September,2004
一、函数极限的定义
2,自变量趋于无穷大时函数的极限
l i m ( )
x
f x A

September,2004
定义 2 （极限
l i m ( )
x
f x A

的定义）
使得当
l i m ( )
x
f x A

是指：
0 0X
xX?
时，就有
()f x A 成立
0,0,,( )X x x X f x A
或
X 定 义
September,2004
0
(,) (,)x X X
()A f x A
0X
换一种说法：
l i m ( ) m e a ns
x
f x A

0,0,,( )X x x X f x A
September,2004
极限 的几何解释
A
()y f x?
A
A
X
yA
yA
0,0,,( )X x x X f x A
X?
l i m ( )x f x A
September,2004
l i m ( )
x
f x A

A
()y f x?
A
A
X
yA
yA
X?
若则水平直线 y = A 为曲线 y = f(x) 的一条水平渐近线 。
September,2004
l i m ( )
x
f x A

若则函数 y = f(x) 在某个集合 { x | |x|>X } 上有界。
p.38,题 9
A
()y f x?
A
A
X
yA
yA
X?
0
(,) (,)x X X
()A f x A
0X
September,2004
例 7 证明极限,1
l im 0
x x
自学
September,2004
例 证明极限,1
l i m?
1x
x
x

分析：
0 要 1
1
1
x
x

只要 2
1x?
2
1x
1
我们要分析
x?
11xx 21x

21x

所以只要或 X?
September,2004
要 1
1
1
x
x

只要
2
1x
21x

证明
0
X?
21X

使得，当
xX?
时，就有
1
1
1
x
x
所以 1
l i m 1
1x
x
x

September,2004
0 2
1X
1l i m 1
1x
x
x

X
0.1 21
0.01 201
0.00034 5883.35
0,0 0 0 0 0 7 2 8 5 7 1 5,2 9
0.001 2001
......,.....
September,2004
1l i m 1
1x
x
x

1
1
xy
x

1y?
with(plots):
A:=plot((x-1)/(x+1),x=-10..-1.1,y=-6..7):
September,2004
极限
l i m ( )
x
f x A

是双向的极限
A
()y f x?
x
()fx()fx
x
September,2004
有时我们限制 x 从正的方向趋于无穷
A
()y f x?
x
()fx()fx
x
l i m ( )
x
f x A

x
September,2004
有时我们限制 x 从负的方向趋于无穷
A
()y f x?
x
()fx()fx
x
l i m ( )
x
f x A

x
September,2004
l i m ( ),
x
f x A

l im ( ),
x
f x A

0
(,) (,)x X X
()A f x A
0X
0
(,) (,)x X X
()A f x A
0X
l im ( ),
x
f x A

0
(,) (,)x X X
()A f x A
0X
September,2004
以下三个极限的之间的关系？
l i m ( )
x
f x A

l i m ( )
x
f x A

l i m ( )x fx
习题 7,p.38
l i m ( )
x
f x A

l i m ( )x f x A l i m ( )x f x A
同学们先想一想命题
September,2004
l i m ( ) l i m ( )
xx
f x f x

l im ( )x fx 不 存 在
推论：
A
()y f x?
B yB?
yA?
September,2004with(plots):plot([arctan(x),Pi/2,-Pi/2],x=-5..5,y=
2..2,color=[red,blue,blue],thickness=[3,1,1],tickma
a r c ta nyx?
l im a r c ta n
2x
x


l i m a r c t a n
2x
x

例如
a r c ta nyx?
因为所以极限
l i m ar ct an
x
x

不存在
September,2004
二、极限的性质定理 1 （极限的唯一性）
如果极限 存在，则极限值是唯一的。 lim ( )fx
September,2004
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
定理 2 （ 收敛函数的局部有界性 ）
若极限 存在，则函数 f(x) 在 x0
的某个邻域内有界。 0
l i m ( )
xx
fx
September,2004
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
定理 3 （收敛函数的局部保号性）
若极限,则函数 f(x) 在 x0
的某个邻域内是正的。 0
l im ( ) 0
xx
fx
即以正数为极限的函数在 x0附近是正的
September,2004
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
定理 3 （收敛函数的局部保号性）
若极限,则函数 f(x) 在 x0
的某个邻域内是负的。 0
l im ( ) 0
xx
fx
即以负数为极限的函数在 x0附近是负的
September,2004
定理 3‘
若极限则在 x0 的某个邻域内
0
l im ( ) 0
xx
f x A

()
2
Afx?
0x
A
()y f x?
2A
0x 0x
3 2A
2
A
问题,f(x) 可不可以大于其他数，如
A/3,9A/10?
Proof?
Just take
September,2004
推论 （收敛函数不等式性质）
若在 x0 的某个邻域内则极限
0
l im ( ) 0
xx
fx
( ) 0fx?
假设极限存在
0x
A
()y f x?
0x 0x
证明？
用反证法，
利用定理 3
非负函数的极限一定非负不可能是负的
September,2004
0x
A
()y f x?
0x 0x
推论 （收敛函数不等式性质）
若在 x0 的某个邻域内则极限
0
l im ( ) 0
xx
fx
( ) 0fx?
非正函数的极限一定非正不可能是正的