September,2004
1.1 映射与函数
Mappings and functions
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一、集合 (Set)
1.集合概念
2,集合的运算
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{ (,) | a n d }A B a b a A b B
B
A
AB?
A与 B 的直积
(,)abb
a
Direct product
直积也称为 笛卡儿积 (Cartesian product)
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,A B?
例 设
{,,}A a b c? {,}Bx y?
求
,B A? BB?
解
A B? {? (,),a x (,),a y (,),b x (,),b y (,),c x (,)}c y
B A? {? (,),x a (,),y a (,),x b (,),y b (,),x c (,)}y c
BB? {? (,),xx (,),xy (,),yx (,)}yy
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2R R R the real plane
the set of all pairs (a,b) of real numbers
2R { (,) |,R }a b a b
2R R R
(,)ab
a
b
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{ (,,) |,,}A B C a b c a A b B c C
3R R R R the real space
the set of all triples (a,b,c) of real numbers
3R { (,,) |,,R }a b c a b c
3R R R R
Similarly
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3,区间与邻域
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邻域（ neighborhood）
00(,) { | }U x x x x
00{ | }x x x x
00(,)xx
0x 0x0x
x
0 R,0x设 0x?点 的 邻 域
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二、映射 (Mapping)
1,映射的概念设 X,Y 是集合。
,xX若,yY唯 一 的 使 得
:f x y?
则称 f 为 X 到 Y 的一个映射 。
记
()y f x?
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X
Y
x
y
f
x
f
()y f x?
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:f X Y?
fDX?
( ) { ( ) | }fR f X f x x X
定义域 (Domain):
值域 (Range):
对应法则 (Rule),f
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f
The rule
X
Y
Range
Domain
y
x
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X
Y
x? y?
f
满射 (Surjection)
,yY
:f X Y?
xX ()f x y?
Y 中每一个元素都是映射 f 的像。
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X Y
f
满射 (Surjection)
:f X Y?
Y 中每一个元素都是映射 f 的像。
()fX
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X Y
f
非满射
:f X Y?
()fX
yY xX ()y f x?
y
x
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X
Y
a
()fa
f
单射 (Injection)
,a b X
:f X Y?
( ) ( )f a f b?
不同的元有不同的像。
ab?
b ()fb
()fX
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非单射
:f X Y?
,a b X b u t ( ) ( )f a f b?
X
Y
a
()fa
f
至少存在两个不同的元素有相同的像。
b
()fb?
ab?
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X Y
a
()fa
f
b ()fb
双射 (Bijection)
:f X Y?
既单又满的映射称为双射，或 1-1映射
()fX
单射 ＋满射 ＝双射
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X
Y
f
:f X Y?若 是 单 射
a
()fa
b ()fb
()fX
,( )f X f X?则 是 双 射注意：
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Y
X
a
()fa
f
b ()fb
()fX
若 f,X?Y 是单射，则 f,X?Y 可逆。
逆映射 f -1,f(X)?X
( ),y f X xX唯 一 的
1,f y x
()f x y?
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Y
X
x
y
f
()fX
1,f y x
1f?
1 ()x f y ()y f x?
逆映射：
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三、函数 (Function)
1,函数的概念函数是数集 X 到数集 R 的映射：
:f X R?
其中 X?R。
记
()y f x?
设
:f x y?
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:f X Y?
fDX?
( ) { ( ) | }fR f X f x x X
定义域 (Domain):
值域 (Range):
对应法则 (Rule),f
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()y f x?
fD
fR
x
y
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函数的图形 (The graph of a function)
:f X R?
{ (,( ) ) | }fG x f x x D
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()y f x?
fD
fR
x
()fx
(,( ))x f x
G
{ (,( ) ) | }fG x f x x D
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反函数 (Inverse Functions)
若函数 y=f(x) 是单映射：
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
则函数 f 可逆，逆映射（反函数）：
1 ()x f y
其中 ()y f x?
推论：单调函数有反函数。
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若 y=f(x)是区间 I 上的单调函数，则反函数
x=f -1(y)是区间 J=f(I) 上的单调函数。
:f x y? 1,f y x
()y f x?
I
J
x
y
1 ()x f y
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Lemma 1 (Existence of an Inverse Function)
A function has an inverse if and only if the
function is one-to-one on its domain.
()fx
()fx
Invertible functions,function is one-to-one
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()fx
Non-invertible functions:
function is not one-to-one
()fx
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函数举例 (Examples of Functions)
例 2yx? ()x
2:f x x?
不是单映射（不是单调函数）
plot(x^2,x=-2..2,y=-.1..4.2,thickness=3,scaling=constrained);
没有反函数（作为一个整体）
y
x? x
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2 ( 0 )y x x
但是
plot([x^(1/2),x^2],x=0..4,y=0..4,color=[blue,red],thickness=3,scaling=constrained);
是单调函数，有反函数
xy?
或 yx?
yx?
2yx?
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2 ( 0 )y x x
with(plots):
A:=plot(x^2,x=-4..4,y=-4..4,thickness=3,scaling=constrained):
B:=plot(-x^(1/2),x=0..4,y=-4..4,thickness=3,color=blue,scaling=constrained):
display(A,B);
也是单调函数，有反函数
xy
或 yx
yx
2yx?
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例 3yx? ()x
3:f x x?
是单映射（因为是单调函数）
有反函数：
1
3xy? 或 3yx?
plot(x^3,x=-2..2,y=-4..4,thickness=3,scaling=constrained);
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with(plots):
A:=plot([x,x^3,x=-1.5..1.5],color=red,thickness=3,scaling=constrained):
B:=plot([x^3,x,x=-1.5..1.5],color=blue,thickness=3,scaling=constrained):
display(A,B);
3yx?
3yx?
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例 6 绝对值函数
yx?
O
yx?yx
0x?x
0x?x?
(The absolute value function)
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t h e d i s t a n c e b e t w e e n a n d 0xx?
t h e d i s t a n c e b e t w e e n a n d x a x a
0 x
x
xa
xa?
0x x x
性质：
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In Maple,Matlab:
a b s ( )xx?
absolute valueNote:
plot(abs(x),x=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
The following Maple command will plot the
graph of the absolute value function.
例 7 符号函数
1
s g n 0
1
yx
s g n ( 3 ) 1? s g n ( 2,3 ) 1 s g n (0 ) 0?
if 0x?
if 0x?
if 0x?
The signum function
The sign function
September,2004with(plots):
plot(signum(x),x=-5..5,y=-
( ) 1fx?
( ) 1fx
( 0 ) 0f?
( ) s g nf x x?
s g nx x x
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
性质：
s g nx x x
0 s n g 1xx
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
性质：
0 s n g 1xx
s n g ( ) 1x a x a
In Maple,
s i g n u )sn (g mx x?
plot(signum(x),x=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
The following Maple command will plot the
graph of the signum function.
例 10 取整函数
( ),f x x?
w h e r e is th e l a r g e s t
in te g e r l e s s o r e q u a l to
x
x
2,5?
2
2,5
2
xx
n
1n?
2?
2
1
3?
2?
2向左取整
Properties of the integer function
,xR 1x x x
xx
1x?
,xR i s a n i n t e g e r i f f x x x?
1.
2.
i f f = i f a n d o n l y i f
September,2004with(plots):
plot(floor(x),x=-5..5,y=-3.1..3.1,color=red,thickness=2,style=line);
()f x x?
阶梯函数 错在哪里？
Step function
Animation
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()f x x? 是分段函数：
( ),1f x x n n x n
( 0,1,2,.,,)n
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2,函数的几种特性
(1) 有界性 (bounded function)
设 X?Df
函数 f(x) 在 X上有界：
0 s u c h t h a tM
( ) ( )f x M x X
或
( ) ( )M f x M x X
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()y f x?
X
M
M?
函数 f(x) 在 X上有界
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函数 f(x) 在 X上有界：
()0 ( )()fxM M x X
如何描述函数 f(x) 在 X上无界？
这是一个逻辑问题。
不存在 M>0,使得再说得明确一点：
对于任何 M>0,
,( )x X f x M使 得
0,,( )M x X f x M都 有或
,( )x X f x M都 有
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函数 f(x) 在 X上有界：
f(x) 在 X上无界：
对于任何 M>0,
,( )x X f x M使 得
0,( ( ) )M x X f x M
f(x) 在 X上无界：
0,( )M x X f x M（ ）
比较这两个定义：你发现什么有趣的现象？
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( (,) )y x P x y
命题：
否命题：
( n o t (,) )y x P x y
n o t ( ( (,) ) )y x P x y ( n o t (,) )y x P x y
( ( (,) ) )y x P x y ( (,) )y x P x y
( ( (,) ) )y x P x y ( (,) )y x P x y
同理
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函数 f(x) 在 X上有界：
0 s u c h t h a tM ( ) ( )M f x M x X
命题：
函数 f(x) 在 X上有界当且仅当存在两个数 A 和
B，使得
( ) ( )A f x B x X
A 和 B 分别称为 f(x) 在 X 上的 下界 和 上界 。
上界,upper bound 下界,lower bound
习题 15,p.22 证明：见,学习指导,例 1.11,p.9
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()y f x?
X
B
A
函数 f(x) 在 X上有界
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例函数 y = sinx 在 (–∞,+∞)上有界。
因为存在 M＝ 2，使得
s in 2x?
问,(1) 这个 M是否唯一？
(2) 这个 M是否有一个最大的？
(3) 这个 M是否有一个最小的？
当然，可以取 M＝ 1,或任何 M>1
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plot(sin(x),x=-10..10,y=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
s inyx?
s in 1x?
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例 证明：
函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
解 因为存在 M=1,使得
11
1M
xx
( 1 )x
所以 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界。
又见教材,p.42,习题 6,7
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证明：
函数 y =1/x 在（ 0,1） 上无界。
1
M
x
0M
令? 1
x
M
0
1
( 0,1 )
1
x
M
0
1
1MM
x
所以 y =1/x 在 (0,1)上无界。
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函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
1y
x
plot(1/x,x=0.01..5,y=0..5,thickness=3,scaling=constrained,tickmarks=[5,5]);
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函数 y =1/x 在（ 0,1]上无界,
1y
x
M?
0
1
1
x
M
0
1
M
x
0x
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函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
1y
x
plot(1/x,x=0.01..5,y=0..5,thickness=3,scaling=constrained,tickmarks=[5,5]);
此例表明：函数的有界性与集合 X 有关。
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常见的有界函数（在其定义域内有界）：
sin x
cos x
s i n 1x?
c o s 1x?
arct an x
ar c co t x
a r c ta n
22
x
0 a r c c ot x
2
1
1 x? 2
1
01
1 x
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注意：
plot(sin(x),x=-5..10,y=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
1
sin
x
3
a r c ta n
1 x?
也有界：
1
s i n 1
x
3
a r c t a n
12x
外函数有界，复合函数也有界。
2s i n ( 3 1 )x?
2s i n ( 3 1 ) 1x
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几个重要的无界函数：
s i ny x x?
在 (–∞,+∞)内无界
c o sy x x?
11
siny
xx
在 (1,+∞)内有界，在 (0,1)内无界。
,学习指导,例 1.12,p.10
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(2) 单调性
(3) 奇偶性
(4) 周期性
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例 10 Dirichlet 函数
1,i f i s a r a t i o n a l n u m b e r
()
0,i f i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r
x
Dx
x
例
( 2,3 ) 1D?
( ) 0D ( 2 ) 0D?
15
( ) 1
32
D
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Dirichlet 函数是,很糟糕,的函数因为它有很多,糟糕,的性质首先，它没有图形：
我们无法作出它的图形，它的图形是处处间断的。
其次，它是没有最小正周期的周期函数：
每一个有理数都是函数的周期
……..
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5,初等函数基本初等函数
(1) 幂函数 (Power function)
yx R
常见的幂函数：
yx? 2yx?
yx?
3yx?
3yx?
1
y
x
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yx?
2yx?
yx?
plot([x,x^2,x^(1/2)],x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,color=[brown,red,blue],thickness=3);
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with(plots):
A:=implicitplot(y=x^3,x=-3..3,y=-3..3,color=red,thickness=3,scaling=constrained):
B:=implicitplot(x=y^3,x=-3..3,y=-3..3,color=blue,thickness=3,scaling=constrained):
3yx?
3yx?
September,2004
1
y
x
A:=plot(1/x,x=0..4,y=-4..4,scaling=constrained,thickness=3):
B:=plot(1/x,x=-4..0,y=-4..4,scaling=constrained,thickness=3):
display(A,B);
September,2004
注：幂函数的反函数仍为幂函数：
yx
1
xy
1
yx yx
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(2) 指数函数 (Exponential function)
xya? ( 0,1 )aa
常见的指数函数：
xye? ( 2,7 1 8 2 8,,,)e?
10 xy?
2 xy?
( 1)a?
September,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
xya?
(0 1 )a
xya?
September,2004plot(exp(x),x=-3..2,y=-0.2..4,scaling=constrained,thickness=3);
xye?
Observe that
lim x
x
e
0?
lim x
x
e
September,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
11
() x xy
ee
Observe that
1
l im x
x e
1
l im 0x
x e
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(3) 对数函数 (Logarithmic function)
l o g ayx? ( 0,1 )aa
常见的对数函数：
lgyx?
lnyx?
( 1)a?
常用对数自然对数本课程不常用本课程常用
September,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
(0 1 )a
l o g ayx?
l o g ayx?
September,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
lnyx?
0
li m ln
x
x
l i m l n
x
x
Observe that
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(4) 三角函数 (Trigonometric function)
September,2004
s inyx? c o syx?
t a nyx? sin
c o s
x
x
c otyx? c o s
sin
x
x
1
ta n x
s e cyx? 1
c o s x
c s cyx? 1
s i n x
September,2004
plot([sin(x),cos(x)],x=-5..10,y=-2..2,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
s inyx? c o syx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(tan(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(tan(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(tan(x),x=2*Pi-Pi/2+a..2*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
t a nyx?
September,2004
with(plots):a:=0.02:
A:=plot(cot(x),x=0*Pi+a..1*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(cot(x),x=-1*Pi+a..1*Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(cot(x),x=1*Pi+a..2*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(cot(x),x=2*Pi+a..3*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
c otyx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(sec(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(sec(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(sec(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(sec(x),x=2*Pi-Pi/2+a..2*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
s e cyx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(csc(x),x=0*Pi+a..1*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(csc(x),x=-1*Pi+a..1*Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(csc(x),x=1*Pi+a..2*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(csc(x),x=2*Pi+a..3*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
c s cyx?
September,2004
A:=plot(sin(x),x=-Pi..Pi,y=-2..2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):
B:=plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-2..2,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(B,A);
(4) 反三角函数 (Inverse trigonometric function)
s inyx?
22
x
单调
11y
September,2004
s inyx?
22x
plot([sin(x),x,x=-
1.5..1.5],scaling=constrained,color
=blue,thickness=4);
plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
a r c s i nxy?
a r c s i nyx?
11x
11y 22
y
11y
September,2004
s inyx?
with(plots):
A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(A,B);
a r c s i nyx?
September,2004
A:=plot(sin(x),x=-Pi..Pi,y=-2..2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):
B:=plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-2..2,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(B,A);
c o syx? 0 x
单调
11y
September,2004
c o syx?
0 x
plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=con
strained,color=blue,thickness=4);
plot(cos(x),x=0..Pi,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
ar cc o sxy? ar cc o syx?
11x
11y 0 y
11y
September,2004
c o syx?
with(plots):
A:=plot([x,cos(x),x=0..Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
ar cc o syx?
September,2004
a:=0.01:
plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);
t a nyx?
22
x
单调
y
September,2004
plot([tan(x),x,x=-
1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thic
kness=3);
t a nyx a r c ta nxy? a r c ta nyx?
22x
y
y x
22y
September,2004
t a nyx?
with(plots):
A:=plot([x,tan(x),x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([tan(x),x,x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
a r c ta nyx?
September,2004
c otyx?
with(plots):
A:=plot([x,tan(x),x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([tan(x),x,x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
a r c c o tyx?
0 x
y
0 y
x
September,2004
with(plots):plot([arctan(x),Pi/2,-Pi/2],x=-5..5,y=-
2..2,color=[red,blue,blue],thickness=[3,1,1],tickma
rks=[4,2],scaling=constrained);
a r c ta nyx?
a r c c o tyx?
with(plots):plot([arccot(x),Pi,0],x=-5..5,y=-
1..4,color=[red,blue,blue],thickness=[3,1,1],tickma
rks=[4,2],scaling=constrained);
l im a r c ta n
2x
x
l i m a r c t a n
2x
x
September,2004
初等函数：
由常数和基本初等函数经过 有限次 四则运算和复合，并且 能用一个公式 表示的函数。
1
2s i n ( 1 ) 5 xy x x e
2 1l n ( c o s )
1
x
yx
x
September,2004
注意：分段函数一般不是初等函数，因为它一般不能用一个公式表示。
,0
1,0
sin
x
xx
y x
x
[ ],1y x n n x n
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
,0
,0
x
xx
y
x
但是
2x
1.1 映射与函数
Mappings and functions
September,2004
一、集合 (Set)
1.集合概念
2,集合的运算
September,2004
{ (,) | a n d }A B a b a A b B
B
A
AB?
A与 B 的直积
(,)abb
a
Direct product
直积也称为 笛卡儿积 (Cartesian product)
September,2004
,A B?
例 设
{,,}A a b c? {,}Bx y?
求
,B A? BB?
解
A B? {? (,),a x (,),a y (,),b x (,),b y (,),c x (,)}c y
B A? {? (,),x a (,),y a (,),x b (,),y b (,),x c (,)}y c
BB? {? (,),xx (,),xy (,),yx (,)}yy
September,2004
2R R R the real plane
the set of all pairs (a,b) of real numbers
2R { (,) |,R }a b a b
2R R R
(,)ab
a
b
September,2004
{ (,,) |,,}A B C a b c a A b B c C
3R R R R the real space
the set of all triples (a,b,c) of real numbers
3R { (,,) |,,R }a b c a b c
3R R R R
Similarly
September,2004
3,区间与邻域
September,2004
邻域（ neighborhood）
00(,) { | }U x x x x
00{ | }x x x x
00(,)xx
0x 0x0x
x
0 R,0x设 0x?点 的 邻 域
September,2004
二、映射 (Mapping)
1,映射的概念设 X,Y 是集合。
,xX若,yY唯 一 的 使 得
:f x y?
则称 f 为 X 到 Y 的一个映射 。
记
()y f x?
September,2004
X
Y
x
y
f
x
f
()y f x?
September,2004
:f X Y?
fDX?
( ) { ( ) | }fR f X f x x X
定义域 (Domain):
值域 (Range):
对应法则 (Rule),f
September,2004
f
The rule
X
Y
Range
Domain
y
x
September,2004
X
Y
x? y?
f
满射 (Surjection)
,yY
:f X Y?
xX ()f x y?
Y 中每一个元素都是映射 f 的像。
September,2004
X Y
f
满射 (Surjection)
:f X Y?
Y 中每一个元素都是映射 f 的像。
()fX
September,2004
X Y
f
非满射
:f X Y?
()fX
yY xX ()y f x?
y
x
September,2004
X
Y
a
()fa
f
单射 (Injection)
,a b X
:f X Y?
( ) ( )f a f b?
不同的元有不同的像。
ab?
b ()fb
()fX
September,2004
非单射
:f X Y?
,a b X b u t ( ) ( )f a f b?
X
Y
a
()fa
f
至少存在两个不同的元素有相同的像。
b
()fb?
ab?
September,2004
X Y
a
()fa
f
b ()fb
双射 (Bijection)
:f X Y?
既单又满的映射称为双射，或 1-1映射
()fX
单射 ＋满射 ＝双射
September,2004
X
Y
f
:f X Y?若 是 单 射
a
()fa
b ()fb
()fX
,( )f X f X?则 是 双 射注意：
September,2004
Y
X
a
()fa
f
b ()fb
()fX
若 f,X?Y 是单射，则 f,X?Y 可逆。
逆映射 f -1,f(X)?X
( ),y f X xX唯 一 的
1,f y x
()f x y?
September,2004
Y
X
x
y
f
()fX
1,f y x
1f?
1 ()x f y ()y f x?
逆映射：
September,2004
三、函数 (Function)
1,函数的概念函数是数集 X 到数集 R 的映射：
:f X R?
其中 X?R。
记
()y f x?
设
:f x y?
September,2004
:f X Y?
fDX?
( ) { ( ) | }fR f X f x x X
定义域 (Domain):
值域 (Range):
对应法则 (Rule),f
September,2004
()y f x?
fD
fR
x
y
September,2004
函数的图形 (The graph of a function)
:f X R?
{ (,( ) ) | }fG x f x x D
September,2004
()y f x?
fD
fR
x
()fx
(,( ))x f x
G
{ (,( ) ) | }fG x f x x D
September,2004
反函数 (Inverse Functions)
若函数 y=f(x) 是单映射：
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
则函数 f 可逆，逆映射（反函数）：
1 ()x f y
其中 ()y f x?
推论：单调函数有反函数。
September,2004
若 y=f(x)是区间 I 上的单调函数，则反函数
x=f -1(y)是区间 J=f(I) 上的单调函数。
:f x y? 1,f y x
()y f x?
I
J
x
y
1 ()x f y
September,2004
Lemma 1 (Existence of an Inverse Function)
A function has an inverse if and only if the
function is one-to-one on its domain.
()fx
()fx
Invertible functions,function is one-to-one
September,2004
()fx
Non-invertible functions:
function is not one-to-one
()fx
September,2004
函数举例 (Examples of Functions)
例 2yx? ()x
2:f x x?
不是单映射（不是单调函数）
plot(x^2,x=-2..2,y=-.1..4.2,thickness=3,scaling=constrained);
没有反函数（作为一个整体）
y
x? x
September,2004
2 ( 0 )y x x
但是
plot([x^(1/2),x^2],x=0..4,y=0..4,color=[blue,red],thickness=3,scaling=constrained);
是单调函数，有反函数
xy?
或 yx?
yx?
2yx?
September,2004
2 ( 0 )y x x
with(plots):
A:=plot(x^2,x=-4..4,y=-4..4,thickness=3,scaling=constrained):
B:=plot(-x^(1/2),x=0..4,y=-4..4,thickness=3,color=blue,scaling=constrained):
display(A,B);
也是单调函数，有反函数
xy
或 yx
yx
2yx?
September,2004
例 3yx? ()x
3:f x x?
是单映射（因为是单调函数）
有反函数：
1
3xy? 或 3yx?
plot(x^3,x=-2..2,y=-4..4,thickness=3,scaling=constrained);
September,2004
with(plots):
A:=plot([x,x^3,x=-1.5..1.5],color=red,thickness=3,scaling=constrained):
B:=plot([x^3,x,x=-1.5..1.5],color=blue,thickness=3,scaling=constrained):
display(A,B);
3yx?
3yx?
September,2004
例 6 绝对值函数
yx?
O
yx?yx
0x?x
0x?x?
(The absolute value function)
September,2004
t h e d i s t a n c e b e t w e e n a n d 0xx?
t h e d i s t a n c e b e t w e e n a n d x a x a
0 x
x
xa
xa?
0x x x
性质：
September,2004
In Maple,Matlab:
a b s ( )xx?
absolute valueNote:
plot(abs(x),x=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
The following Maple command will plot the
graph of the absolute value function.
例 7 符号函数
1
s g n 0
1
yx
s g n ( 3 ) 1? s g n ( 2,3 ) 1 s g n (0 ) 0?
if 0x?
if 0x?
if 0x?
The signum function
The sign function
September,2004with(plots):
plot(signum(x),x=-5..5,y=-
( ) 1fx?
( ) 1fx
( 0 ) 0f?
( ) s g nf x x?
s g nx x x
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
性质：
s g nx x x
0 s n g 1xx
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
性质：
0 s n g 1xx
s n g ( ) 1x a x a
In Maple,
s i g n u )sn (g mx x?
plot(signum(x),x=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
The following Maple command will plot the
graph of the signum function.
例 10 取整函数
( ),f x x?
w h e r e is th e l a r g e s t
in te g e r l e s s o r e q u a l to
x
x
2,5?
2
2,5
2
xx
n
1n?
2?
2
1
3?
2?
2向左取整
Properties of the integer function
,xR 1x x x
xx
1x?
,xR i s a n i n t e g e r i f f x x x?
1.
2.
i f f = i f a n d o n l y i f
September,2004with(plots):
plot(floor(x),x=-5..5,y=-3.1..3.1,color=red,thickness=2,style=line);
()f x x?
阶梯函数 错在哪里？
Step function
Animation
September,2004
()f x x? 是分段函数：
( ),1f x x n n x n
( 0,1,2,.,,)n
September,2004
2,函数的几种特性
(1) 有界性 (bounded function)
设 X?Df
函数 f(x) 在 X上有界：
0 s u c h t h a tM
( ) ( )f x M x X
或
( ) ( )M f x M x X
September,2004
()y f x?
X
M
M?
函数 f(x) 在 X上有界
September,2004
函数 f(x) 在 X上有界：
()0 ( )()fxM M x X
如何描述函数 f(x) 在 X上无界？
这是一个逻辑问题。
不存在 M>0,使得再说得明确一点：
对于任何 M>0,
,( )x X f x M使 得
0,,( )M x X f x M都 有或
,( )x X f x M都 有
September,2004
函数 f(x) 在 X上有界：
f(x) 在 X上无界：
对于任何 M>0,
,( )x X f x M使 得
0,( ( ) )M x X f x M
f(x) 在 X上无界：
0,( )M x X f x M（ ）
比较这两个定义：你发现什么有趣的现象？
September,2004
( (,) )y x P x y
命题：
否命题：
( n o t (,) )y x P x y
n o t ( ( (,) ) )y x P x y ( n o t (,) )y x P x y
( ( (,) ) )y x P x y ( (,) )y x P x y
( ( (,) ) )y x P x y ( (,) )y x P x y
同理
September,2004
函数 f(x) 在 X上有界：
0 s u c h t h a tM ( ) ( )M f x M x X
命题：
函数 f(x) 在 X上有界当且仅当存在两个数 A 和
B，使得
( ) ( )A f x B x X
A 和 B 分别称为 f(x) 在 X 上的 下界 和 上界 。
上界,upper bound 下界,lower bound
习题 15,p.22 证明：见,学习指导,例 1.11,p.9
September,2004
()y f x?
X
B
A
函数 f(x) 在 X上有界
September,2004
例函数 y = sinx 在 (–∞,+∞)上有界。
因为存在 M＝ 2，使得
s in 2x?
问,(1) 这个 M是否唯一？
(2) 这个 M是否有一个最大的？
(3) 这个 M是否有一个最小的？
当然，可以取 M＝ 1,或任何 M>1
September,2004
plot(sin(x),x=-10..10,y=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
s inyx?
s in 1x?
September,2004
例 证明：
函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
解 因为存在 M=1,使得
11
1M
xx
( 1 )x
所以 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界。
又见教材,p.42,习题 6,7
September,2004
证明：
函数 y =1/x 在（ 0,1） 上无界。
1
M
x
0M
令? 1
x
M
0
1
( 0,1 )
1
x
M
0
1
1MM
x
所以 y =1/x 在 (0,1)上无界。
September,2004
函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
1y
x
plot(1/x,x=0.01..5,y=0..5,thickness=3,scaling=constrained,tickmarks=[5,5]);
September,2004
函数 y =1/x 在（ 0,1]上无界,
1y
x
M?
0
1
1
x
M
0
1
M
x
0x
September,2004
函数 y =1/x 在 [1,+∞) 上有界,在（ 0,1]上无界。
1y
x
plot(1/x,x=0.01..5,y=0..5,thickness=3,scaling=constrained,tickmarks=[5,5]);
此例表明：函数的有界性与集合 X 有关。
September,2004
常见的有界函数（在其定义域内有界）：
sin x
cos x
s i n 1x?
c o s 1x?
arct an x
ar c co t x
a r c ta n
22
x
0 a r c c ot x
2
1
1 x? 2
1
01
1 x
September,2004
注意：
plot(sin(x),x=-5..10,y=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);
1
sin
x
3
a r c ta n
1 x?
也有界：
1
s i n 1
x
3
a r c t a n
12x
外函数有界，复合函数也有界。
2s i n ( 3 1 )x?
2s i n ( 3 1 ) 1x
September,2004
几个重要的无界函数：
s i ny x x?
在 (–∞,+∞)内无界
c o sy x x?
11
siny
xx
在 (1,+∞)内有界，在 (0,1)内无界。
,学习指导,例 1.12,p.10
September,2004
(2) 单调性
(3) 奇偶性
(4) 周期性
September,2004
例 10 Dirichlet 函数
1,i f i s a r a t i o n a l n u m b e r
()
0,i f i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r
x
Dx
x
例
( 2,3 ) 1D?
( ) 0D ( 2 ) 0D?
15
( ) 1
32
D
September,2004
Dirichlet 函数是,很糟糕,的函数因为它有很多,糟糕,的性质首先，它没有图形：
我们无法作出它的图形，它的图形是处处间断的。
其次，它是没有最小正周期的周期函数：
每一个有理数都是函数的周期
……..
September,2004
5,初等函数基本初等函数
(1) 幂函数 (Power function)
yx R
常见的幂函数：
yx? 2yx?
yx?
3yx?
3yx?
1
y
x
September,2004
yx?
2yx?
yx?
plot([x,x^2,x^(1/2)],x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,color=[brown,red,blue],thickness=3);
September,2004
with(plots):
A:=implicitplot(y=x^3,x=-3..3,y=-3..3,color=red,thickness=3,scaling=constrained):
B:=implicitplot(x=y^3,x=-3..3,y=-3..3,color=blue,thickness=3,scaling=constrained):
3yx?
3yx?
September,2004
1
y
x
A:=plot(1/x,x=0..4,y=-4..4,scaling=constrained,thickness=3):
B:=plot(1/x,x=-4..0,y=-4..4,scaling=constrained,thickness=3):
display(A,B);
September,2004
注：幂函数的反函数仍为幂函数：
yx
1
xy
1
yx yx
September,2004
(2) 指数函数 (Exponential function)
xya? ( 0,1 )aa
常见的指数函数：
xye? ( 2,7 1 8 2 8,,,)e?
10 xy?
2 xy?
( 1)a?
September,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
xya?
(0 1 )a
xya?
September,2004plot(exp(x),x=-3..2,y=-0.2..4,scaling=constrained,thickness=3);
xye?
Observe that
lim x
x
e
0?
lim x
x
e
September,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
11
() x xy
ee
Observe that
1
l im x
x e
1
l im 0x
x e
September,2004
(3) 对数函数 (Logarithmic function)
l o g ayx? ( 0,1 )aa
常见的对数函数：
lgyx?
lnyx?
( 1)a?
常用对数自然对数本课程不常用本课程常用
September,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
(0 1 )a
l o g ayx?
l o g ayx?
September,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
lnyx?
0
li m ln
x
x
l i m l n
x
x
Observe that
September,2004
(4) 三角函数 (Trigonometric function)
September,2004
s inyx? c o syx?
t a nyx? sin
c o s
x
x
c otyx? c o s
sin
x
x
1
ta n x
s e cyx? 1
c o s x
c s cyx? 1
s i n x
September,2004
plot([sin(x),cos(x)],x=-5..10,y=-2..2,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
s inyx? c o syx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(tan(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(tan(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(tan(x),x=2*Pi-Pi/2+a..2*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
t a nyx?
September,2004
with(plots):a:=0.02:
A:=plot(cot(x),x=0*Pi+a..1*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(cot(x),x=-1*Pi+a..1*Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(cot(x),x=1*Pi+a..2*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(cot(x),x=2*Pi+a..3*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
c otyx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(sec(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(sec(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(sec(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(sec(x),x=2*Pi-Pi/2+a..2*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
s e cyx?
September,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(csc(x),x=0*Pi+a..1*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(csc(x),x=-1*Pi+a..1*Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(csc(x),x=1*Pi+a..2*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
E:=plot(csc(x),x=2*Pi+a..3*Pi-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
display(A,B,C,E);
c s cyx?
September,2004
A:=plot(sin(x),x=-Pi..Pi,y=-2..2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):
B:=plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-2..2,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(B,A);
(4) 反三角函数 (Inverse trigonometric function)
s inyx?
22
x
单调
11y
September,2004
s inyx?
22x
plot([sin(x),x,x=-
1.5..1.5],scaling=constrained,color
=blue,thickness=4);
plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
a r c s i nxy?
a r c s i nyx?
11x
11y 22
y
11y
September,2004
s inyx?
with(plots):
A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(A,B);
a r c s i nyx?
September,2004
A:=plot(sin(x),x=-Pi..Pi,y=-2..2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):
B:=plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-2..2,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(B,A);
c o syx? 0 x
单调
11y
September,2004
c o syx?
0 x
plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=con
strained,color=blue,thickness=4);
plot(cos(x),x=0..Pi,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
ar cc o sxy? ar cc o syx?
11x
11y 0 y
11y
September,2004
c o syx?
with(plots):
A:=plot([x,cos(x),x=0..Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
ar cc o syx?
September,2004
a:=0.01:
plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);
t a nyx?
22
x
单调
y
September,2004
plot([tan(x),x,x=-
1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thic
kness=3);
t a nyx a r c ta nxy? a r c ta nyx?
22x
y
y x
22y
September,2004
t a nyx?
with(plots):
A:=plot([x,tan(x),x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([tan(x),x,x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
a r c ta nyx?
September,2004
c otyx?
with(plots):
A:=plot([x,tan(x),x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([tan(x),x,x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
a r c c o tyx?
0 x
y
0 y
x
September,2004
with(plots):plot([arctan(x),Pi/2,-Pi/2],x=-5..5,y=-
2..2,color=[red,blue,blue],thickness=[3,1,1],tickma
rks=[4,2],scaling=constrained);
a r c ta nyx?
a r c c o tyx?
with(plots):plot([arccot(x),Pi,0],x=-5..5,y=-
1..4,color=[red,blue,blue],thickness=[3,1,1],tickma
rks=[4,2],scaling=constrained);
l im a r c ta n
2x
x
l i m a r c t a n
2x
x
September,2004
初等函数：
由常数和基本初等函数经过 有限次 四则运算和复合，并且 能用一个公式 表示的函数。
1
2s i n ( 1 ) 5 xy x x e
2 1l n ( c o s )
1
x
yx
x
September,2004
注意：分段函数一般不是初等函数，因为它一般不能用一个公式表示。
,0
1,0
sin
x
xx
y x
x
[ ],1y x n n x n
1
s g n 0
1
yx
if 0x?
if 0x?
if 0x?
,0
,0
x
xx
y
x
但是
2x
