October,2004
1.6 (2) 两个 重要极限
October,2004
二、两个重要极限
1,重要极限
0
sin
l i m
x
x
x?
sin
()
x
fx
x
是偶函数
0
sin
l i m
x
x
x?
是 型
0
0
0
sin
l i m?
x
x
x?
October,2004
s i n xy
x
October,2004
sin
()
x
fx
x
0
s i n
l i m 1
x
x
x?
It seems that
October,2004
因为 x?0,设 x 满足
0
2
x
首先假定
0
2
x
October,2004
作图
A O B A O B A O D面 积 扇 形 面 积 面 积由图形可知
1 sin
2
A O B x面 积
21
2
xAOB?
扇 形 面 积
1 t a n
2
AOD x 面 积
O
1
A
B
x
D
1
1
sinx
tanx
2
x?
x 是弧度
October,2004
因此
11sin ta n
2 2 2
xxx
或
si n ta nx x x
( 0 )
2
x
A O B A O B A O D面 积 扇 形 面 积 面 积
1 sin
2
A O B x面 积
2
xAOB?扇 形 面 积
1 t a n
2
AOD x 面 积
O
1
A
B
x
D1
1
sinx
tanx
October,2004
si n ta nx x x
( 0 )
2
x
sinsin
c o s
xxx
x
11
s i n co s
x
xx
sinco s 1xx
x
( 0 )2x
0
2
x
现在设则
0
2
x
于是 s in ( )
c o s ( ) 1xx
x
sinco s 1xx
x
仍有
October,2004
sinco s 1xx
x
( 0 )
2
x
得到因为
0l i m co s 1x x
由夹逼定理，我们得到极限：
0
s i nl i m 1
x
x
x?
我们已经成功地将 sinx/x
夹在 cosx 和 1 之间图形
October,2004
with(plots):M:=4:
A:=plot(sin(x)/x,x=-M..M,y=-1..2):
sinco s 1x x
x
back
October,2004
sin 1x
x
( 0 )2x
注 由得 sin xx?
( 0 )
2
x
sin xx? ( 0 )
2
x
若
2
x
仍有 sin xx?
所以 sin xx?
( 0 )x?
同理 sin xx? ( 0 )x?
s i n xx? ()x R
October,2004
例 求
0
l i m
sinx
x
x?
解
0
l i m
sinx
x
x?
0
0
型
0
1
l i m
s i nx x
x
0
1
s i n
l i m
x
x
x?
1
1
1?
October,2004
例 1 求
0
t a n
l i m
x
x
x?
解
0
t a n
l i m
x
x
x?
0
0
型
0
s i n 1
l i m
co sx
x
xx?
0
s i n 1
l i m
c o sx
x
xx?
11
1
1?
October,2004
with(plots):M:=Pi/2:
A:=plot(tan(x),x=-M..M,y=-5..5):
0
t an
l i m 1
x
x
x?
t a n ( 0 )x x x
October,2004
例 2 求
20
1 co s
l i m
x
x
x?
解
0
0
型
20
1 co s
l i m
x
x
x?
2
2
0
2 s in
2l im
x
x
x?
2
0
sin
1 2
l i m
2
2
x
x
x?
2
0
sin
1 2
l i m
2
2
x
x
x?
21 1
2
1
2
October,2004
20
1 c o s 1
l im
2x
x
x?
0 2
1 c o s
l im
1
2
x
x
x
1?
推论
October,2004
with(plots):M:=5:
A:=plot(1-cos(x),x=-M..M,y=-.51..3):
B:=plot(x^2/2,x=-M..M,y=-.51..3,color=blue):
2
1 c o s (0
2
)
x
x x
0 2
1 c o s
l i m 1
1
2
x
x
x
October,2004
例 求 1
l i m s i n
x
x
x
解 1
l i m s i n
x
x
x
( 0 ) 型
1
s in
l im
1x
x
x
0
()
0
型
1?
或令 1
t
x
x 0t?
0
sin
l i m
t
t
t?
1
l i m s i n
x
x
x
1?
October,2004
with(plots):M:=2:
A:=plot(x*sin(1/x),x=-M..M,y=-1.5..1.5):
B:=plot(1,x=-M..M,y=-1.5..1.5,color=blue):
1
l i m s i n 1
x
x
x
October,2004
例 3 求
0
ar cs i n
l i m
x
x
x?
解令 a r c s in xt?
0x 0t?
0
ar cs i n
l i m
x
x
x?
0()
0
型
sinxt?
0
l i m
sint
t
t?
1?
October,2004
0
a r c sin
l im 1
x
x
x?
( 0 )x?a r c sin x x?
with(plots):M:=1:
y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9:
A:=plot(arcsin(x),x=-M..M,y=y1..y2):
B:=plot(x,x=-M..M,y=y1..y2,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);
October,2004
sin
1
1
l i m 1
x
x
x
0
s i n
l i m 1
x
x
x?
应从本质上认识这个极限
l i m 0 sin
l i m 1
() 0
si ()n
l im 1
()?
,学习指导,p.23
October,2004
课内练习
0
t an 3
l i m
s i n 5x
x
x?
解
0
t an 3
l i m
s i n 5x
x
x? 0
5 ta n 3 3
l im
sin 5 3 5x
xx
xx?
3
11
5
3
5
October,2004
with(plots):M:=20:
y1:=-Pi:y2:=Pi:
A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2):
si
li
n
m0
x
x
x
1y
x
1y
x
October,2004
2,重要极限 1
l im (1 ) x
x x
1
( ) ( 1 ) xfx
x
是幂指函数
1
l im (1 ) x
x x
(1 )
型先考虑数列极限,1
l im (1 ) n
n n
October,2004
1
( 1 ) nnx
n
2
1 ( 1 ) 1
1,.,
2!
nn
n
nn
( 1 ),.,[ ( 1 ) ] 1
...
! k
n n n k
kn
( 1 ),.,[ ( 1 ) ] 1
! n
n n n n
nn
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
October,2004
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
11
1 1 ( 1 ),..
2 ! 1n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),..( 1 )
! 1 1 1
n
n n n n
1nx
将括号中分母的 n 换为 n+1
(1) {xn}的单调性
October,2004
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
(2) {xn}的有界性
1 1 1
1 1,..
2 ! 3! !n
x
n
21
1 1 1
1 1,.,
2 2 2 n?
12 ! ( 2 )n nn
1
11 ( 2 )
!2 n
n
n?
October,2004
1 1 1
1 1,..
2 ! 3! !n
x
n
21
1 1 1
1 1,.,
2 2 2 n?
1
1
2
1
1
1
2
n
1
1
1
2
3? ( 1,2,.,,)n?
故 {xn}有界
October,2004
1
l i m ( 1 ) n
n n
存在
1
l im (1 ) n
n n
3?且记
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
2.71828....e?
October,2004
e
E u le r
1 7 0 7 1 7 8 3?
Swiss mathematician
1737年,Euler证明,e 是无理数
1873年,Hermite证明,e 是超越数（不是代数方程的解）
October,2004
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8
> evalf(exp(1),10);
> evalf(exp(1),100);
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999
59574966967627724076630353547594571382178525166427
> evalf(exp(1),1000);
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5\
992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416 \
750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760 \
673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794 \
686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879 \
332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099 \
618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704 \
197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310 \
7208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035
October,2004
> evalf(exp(1),3000);
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5\
992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416 \
750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760 \
673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794 \
686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879 \
332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099 \
618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704 \
197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310 \
720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474 \
501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771 \
943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889 \
344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931 \
505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489 \
585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661 \
352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295 \
374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572 \
481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876 \
108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899 \
703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778 \
443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216 \
370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299 \
833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259427 \
949043372990857315802909586313826832914771163963370924003168945863606064584592512699465572483918656420975268508230754 \
425459937691704197778008536273094171016343490769642372229435236612557250881477922315197477806056967253801718077636034 \
624592787784658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145 \
747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832322787
October,2004
1
l im (1 ) x
x x
现求
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
先求
1
l i m ( 1 ) x
x x
令
[]nx?
则 1n x n
xx
n
1n?
选学
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
先求 1
l i m ( 1 ) x
x x
令
[]nx? 则 1n x n
1
1
x
1
1
1n
1
1
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
1
l i m ( 1 )
1
n
n n
1111l i m ( 1 ) ( 1 )
11
n
n nn
1e e?
11l i m ( 1 ) n
n n
11l i m ( 1 ) ( 1 )n
n nn
1e e?
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
1
l i m ( 1 )
1
n
n
e
n
11l i m ( 1 ) n
n
e
n
1
l i m ( 1 ) x
x x
e?
October,2004
再求 1
l i m ( 1 ) x
x x
1
l i m ( 1 ) x
x x
令 x = - t 则
1
l im ( 1 ) t
t t
1
l i m ( ) t
t
t
t
t
l i m ( )
1
t
t
t
t
111l im ( 1 ) ( 1 )
11
t
t tt
1e e?
October,2004
因为
1
l i m ( 1 ) x
x
e
x
1l i m ( 1 ) x
x x
所以
1
l im ( 1 ) x
x
e
x
October,2004
ye?
1(1 ) xy
x
1l im ( 1 ) x
x
e
x
1x
110
x
0 o r 1xx
October,2004
ye?
1(1 ) xy
x
1(1li )m
x
x
x
e
with(plots):plot([(1+1/x)^x,exp(1)],x=0.01..20,y=0..3,color=[red,blue,blue],thickness=[2,2,1]);
October,2004
1
l im ( 1 ) x
x
e
x
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
例 求 1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
解 令
1
x
t
则 0x?
1
t
x
当 时
t
1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
1l i m ( 1 ) t
t t
e?
e?
October,2004
l im ( 1
1
) x
x x
e
l im ( 1
1
) n
n n
e
1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
一般
e?
l i m 0
1
l i m ( 1 ) e
从本质上认识这个极限
October,2004
l i m 0
1
l i m ( 1 ) e
[]
0[]
1
l i m ( 1 ] )[ e
,学习指导,p.23
October,2004
例 求 2
l im (1 ) x
x x
解
2l im (1 ) x
x x
1l i m( 1 )
2
x
x x
221
l i m [( 1 ) ]
2
x
x x
2e?
October,2004
例 4 求 1
l im (1 ) x
x x
解
1l im (1 ) x
x x
1l i m ( 1 ) x
x x
11l im [ ( 1 ) ]x
x x
1
e
1
l i m
1
( 1 )
x x
x
1e
October,2004
22l i m ( 1 ) x
x
e
x
11l i m ( 1 ) x
x
e
x
1l im ( 1 ) x
x
e
x
一般（可以证明）
l i m ( 1 ) kx
x
k e
x
l im ( 1 ) k lx
x
lk e
x
1
0
l im ( 1 ) kx
x
ek x
0
l im ( 1 )
l
lkx
x
k xe
October,2004
例 求 3
l im ( )
1
x
x
x
x
解设法化成形式
1
l i m (1 )
3l im ( )
1
x
x
x
x
(1 )? 型
4l i m ( 1 )
1
x
x x
14l i m ( 1 )
1
x
x x
4(1 )
1x
4e? 1? 4e?
October,2004
求 3
l im ( )
1
x
x
x
x
另解
3l im ( )
1
x
x
x
x
(1 )? 型
3
1
l im ( )
1
1
x
x
x
x
3
( 1 )
l i m
1
( 1 )
x
x
x
x
x
3
1
e
e?
4e?
October,2004
课内练习求 251l i m ( 1 ) n
n n
解
251l i m ( 1 ) n
n n
2511l i m ( 1 ) ( 1 )n
n nn
251e 2e?
October,2004
极限 1
l im ( 1 ) x
x
e
x
为何很重要?
数学家为何想到这样一个 奇怪的 函数的极限？
这是因为这个极限能反映一些自然增长的规律。
一个典型的例子就是所谓的 连续复利问题 。
设本金,A0，年利率,r (如 r =1.98%)
October,2004
连续复利问题设本金,A0，年利率,r
一年后的本利：
1 0 0A A A r 0 (1 )Ar
如果一年记息四次（每季度记息一次）：
利率：
4
r
第一季度后的本利：
0 (1 )4
rA?
第二季度后的本利：
0 (1 )4
rA? (1 )
4
r? 2
0 ( 1 )4
rA
October,2004
一年后的本利：
1 0 0A A A r 0 (1 )Ar
如果一年记息四次（每季度记息一次）：
利率：
4
r
第一季度后的本利：
0 (1 )4
rA?
第二季度后的本利：
0 (1 )4
rA? (1 )
4
r? 2
0 ( 1 )4
rA
第三季度后的本利：
3
0 (1 )4
rA?
一年后的本利：
4
40 ( 1 )4
rAA
October,2004
如果一年记息 12次（每月记息一次）：
月利率：
12
r
一年后的本利：
12
12 0 ( 1 )12
rAA
如果每小时记息一次，每秒记息一次,…
一年后的本利：
365
3 6 5 0 ( 1 )365
rAA
如果每天记息一次：
October,2004
如果一年记息 n 次,每期利率：
r
n
一年后的本利：
0 ( 1 )
n
n
rAA
n
设记息次数 n 无限增加，得连续复利的本利
0l i m ( 1 )
n
n
rAA
n
0 l i m ( 1 ) n
n
rA
n
0
rAe?
0
rA A e?
一年后
October,2004
0
rA A e?
一年后
0
krA A e?
k 年后
1.6 (2) 两个 重要极限
October,2004
二、两个重要极限
1,重要极限
0
sin
l i m
x
x
x?
sin
()
x
fx
x
是偶函数
0
sin
l i m
x
x
x?
是 型
0
0
0
sin
l i m?
x
x
x?
October,2004
s i n xy
x
October,2004
sin
()
x
fx
x
0
s i n
l i m 1
x
x
x?
It seems that
October,2004
因为 x?0,设 x 满足
0
2
x
首先假定
0
2
x
October,2004
作图
A O B A O B A O D面 积 扇 形 面 积 面 积由图形可知
1 sin
2
A O B x面 积
21
2
xAOB?
扇 形 面 积
1 t a n
2
AOD x 面 积
O
1
A
B
x
D
1
1
sinx
tanx
2
x?
x 是弧度
October,2004
因此
11sin ta n
2 2 2
xxx
或
si n ta nx x x
( 0 )
2
x
A O B A O B A O D面 积 扇 形 面 积 面 积
1 sin
2
A O B x面 积
2
xAOB?扇 形 面 积
1 t a n
2
AOD x 面 积
O
1
A
B
x
D1
1
sinx
tanx
October,2004
si n ta nx x x
( 0 )
2
x
sinsin
c o s
xxx
x
11
s i n co s
x
xx
sinco s 1xx
x
( 0 )2x
0
2
x
现在设则
0
2
x
于是 s in ( )
c o s ( ) 1xx
x
sinco s 1xx
x
仍有
October,2004
sinco s 1xx
x
( 0 )
2
x
得到因为
0l i m co s 1x x
由夹逼定理，我们得到极限：
0
s i nl i m 1
x
x
x?
我们已经成功地将 sinx/x
夹在 cosx 和 1 之间图形
October,2004
with(plots):M:=4:
A:=plot(sin(x)/x,x=-M..M,y=-1..2):
sinco s 1x x
x
back
October,2004
sin 1x
x
( 0 )2x
注 由得 sin xx?
( 0 )
2
x
sin xx? ( 0 )
2
x
若
2
x
仍有 sin xx?
所以 sin xx?
( 0 )x?
同理 sin xx? ( 0 )x?
s i n xx? ()x R
October,2004
例 求
0
l i m
sinx
x
x?
解
0
l i m
sinx
x
x?
0
0
型
0
1
l i m
s i nx x
x
0
1
s i n
l i m
x
x
x?
1
1
1?
October,2004
例 1 求
0
t a n
l i m
x
x
x?
解
0
t a n
l i m
x
x
x?
0
0
型
0
s i n 1
l i m
co sx
x
xx?
0
s i n 1
l i m
c o sx
x
xx?
11
1
1?
October,2004
with(plots):M:=Pi/2:
A:=plot(tan(x),x=-M..M,y=-5..5):
0
t an
l i m 1
x
x
x?
t a n ( 0 )x x x
October,2004
例 2 求
20
1 co s
l i m
x
x
x?
解
0
0
型
20
1 co s
l i m
x
x
x?
2
2
0
2 s in
2l im
x
x
x?
2
0
sin
1 2
l i m
2
2
x
x
x?
2
0
sin
1 2
l i m
2
2
x
x
x?
21 1
2
1
2
October,2004
20
1 c o s 1
l im
2x
x
x?
0 2
1 c o s
l im
1
2
x
x
x
1?
推论
October,2004
with(plots):M:=5:
A:=plot(1-cos(x),x=-M..M,y=-.51..3):
B:=plot(x^2/2,x=-M..M,y=-.51..3,color=blue):
2
1 c o s (0
2
)
x
x x
0 2
1 c o s
l i m 1
1
2
x
x
x
October,2004
例 求 1
l i m s i n
x
x
x
解 1
l i m s i n
x
x
x
( 0 ) 型
1
s in
l im
1x
x
x
0
()
0
型
1?
或令 1
t
x
x 0t?
0
sin
l i m
t
t
t?
1
l i m s i n
x
x
x
1?
October,2004
with(plots):M:=2:
A:=plot(x*sin(1/x),x=-M..M,y=-1.5..1.5):
B:=plot(1,x=-M..M,y=-1.5..1.5,color=blue):
1
l i m s i n 1
x
x
x
October,2004
例 3 求
0
ar cs i n
l i m
x
x
x?
解令 a r c s in xt?
0x 0t?
0
ar cs i n
l i m
x
x
x?
0()
0
型
sinxt?
0
l i m
sint
t
t?
1?
October,2004
0
a r c sin
l im 1
x
x
x?
( 0 )x?a r c sin x x?
with(plots):M:=1:
y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9:
A:=plot(arcsin(x),x=-M..M,y=y1..y2):
B:=plot(x,x=-M..M,y=y1..y2,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);
October,2004
sin
1
1
l i m 1
x
x
x
0
s i n
l i m 1
x
x
x?
应从本质上认识这个极限
l i m 0 sin
l i m 1
() 0
si ()n
l im 1
()?
,学习指导,p.23
October,2004
课内练习
0
t an 3
l i m
s i n 5x
x
x?
解
0
t an 3
l i m
s i n 5x
x
x? 0
5 ta n 3 3
l im
sin 5 3 5x
xx
xx?
3
11
5
3
5
October,2004
with(plots):M:=20:
y1:=-Pi:y2:=Pi:
A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2):
si
li
n
m0
x
x
x
1y
x
1y
x
October,2004
2,重要极限 1
l im (1 ) x
x x
1
( ) ( 1 ) xfx
x
是幂指函数
1
l im (1 ) x
x x
(1 )
型先考虑数列极限,1
l im (1 ) n
n n
October,2004
1
( 1 ) nnx
n
2
1 ( 1 ) 1
1,.,
2!
nn
n
nn
( 1 ),.,[ ( 1 ) ] 1
...
! k
n n n k
kn
( 1 ),.,[ ( 1 ) ] 1
! n
n n n n
nn
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
October,2004
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
11
1 1 ( 1 ),..
2 ! 1n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),..( 1 )
! 1 1 1
n
n n n n
1nx
将括号中分母的 n 换为 n+1
(1) {xn}的单调性
October,2004
11
1 1 ( 1 ),.,
2!n
x
n
1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ),.,( 1 )
!
n
n n n n
(2) {xn}的有界性
1 1 1
1 1,..
2 ! 3! !n
x
n
21
1 1 1
1 1,.,
2 2 2 n?
12 ! ( 2 )n nn
1
11 ( 2 )
!2 n
n
n?
October,2004
1 1 1
1 1,..
2 ! 3! !n
x
n
21
1 1 1
1 1,.,
2 2 2 n?
1
1
2
1
1
1
2
n
1
1
1
2
3? ( 1,2,.,,)n?
故 {xn}有界
October,2004
1
l i m ( 1 ) n
n n
存在
1
l im (1 ) n
n n
3?且记
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
2.71828....e?
October,2004
e
E u le r
1 7 0 7 1 7 8 3?
Swiss mathematician
1737年,Euler证明,e 是无理数
1873年,Hermite证明,e 是超越数（不是代数方程的解）
October,2004
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8
> evalf(exp(1),10);
> evalf(exp(1),100);
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999
59574966967627724076630353547594571382178525166427
> evalf(exp(1),1000);
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5\
992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416 \
750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760 \
673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794 \
686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879 \
332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099 \
618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704 \
197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310 \
7208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035
October,2004
> evalf(exp(1),3000);
2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5\
992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416 \
750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760 \
673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794 \
686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879 \
332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099 \
618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704 \
197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310 \
720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474 \
501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771 \
943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889 \
344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931 \
505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489 \
585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661 \
352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295 \
374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572 \
481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876 \
108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899 \
703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778 \
443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216 \
370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299 \
833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259427 \
949043372990857315802909586313826832914771163963370924003168945863606064584592512699465572483918656420975268508230754 \
425459937691704197778008536273094171016343490769642372229435236612557250881477922315197477806056967253801718077636034 \
624592787784658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145 \
747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832322787
October,2004
1
l im (1 ) x
x x
现求
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
先求
1
l i m ( 1 ) x
x x
令
[]nx?
则 1n x n
xx
n
1n?
选学
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
先求 1
l i m ( 1 ) x
x x
令
[]nx? 则 1n x n
1
1
x
1
1
1n
1
1
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
1
l i m ( 1 )
1
n
n n
1111l i m ( 1 ) ( 1 )
11
n
n nn
1e e?
11l i m ( 1 ) n
n n
11l i m ( 1 ) ( 1 )n
n nn
1e e?
October,2004
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
1
(1 ) x
x
1
( 1 )
1
n
n
11(1 ) n
n
1
l i m ( 1 )
1
n
n
e
n
11l i m ( 1 ) n
n
e
n
1
l i m ( 1 ) x
x x
e?
October,2004
再求 1
l i m ( 1 ) x
x x
1
l i m ( 1 ) x
x x
令 x = - t 则
1
l im ( 1 ) t
t t
1
l i m ( ) t
t
t
t
t
l i m ( )
1
t
t
t
t
111l im ( 1 ) ( 1 )
11
t
t tt
1e e?
October,2004
因为
1
l i m ( 1 ) x
x
e
x
1l i m ( 1 ) x
x x
所以
1
l im ( 1 ) x
x
e
x
October,2004
ye?
1(1 ) xy
x
1l im ( 1 ) x
x
e
x
1x
110
x
0 o r 1xx
October,2004
ye?
1(1 ) xy
x
1(1li )m
x
x
x
e
with(plots):plot([(1+1/x)^x,exp(1)],x=0.01..20,y=0..3,color=[red,blue,blue],thickness=[2,2,1]);
October,2004
1
l im ( 1 ) x
x
e
x
1
l im ( 1 ) n
n
e
n
例 求 1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
解 令
1
x
t
则 0x?
1
t
x
当 时
t
1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
1l i m ( 1 ) t
t t
e?
e?
October,2004
l im ( 1
1
) x
x x
e
l im ( 1
1
) n
n n
e
1
0
l i m ( 1 ) x
x
x
一般
e?
l i m 0
1
l i m ( 1 ) e
从本质上认识这个极限
October,2004
l i m 0
1
l i m ( 1 ) e
[]
0[]
1
l i m ( 1 ] )[ e
,学习指导,p.23
October,2004
例 求 2
l im (1 ) x
x x
解
2l im (1 ) x
x x
1l i m( 1 )
2
x
x x
221
l i m [( 1 ) ]
2
x
x x
2e?
October,2004
例 4 求 1
l im (1 ) x
x x
解
1l im (1 ) x
x x
1l i m ( 1 ) x
x x
11l im [ ( 1 ) ]x
x x
1
e
1
l i m
1
( 1 )
x x
x
1e
October,2004
22l i m ( 1 ) x
x
e
x
11l i m ( 1 ) x
x
e
x
1l im ( 1 ) x
x
e
x
一般（可以证明）
l i m ( 1 ) kx
x
k e
x
l im ( 1 ) k lx
x
lk e
x
1
0
l im ( 1 ) kx
x
ek x
0
l im ( 1 )
l
lkx
x
k xe
October,2004
例 求 3
l im ( )
1
x
x
x
x
解设法化成形式
1
l i m (1 )
3l im ( )
1
x
x
x
x
(1 )? 型
4l i m ( 1 )
1
x
x x
14l i m ( 1 )
1
x
x x
4(1 )
1x
4e? 1? 4e?
October,2004
求 3
l im ( )
1
x
x
x
x
另解
3l im ( )
1
x
x
x
x
(1 )? 型
3
1
l im ( )
1
1
x
x
x
x
3
( 1 )
l i m
1
( 1 )
x
x
x
x
x
3
1
e
e?
4e?
October,2004
课内练习求 251l i m ( 1 ) n
n n
解
251l i m ( 1 ) n
n n
2511l i m ( 1 ) ( 1 )n
n nn
251e 2e?
October,2004
极限 1
l im ( 1 ) x
x
e
x
为何很重要?
数学家为何想到这样一个 奇怪的 函数的极限？
这是因为这个极限能反映一些自然增长的规律。
一个典型的例子就是所谓的 连续复利问题 。
设本金,A0，年利率,r (如 r =1.98%)
October,2004
连续复利问题设本金,A0，年利率,r
一年后的本利：
1 0 0A A A r 0 (1 )Ar
如果一年记息四次（每季度记息一次）：
利率：
4
r
第一季度后的本利：
0 (1 )4
rA?
第二季度后的本利：
0 (1 )4
rA? (1 )
4
r? 2
0 ( 1 )4
rA
October,2004
一年后的本利：
1 0 0A A A r 0 (1 )Ar
如果一年记息四次（每季度记息一次）：
利率：
4
r
第一季度后的本利：
0 (1 )4
rA?
第二季度后的本利：
0 (1 )4
rA? (1 )
4
r? 2
0 ( 1 )4
rA
第三季度后的本利：
3
0 (1 )4
rA?
一年后的本利：
4
40 ( 1 )4
rAA
October,2004
如果一年记息 12次（每月记息一次）：
月利率：
12
r
一年后的本利：
12
12 0 ( 1 )12
rAA
如果每小时记息一次，每秒记息一次,…
一年后的本利：
365
3 6 5 0 ( 1 )365
rAA
如果每天记息一次：
October,2004
如果一年记息 n 次,每期利率：
r
n
一年后的本利：
0 ( 1 )
n
n
rAA
n
设记息次数 n 无限增加，得连续复利的本利
0l i m ( 1 )
n
n
rAA
n
0 l i m ( 1 ) n
n
rA
n
0
rAe?
0
rA A e?
一年后
October,2004
0
rA A e?
一年后
0
krA A e?
k 年后
