September,2004
1.3 函数的极限
Limits of Functions
September,2004
一、函数极限的定义
1,自变量趋于有限值时函数的极限
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
定义 1 （极限
0
l im ( )
xx
f x A
定义）
使得当
0
l im ( )
xx
f x A
是指：
0 0
00 xx
时，就有
()f x A 成立
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
或
September,2004
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
0
0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
换一种说法：
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0
l im ( )
xx
f x A
问题：这个极限是否存在以及极限值是否与函数 f(x) 在 x0 处的函数值 f(x0) 有关？
答：无关。
见,学习指导,p.14，问 1.14
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
September,2004
0x
A
()y f x?
0
l i m ( )
xx
fx
存在但是 f(x0) 无定义
0
li m ( )
xx
fx
f(x0) 也有定义但是
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0x
A
()y f x?
0()fx
存在
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
极限的几何解释
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
yA
yA
September,2004
极限的几何解释
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
δ 取决于 ε 一般,ε 越小,δ 也越小。
September,2004
例 3 证明极限：
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
( ) 1fx?
分析：
(2 1 ) 1x 22x 21x
0 要
( ) 1 2 1f x x
只要
2
1x
证明,0
2
使得当 1x0?
时，就有
( ) 1fx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
所以
September,2004
极限
0
l im ( )
xx
f x A
直观的定义
0x
A
()y f x?
September,2004
1
1
21yx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
证明,0 使得当
1x0?
时，就有
( ) 1fx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
所以
2
September,2004
极限的证明方法：
从
()f x A
分析出
0 ()xx
令
() 则当 00 xx
就有
()f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
例 4 证明极限,2
1
1l im 2
1x
x
x?
分析：
0 要
( ) 2fx?
只要
1x
证明,0
使得当 1x0?
时，就有
( ) 2fx
所以
2 1
()
1
xfx
x
( 1 ) ( 1 )
1
xx
x
1x ( 1)x?
( 1 ) 2x 1x
0?
2
1
1l im 2
1x
x
x?
September,2004
2 1
( ) 1 ( 1 )
1
xf x x x
x
2
11
1l im ( ) l im 2
1xx
xfx
x
1
2
2 1
11xyxx
函数在 x = 1 处无定义，
但在该处有极限。
September,2004
例 证明极限：
23
31l i m
96x
x
x?
分析：
0
要
1
()
6
fx?
只要
3x?
2
3()
9
xfx
x
3
( 3 ) ( 3 )
x
xx
1
3x
( 3 )x?
11
36x
0?
13
63
x
x
September,2004
1
()
6
fx?
11
36x
13
63
x
x
3x? 我们不妨限制 24x
即
0 3 1x 2 3 4x
此时 35x 1 1 1
3 3 5xx
1
()
6
fx?
13
63
x
x
11 3
65
x 1 3
30
x
适当放大
September,2004
0 3 1x
1
()
6
fx? 1 3
30
x
3 3 0x
证明,0
m i n { 3 0,1 }
使得当
3x0?
时，就有
1
()
6
fx?
所以
23
31l i m
96x
x
x?
September,2004
例 2 证明极限：
l i m
xa
xa
例 5 证明极限：
l im ( 0 )
xa
x a a
课外自学例 1 证明极限：
l i m
xa
CC
September,2004
单侧极限 (One-sided Limit)
左极限 (Left-hand limit):
右极限 (Right-hand limit):
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0( 0 )fx? 0()fx
0( 0 )fx? 0()fx?
September,2004
0x
A
()y f x?
xx
()fx
左极限
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0x
A
()y f x?
xx
右极限
0
l im ( )
xx
f x A
()fx
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
单侧极限的严格定义回忆极限
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
的定义：
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
左极限 的定义：
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
的定义：
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
右极限 的定义：
September,2004
0
l im ( )
xx
f x A
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
由此可见：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
同理：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
反之可以证明：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
fx
事实上 0
0
l im ( )
xx
f x A
1 0
such that
0 1 0x x x ()f x A
0
l im ( )
xx
f x A
2 0
such that
0 0 2x x x
()f x A
习题
September,2004
1 0
such that
0 1 0x x x ()f x A
2 0
such that
0 0 2x x x
()f x A
01x 0
x
02x
1? 2?
x x
September,2004
0 1 0x x x ()f x A
0 0 2x x x
()f x A
取
12m i n {,}
则当
00 xx
时，就有
()f x A
所以
0
l im ( )
xx
f x A
x
01x 0
x
02x
x
September,2004
单侧极限与极限的关系
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
fx
00( 0 ) ( 0 )f x f x
0
l im ( )
xx
fx
存 在
习题 8,p.38
September,2004
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在
推论：
September,2004
0x
()y f x?
xx x
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在这种情况常出现在分段函数的分界点处单侧极限常用来讨论分段函数在分段点的极限
September,2004
()y f x?
xx xa b
l im ( )
xa
fx
l im ( )
xb
fx
单侧极限也常用来讨论函数在其定义区间端点的极限
September,2004
例 求极限
0
lim
x
x
解
,0
,0
xx
x
xx
0
lim
x
x
0l i m ( )x x
0?
0
lim
x
x
0limx x
0?
因为
0
lim
x
x
0
l i m
x
x
0?
所以
0
lim
x
x
0?
September,2004
例 求极限
0
l i m s g n
x
x
同学们先考虑一分钟
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
0
l i m s g n
x
x
0
l i m s g n
x
x
解
1?
0
1
September,2004
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
0
l i m sgn
x
x
0
l i m ( 1 )
x
1
0
l i m sgn
x
x
0
li m 1
x
1?
因为
0
l i m sgn
x
x
0
l i m s g n
x
x
所以
0
l i m s g n
x
x
不存在
1?
0
1
1.3 函数的极限
Limits of Functions
September,2004
一、函数极限的定义
1,自变量趋于有限值时函数的极限
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
定义 1 （极限
0
l im ( )
xx
f x A
定义）
使得当
0
l im ( )
xx
f x A
是指：
0 0
00 xx
时，就有
()f x A 成立
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
或
September,2004
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
0
0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
换一种说法：
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0
l im ( )
xx
f x A
问题：这个极限是否存在以及极限值是否与函数 f(x) 在 x0 处的函数值 f(x0) 有关？
答：无关。
见,学习指导,p.14，问 1.14
0
0,0
,0 ( )x x x f x A
September,2004
0x
A
()y f x?
0
l i m ( )
xx
fx
存在但是 f(x0) 无定义
0
li m ( )
xx
fx
f(x0) 也有定义但是
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0x
A
()y f x?
0()fx
存在
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
极限的几何解释
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
yA
yA
September,2004
极限的几何解释
0x
A
()y f x?
A
A
0x 0x
δ 取决于 ε 一般,ε 越小,δ 也越小。
September,2004
例 3 证明极限：
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
( ) 1fx?
分析：
(2 1 ) 1x 22x 21x
0 要
( ) 1 2 1f x x
只要
2
1x
证明,0
2
使得当 1x0?
时，就有
( ) 1fx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
所以
September,2004
极限
0
l im ( )
xx
f x A
直观的定义
0x
A
()y f x?
September,2004
1
1
21yx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
证明,0 使得当
1x0?
时，就有
( ) 1fx
1
l i m ( 2 1 ) 1
x
x
所以
2
September,2004
极限的证明方法：
从
()f x A
分析出
0 ()xx
令
() 则当 00 xx
就有
()f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
例 4 证明极限,2
1
1l im 2
1x
x
x?
分析：
0 要
( ) 2fx?
只要
1x
证明,0
使得当 1x0?
时，就有
( ) 2fx
所以
2 1
()
1
xfx
x
( 1 ) ( 1 )
1
xx
x
1x ( 1)x?
( 1 ) 2x 1x
0?
2
1
1l im 2
1x
x
x?
September,2004
2 1
( ) 1 ( 1 )
1
xf x x x
x
2
11
1l im ( ) l im 2
1xx
xfx
x
1
2
2 1
11xyxx
函数在 x = 1 处无定义，
但在该处有极限。
September,2004
例 证明极限：
23
31l i m
96x
x
x?
分析：
0
要
1
()
6
fx?
只要
3x?
2
3()
9
xfx
x
3
( 3 ) ( 3 )
x
xx
1
3x
( 3 )x?
11
36x
0?
13
63
x
x
September,2004
1
()
6
fx?
11
36x
13
63
x
x
3x? 我们不妨限制 24x
即
0 3 1x 2 3 4x
此时 35x 1 1 1
3 3 5xx
1
()
6
fx?
13
63
x
x
11 3
65
x 1 3
30
x
适当放大
September,2004
0 3 1x
1
()
6
fx? 1 3
30
x
3 3 0x
证明,0
m i n { 3 0,1 }
使得当
3x0?
时，就有
1
()
6
fx?
所以
23
31l i m
96x
x
x?
September,2004
例 2 证明极限：
l i m
xa
xa
例 5 证明极限：
l im ( 0 )
xa
x a a
课外自学例 1 证明极限：
l i m
xa
CC
September,2004
单侧极限 (One-sided Limit)
左极限 (Left-hand limit):
右极限 (Right-hand limit):
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0( 0 )fx? 0()fx
0( 0 )fx? 0()fx?
September,2004
0x
A
()y f x?
xx
()fx
左极限
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0x
A
()y f x?
xx
右极限
0
l im ( )
xx
f x A
()fx
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
单侧极限的严格定义回忆极限
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
的定义：
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
左极限 的定义：
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
的定义：
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
右极限 的定义：
September,2004
0
l im ( )
xx
f x A
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
由此可见：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0 0 0 0 0(,) (,)x x x x x
()A f x A
0
同理：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
September,2004
反之可以证明：
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
fx
事实上 0
0
l im ( )
xx
f x A
1 0
such that
0 1 0x x x ()f x A
0
l im ( )
xx
f x A
2 0
such that
0 0 2x x x
()f x A
习题
September,2004
1 0
such that
0 1 0x x x ()f x A
2 0
such that
0 0 2x x x
()f x A
01x 0
x
02x
1? 2?
x x
September,2004
0 1 0x x x ()f x A
0 0 2x x x
()f x A
取
12m i n {,}
则当
00 xx
时，就有
()f x A
所以
0
l im ( )
xx
f x A
x
01x 0
x
02x
x
September,2004
单侧极限与极限的关系
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
f x A
0
l im ( )
xx
fx
00( 0 ) ( 0 )f x f x
0
l im ( )
xx
fx
存 在
习题 8,p.38
September,2004
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在
推论：
September,2004
0x
()y f x?
xx x
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x
0
l im ( )
xx
fx
不 存 在这种情况常出现在分段函数的分界点处单侧极限常用来讨论分段函数在分段点的极限
September,2004
()y f x?
xx xa b
l im ( )
xa
fx
l im ( )
xb
fx
单侧极限也常用来讨论函数在其定义区间端点的极限
September,2004
例 求极限
0
lim
x
x
解
,0
,0
xx
x
xx
0
lim
x
x
0l i m ( )x x
0?
0
lim
x
x
0limx x
0?
因为
0
lim
x
x
0
l i m
x
x
0?
所以
0
lim
x
x
0?
September,2004
例 求极限
0
l i m s g n
x
x
同学们先考虑一分钟
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
0
l i m s g n
x
x
0
l i m s g n
x
x
解
1?
0
1
September,2004
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
0
l i m sgn
x
x
0
l i m ( 1 )
x
1
0
l i m sgn
x
x
0
li m 1
x
1?
因为
0
l i m sgn
x
x
0
l i m s g n
x
x
所以
0
l i m s g n
x
x
不存在
1?
0
1
