October,2004
1.8 函数的连续性
Continuity
October,2004
一、函数的连续性
()y f x?
x
y
0x
0()fx
()y f x?
在点 x0 的某个邻域内有定义
October,2004
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx 0
()f x x
x?
y?
y 的增量,
00( ) ( )y f x x f x
x 的增量,x?
October,2004
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx
x?
y?
函数的连续性：
当 0x 时，
0y 0l i m 0x y
October,2004
函数的连续性定义
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx
x?
y?
0
l i m 0
x
y
函数 f(x) 在点 x0 处连续?
增量极限形式
October,2004
()y f x?
0x 0x x x
0()fx 0( ) ( )f x f x x
x?
y?
则
0( ) ( )y f x f x
令
0x x x
0x 0xx?
October,2004
函数的连续性定义
0
l i m 0
x
y
函数 f(x) 在点 x0 处连续?
0
0l im [ ( ) ( ) ] 0xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
函数极限形式
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处连续：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
函数极限形式
()y f x?
0x
x
0()fx
()fx
October,2004
函数的连续性的 ε-δ 定义函数 f(x) 在点 x0 处连续
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
00
0,0
,( ) ( )x x x f x f x
October,2004
若函数 f(x) 在点 x0 处连续，则称 x0 为函数的连续点 。
若函数 f(x) 在点 x0 处不连续，则称 x0 为函数的 间断点 。
连续点 x0：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
间断点 x0：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
October,2004
单侧连续左连续,
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
00( 0 ) ( )f x f x 00( ) ( )f x f x
右连续,
0
0l i m ( ) ( )xx f x f x
00( 0 ) ( )f x f x 00( ) ( )f x f x
October,2004
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
左连续但不右连续 右连续但不左连续
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处连续的充分必要条件是：
f(x) 在点 x0 既左连续，又右连续。
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
l im ( )
xx
fx
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
October,2004
多项式函数的连续性
1
0 1 1( ),,,
nn
nnP x a x a x a x a
则
0
0l im ( ) ( )xx P x P x
所以多项式函数处处连续
October,2004
正弦函数的连续性
( ) s i nf x x?
Rx
y? s i n ( ) s i nx x x
2 sin c o s( )
22
xx x
s in s in 2 c o s s in
22
y? 2 s in c o s ( )
22
xx
x
2
2
x?
1? x
函数的增量小于自变量的增量
0
l i m 0
x
y
在 x 处连续( ) s i nf x x?
October,2004
在其定义域内连续( ) s i nf x x?
s inyx?
0
0l im s in s inxx xx
October,2004
在其定义域内连续( ) c o sf x x?
c o syx?
0
0l im c o s c o sxx xx
同理可证余弦函数
October,2004
二、函数的间断点函数 f(x) 在点 x0 处连续须满足三个条件：
由
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
可知：
(2) 极限
(1) f(x) 在点 x0 有定义
0
l i m ( )
xx
fx
存在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
(3) 等式成立：
以上三个条件有一个不满足，则 f(x) 在点 x0 处间断。
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断有三种可能：
或 (2) 极限
(1) f(x) 在点 x0 无定义
0
l i m ( )
xx
fx
不存在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
或 (3),
但在 x0附近有定义
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断的三种可能
f(x) 在 x0 无定义
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在但在 x0附近有定义
0x
()fx
0x
()fx
0()fx
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断的三种可能
f(x) 在 x0 有定义
0
l im ( )
xx
fx
存 在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x但
0x
()fx
0()fx
October,2004
例 讨论绝对值函数的连续性。
,0
()
,0
xx
f x x
xx
解
0x? 时 ()f x x? 在 x 处连续
0x? 时 ()f x x 在 x 处连续
0x? 时 ( 0 ) 0 0f
0
lim ( )
x
fx?
左极限
0
l i m ( )
x
x?
0?
October,2004
0x? 时 ( 0 ) 0 0f
0
lim ( )
x
fx?
左极限
0
l i m ( )
x
x?
0?
右极限
0
lim ( )
x
fx?
0
lim
x
x?
0?
所以极限存在：
0
l i m ( ) 0
x
fx
且
0
l im ( ) 0 ( 0)
x
f x f
所以函数在 x = 0 处连续从而函数处处连续
October,2004
例 1 ( ) t a nf x x?
解
0 2x
( ) t a nf x x? 在
0 2x
处无定义
0 2x
是函数的间断点
2
l i m t a n
x
x
为 无穷间断点
October,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(tan(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(tan(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
t a nyx?
2
October,2004
例 2 1
( ) s i nfx
x
解
0 0x?
1( ) s i nfx
x
在
0 0x?
处无定义
0 0x? 是函数的间断点
0
1l i m s i n
x x?
不存在是函数的 振荡间断点
October,2004
1si n ( 1 1 )yx
x
with(plots):plot(sin(1/x),x=-1..1,y=-1.1..1.1,color=red,thickness=2,style=line);
October,2004
1si n ( 0.1 0.1 )yx
x
October,2004
1
s i n y
x
在原点附近无限振荡
sin(1_x)的无限振荡性
October,2004
例 3 2 1
()
1
xfx
x
解
0 1x?
在
0 1x?
处无定义
0 1x?
是函数的间断点是函数的 可去间断点
2 1
()
1
xfx
x
2
1
1l im
1x
x
x?
1
( 1 ) ( 1 )l im
1x
xx
x?
1
l i m ( 1 )
x
x
2?
October,2004
1
2
2 1
11xyxx
补充定义：
1
( 1 ) l i m ( ) 2
x
f f x
则
()fx
2 1
,1
1
x x
x
2,1x?
在 x = 1处连续。 间断点被去掉了
October,2004
例 4
可去间断点自学
October,2004
例 5
1,0
( ) 0,0
1,0
xx
f x x
xx
0 0x?
0
l im ( )
x
fx?
0
l i m ( 1 )
x
x?
1
0
l im ( )
x
fx?
0
l i m ( 1 )
x
x?
1?
0
l i m ( )
x
fx
不存在 x = 0 为间断点
October,2004
1,0
( ) 0,0
1,0
xx
f x x
xx
0 0x?
1
1?
O
1yx
1yx
x = 0 为 跳跃间断点
October,2004
设点 x0 是函数 f(x) 的间断点间断点的分类第一类间断点,
左、右极限都存在的间断点
0( 0 )fx?
0( 0 )fx?
存在
可去间断点,左、
右极限相等的间断点
0
l i m ( )xx fx? 存 在跳跃间断点,左、
右极限不相等的间断点
00( 0 ) ( 0 )f x f x
0x
()fx
0x
()fx
0()fx
October,2004
第二类间断点,
左、右极限至少有一个不存在的间断点
无穷间断点,
0
l i m ( )
xx
fx
=
振荡间断点,
1s i ny
x
…….
0x
()fx
October,2004
例 求函数的间断点并指出 间断点的类型
1( ) s i nf x x
x
解 在
0 0x?
处无定义
0 0x?
是函数的间断点是函数的第一类间断点可去间断点
1( ) s i nf x x
x
0
1l i m s i n
x
x
x?
0?
October,2004
0
1sinl i m 0
x
x
x?
with(plots):
A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=-
补充定义可以去掉间断点：
0
1( 0 ) l i m s i n 0
x
fx
x?
0
1
s in 0
()
0
xx
fx x
x
在 x = 0 连续。
1.8 函数的连续性
Continuity
October,2004
一、函数的连续性
()y f x?
x
y
0x
0()fx
()y f x?
在点 x0 的某个邻域内有定义
October,2004
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx 0
()f x x
x?
y?
y 的增量,
00( ) ( )y f x x f x
x 的增量,x?
October,2004
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx
x?
y?
函数的连续性：
当 0x 时，
0y 0l i m 0x y
October,2004
函数的连续性定义
()y f x?
x
y
0x 0xx
0()fx
x?
y?
0
l i m 0
x
y
函数 f(x) 在点 x0 处连续?
增量极限形式
October,2004
()y f x?
0x 0x x x
0()fx 0( ) ( )f x f x x
x?
y?
则
0( ) ( )y f x f x
令
0x x x
0x 0xx?
October,2004
函数的连续性定义
0
l i m 0
x
y
函数 f(x) 在点 x0 处连续?
0
0l im [ ( ) ( ) ] 0xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
函数极限形式
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处连续：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
函数极限形式
()y f x?
0x
x
0()fx
()fx
October,2004
函数的连续性的 ε-δ 定义函数 f(x) 在点 x0 处连续
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
00
0,0
,( ) ( )x x x f x f x
October,2004
若函数 f(x) 在点 x0 处连续，则称 x0 为函数的连续点 。
若函数 f(x) 在点 x0 处不连续，则称 x0 为函数的 间断点 。
连续点 x0：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
间断点 x0：
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
October,2004
单侧连续左连续,
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
00( 0 ) ( )f x f x 00( ) ( )f x f x
右连续,
0
0l i m ( ) ( )xx f x f x
00( 0 ) ( )f x f x 00( ) ( )f x f x
October,2004
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
左连续但不右连续 右连续但不左连续
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处连续的充分必要条件是：
f(x) 在点 x0 既左连续，又右连续。
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
l im ( )
xx
fx
0x
x
()fx
()fx
()fx
x
()fx
0()fx
October,2004
多项式函数的连续性
1
0 1 1( ),,,
nn
nnP x a x a x a x a
则
0
0l im ( ) ( )xx P x P x
所以多项式函数处处连续
October,2004
正弦函数的连续性
( ) s i nf x x?
Rx
y? s i n ( ) s i nx x x
2 sin c o s( )
22
xx x
s in s in 2 c o s s in
22
y? 2 s in c o s ( )
22
xx
x
2
2
x?
1? x
函数的增量小于自变量的增量
0
l i m 0
x
y
在 x 处连续( ) s i nf x x?
October,2004
在其定义域内连续( ) s i nf x x?
s inyx?
0
0l im s in s inxx xx
October,2004
在其定义域内连续( ) c o sf x x?
c o syx?
0
0l im c o s c o sxx xx
同理可证余弦函数
October,2004
二、函数的间断点函数 f(x) 在点 x0 处连续须满足三个条件：
由
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
可知：
(2) 极限
(1) f(x) 在点 x0 有定义
0
l i m ( )
xx
fx
存在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
(3) 等式成立：
以上三个条件有一个不满足，则 f(x) 在点 x0 处间断。
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断有三种可能：
或 (2) 极限
(1) f(x) 在点 x0 无定义
0
l i m ( )
xx
fx
不存在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
或 (3),
但在 x0附近有定义
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断的三种可能
f(x) 在 x0 无定义
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在但在 x0附近有定义
0x
()fx
0x
()fx
0()fx
October,2004
函数 f(x) 在点 x0 处间断的三种可能
f(x) 在 x0 有定义
0
l im ( )
xx
fx
存 在
0
0l im ( ) ( )xx f x f x但
0x
()fx
0()fx
October,2004
例 讨论绝对值函数的连续性。
,0
()
,0
xx
f x x
xx
解
0x? 时 ()f x x? 在 x 处连续
0x? 时 ()f x x 在 x 处连续
0x? 时 ( 0 ) 0 0f
0
lim ( )
x
fx?
左极限
0
l i m ( )
x
x?
0?
October,2004
0x? 时 ( 0 ) 0 0f
0
lim ( )
x
fx?
左极限
0
l i m ( )
x
x?
0?
右极限
0
lim ( )
x
fx?
0
lim
x
x?
0?
所以极限存在：
0
l i m ( ) 0
x
fx
且
0
l im ( ) 0 ( 0)
x
f x f
所以函数在 x = 0 处连续从而函数处处连续
October,2004
例 1 ( ) t a nf x x?
解
0 2x
( ) t a nf x x? 在
0 2x
处无定义
0 2x
是函数的间断点
2
l i m t a n
x
x
为 无穷间断点
October,2004
with(plots):a:=0.01:
A:=plot(tan(x),x=-Pi/2+a..Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
B:=plot(tan(x),x=-Pi-Pi/2+a..-Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
C:=plot(tan(x),x=1*Pi-Pi/2+a..1*Pi+Pi/2-a,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3):
t a nyx?
2
October,2004
例 2 1
( ) s i nfx
x
解
0 0x?
1( ) s i nfx
x
在
0 0x?
处无定义
0 0x? 是函数的间断点
0
1l i m s i n
x x?
不存在是函数的 振荡间断点
October,2004
1si n ( 1 1 )yx
x
with(plots):plot(sin(1/x),x=-1..1,y=-1.1..1.1,color=red,thickness=2,style=line);
October,2004
1si n ( 0.1 0.1 )yx
x
October,2004
1
s i n y
x
在原点附近无限振荡
sin(1_x)的无限振荡性
October,2004
例 3 2 1
()
1
xfx
x
解
0 1x?
在
0 1x?
处无定义
0 1x?
是函数的间断点是函数的 可去间断点
2 1
()
1
xfx
x
2
1
1l im
1x
x
x?
1
( 1 ) ( 1 )l im
1x
xx
x?
1
l i m ( 1 )
x
x
2?
October,2004
1
2
2 1
11xyxx
补充定义：
1
( 1 ) l i m ( ) 2
x
f f x
则
()fx
2 1
,1
1
x x
x
2,1x?
在 x = 1处连续。 间断点被去掉了
October,2004
例 4
可去间断点自学
October,2004
例 5
1,0
( ) 0,0
1,0
xx
f x x
xx
0 0x?
0
l im ( )
x
fx?
0
l i m ( 1 )
x
x?
1
0
l im ( )
x
fx?
0
l i m ( 1 )
x
x?
1?
0
l i m ( )
x
fx
不存在 x = 0 为间断点
October,2004
1,0
( ) 0,0
1,0
xx
f x x
xx
0 0x?
1
1?
O
1yx
1yx
x = 0 为 跳跃间断点
October,2004
设点 x0 是函数 f(x) 的间断点间断点的分类第一类间断点,
左、右极限都存在的间断点
0( 0 )fx?
0( 0 )fx?
存在
可去间断点,左、
右极限相等的间断点
0
l i m ( )xx fx? 存 在跳跃间断点,左、
右极限不相等的间断点
00( 0 ) ( 0 )f x f x
0x
()fx
0x
()fx
0()fx
October,2004
第二类间断点,
左、右极限至少有一个不存在的间断点
无穷间断点,
0
l i m ( )
xx
fx
=
振荡间断点,
1s i ny
x
…….
0x
()fx
October,2004
例 求函数的间断点并指出 间断点的类型
1( ) s i nf x x
x
解 在
0 0x?
处无定义
0 0x?
是函数的间断点是函数的第一类间断点可去间断点
1( ) s i nf x x
x
0
1l i m s i n
x
x
x?
0?
October,2004
0
1sinl i m 0
x
x
x?
with(plots):
A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=-
补充定义可以去掉间断点：
0
1( 0 ) l i m s i n 0
x
fx
x?
0
1
s in 0
()
0
xx
fx x
x
在 x = 0 连续。
