October,2004
1.5 极限的运算法则
Limit Laws
October,2004
一、无穷小的性质定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。
l i m 0 a n d l i m 0 l i m ( ) 0
证 设
0
l im ( ) 0
xx
x?
0
l im ( ) 0
xx
x?
欲证
0
l im [ ( ) ( ) ] 0
xx
xx
October,2004
( ) ( )xx
0 要只要
( ) ( )xx ( ) ( )xx
或
()
2
x ()
2
x
()
2
x
1 ()
2
x
1
12m i n {,}
00 xx
( ) ( )xx
October,2004
问题：无限多个无穷小也是无穷小吗？
答：一般不是反例？
1lim 0
n n
1 1 1...
n n n
n个
1? 0?
1
n
是无穷小但 不是无穷小
October,2004
定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
li m 0 l i m ( ) 0fx
证 设
()f x M?
0
l im ( ) 0
xx
x?
欲证
0
l im ( ) ( ) 0
xx
f x x?
01( 0 )xx
()f x M?
October,2004
( ) ( )f x x
0 要只要
( ) ( )f x x
或
()x
M
()x
M
2
12m i n {,}
00 xx
( ) ( )f x x
( ) ( )f x x ()Mx
01( 0 )xx
October,2004
例 计算极限
0
1l i m s i n
x
x
x?
解
0
lim
x
x
0? x 是无穷小
1
sin
x
1?又 函数 sin(1/x) 有界所以
0
1m inli s
x
x
x?
0?
有界函数与无穷小的乘积是无穷小注意：极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在
October,2004
0
1sinl i m 0
x
x
x?
with(plots):
A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=-
0.5..1.1,thickness=2,style=line):
B:=plot({x,-x},x=-1..1,y=-0.5..1.1,color=blue,thickness=2):
0
1l i m s i n
x x?
不存在
October,2004
定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论 1 常数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
October,2004
问,无穷大是否有类似的性质？
(1) 两个无穷大的和也是无穷大以下命题成立？
(2) 两个无穷大的积也是无穷大答：
(1) 是错的； 反例？
(2) 成立，证明？
October,2004
二、极限的四则运算法则定理 3 设
(im )l f x A? (im )l g x B?
则我们有以下运算法则：
(1)
()l i m ()[]fx gx? ()l i m l i )m (x xf g
BA
(2)
()l i m ()[]fx gx? ()l i m l i )m (x xf g
BA
(3)
(
im
)
(l )fx
gx
()l im
l im ()
fx
gx
B
A? ( 0 )B?
October,2004
(im )l f x A? (im )l g x B?
证 由第四节，定理 1（极限与无穷小的关系）
(im )l f x A ()f x A
(im )l g x B ()g x B
α,β 是无穷小
(1)
( ) ( )f x g x? ( ) ( )AB
( ) ( )AB
是无穷小
再由第四节，定理 1
()l i m ()[]fx gx?
AB
October,2004
(im )l f x A ()f x A
(im )l g x B ()g x B
α,β 是无穷小
(2)
( ) ( )f x g x? ( ) ( )AB
()A B A B
是无穷小
再由第四节，定理 1 ()l i m ()[]fx gx? AB?
AB
October,2004
(3) 为证
(
im
)
(l )fx
gx B
A? ( 0 )B?
我们先证明：
(
11m
)
li
g x B
以 为例加以证明。
0
1
)
1
m
(
li
xx g x B?
0
(lm )i
xx
g x B
( 0 )B?
()
2
B
gx?
01( 0 )xx
p.3712
()g x B
October,2004
0
1
)
1
m
(
li
xx g x B?
01( 0 )xx12
()g x B
11
()g x B
另一方面
()
()
g x B
B g x
2
2
()g x B
B
得
2
()
2
B
g x B 2
0 12m i n {,}
当
00 xx
就有
11
()g x B
October,2004
(3)
(
im
)
(l )fx
gx B
A? ( 0 )B?
我们已经证明：
(
11m
)
li
g x B
(
l im
()
)
fx
gx
()
()
1
l im fx
gx
1A
B
B
A?
我们的证明分两步走，分散了难度。
October,2004
推论 1
l i m [ ( ) ] l i m ( )c x cf f x?
常数可以提出来推论
1 2 1 2l i m (,,,) l i m l i m,,,l i mnnu u u u u u
1 2 1 2l i m (,,,) l i m l i m,,,l i mnnu u u u u u
l i m [ ( ) ] [ l i m ( ) ]nnf x f x?
推论 2
October,2004
极限的线性性
11 22l i m (,,,)nnu u uc c c
1212l i m l i m,,,l i mn nuucc uc
线性组合的极限＝极限的线性组合
October,2004
三、极限的计算一些基本极限 （ 已经证明 或 不值得一证的 ）
l im CC?
0
0l i mxx xx
0
0l i m
nn
xx
xx
1lim 0
x x
1l i m 0n
x x
0
1l i m
x x?
0
1l im
nx x
l i m
x
x
l i m
x
x
l i m n
x
x
n 是正整数
October,2004
(1) 多项式函数的极限例 1 计算
2
2
l i m ( 3 5 )
x
xx
解
2
2
l i m ( 3 5 )
x
xx
2
2
lim
x
x
2
3 lim
x
x
2
lim 5
x?
22? 32 5? 15?
设
2( ) 3 5P x x x
则
2
l i m ( ) 2()
x
P x P
October,2004
一般地,设多项式函数
1
0 1 1( ),,,
nn
nnP x a x a x a x a
则
0
0l im ( ) ( )xx P x P x
课内练习
32
5
l im( 5 4 2 )
x
x x x
计算
325 5 5 4 5 218
代入即可
October,2004
(2) 有理函数的极限 (x?x0)
()()
()
Pxfx
Qx
有理函数求极限
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
1
0 1 1
1
0 1 1
...
...
mm
mm
nn
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
October,2004
(a)
0( ) 0Qx?
求极限
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
0
()
lim
()xx
Px
Qx?
0
0
l i m ( )
l i m ( )
xx
xx
Px
Qx
0
0
()
()
Px
Qx
代入即可例 2 求 2
22
3 5 2
l im
7 5 1x
xx
xx?
解
2
22
3 5 2
l im
7 5 1x
xx
xx?
2
2
3 2 5 2 2
7 2 5 2 1
4
19
October,2004
(b)
0( ) 0Qx?
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
此时，商的法则不能使用。
例 3 求 2
22
2
l im
4x
xx
x?
解
2
2
l im ( 4 )
x
x
0? 分母趋于 0
同时，
2
2
l im( 2 )
x
xx
0? 分子也趋于 0
分母、分子都是无穷小
October,2004
2
22
2
l im
4x
xx
x?
0()
0
型无 穷 小无 穷 小
2
( 1 ) ( 2 )
l im
( 2 ) ( 2 )x
xx
xx?
因式分解约去趋于 0 的公因式
2
1l im
2x
x
x?
21
22
代入
3
4
这是微积分中很常见的一种极限类型。导数就是这种极限。
October,2004
记住若
l i m ( ) 0f x A l i m ( ) 0gx?
则
()l im
()
fx
gx
这是因为
( ) 0l im 0
()
gx
f x A
无穷小无穷大
October,2004
例
2
23l i m 356x
x a x
xx?
解
2
3
l im( 5 6 ) 0
x
xx
分母趋于 0
设 求 a 的值。
且极限 2
23l i m 56x
x a x
xx?
存在所以必有
2
3
l im ( ) 0
x
x a x
否则原极限应当为无穷大！
2
3
l im ( )
x
x a x
233 a 0? 3a得极限的反问题
October,2004
(3) 有理函数的极限 (x?∞)
()()
()
Pxfx
Qx
有理函数
1
0 1 1
1
0 1 1
...
...
mm
mm
nn
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
求极限
1
0 1 1
1
0 1 1
...
l i m
...
mm
mm
nnx
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
October,2004
例 5 求 32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
解
32l im ( 3 4 2 )
x
xx
极限不存在
32l im ( 7 5 1 )
x
x x x
极限不存在
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
()
型 无 穷 大无 穷 大商的极限法则不能使用
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
()?
型想想,当 x?∞时,在多项式
33 x
的诸项中，哪一项远远大于其它项？ 3x
24 x? 2?
它最厉害
323 4 2xx
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
分子、分母同时除以最大项（最高次幂） x3
3
23
41
3
l i m
5 1 1
7
x
xx
x x x
利用基本极限
1l i m 0
nx x
3 0 0
7000
3
7
October,2004
32
32
4 2 3
l im
5
3
7 17x
xx
x x x
为分子、分母最高次幂的系数之商两个无穷大的比较实际上是它们各自的最大项之间的比较，那些“较小”的无穷大或常数项对结果不起作用。
观察结果：
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
3
7
分子、分母都保留最大项
“抓大头,法
“抓最大项,法
October,2004
例 6 求 2
32
42
l im
7 5 1x
x
x x x
解
2
32
42
l im
7 5 1x
x
x x x
()
型分子的次数低于分母的次数
3
23
41
l i m
5 1 1
7
x
xx
x x x
00
7000
0?
分子、分母同时除以最大项（最高次幂） x3
October,2004
例 7 求
32
2
7 5 1
l im
42x
x x x
x
解 因为
32
2
7 5 1
l im
42x
x x x
x
2
32
42
l im 0
7 5 1x
x
x x x
无穷小所以分子的次数高于分母的次数无穷小的倒数为无穷大
October,2004
总结：
1
0 1 1
1
0 1 1
...
l i m
...
mm
mm
nnx
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
0
0
a
b
if mn?
0 if mn?
if mn?
常用公式
()?
型
October,2004
定理 6 （复合函数的极限运算法则）
设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
1.5 极限的运算法则
Limit Laws
October,2004
一、无穷小的性质定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。
l i m 0 a n d l i m 0 l i m ( ) 0
证 设
0
l im ( ) 0
xx
x?
0
l im ( ) 0
xx
x?
欲证
0
l im [ ( ) ( ) ] 0
xx
xx
October,2004
( ) ( )xx
0 要只要
( ) ( )xx ( ) ( )xx
或
()
2
x ()
2
x
()
2
x
1 ()
2
x
1
12m i n {,}
00 xx
( ) ( )xx
October,2004
问题：无限多个无穷小也是无穷小吗？
答：一般不是反例？
1lim 0
n n
1 1 1...
n n n
n个
1? 0?
1
n
是无穷小但 不是无穷小
October,2004
定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
li m 0 l i m ( ) 0fx
证 设
()f x M?
0
l im ( ) 0
xx
x?
欲证
0
l im ( ) ( ) 0
xx
f x x?
01( 0 )xx
()f x M?
October,2004
( ) ( )f x x
0 要只要
( ) ( )f x x
或
()x
M
()x
M
2
12m i n {,}
00 xx
( ) ( )f x x
( ) ( )f x x ()Mx
01( 0 )xx
October,2004
例 计算极限
0
1l i m s i n
x
x
x?
解
0
lim
x
x
0? x 是无穷小
1
sin
x
1?又 函数 sin(1/x) 有界所以
0
1m inli s
x
x
x?
0?
有界函数与无穷小的乘积是无穷小注意：极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在
October,2004
0
1sinl i m 0
x
x
x?
with(plots):
A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=-
0.5..1.1,thickness=2,style=line):
B:=plot({x,-x},x=-1..1,y=-0.5..1.1,color=blue,thickness=2):
0
1l i m s i n
x x?
不存在
October,2004
定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论 1 常数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
October,2004
问,无穷大是否有类似的性质？
(1) 两个无穷大的和也是无穷大以下命题成立？
(2) 两个无穷大的积也是无穷大答：
(1) 是错的； 反例？
(2) 成立，证明？
October,2004
二、极限的四则运算法则定理 3 设
(im )l f x A? (im )l g x B?
则我们有以下运算法则：
(1)
()l i m ()[]fx gx? ()l i m l i )m (x xf g
BA
(2)
()l i m ()[]fx gx? ()l i m l i )m (x xf g
BA
(3)
(
im
)
(l )fx
gx
()l im
l im ()
fx
gx
B
A? ( 0 )B?
October,2004
(im )l f x A? (im )l g x B?
证 由第四节，定理 1（极限与无穷小的关系）
(im )l f x A ()f x A
(im )l g x B ()g x B
α,β 是无穷小
(1)
( ) ( )f x g x? ( ) ( )AB
( ) ( )AB
是无穷小
再由第四节，定理 1
()l i m ()[]fx gx?
AB
October,2004
(im )l f x A ()f x A
(im )l g x B ()g x B
α,β 是无穷小
(2)
( ) ( )f x g x? ( ) ( )AB
()A B A B
是无穷小
再由第四节，定理 1 ()l i m ()[]fx gx? AB?
AB
October,2004
(3) 为证
(
im
)
(l )fx
gx B
A? ( 0 )B?
我们先证明：
(
11m
)
li
g x B
以 为例加以证明。
0
1
)
1
m
(
li
xx g x B?
0
(lm )i
xx
g x B
( 0 )B?
()
2
B
gx?
01( 0 )xx
p.3712
()g x B
October,2004
0
1
)
1
m
(
li
xx g x B?
01( 0 )xx12
()g x B
11
()g x B
另一方面
()
()
g x B
B g x
2
2
()g x B
B
得
2
()
2
B
g x B 2
0 12m i n {,}
当
00 xx
就有
11
()g x B
October,2004
(3)
(
im
)
(l )fx
gx B
A? ( 0 )B?
我们已经证明：
(
11m
)
li
g x B
(
l im
()
)
fx
gx
()
()
1
l im fx
gx
1A
B
B
A?
我们的证明分两步走，分散了难度。
October,2004
推论 1
l i m [ ( ) ] l i m ( )c x cf f x?
常数可以提出来推论
1 2 1 2l i m (,,,) l i m l i m,,,l i mnnu u u u u u
1 2 1 2l i m (,,,) l i m l i m,,,l i mnnu u u u u u
l i m [ ( ) ] [ l i m ( ) ]nnf x f x?
推论 2
October,2004
极限的线性性
11 22l i m (,,,)nnu u uc c c
1212l i m l i m,,,l i mn nuucc uc
线性组合的极限＝极限的线性组合
October,2004
三、极限的计算一些基本极限 （ 已经证明 或 不值得一证的 ）
l im CC?
0
0l i mxx xx
0
0l i m
nn
xx
xx
1lim 0
x x
1l i m 0n
x x
0
1l i m
x x?
0
1l im
nx x
l i m
x
x
l i m
x
x
l i m n
x
x
n 是正整数
October,2004
(1) 多项式函数的极限例 1 计算
2
2
l i m ( 3 5 )
x
xx
解
2
2
l i m ( 3 5 )
x
xx
2
2
lim
x
x
2
3 lim
x
x
2
lim 5
x?
22? 32 5? 15?
设
2( ) 3 5P x x x
则
2
l i m ( ) 2()
x
P x P
October,2004
一般地,设多项式函数
1
0 1 1( ),,,
nn
nnP x a x a x a x a
则
0
0l im ( ) ( )xx P x P x
课内练习
32
5
l im( 5 4 2 )
x
x x x
计算
325 5 5 4 5 218
代入即可
October,2004
(2) 有理函数的极限 (x?x0)
()()
()
Pxfx
Qx
有理函数求极限
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
1
0 1 1
1
0 1 1
...
...
mm
mm
nn
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
October,2004
(a)
0( ) 0Qx?
求极限
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
0
()
lim
()xx
Px
Qx?
0
0
l i m ( )
l i m ( )
xx
xx
Px
Qx
0
0
()
()
Px
Qx
代入即可例 2 求 2
22
3 5 2
l im
7 5 1x
xx
xx?
解
2
22
3 5 2
l im
7 5 1x
xx
xx?
2
2
3 2 5 2 2
7 2 5 2 1
4
19
October,2004
(b)
0( ) 0Qx?
00
()
l im ( ) l im
()x x x x
Px
fx
Qx
此时，商的法则不能使用。
例 3 求 2
22
2
l im
4x
xx
x?
解
2
2
l im ( 4 )
x
x
0? 分母趋于 0
同时，
2
2
l im( 2 )
x
xx
0? 分子也趋于 0
分母、分子都是无穷小
October,2004
2
22
2
l im
4x
xx
x?
0()
0
型无 穷 小无 穷 小
2
( 1 ) ( 2 )
l im
( 2 ) ( 2 )x
xx
xx?
因式分解约去趋于 0 的公因式
2
1l im
2x
x
x?
21
22
代入
3
4
这是微积分中很常见的一种极限类型。导数就是这种极限。
October,2004
记住若
l i m ( ) 0f x A l i m ( ) 0gx?
则
()l im
()
fx
gx
这是因为
( ) 0l im 0
()
gx
f x A
无穷小无穷大
October,2004
例
2
23l i m 356x
x a x
xx?
解
2
3
l im( 5 6 ) 0
x
xx
分母趋于 0
设 求 a 的值。
且极限 2
23l i m 56x
x a x
xx?
存在所以必有
2
3
l im ( ) 0
x
x a x
否则原极限应当为无穷大！
2
3
l im ( )
x
x a x
233 a 0? 3a得极限的反问题
October,2004
(3) 有理函数的极限 (x?∞)
()()
()
Pxfx
Qx
有理函数
1
0 1 1
1
0 1 1
...
...
mm
mm
nn
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
求极限
1
0 1 1
1
0 1 1
...
l i m
...
mm
mm
nnx
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
October,2004
例 5 求 32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
解
32l im ( 3 4 2 )
x
xx
极限不存在
32l im ( 7 5 1 )
x
x x x
极限不存在
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
()
型 无 穷 大无 穷 大商的极限法则不能使用
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
()?
型想想,当 x?∞时,在多项式
33 x
的诸项中，哪一项远远大于其它项？ 3x
24 x? 2?
它最厉害
323 4 2xx
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
分子、分母同时除以最大项（最高次幂） x3
3
23
41
3
l i m
5 1 1
7
x
xx
x x x
利用基本极限
1l i m 0
nx x
3 0 0
7000
3
7
October,2004
32
32
4 2 3
l im
5
3
7 17x
xx
x x x
为分子、分母最高次幂的系数之商两个无穷大的比较实际上是它们各自的最大项之间的比较，那些“较小”的无穷大或常数项对结果不起作用。
观察结果：
October,2004
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
32
32
3 4 2
l im
7 5 1x
xx
x x x
3
7
分子、分母都保留最大项
“抓大头,法
“抓最大项,法
October,2004
例 6 求 2
32
42
l im
7 5 1x
x
x x x
解
2
32
42
l im
7 5 1x
x
x x x
()
型分子的次数低于分母的次数
3
23
41
l i m
5 1 1
7
x
xx
x x x
00
7000
0?
分子、分母同时除以最大项（最高次幂） x3
October,2004
例 7 求
32
2
7 5 1
l im
42x
x x x
x
解 因为
32
2
7 5 1
l im
42x
x x x
x
2
32
42
l im 0
7 5 1x
x
x x x
无穷小所以分子的次数高于分母的次数无穷小的倒数为无穷大
October,2004
总结：
1
0 1 1
1
0 1 1
...
l i m
...
mm
mm
nnx
nn
a x a x a x a
b x b x b x b
0
0
a
b
if mn?
0 if mn?
if mn?
常用公式
()?
型
October,2004
定理 6 （复合函数的极限运算法则）
设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
