd yP d x )c o sc o sc o s(则
dstA rdA, dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA },c o s,c o s,{c o st?
},,{ dzdydxdstrd 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到上从为抛物线其中计算
BA
xyLx yd x
L
解 的定积分，化为对 x)1(,xy
OBAOL x yd xx yd xx yd x
1001 )( dxxxdxxx
10 232 dxx,54?
xy?2
)1,1(?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx?
ABL x yd xx yd x
1 1 22 )( dyyyy
.11到从?y
11 42 dyy,54?
xy?2
)1,1(?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
例 2
解,s in
c o s:)1(
ay
axL?
，变到从 0
)0,(aA)0,( aB
0原式 daa )s i n(s i n 22?
)0,(aA)0,( aB?
.34 3a
,0:)2(?yL?
，变到从 aax?
aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,
03a )( c o s)c o s1( 2 d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算
BAOOA B
BOyx
BOxy
Ldyxx yd x
L
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL?
10 22 )22( dxxxxx原式
10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL?
10 42 )22( dyyyyy原式
10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
AB
OA
dyxx y d x
dyxx y d x
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy?
10 22 )002(2 dxxxdyxxy dxOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx?
102 )102(2 dyydyxx y d xAB,1?
10 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同,
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系思考题当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后 （例如 L,tax c os?,tay s i n?,
]2,0[t,a 是正常数），试问如何表示 L 的方向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L,tax c o s?,tay s i n?,]2,0[t 中当 t 从 0 变到?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
一,填空题,
1,对 __ __ _ __ _ __ __ __ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2,设 0),(),(
dyyxQdxyxP
L
,则
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
__ __ __ __ _ __ _ ；
3,在公式
dyyxQdxyxP
L
),(),(
dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
限对应于
L
的 __ _ _ 点,上限? 对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __
__ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ _,
练 习 题二,计算下列对坐标的曲线积分,
1,?
L
x y d x,L其中 为圆周 )0()(
222
aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按逆时针方向绕行 ) ；
2,?
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3,?
y d zdydx,其中为有向闭折线 ABCD,这里的 CBA,,依次为点 (1,0,0 ),( 0,1,0),( 0,0,1) ；
4,?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C DA 是以 )0,1(A,)1,0(B,
)0,1(?C,)1,0(?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作的功,
四,把对坐标的曲线积分
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成对弧长的积分,L其中 为,
1,在
x o y
面内沿直线从点 (0,0 ) 到点 (1,1) ；
2,沿抛物线
2
xy? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1 ) ；
3,沿上半圆周 xyx 2
22
从点 (0,0 ) 到点 (1,1).
练习题答案一,1,坐标； 2,-1 ； 3,起,点；
4,dzRQ d yPd x?
dsRQP )c o sc o sc o s(
,
二,1,;
2
3
a
2, 2 ；
3,
2
1； 4,0,
三, )(,,0,0
12
zzmgWmgF,
四,1,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
.
一、区域连通性的分类设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连续偏导数,则有
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向,当观察者沿边界行走时,区域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
证明 (1)
若区域 D 既是?X 型又是?Y 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
)( )(21
dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12
CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
L dyyxQ ),(
同理可证
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx
D
c C
E
)(1 yx
若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成,如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲线所围成,添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知
D
d x d yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL QdyPdx )(}3
L Q d yP d x
2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算?
AB
xdy,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分三、简单应用
A
B
D
BOABOAL
应用格林公式,xQP,0 有
L
D
xdydxdy
, BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
例 2 计算
D
y
dxdye
2
,其中 D 是以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1 e
例 3 计算?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
则当 022 yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解令 2222,
yx
xQ
yx
yP
,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向取逆时针方向 ).2
(注意格林公式的条件 )
dr rr 2
2222 s inc o s 2
0
格林公式, L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP 得
L
xdyA
取,0, QyP 得
L
y d xA
3,计算平面面积曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与 x 轴所围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
L yd xxdyA 21
A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0
.614 20 adxxa a
)0,(aAN
M
四、小结
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
3,格林公式的应用,
——格林公式 ;
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L
的方向。
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G
思考题思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
BCD AB
EGFE
G
y
xo
1L Q d yP d x
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
一、曲线积分与路径无关的定义
2L Q d yP d x
1L
2L
B
A
如果在区域 G内有
否则与路径有关,
二、曲线积分与路径无关的条件设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 2
(1) 开区域 G 是一个单连通域,(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可有关定理的说明：
三、二元函数的全微分求积设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,则 dyyxQdxyxP ),(),(? 在 G 内为某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 3
x
Q
y
P
若
),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
x
y
o
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10
或例 1 计算
L
dyyxdxxyx )()2( 422,其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
,
xxyx
yy
P
2)2(
2
xyx
xx
Q
2)(
42
解
x
Q
y
P
,
原积分与路径无关故原式
1
0
1
0
42 )1( dyydxx
.1523?
例 2 设曲线积分
L
dyxydxxy )(
2
与路径无关,其中? 具有连续的导数,且 0)0(,
计算
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
积分与路径无关 xQyP,
解
,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
,),( 2xyyxP? ),(),( xyyxQ
由 0)0(,知 0?c 2)( xx,
故)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( cxx 2)(
1010 0 y d ydx,21?
四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题一,填空题,
1,设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
),(,),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数,则有?
D
d x d y
y
P
x
Q
)( ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
2,设
D
为平面上的一个单连通域,函数
),(,),( yxQyxP 在
D
内有一阶连续偏导数,则
L
Q d yP d x 在
D
内与路径无关的充要条件是
___ __ ___ __ ___ __ 在
D
内处处成立；
3,设
D
为由分段光滑的曲线
L
所围成的闭区域,其面积为 5,又 ),( yxP 及 ),( yxQ 在
D
上有一阶连续偏导数,且 1?
x
Q
,
1
y
P
,则
L
Q d yPd x ___,
练 习 题二,计算
L
dyyxdxxxy )()2(
22
其中 L 是由抛物线
2
xy? 和 xy?
2
所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性,
三,利用曲线积分,求星形线 taytax
33
s i n,c o s 所围成的图形的面积,
四、证明曲线积分
)4,3(
)2,1(
2232
)36()6( dyxyyxdxyxy 在整个 x o y 面内与路径无关,并计算积分值,
五、利用格林公式,计算下列曲线积分,
1,
L
dyyxdxyx )s i n()(
22
其中 L 是在圆周
2
2 xxy 上由点 ( 0,0 ) 到点 ( 1,1 ) 的一段弧；
2,求曲线积分
A MB
dyyxdxyxI
22
1
)()( 和
A N B
dyyxdxyxI
22
2
)()( 的差,其中 A M B
是过原点和 )1,1(A,)6,2(B 且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段,A M B 是连接
BA,
的线段,
六、计算
L
yx
y d xx d y
22
,其中
L
为不经过原点的光滑闭曲线,( 取逆时针方向 )
七、验证 yxxdxxyyx
2322
8()83( dyye
y
)12? 在整个 x o y 平面内是某一函数
),( yxu
的全微分,并求这样一个
),( yxu
.
八、试确定?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x
2
2
是某个函数
),( yxu 的全微分,其中
22
yxr,并求
),( yxu,
九、设在半平面 0?x 内有力 )(
3
jyix
r
k
F 构成力场,其中 k 为常数,
22
yxr,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关,
练习题答案一,1,
L
d y QPd x ； 2,
x
Q
y
p
； 3,10.
三、
30
1
,四、
2
8
3
a?,五,236,
六,1,2s i n
4
1
6
7
； 2,-2,
七,1,当 所包围L 的 D区域 不包含原点时,0 ；
2,当 所包围L 的 D区域 包含原点,仅绕且 L 原点一圈时,?2 ；
3,当所包围L
的
D区域包含原点,
绕且 L n原点圈时,?n2,
七,)(124),( 223 yy eyeyxyxyxu,
八、
y
ryxu ),(,1?,
一、概念的引入若曲面? 是光滑的,它的面密度为连续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
二、对面积的曲面积分的定义设曲面? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在?
上有界,把? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii 为 iS? 上任意取定的点,作乘积?),,( iiif iS?,
并作和?
n
i
iii
f
1
),,(
i
S?,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面? 上对面积的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义即
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
1
0
记为
dSzyxf ),,(,
dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?
三、计算法;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx
dSzyxf ),,(
),(:.2 zxyy若曲面则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx,若曲面则计算
dszyx )(,其中? 为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
,yz 5,
解投影域,
}25|),{( 22 yxyxD xy
dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd 5020 )c o s5(2,2125
d x d yzzdS yx 221
d x d y2)1(01,2d x d y?
例 2 计算 dSx y z
||,
其中? 为抛物面
22
yxz （ 10 z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz,y o z 坐标面对称轴对称，关于抛物面
z
yxz 22
有
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221
d x d yyx 22 )2()2(1
原式 dSx yz
|| dSx y z
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4
其中 1|),{( 22 yxyxD xy,}0,0 yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt 10 22220 41s i nc o s4
drrrtd t 210 50 412s i n2 2 令 241 ru
duuu 25
1
)4 1(41,420 15125
计算
xdS,其中? 是圆柱面 122 yx,
平面 2 xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解
321
其中 1?,0?z,2?,2 xz,
3?,122 yx,投影域 1D,122 yx
显然 0
11
D
x d x d yxdS,
,011
12
D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy 分为左、右两片 ）
3
x d S
31
xdS
32
xdS
（左右两片投影相同）
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
1 1 20212 x dzdxxx
,
xdS 00,
计算 dSzyx )( 222
,其中? 为内接于球面
2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面,
例 4
被积函数?),,( zyxf 222 zyx,解关于坐标面、原点均对称,
积分曲面? 也具有对称性,
故原积分
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?,azyx,即 yxaz
d x d yzzdS yx 221 dxdy3?
dSzyx )( 222
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
3])([8 222
.32 4a?
四、小结
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算,
1,对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(l i m
1
0
（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义,
221 yx zz
思考题解答是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
221 yx zz故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数,
z
一,填空题,
1,已知曲面? 的面 a积为,则?
ds10 ___ _ ___ ；
2,
dszyxf ),,( =
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ ___ _
d y d z；
3,设? 为球面
2222
azyx 在
x o y
平面的上方部分,则
dszyx )(
222
___ ___ ___ ___ ；
4,?
z d s3 _____,其中? 为抛物面 )(2
22
yxz
在
x o y
面上方的部分；
5,
dsyx )(
22
___ __ _,其中
为锥面
22
yxz
及平面 1?z 所围成的区域的整个边界曲面,
练 习 题二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
dszxxxy )22(
2
,其中? 为平面
622 zyx 在第一卦限中的部分；
2,
dszxyzxy )(,其中? 为锥面
22
yxz 被柱面 axyx 2
22
所截得的有限部分,
三、求抛物面壳
)10)((
2
1
22
zyxz
的质量,此壳的面密度的大小为 z,
四、求抛物面壳
)10()(
2
1
22
zyxz
的质量，此壳的面密度的大小为,z
练习题答案一,1,a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
；
3,
4
2 a? ； 4,?
10
1 1 1；
5,?
2
21?
.
二,1,
4
27； 2,
4
2
15
64
a,
三、
6
.
四,)136(
15
2
.
一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类,1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典型双侧曲面莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
时当时当时当
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy
为上的投影 xyS )(?曲面 S?
二、概念的引入实例,流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位时间流过 A 的流体的质量? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
AvnvA
vA
0
c o s?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
),,(),,(),,(),,(
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位时间内流向 Σ 指定侧的流体的质量?,
x
y
z
o
x
y
z
o
iS? ),,( iii
iv
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
,
1,分割则该点流速为,iv?
法向量为,in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii c o sc o sc o s0,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
3.取极限 0,的精确值取极限得到流量?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )(?,),,(
iii
是
i
S? 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质记作
dxdyzyxR ),,(,即
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
被积函数积分曲面类似可定义
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
性质,
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
四、计算法设积分曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 所给出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域为
xy
D,函数
),( yxzz? 在
xy
D 上具有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
),( yxfz?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
又取上侧
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS 取下侧若
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx
yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy
zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,
解 两部分和分成把 21;1,2211 yxz
,1,2222 yxz
x
y
z
2?
1
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22
xyD
r d r drr
五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz?
x
y
z
o
dsn?
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
对面积的曲面积分为
xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,(?所以 dSzyxRd x d yzyxR?c o s),,(),,(
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
两类曲面积分之间的联系向量形式
dSAsdAdSnASdA n 或其中 }c os,c os,{ c os},,,{ nRQPA
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd
称为 有 向 曲 面元,nA 为向量 A
在 n
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz
)(
2
,其中 Σ 是旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解
d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
dsxz?co s)( 2
dxdyxzco sco s)( 2
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
.8
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题设? 为球面 1
222
zyx,若以其球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy 的左侧是正侧吗？
思考题解答此时 的左侧为 负 侧,221 zxy
而 的左侧为 正 侧,221 zxy
一,填空题,
1,
d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ _,
2,第二类曲面积分 d x d yRQ d z d xP d y d z
化成第一类曲面积分是 __ _ __ __ __ _,其中
,,
为有向曲面
上点
),,( zyx
处的 __ __ _ __ _ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1,
y d z d xx d y d zz d x d y,其中? 是柱面 1
22
yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
练 习 题
2,
y z d z d xx y d y d zx z d x d y,其中? 是平面
1,0,0,0 zyxzyx 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
3,d x d y
yx
e
z
22
,其中
为锥面
22
yxz 和
2,1 zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
d z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(
d x d yzyxR ),,(?
化成对面积的曲面积分,其中
是平面
63223 zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案一,1,0 ；
2,
dSRQP )co sco sco s(,法向量,
二,1,?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(,
（一） 曲线积分与曲面积分
（二）各种积分之间的联系
（三）场论初步一、主要内容第九章习题课曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算 计算联系 联系
（一） 曲线积分与曲面积分曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分定义
n
i
iiiL sfdsyxf
10
),(lim),(L dyyxQdxyxP ),(),( ]),(),([l i m
10
iii
n
i
iii yQxP
联系 dsQPQ d yP d x LL )co sco s(
计算
dtf
dsyxf
L
22],[
),(
三代一定 )(
dtQP
QdyP dx
L
]),(),([
二代一定 (与方向有关 )
与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定义
n
i iiii
sfdszyxf
10
),,(l i m),,( xyin
i iii
SRdxdyzyxR )(),,(l i m),,(
10
联系
R dx d yQd z d xP d y d z
计算 一代,二换,三投 (与侧无关 ) 一代,二投,三定向 (与侧有关 )
dSRQP )c o sc o sc o s(
dszyxf ),,(
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
dxdyzyxR ),,(
xyD
d x d yyxzyxR )],(,,[
定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i
.)()(
,],[1
b
a
dxxfdMf
baR
时上区间当
.),()(
,2
D
dyxfdMf
DR
时上区域当积分概念的联系定积分二重积分
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
时上区域当
.),,()(
,3
dszyxfdMf
R
时上空间曲线当
.),,()(
,3
S
dSzyxfdMf
SR
时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分
.),()(
,2
L
dsyxfdMf
LR
时上平面曲线当曲线积分计算上的联系
)(,]),([),( )( )(2
1
面元素 ddxdyyxfdyxf ba xy xy
D
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz
baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
xyD
yx dx d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s(
))(( 曲面元素dS
))(( 投影面元素d x d y
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
DL dxdykAr otsdA )( DL dxdyAdi vdsnA )(
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
dSnAr o tdSA )(
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQ dyP dx
dvAdi vdsnA )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
DL d x d yyPxQQ d yP d x )( DL d x d yyQxPP d yd x )(或推广 推广为平面向量场)( MA?
为空间向量场)( MA?
梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u
通量旋度环流量
z
R
y
Q
x
PAdi v
R d xd yQd z dxP d y dz
kyPxQjxRzPizQyRAr ot )()()(
R d zQd yP d x
散度
（三） 场论初步例 1 计算
L
dyyxdxxyxI )()2(
422
,
其中 L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy
2
s i n
,
思路, L Qd yP d xI
x
Q
y
P
x
Q
y
P
0 L Qd yP d xI?
),( ),(
00
yx
yx Q d yP d xI
闭合非闭 闭合
D
d x d yyPxQI )(
非闭 补充曲线或用公式二,典型例题解
xxyxyyP 2)2( 2知
xyxxxQ 2)( 42
,xQyP即
10 410 2 )1( dyydxx故原式,1523?
x
y
o 1
1 A
dyyxdxxyxI )()2( 422由例 2 计算
L
xx
dymyedxmyyeI )c o s()s in(,
其中 L 为由点 )0,( a 到点 )0,0( 的上半圆周
0,
22
yaxyx,
解 myemyyeyyP xx c o s)s i n(?
yemyexxQ xx co s)co s(
x
Q
y
P
即
(如下图 )
x
y
o )0,(aA
M dxdy
y
P
x
Q
D
A M O A
)(
D
dxdym,
8
2am
0)(00 medx xaAO,0?
08 2 am,8 2am
A M O A AOAOAOLI
A M O A AOI
曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz?
x
yo
z
dSS
xyD
yx d x d yzz 221
dsyxfS BAL ),( ),(
dxyyxfba 21),(
z
x
o y
),( yxfz?
s
LA Ba b
曲顶柱体的表面积
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22?
x
z
yo
),( yxfz?
LD
如图曲顶柱体，
例 3 求柱面 13
2
3
2
yx 在球面 1222 zyx 内的侧面积,
解 由对称性
L
L
dsyx
z d sS
221
8
,1,3232 yxL? )20(,s i n
,c o s
3
3?
t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 t d ttdtyxds tt
t d ttttS co ss i n3s i nco s18 20 66?
t d tttt co ss i nco ss i n324 20 22?
20 22 co ss i n324 td tt.2
33
．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例４
x
yo
z 1
11?
解 利用两类曲面积分之间的关系
},1,1,1{ n 的法向量为
.31c o s,31c o s,31c o s
dSzzyxfyzyxf
xzyxfI
]}),,([
3
1
]),,(2[
3
1
]),,([
3
1
{
dSzyx )(31
xyD
dxdy3131,21?
向量点积法
,1,,),,(,yx ffyxfz 法向量为设
R d x d yQ d z d xP d y d zI
d x d yffRQP yx }1,,{},,{
dSnA 0 },,{},,{
d x d yd z d xd y d zRQP
.}1,,{},,{ dx d yffRQPxoy yx
面投影在将所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算
2,1
,
22
2
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
例５
解
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
D
利用向量点积法
21 220 r d rrd,215
d x d yz 2
xyD
dxdyyx )( 22
d x d yyx yyx xzxyI
1,,,,
2222
2
]41:[ 22 yxD xy
例 6 计算曲面积分
y z d x d yd z d xyx d y d zyI 4)1(2)18(
2
,
其中? 是由曲线 )31(
0
1
y
x
yz
绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于
2
.
解
221
0
1
xzy
y
x
yz
轴旋转面方程为绕
(如下图 )
x
y
z
o 1 3
2*
* *
I且有
dvzRyQxP )(
*?
dvyyy )4418(
y z dx dydz dxyxd y dzyI 4)1(2)18( 2
欲求
dv
xzD
xz
dyd x d z 3
1 22
3
1
2
0
2
0 2 dydd
20 3 )2(2 d,2
* *
2 )31(2 d z d x,32
)32(2I故,34?
一,选择题,
1,设 L 为
2
3
0,
0
yxx,则
L
ds4 的值为 ( ).
( A)
0
4 x,(B ),6 ( C)
0
6 x,
2,设
L
为直线
0
yy? 上从点 ),0(
0
yA 到点 ),3(
0
yB 的有向直线段,则
L
dy2 =( ).
( A )6 ; (B) 0
6 y; (C) 0.
3,若
L
是上半椭圆
,s i n
,c o s
tby
tax
取顺时针方向,则
L
x d yy d x 的值为 ( ),
(A ) 0 ; (B) ab
2; (C ) ab?,
测 验 题
4,设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,则在 D 内与
L
Q d yP d x 路径无关的条件
Dyx
y
P
x
Q
),(,是 ( ).
(A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件,
5,设
为球面 1
222
zyx,
1
为其上半球面,则
( ) 式正确,
(A)
1
2 z d sz d s ;
(B)
1
2 z d x d yz d x d y ;
(C)
1
22
2 dxdyzdxdyz,
6,若? 为 )(2
22
yxz 在 x o y 面上方部分的曲面,
则
ds 等于 ( ).
(A)
r
r d rrd
0
2
2
0
41
;(B)
2
0
2
2
0
41 r d rrd
;
(C)
2
0
2
2
0
41 rd rrd
.
7,若
为球面
2222
Rzyx 的外侧,则
z d x d yyx
22
等于 ( ).
(A)
xy
D
dxdyyxRyx
22222;
(B) 2
xy
D
dxdyyxRyx
22222; (C) 0,
8,曲面积分
d x d yz
2
在数值上等于 ( ).
(A) 向量 iz
2
穿过曲面? 的流量；
(B) 面密度为
2
z 的曲面? 的质量；
(C) 向量 kz
2
穿过曲面? 的流量,
9,设? 是球面
2222
Rzyx 的外侧,
xy
D 是 x o y 面上的圆域
222
Ryx,下述等式正确的是 ( ),
(A )
xy
D
d x d yyxRyxz d syx
2222222；
(B )
xy
D
d x d yyxd x d yyx )()(
2222；
(C )
xy
D
d x d yyxRz d x d y
222
2,
10,若? 是空间区域? 的外表面,下述计算中运用奥 - 高公式正确的是 ( ),
(A)
外侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
=
d x d y d zx )22( ；
(B)
外侧
z d x d yy d z d xxd y d zyzx
23
2)(
=
d x d y d zxx )123(
22；
(C)
内侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
=
d x d y d zx )12(
.
二、计算下列各题,
1,求
z d s,其中? 为曲线
,
,s i n
,c o s
tz
tty
ttx
)0(
0
tt ；
2,求
L
xx
dyyedxyye )2c o s()2s i n(,其中
L
为上半圆周
222
)( ayax,0?y,沿逆时针方向,
三、计算下列各题,
1,求
222
zyx
ds
其中
是界于平面
Hzz 及0
之间的圆柱面
222
Ryx ；
2,求
d x d yyxd z d xxzd y d zzy )()()(
222
，
其中? 为锥面 )0(
22
hzyxz 的外侧；
3,
3222
)( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
其中
为 曲 面
9
)1(
16
)2(
5
1
22
yxz
)0(?z
的上侧,
四、证明,
22
yx
y d yx d x
在整个 x o y 平面除去 y 的负半轴及原点的开区域
G
内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数,
五、求均匀曲面
222
yxaz
的重心的坐标,
六、求向量 kzjyixA
通过区域,?,10 x
10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量,
七、流体在空间流动,流体的密度? 处处相同 ( 1 ),
已知流速函数 kzyjyxixzV
222
,求流体在单位时间内流过曲面 zzyx 2:
222
的流量 (
流向外侧 ) 和沿曲线
:L
zzyx 2
222
,
1?z
的环流量 ( 从
z
轴正向看去逆时针方向 ),
测验题答案一,1,B ； 2,C ； 3,C ； 4,C ； 5,B ；
6,C ； 7,B ； 8,C ； 9,C ； 10,B,
二,1,
3
22)2(
2
3
2
0
t； 2,
2
a?,
三,1,
R
H
a r c ta n2? ； 2,
4
4
h
； 3,0,
四,)l n (
2
1
),(
22
yxyxu,
五,)
2
,0,0(
a
,六,3.
七,0,
15
32
,
