October,2004
1.6 (1) 极限存在准则
October,2004
一、极限存在准则准则 I （数列的夹逼准则）
设有三个数列：
{}nx {}ny {}nz
若它们满足条件：
（ 1）
n n ny x z
( 1,2,3,.,,)n?
（ 2）
l i m n
n
yA

l i m nn zA
则
l i m n
n
xA

Squeeze Theorem
October,2004
示意图
（ 1）
n n ny x z
( 1,2,3,.,,)n?
（ 2）
l i m n
n
yA

l i m nn zA
则
l i m n
n
xA

An n n
y x z
October,2004
（ 1）
n n ny x z
( 1,2,3,.,,)n?
（ 2）
l i m n
n
yA

l i m nn zA
则
l i m n
n
xA

证明 0
l i m n
n
yA

1N? nA y A
1()nN?
l i m n
n
zA

2N? nA z A
2()nN?
October,2004
l i m n
n
yA

nA y A 1()nN?
l i m n
n
zA

nA z A 2()nN?
0
12m a x {,}N N N
12m a x {,}n N N N
nAy nzAnx
l i m n
n
xA


A
n n ny x z
AA
October,2004
准则 I’ （函数的夹逼准则）
Suppose in a neighbourhood of a,we have
( 1 ) ( ) ( ) ( )g x f x h x
( 2 ) l im ( ) l im ( )x a x ag x h x A
Then we must have
l im ( )xa f x A
This theorem is called the Squeeze Theorem.
October,2004
a
()fx
A
()gx
()hx
Geometrical interpretation of the
Squeeze Theorem
l im ( )
xa
f x A
October,2004
例 证明,
0
l i m co s 1
x
x
解
0
l i m co s 1
x
x
等价于
0
l i m ( 1 c os ) 0
x
x

1 c o s x? 22 s i n
2
x
s i n xx?
22 ( )
2
x
2
1
2
x?
2
0
1
l i m
2x
x
0?
由夹逼准则
0
l i m ( 1 c os ) 0
x
x

0
l i m co s 1
x
x

October,2004
例 求
2 2 2l im (,.,)2n
n n n
n n n n


解
p.56,题 4(2)
2 2 2...2n
n n nx
n n n n


2
n
n
nx 2n
n
...
2
n
nn 2
n
nn?
...?
nx 1?
n
n?
l i m
n
n
n
1?
l i m 1n
n
x


2 2 2l im (,.,) 12n
n n n
n n n n


,学习指导,p.25,例 1.22
October,2004
利用夹逼准则，可以证明下列有用的极限：
l i m 1n
n
n

l i m 1n
n
a

( 0 )a?
l i m 0n
n
n
a
( 1)a?
October,2004
例 证明：
l i m 1n
n
n

证
lim n
n
n

1
lim n
n
n

0()? 型只需证明：
l im ( 1 ) 0n
n
n


令 1n n 1n n ( 0 )
只需证明：
lim 0
n

October,2004
令
1n n 1n n
(1 ) nn 2( 1 )1,..
2!
nnnn
( 0 )
2( 1 )
2!
nnn 2 20
2n

只需证明：
lim 0
n

2l i m
2n n
0? 由夹逼性
2l i m 0
n

lim 0n l i m 1
n
n
n


October,2004
准则 II （数列的单调有界准则）
单调有界数列必有极限。
观察：
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
单调递增 有上界 最小上界：
s u p 1nx?
极限：
l i m
1n
n
n
1? s u p
nx?
上确界
supremum
October,2004
准则 II （数列的单调有界准则）
单调有界数列必有极限。
设 {xn}是递增数列,
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
且 {xn}有上界,M?
nxM? ( 1,2,3,.,,)n?
则 {xn}收敛，且
l i m n
n
xA

s u p nx?
M?
October,2004
2x 4x1x 3x nx
..,M
sup nx
设 {xn}是递增数列,
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
且 {xn}有上界,M?
nxM? ( 1,2,3,.,,)n?
则 {xn}收敛，且
l i m n
n
xA

s u p nx?
M?
October,2004
准则 II （数列的单调有界准则）
单调有界数列必有极限。
设 {xn}是递减数列,
且 {xn}有下界,m?
nxm? ( 1,2,3,.,,)n?
则 {xn}收敛，且
l i m n
n
xA

in f nx?
m?
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
下确界
infimum
October,2004
设 {xn}是递减数列,
且 {xn}有下界,m?
nxm? ( 1,2,3,.,,)n?
则 {xn}收敛，且
l i m n
n
xA

in f nx?
m?
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
inf nx
2x4x 1x3xnx
...m
October,2004
BTW
确界的存在性？
实数的连续性：
有上界的实数集必有 上确界 （ 最小上界 ）。
有下界的实数集必有 下确界 （ 最大下界 ）。
inf nx sup nx
October,2004
设 {xn}是递增数列,
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
且 {xn}无上界：
则 {xn}发散到正无穷大：
l i m n
n
x


2x 4x1x 3x nx
..,
October,2004
设 {xn}是递减数列,
且 {xn}无下界：
则数列发散到负无穷大：
l i m n
n
x


1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
2x4x 1x3xnx
...
October,2004
数列极限的单调有界准则可以用来求一些困难的数列极限：
有时，我们很难判断一个数列的收敛性，但比较容易判定该数列的单调性和有界性，从而知道该数列的收敛性。
October,2004
例 设
1 10x? 216xx
4?
326xx
10?
...
16nnxx
证明数列 {xn}收敛，并求其极限。
证 现在来证明我们的观察
(1) 数列 {xn} 的单调性首先
12xx?
归纳假设
1nnxx
欲证
1nnxx
October,2004
1 10x?
...
16nnxx
证 (1) 数列 {xn} 的单调性首先
12xx?
归纳假设
1nnxx
欲证
1nnxx
事实上
nx 16 nx 6 nx
1nx
所以数列 {xn} 单调递减
October,2004
1 10x?
...
16nnxx
(2) 数列 {xn} 的有界性有界性是显然的，因为
0nx? ( 1,2,3,.,,)n?
由数列的单调有界准则，数列收敛。
设
l i m n
n
xA

0是数列的下界。
16nnxx
2
16nnxx
October,2004
设
l i m n
n
xA

16nnxx
2
16nnxx
2lim
nn x l i m ( 6 )n
n
x


2A 6 A
2 60AA ( 3 ) ( 2 ) 0AA
3A? 2A （舍去）
l i m 3n
n
x


3 是数列的最大下界