October,2004
Infinitesimal and Infinity
1.4 无穷小与无穷大
October,2004
一、无穷小 (Infinitesimal)
l i m ( )f x A ( ) ( 0 )f x A
l i m ( ) 0f x A
i m [ ] 0(l )f x A
即，每一个有极限的函数 f(x) 都与一个趋于 0 的函数 f(x) - A 联系着。
因此,以 0 为极限的函数 在极限理论和极限的计算中扮演着特殊而重要的角色。
(l i m 0)x ( ) ( )x f x A
October,2004
定义 1
无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0
为极限的函数（或变量）。
0
l i m ( ) 0
xx
fx
若
0()f x x x?则 是 时 的 无 穷 小
l i m ( ) 0
x
fx
若
()f x x则 是 时 的 无 穷 小无穷小一般用希腊字母 α,β,γ 等表示
October,2004
0
l i m ( ) 0
xx
x?
0()x x x是 时 的 无 穷 小
0
0,0
,0 ( )x x x x
无穷小的 ε-δ 定义
October,2004
无穷小的例子
2( 1)x? ( 1 )x?
下列函数何时为无穷小？
2
1
l im ( 1 ) 0
x
x
1
x
()x 1l i m 0
x x
xe ()x l im 0x
x
e
xye?
October,2004
下列函数何时为无穷小？
1
2x ( 0 )x 0x 1
x
1
0
l im 2 0x
x
,学习指导,p.21
1
2 xy?
with(plots):
October,2004
下列函数何时为无穷小？
2
10
1
n
n?
()n
2
10l i m 0
1n
n
n
October,2004
注意：
(1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如 0.01,0.0000023。
(2) 0 是唯一的无穷小常数。
(3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，
不能孤立地说一个变量是无穷小。
详见,学习指导,p.15,问 1.15
如
2( 1)x? ( 1 )x? 是无穷小但 2( 1)x? ( 0 )x? 不是无穷小
October,2004
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
l i m ( )f x A? (( ))f x A x
(l i m 0)x
证 以极限 为例。
0
l im ( )
xx
f x A
October,2004
0
l im ( )
xx
f x A
0
,
(
0,
)
0
:0x x x f x A
0
0,
)
,
:0 (
0
xx xx
( )(( ))x f x A
0
(i m 0)l
xx
x?
( ) ( )x f x A 是无穷小
( ) ( )f x A x α(x) 是无穷小
October,2004
此定理表明：在自变量的某个变化过程中，
l i m ( )f x A?若 ()f x A则 无 穷 小
()f x A若 无 穷 小l i m ( )f x A?则这就是讨论无穷小的意义之一。
(见,学习指导,p.16,问 1.16,讨论无穷小有什么意义？ )
l i m ( )f x A? (( ))f x A x
(l i m 0)x
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
October,2004
二、无穷大 (Infinity)
例 考察当 x?0 时,1/x 的变化趋势。
1
x
当 x?0 时,可以大于任何正数 M
例如
1 100
x
要 1
100x?只 要
1 1000
x
要
1
1000x?只 要
October,2004
0M 1
M
x
要
1x
M?只 要
0M 1
M
使得，当
00x
时，就有 1
M
x
称 1/x 为 x?0 时的无穷大,记
0
1
l i m
x x?
October,2004
所以
0
l im ( )
xx
fx
的刻划需要两个正数：
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大,
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
( |x - x0 |< δ )，就能保证 f(x)的绝对值大于事先任意给定的 M 。
October,2004
定义 2
无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。
0
l im ( )
xx
fx
的定义：
0
0
l i m ( ) 0,0
,0 ( )
xx
xx
f x M
x x f M
0M 0 使得，当
00 x x
就有
()f x M?
M 定 义
October,2004
严格地说，
0
l im ( )
xx
fx
表明极限
0
l i m ( )
xx
fx
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。
注意：
(1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。
(2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，
不能孤立地说一个变量是无穷大。
October,2004
例 2 证明：
1
1l im
1x
x
x?
分析 0M
1
1
x
M
x
要
1?x
只要
1
1
x
x
2
1
1x
M?要只要
2
1
1x
2
1
1x
M?
得 2
1
1
M
x
21
1
x
M
所以
October,2004
证明：
1
1l im
1x
x
x?
0M
1
1
x
x
2
1
1x
M?
要证
21
1
x
M
只要
0M 2
1M
使得，当
01x
时，就有
1
1
x
x
M?
1
1l im
1x
x
x?
所以
October,2004
1
1l i m 1
1x
x
x?
1
1
xy
x
1y?
with(plots):
A:=plot((x+1)/(x-1),x=-10..0.95.1,y=-
6..7):
1x?
铅直渐近线水平渐近线
October,2004
0
l im ( )
xx
fx
Vertical Asymptote
若则 x = x0 为 y = f(x) 的 铅直渐近线
0xx?
0x
()y f x?
October,2004
0
0
l i m ( ) 0,0
,0 ( )
xx
xx
f x M
x x f M
问：如何定义
l im ( )?
x
fx
l i m ( )
x
fx
以上定义如何修改？
0M,0X,,( )x X Mxfx
l i m ( )
x
fx
的 M-X 定义
October,2004
问：如何定义
l i m ( )?
x
fx
l i m ( )
x
fx
以上定义如何修改？
0M,0X,,( )x X Mxfx
l i m ( )
x
fx
0M,0X,,( )x X Mxfx
见 p.41,题 5
October,2004
定理 2 （无穷大与无穷小的关系）
无穷大与无穷小有倒数关系。
l i m ( )fx 1l i m 0
()fx
l i m ( ) 0fx?
( ) 0fx?
1
l im
()fx
证明 （自学）
October,2004
例如
1
l im l n 0
x
x
1
1l i m
lnx x?
0
l i m l n
x
x?
0
1l i m 0
lnx x
l i m 0x
x
e
1l i m
xx e
()
()
lnyx?
xye?
Infinitesimal and Infinity
1.4 无穷小与无穷大
October,2004
一、无穷小 (Infinitesimal)
l i m ( )f x A ( ) ( 0 )f x A
l i m ( ) 0f x A
i m [ ] 0(l )f x A
即，每一个有极限的函数 f(x) 都与一个趋于 0 的函数 f(x) - A 联系着。
因此,以 0 为极限的函数 在极限理论和极限的计算中扮演着特殊而重要的角色。
(l i m 0)x ( ) ( )x f x A
October,2004
定义 1
无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0
为极限的函数（或变量）。
0
l i m ( ) 0
xx
fx
若
0()f x x x?则 是 时 的 无 穷 小
l i m ( ) 0
x
fx
若
()f x x则 是 时 的 无 穷 小无穷小一般用希腊字母 α,β,γ 等表示
October,2004
0
l i m ( ) 0
xx
x?
0()x x x是 时 的 无 穷 小
0
0,0
,0 ( )x x x x
无穷小的 ε-δ 定义
October,2004
无穷小的例子
2( 1)x? ( 1 )x?
下列函数何时为无穷小？
2
1
l im ( 1 ) 0
x
x
1
x
()x 1l i m 0
x x
xe ()x l im 0x
x
e
xye?
October,2004
下列函数何时为无穷小？
1
2x ( 0 )x 0x 1
x
1
0
l im 2 0x
x
,学习指导,p.21
1
2 xy?
with(plots):
October,2004
下列函数何时为无穷小？
2
10
1
n
n?
()n
2
10l i m 0
1n
n
n
October,2004
注意：
(1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如 0.01,0.0000023。
(2) 0 是唯一的无穷小常数。
(3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，
不能孤立地说一个变量是无穷小。
详见,学习指导,p.15,问 1.15
如
2( 1)x? ( 1 )x? 是无穷小但 2( 1)x? ( 0 )x? 不是无穷小
October,2004
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
l i m ( )f x A? (( ))f x A x
(l i m 0)x
证 以极限 为例。
0
l im ( )
xx
f x A
October,2004
0
l im ( )
xx
f x A
0
,
(
0,
)
0
:0x x x f x A
0
0,
)
,
:0 (
0
xx xx
( )(( ))x f x A
0
(i m 0)l
xx
x?
( ) ( )x f x A 是无穷小
( ) ( )f x A x α(x) 是无穷小
October,2004
此定理表明：在自变量的某个变化过程中，
l i m ( )f x A?若 ()f x A则 无 穷 小
()f x A若 无 穷 小l i m ( )f x A?则这就是讨论无穷小的意义之一。
(见,学习指导,p.16,问 1.16,讨论无穷小有什么意义？ )
l i m ( )f x A? (( ))f x A x
(l i m 0)x
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
October,2004
二、无穷大 (Infinity)
例 考察当 x?0 时,1/x 的变化趋势。
1
x
当 x?0 时,可以大于任何正数 M
例如
1 100
x
要 1
100x?只 要
1 1000
x
要
1
1000x?只 要
October,2004
0M 1
M
x
要
1x
M?只 要
0M 1
M
使得，当
00x
时，就有 1
M
x
称 1/x 为 x?0 时的无穷大,记
0
1
l i m
x x?
October,2004
所以
0
l im ( )
xx
fx
的刻划需要两个正数：
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大,
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
( |x - x0 |< δ )，就能保证 f(x)的绝对值大于事先任意给定的 M 。
October,2004
定义 2
无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。
0
l im ( )
xx
fx
的定义：
0
0
l i m ( ) 0,0
,0 ( )
xx
xx
f x M
x x f M
0M 0 使得，当
00 x x
就有
()f x M?
M 定 义
October,2004
严格地说，
0
l im ( )
xx
fx
表明极限
0
l i m ( )
xx
fx
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。
注意：
(1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。
(2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，
不能孤立地说一个变量是无穷大。
October,2004
例 2 证明：
1
1l im
1x
x
x?
分析 0M
1
1
x
M
x
要
1?x
只要
1
1
x
x
2
1
1x
M?要只要
2
1
1x
2
1
1x
M?
得 2
1
1
M
x
21
1
x
M
所以
October,2004
证明：
1
1l im
1x
x
x?
0M
1
1
x
x
2
1
1x
M?
要证
21
1
x
M
只要
0M 2
1M
使得，当
01x
时，就有
1
1
x
x
M?
1
1l im
1x
x
x?
所以
October,2004
1
1l i m 1
1x
x
x?
1
1
xy
x
1y?
with(plots):
A:=plot((x+1)/(x-1),x=-10..0.95.1,y=-
6..7):
1x?
铅直渐近线水平渐近线
October,2004
0
l im ( )
xx
fx
Vertical Asymptote
若则 x = x0 为 y = f(x) 的 铅直渐近线
0xx?
0x
()y f x?
October,2004
0
0
l i m ( ) 0,0
,0 ( )
xx
xx
f x M
x x f M
问：如何定义
l im ( )?
x
fx
l i m ( )
x
fx
以上定义如何修改？
0M,0X,,( )x X Mxfx
l i m ( )
x
fx
的 M-X 定义
October,2004
问：如何定义
l i m ( )?
x
fx
l i m ( )
x
fx
以上定义如何修改？
0M,0X,,( )x X Mxfx
l i m ( )
x
fx
0M,0X,,( )x X Mxfx
见 p.41,题 5
October,2004
定理 2 （无穷大与无穷小的关系）
无穷大与无穷小有倒数关系。
l i m ( )fx 1l i m 0
()fx
l i m ( ) 0fx?
( ) 0fx?
1
l im
()fx
证明 （自学）
October,2004
例如
1
l im l n 0
x
x
1
1l i m
lnx x?
0
l i m l n
x
x?
0
1l i m 0
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x
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