October,2004
Operations of Continuous Functions
1.9 连续函数的运算
October,2004
一、连续函数的四则运算设函数 f(x) 和 g(x) 在点 x0 处连续，则
( ) ( )f x g x? ( ) ( )f x g x
()
()
fx
gx
0( ( ) 0 )gx?
也在点 x0 处连续。
October,2004
证
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx g x g x
0
l im [ ( ) ( ) ]
xx
f x g x
00l i m ( ) l i m ( )xxf x g x
00( ) ( )f x g x
所以
( ) ( )f x g x? 在点 x0 处连续。
October,2004
两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍为连续函数推论例如,由 sinx 和 cosx 的连续性，以下三角函数在其定义域内处处连续：
sinta n
c o s
xx
x
c o sc o t
sin
xx
x
1se c
c o s
x
x
1cs c
sin
x
x
October,2004
二、反函数和复合函数的连续性
October,2004
反函数函数的连续性设 y = f(x) 在区间 I = (a,b) 上单调且连续，则其反函数 x = f –1(y) 在区间 J =f(I) 上单调且连续。
证明思路
0
l i m 0
x
y
0
l im 0
y
x
()y f x?
0x x
0y
y
x?
y?
1 ()x f y
ba
October,2004
s inyx?
22
x
c o syx? 0 x
t a nyx? 22x
c otyx? 0 x
以下三角函数在相应区间单调连续
October,2004
它们的反函数也在相应区间单调且连续
a r c s i nyx? 11x
ar cc o syx? 11x
a r c ta nyx? x
a r c c o tyx? x
October,2004
s inyx?
22
x
plot([sin(x),x,x=-
1.5..1.5],scaling=constrained,color
=blue,thickness=4);
plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
a r c s i nyx?
11x
October,2004
s inyx?
with(plots):
A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(A,B);
a r c s i nyx?
October,2004
c o syx?
0 x
plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=con
strained,color=blue,thickness=4);
plot(cos(x),x=0..Pi,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
ar cc o syx?
11x
October,2004
c o syx?
with(plots):
A:=plot([x,cos(x),x=0..Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
ar cc o syx?
October,2004
plot([tan(x),x,x=-
1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thic
kness=3);
t a nyx? a r c ta nyx?
22
x
x
October,2004
二、复合函数的连续性设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
p,48复合函数的极限：
October,2004
设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
p,48复合函数的极限：
若
0
0l im ( )xx g x u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
f(u)在 u0处连续
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
稍加修改：
则定理 3
October,2004
若
0
0l im ( )xx g x u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
f(u)在 u0处连续
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
则定理 3
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
0
[ l i m ( ) ]
xx
f g x
00
l im [ ( ) ] [ l im ( ) ]
x x x x
f g x f g x
极限运算 lim与连续函数运算可以交换
October,2004
设函数 u = g(x) 在点 x0 处连续,y = f(u) 在点
u0 = g(x0) 处连续，则复合函数 y = f[g(x)] 在点
x0 处连续。
0
00l i m ( ) ( )xx g x g x u
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
0[ ( ) ]f g x?
推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。
定理 4
October,2004
s inyu?例 内连续u
在
2 2u x x
在 x 内连续
2s i n ( 2 )y x x 在 x 内连续例 4 在其定义域内处处连续
1s i ny
x
0x 0 x
October,2004
三、初等函数的连续性已经证明：
三角函数和反三角函数在其定义域内连续。
可以证明：指数函数
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
October,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
xya?
(0 1 )a
xya?
October,2004
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
证明思路：
(1)用定义 证明函数在 x = 0 处连续：
0
0
l im 1x
x
aa
(2) 证明函数任意点在 x 处连续：
x x xy a a ( 1 )xxaa
请有兴趣的同学去完成
ε-δ 语言
October,2004
(1)用定义 (ε-δ 语言 ) 证明函数在 x = 0 处连续：
0
0
l im 1x
x
aa
(2) 证明函数任意点在 x 处连续：
x x xy a a ( 1 )xxaa
0
li m
x
y
0
l im ( 1 )xx
x
aa?
0
l im ( 1 )xx
x
aa?
0xa 0?
October,2004
指数函数
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
因此，指数函数的反函数,对数函数
l o g ( 0,1 )ay x a a
在其定义域
(0,)
内单调且连续。
October,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
(0 1 )a
l o g ayx?
l o g ayx?
October,2004
幂函数的连续性：
yx R
yx ln xe
ln xe ( 0 )x?
由 y = ex 和 y = lnx 的连续性，
y = xμ 连续 (x > 0).
可以证明：幂函数 y = xμ 在其定义域内连续。
October,2004
基本初等函数的连续性：
基本初等函数在其定义域内连续。
初等函数的连续性：
由连续函数的四则运算及复合运算性质可知：
定义区间：定义域内的区间。
注：有的初等函数的定义域不能构成区间，
连续性无从谈起。
一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的。
如,s i n 1yx 的定义域？
October,2004
一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的。
1
2s i n a r c t a nxy e x x
在其定义域内处处连续。
其间断点为无定义的点,x = 0
函数的连续区间：
(,0 ) (0,)
和初等函数的间断点：一般为分母为零的点
October,2004
例 讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型：
2
2
1
()
2
x
fx
xx
解
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
间断点,1x? 2x
连续区间,(,2 ) (1,)( 2,1)?
October,2004
间断点,1x? 2x
11
( 1 ) ( 1 )
l im ( ) l im
( 1 ) ( 2 )xx
xx
fx
xx
2
3
x = 1为第一类间断点（可去间断点）
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
October,2004
间断点,1x? 2x
22
( 1 ) ( 1 )
l i m ( ) l i m
( 1 ) ( 2 )xx
xx
fx
xx
x = -2为第二类间断点（无穷间断点）
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
October,2004with(plots):f(x):=(x-1)*(x+1)/((x-1)*(x+2)):
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
1
2
l im ( )
3x
fx
2
l i m ( )
x
fx
October,2004
利用函数的连续性求极限
l i m [ ( ) ]fx?
若函数 f(x) 在点 x = x0 处连续，则极限
0
l i m ( )
xx
fx
()f? 0x 代入即可若外函数函数 f(x) 连续，则极限
[]f?
极限可以取进去！
lim ( )x?
October,2004
课内练习求 s i n 2
0
l i m
x
x
x
e
s i n 2
0
l i m
x
x
x
e
0
s i n 2l i m
x
x
xe 2e?
October,2004
例 6
0
l o g ( 1 )
l im a
x
x
x?
0
1
l im l o g ( 1 )a
x
x
x?
1
0
l i m l og ( 1 ) xa
x
x
1
0
l og [ l im ( 1 ) ]xa
x
x
lo g a e?
ln
ln
e
a
1
ln a
1
ln a
October,2004
0
l o g ( 1 )
l im a
x
x
x?
1
ln a
0
l n ( 1 )
l i m
x
x
x?
1?
l n ( 1 ) ( 0 )x x x
October,2004
例 7
0
1
l im l n
x
x
a
a
x?
0
1
l i m 1
x
x
e
x?
1 ( 0 )xe x x
自学
October,2004
幂指函数的极限
()l i m ( ) vxux
（ 1）确定型 p.68
l i m ( ) 0u x A l i m ( )v x B?
设则
()l i m ( ) vxux BA?
证
()l i m ( ) vxux
()l n ( )l i m vxuxe?
( ) l n ( )l i m v x u xe? l i m ( ) l n ( )v x u xe?
l i m ( ) l n [ l i m ( ) ]v x u xe? lnBAe?
BA?
October,2004
例 8
3
si n
0
l i m ( 1 2 ) x
x
x
16
2 si n
0
l i m [( 1 2 ) ]
x
xx
x
x
0
16
l im
2 s in
0
[ l im ( 1 2 ) ] x
x
xx
x
x?
6e?
Operations of Continuous Functions
1.9 连续函数的运算
October,2004
一、连续函数的四则运算设函数 f(x) 和 g(x) 在点 x0 处连续，则
( ) ( )f x g x? ( ) ( )f x g x
()
()
fx
gx
0( ( ) 0 )gx?
也在点 x0 处连续。
October,2004
证
0
0l im ( ) ( )xx f x f x
0
0l im ( ) ( )xx g x g x
0
l im [ ( ) ( ) ]
xx
f x g x
00l i m ( ) l i m ( )xxf x g x
00( ) ( )f x g x
所以
( ) ( )f x g x? 在点 x0 处连续。
October,2004
两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍为连续函数推论例如,由 sinx 和 cosx 的连续性，以下三角函数在其定义域内处处连续：
sinta n
c o s
xx
x
c o sc o t
sin
xx
x
1se c
c o s
x
x
1cs c
sin
x
x
October,2004
二、反函数和复合函数的连续性
October,2004
反函数函数的连续性设 y = f(x) 在区间 I = (a,b) 上单调且连续，则其反函数 x = f –1(y) 在区间 J =f(I) 上单调且连续。
证明思路
0
l i m 0
x
y
0
l im 0
y
x
()y f x?
0x x
0y
y
x?
y?
1 ()x f y
ba
October,2004
s inyx?
22
x
c o syx? 0 x
t a nyx? 22x
c otyx? 0 x
以下三角函数在相应区间单调连续
October,2004
它们的反函数也在相应区间单调且连续
a r c s i nyx? 11x
ar cc o syx? 11x
a r c ta nyx? x
a r c c o tyx? x
October,2004
s inyx?
22
x
plot([sin(x),x,x=-
1.5..1.5],scaling=constrained,color
=blue,thickness=4);
plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
a r c s i nyx?
11x
October,2004
s inyx?
with(plots):
A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
display(A,B);
a r c s i nyx?
October,2004
c o syx?
0 x
plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=con
strained,color=blue,thickness=4);
plot(cos(x),x=0..Pi,y=-
1..1,scaling=constrained,color=bl
ue,thickness=3);
ar cc o syx?
11x
October,2004
c o syx?
with(plots):
A:=plot([x,cos(x),x=0..Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=4):
B:=plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=4):
ar cc o syx?
October,2004
plot([tan(x),x,x=-
1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thic
kness=3);
t a nyx? a r c ta nyx?
22
x
x
October,2004
二、复合函数的连续性设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
p,48复合函数的极限：
October,2004
设 y = f[g(x)] 是由函数 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成的复合函数。
若
0
0l im ( )xx g x u
0
l im ( )
uu
f u A
则
0
l im [ ( ) ]
xx
f g x A
0l im ( )uu fu
p,48复合函数的极限：
若
0
0l im ( )xx g x u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
f(u)在 u0处连续
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
稍加修改：
则定理 3
October,2004
若
0
0l im ( )xx g x u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
f(u)在 u0处连续
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
则定理 3
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
0
[ l i m ( ) ]
xx
f g x
00
l im [ ( ) ] [ l im ( ) ]
x x x x
f g x f g x
极限运算 lim与连续函数运算可以交换
October,2004
设函数 u = g(x) 在点 x0 处连续,y = f(u) 在点
u0 = g(x0) 处连续，则复合函数 y = f[g(x)] 在点
x0 处连续。
0
00l i m ( ) ( )xx g x g x u
0
0l im [ ( ) ] ( )xx f g x f u
0
0l im ( ) ( )uu f u f u
0[ ( ) ]f g x?
推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。
定理 4
October,2004
s inyu?例 内连续u
在
2 2u x x
在 x 内连续
2s i n ( 2 )y x x 在 x 内连续例 4 在其定义域内处处连续
1s i ny
x
0x 0 x
October,2004
三、初等函数的连续性已经证明：
三角函数和反三角函数在其定义域内连续。
可以证明：指数函数
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
October,2004plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
xya?
(0 1 )a
xya?
October,2004
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
证明思路：
(1)用定义 证明函数在 x = 0 处连续：
0
0
l im 1x
x
aa
(2) 证明函数任意点在 x 处连续：
x x xy a a ( 1 )xxaa
请有兴趣的同学去完成
ε-δ 语言
October,2004
(1)用定义 (ε-δ 语言 ) 证明函数在 x = 0 处连续：
0
0
l im 1x
x
aa
(2) 证明函数任意点在 x 处连续：
x x xy a a ( 1 )xxaa
0
li m
x
y
0
l im ( 1 )xx
x
aa?
0
l im ( 1 )xx
x
aa?
0xa 0?
October,2004
指数函数
( 0,1 )xy a a a
在其定义域
(,)
内单调且连续。
因此，指数函数的反函数,对数函数
l o g ( 0,1 )ay x a a
在其定义域
(0,)
内单调且连续。
October,2004plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);
( 1)a?
(0 1 )a
l o g ayx?
l o g ayx?
October,2004
幂函数的连续性：
yx R
yx ln xe
ln xe ( 0 )x?
由 y = ex 和 y = lnx 的连续性，
y = xμ 连续 (x > 0).
可以证明：幂函数 y = xμ 在其定义域内连续。
October,2004
基本初等函数的连续性：
基本初等函数在其定义域内连续。
初等函数的连续性：
由连续函数的四则运算及复合运算性质可知：
定义区间：定义域内的区间。
注：有的初等函数的定义域不能构成区间，
连续性无从谈起。
一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的。
如,s i n 1yx 的定义域？
October,2004
一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的。
1
2s i n a r c t a nxy e x x
在其定义域内处处连续。
其间断点为无定义的点,x = 0
函数的连续区间：
(,0 ) (0,)
和初等函数的间断点：一般为分母为零的点
October,2004
例 讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型：
2
2
1
()
2
x
fx
xx
解
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
间断点,1x? 2x
连续区间,(,2 ) (1,)( 2,1)?
October,2004
间断点,1x? 2x
11
( 1 ) ( 1 )
l im ( ) l im
( 1 ) ( 2 )xx
xx
fx
xx
2
3
x = 1为第一类间断点（可去间断点）
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
October,2004
间断点,1x? 2x
22
( 1 ) ( 1 )
l i m ( ) l i m
( 1 ) ( 2 )xx
xx
fx
xx
x = -2为第二类间断点（无穷间断点）
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
October,2004with(plots):f(x):=(x-1)*(x+1)/((x-1)*(x+2)):
( 1 ) ( 1 )
()
( 1 ) ( 2 )
xx
fx
xx
1
2
l im ( )
3x
fx
2
l i m ( )
x
fx
October,2004
利用函数的连续性求极限
l i m [ ( ) ]fx?
若函数 f(x) 在点 x = x0 处连续，则极限
0
l i m ( )
xx
fx
()f? 0x 代入即可若外函数函数 f(x) 连续，则极限
[]f?
极限可以取进去！
lim ( )x?
October,2004
课内练习求 s i n 2
0
l i m
x
x
x
e
s i n 2
0
l i m
x
x
x
e
0
s i n 2l i m
x
x
xe 2e?
October,2004
例 6
0
l o g ( 1 )
l im a
x
x
x?
0
1
l im l o g ( 1 )a
x
x
x?
1
0
l i m l og ( 1 ) xa
x
x
1
0
l og [ l im ( 1 ) ]xa
x
x
lo g a e?
ln
ln
e
a
1
ln a
1
ln a
October,2004
0
l o g ( 1 )
l im a
x
x
x?
1
ln a
0
l n ( 1 )
l i m
x
x
x?
1?
l n ( 1 ) ( 0 )x x x
October,2004
例 7
0
1
l im l n
x
x
a
a
x?
0
1
l i m 1
x
x
e
x?
1 ( 0 )xe x x
自学
October,2004
幂指函数的极限
()l i m ( ) vxux
（ 1）确定型 p.68
l i m ( ) 0u x A l i m ( )v x B?
设则
()l i m ( ) vxux BA?
证
()l i m ( ) vxux
()l n ( )l i m vxuxe?
( ) l n ( )l i m v x u xe? l i m ( ) l n ( )v x u xe?
l i m ( ) l n [ l i m ( ) ]v x u xe? lnBAe?
BA?
October,2004
例 8
3
si n
0
l i m ( 1 2 ) x
x
x
16
2 si n
0
l i m [( 1 2 ) ]
x
xx
x
x
0
16
l im
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