October,2004
1.10 闭区间上连续函数的性质
Continuous Functions
on a Closed Interval
October,2004
函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续 是指 f(x) 在该区间内的每一个点处都连续，并且在两个端点单侧连续。
a
()fx
b
BA
()fa ()fb
闭区间 [a,b] 上的连续函数 y = f(x) 的图形是一条从点 A(a,f(a))到点 B(b,f(b)) 的连续不间断的曲线。
October,2004
一、最值性和有界性定理 1（ 最值定理 ）
在闭区间 [a,b] 上连续函数 f(x)一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。
()fM
()fm
a
()fx
b
BA
M
m
October,2004
a
()fx
b
BA
M
m
证明?
这个看似简单的定理的证明其实很难，
涉及较多的实数和分析理论。
证明从略有兴趣的同学可以参考,数学分析,
中的证明。
October,2004
定理 1‘（ 有界性定理 ）
在闭区间 [a,b] 上连续函数 f(x) 在该区间上是有界的。
证明：事实上由
()m f x M
()a x b
知函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上有界。 a
()fx
b
BA
M
m
October,2004
二、零点定理与介值定理定理 2（ 零点定理 ）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a) 与
f(b) 异号，则在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ，
使得 f(ξ) = 0。
这个点称为函数 f(x) 的 零点,或方程 f(x)= 0 的根 。
October,2004
零点定理的几何解释
a
()fx
b?
( ) ( ) 0f a f b?
October,2004
证明?
同样，这个看似简单的定理的证明其实很难，
涉及较多的实数和分析理论。
从略有兴趣的同学可以参考,数学分析,中的证明。
a
()fx
b?
October,2004
定理 3（ 介值定理 ）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 M 和 m
分别是函数在 [a,b] 上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ,使得 f(ξ) = C。
[,]ab s u c h t h a t ( )fC
October,2004
定理 3（介值定理）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 M 和 m
分别是函数在 [a,b] 上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ,使得 f(ξ) = C。
证明思路 ()fC ( ) 0fC
()f x C?
有零点？
( ) ( )x f x C作辅助函数再用零点定理即可 自学！
October,2004
证明：方程
324 1 0xx
在开区间 (0,1) 内至少有一个根。
例 1
解 令 32( ) 4 1f x x x
则函数在闭区间 [0,1]上连续。
又
(0)f 10 (1)f 20
由零点定理，该方程在 (0,1) 内至少有一个根。
October,2004
方程
324 1 0xx
在开区间 (0,1) 内至少有一个根。
讨论 32( ) 4 1f x x x
能不能判断方程还在哪些区间上有根？
(0 ) 1f? (1 ) 2f
( 3 ) 8f
( 2 ) 7f
( 4 ) 1f?
( 1 ) 4f
别灰心！
真是功夫不负有心人 ！
得来全不费功夫！
w
October,2004with(plots):A:=plot(x^3-4*x^2+1,x=-3..5,y=-10..3,color=red,thickness=3):
有三个根
32( ) 4 1f x x x
1.10 闭区间上连续函数的性质
Continuous Functions
on a Closed Interval
October,2004
函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续 是指 f(x) 在该区间内的每一个点处都连续，并且在两个端点单侧连续。
a
()fx
b
BA
()fa ()fb
闭区间 [a,b] 上的连续函数 y = f(x) 的图形是一条从点 A(a,f(a))到点 B(b,f(b)) 的连续不间断的曲线。
October,2004
一、最值性和有界性定理 1（ 最值定理 ）
在闭区间 [a,b] 上连续函数 f(x)一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。
()fM
()fm
a
()fx
b
BA
M
m
October,2004
a
()fx
b
BA
M
m
证明?
这个看似简单的定理的证明其实很难，
涉及较多的实数和分析理论。
证明从略有兴趣的同学可以参考,数学分析,
中的证明。
October,2004
定理 1‘（ 有界性定理 ）
在闭区间 [a,b] 上连续函数 f(x) 在该区间上是有界的。
证明：事实上由
()m f x M
()a x b
知函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上有界。 a
()fx
b
BA
M
m
October,2004
二、零点定理与介值定理定理 2（ 零点定理 ）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a) 与
f(b) 异号，则在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ，
使得 f(ξ) = 0。
这个点称为函数 f(x) 的 零点,或方程 f(x)= 0 的根 。
October,2004
零点定理的几何解释
a
()fx
b?
( ) ( ) 0f a f b?
October,2004
证明?
同样，这个看似简单的定理的证明其实很难，
涉及较多的实数和分析理论。
从略有兴趣的同学可以参考,数学分析,中的证明。
a
()fx
b?
October,2004
定理 3（ 介值定理 ）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 M 和 m
分别是函数在 [a,b] 上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ,使得 f(ξ) = C。
[,]ab s u c h t h a t ( )fC
October,2004
定理 3（介值定理）
设函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，且 M 和 m
分别是函数在 [a,b] 上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a,b) 内至少存在一点 ξ,使得 f(ξ) = C。
证明思路 ()fC ( ) 0fC
()f x C?
有零点？
( ) ( )x f x C作辅助函数再用零点定理即可 自学！
October,2004
证明：方程
324 1 0xx
在开区间 (0,1) 内至少有一个根。
例 1
解 令 32( ) 4 1f x x x
则函数在闭区间 [0,1]上连续。
又
(0)f 10 (1)f 20
由零点定理，该方程在 (0,1) 内至少有一个根。
October,2004
方程
324 1 0xx
在开区间 (0,1) 内至少有一个根。
讨论 32( ) 4 1f x x x
能不能判断方程还在哪些区间上有根？
(0 ) 1f? (1 ) 2f
( 3 ) 8f
( 2 ) 7f
( 4 ) 1f?
( 1 ) 4f
别灰心！
真是功夫不负有心人 ！
得来全不费功夫！
w
October,2004with(plots):A:=plot(x^3-4*x^2+1,x=-3..5,y=-10..3,color=red,thickness=3):
有三个根
32( ) 4 1f x x x
