October,2004
1.2 数列的极限
Limits of Sequences
October,2004
一、数列极限的定义数列,按某种顺序排列出来的无穷多个数。
1x 2,x 3,x,...,nx,...
一般项数列可简记为
{}nx
Sequence
October,2004
数列的例子
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n 自然数列
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
常数列
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
October,2004
:f?NR
数列 {xn} 可以看成自然数集 N 到实数集 R
的映射：
,nf n x?
()nx f n? ( 1,2,3,.,,)n?
1 2 3 4 n
2x 4
x
1x 3x nx
整标函数
October,2004
单调数列递增数列 {xn},
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
递减数列 {xn},
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
2x 4x1x 3x nx
...
2x4x 1x3xnx
...
October,2004
讨论下列数列的单调性：
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
递增递减递增
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
无单调性无单调性无单调性在严格的意义下
October,2004
有界数列数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM? ( 1,2,3,.,,)n?
nM x M ( 1,2,3,.,,)n?
数列 {xn} 有界当且仅当
0,( )nM n x MN
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM?
( 1,2,3,.,,)n?
nM x M
或 ( 1,2,3,.,,)n?
2x 4x1x 3x nx MM?
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
( 1,2,3,.,,)n?
nM x M
数列 {xn} 有界当且仅当存在 A,B 使得
A,{xn} 的下界
B,{xn} 的上界
nA x B
( 1,2,3,.,,)n?
2x 4x1x 3x nx BA
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM?
( 1,2,3,.,,)n?
数列 {xn} 无界,0M
0n
xM?
0n N
使得
0,( )nM n x MN
0,( )nM n x MN
October,2004
讨论下列数列的有界性：
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
无界有界有界
1
1
n
1
1
n
n
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
有界有界有界
1M?
2M?
Ma?
October,2004
数列的极限
l i m n
n
xA
观察,n 时，下列数列的变化趋势：
{}
1
n
n?
1
{}
n
1( 1 )
{}
nn
n
October,2004
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...
{}
1
n
n?
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
,...
l i m 1
1n
n
n
1
l im 0
n n
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
1( 1 ) nn
n
1( 1 )
1
n
n
1( 1 )
l im 1
n
n
n
n
October,2004
因为 xn = f(n) 是定义在自然数集 N 上的函数
li m n
n
x
l i m ( )
n
fn
A?
可视为特殊的函数极限
l i m ( )
x
f x A
的定义稍加修改，可得数列极限的定义。
将函数极限
October,2004
回忆使得当
l i m ( )
x
f x A
是指,0 0X
xX? 时，就有 ()f x A
使得当是指,0
(N? 自 然 数 ）
nN? 时，就有
nxA
l i m n
n
xA
数列极限的定义 N 定 义
X 定 义
October,2004
l i m n
n
xA
0,,,nN n n N x AN
0,0,,( )X x x X f x A
l i m ( )
x
f x A
October,2004
lim n
n
x
如果极限则称数列 {xn} 收敛 (convergent).
lim n
n
x
如果极限则称数列 {xn} 发散 (divergent).
存在，
不存在，
October,2004
极限 的几何解释
l i m n
n
xA
0,,,nN n n N x AN
,.,,),3
0,
( 1,2n N
N
A x A n N N
N
3Nx?1Nx? 2Nx?
AA
1x 2x
A
即数列 { xn } 的项最终将进入 A 的任何事先给定的 ε 邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
October,2004
3Nx?1Nx? 2Nx?
AA
1x 2x
A
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
October,2004
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
推论（逆否命题） 无界数列必发散 。
例如 数列 {n} 无界，故其发散。
li mn n
不存在。
问题（逆命题）,有界数列必收敛” 成立吗？
成立？证明之！
不成立？举反例！
October,2004
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
问题（逆命题）,有界数列必收敛” 成立吗？
成立？证明之！ 不成立？举反例反驳之！
不成立！
反例：
1{ ( 1 ) }n 有界但不收敛见,学习指导,p.14，问 1.13
教材 p.28，例 4
October,2004
观察：
l i m?
21n
n
n
证明,1
l i m
2 1 2n
n
n
例分析
1
2 1 2
n
n
1
42n
0
1
42n
11
( 2 )
4
n
为保证 11
( 2 ) 0
4?
限制 1
0
2
此限制是否合理？
October,2004
证明,1
l i m
2 1 2n
n
n
1
2 1 2
n
n
1
42n
11( 2 )
4
n
10
2
0证 1
(0 )
2
取 11
[ ( 2) ]
4
N
则当 nN? 时，就有
1
2 1 2
n
n
所以 1
l i m
2 1 2n
n
n
October,2004
注 也可以不限制 ε,而取
11m a x {[ ( 2 ) ],1 }
4
N
0 (0 1 ) 取 11
[ ( 2) ]
4
N
则当 nN? 时，就有
1
2 1 2
n
n
所以 1
l i m
2 1 2n
n
n
October,2004
法适当放大另证：
1
2 1 2
n
n
1
42n
1
4 n
1
4
n
1
4n
1
[]
4
N
再证：
1
2 1 2
n
n
1
42n
1
n
1
4n
1[]N
1
n
干脆一不做，二不休 ！再狠狠地放它一把，
好漂亮！
October,2004
0.01
0.001
比较三种方法得到的 N
11[ ( 2 )]
4?
1[]
4?
1[]
24N? 25N? 100N?
249N? 250N? 1000N?
评注最小的 N
一点都没浪费但很辛苦有一点浪费但不太辛苦很浪费但很轻松评价 好 ! 也好 ! 不错 !
October,2004
有关适当放大法的技巧见,学习指导,p.19,例 1.15
October,2004
证明：例 1 1( 1 )
l im 1
n
n
n
n
例 2 证明,1
2
( 1 )
l i m 0
( 1 )
n
n n
自学
1[]N
1[ 1 ]N
对 ε 作了限制合理性？教材 p.27
October,2004
等比数列的极限证明：
l i m 0n
n
q
例 3
证
( 1 )q?
若 q = 0,则
lim n
n
q
li m 0n
0?
现设
01q
0, 0nq? nq l n l nnq
l n l nnq
ln
ln
n
q
( l n 0 )q?
教材有遗漏？
October,2004
证明：
l i m 0n
n
q
( 1 )q?
0, 0nq? nq ln
ln
n
q
为使
ln
0
ln q
应使 ln 0 故限制 1
0 (0 1 ) 取则当 nN? 时，就有所以
ln
[]
ln
n
q
0nq l i m 0n
n
q
于是
October,2004
l i m 0n
n
q
( 1 )q?
例如
1l i m ( )
2
n
n
1lim
2 nn
0?
5l i m ( )
7
n
n
0?
October,2004
二、数列极限的性质定理 1 （极限的唯一性）
如果极限 存在，则极限值是唯一的。 lim nn x
数列极限有与函数极限相同或类似的性质
October,2004
定理 2 （ 收敛数列的有界性 ）
收敛数列必有界。
定理 3 （ 收敛数列的保号性 ）
以正数（负数）为极限的数列从某一项起的各项必为正（负）的。
前面已讲过了
October,2004
子数列 (Subsequence)
{}nx 1 1,
2
1
,
3
1
,
4
1
,
5
1
,
6
1
,
7
1
,
8
1
,
9
,...
子数列,
1 1,
3
1
,
6
1
,
7
1
,
9
,...
{}knx
1nx 2nx 3nx 4nx
5nx
1x 3x 6x 7x 9x
,...
数列,
October,2004
1 1
,
2
,
1
3
1
,
4
1
,
5
,
1
6
,
1
7
1
,
8
,
1
9
,...
子数列,
1,1
3
,
1
6
,
1
7
,
1
9
,...
数列,
{}nx 1 3 6 7 92 4 5 8,,,,,,,,,.,,x x x xxxx x x
1 2 3 4 5,,,,,.,,n n n n nx x x x x
{}knx
October,2004
lim n
n
x
lim
knk
x
与 的关系定理 4 （数列极限与子数列极限之间的关系）
l i m n
n
xA
l im
knk
xA
证明 （自学）
问题：以上定理的逆命题是否成立？
l im
knk
xA
l i m?n
n
xA
,学习指导,p.19,问 1.21 有详尽论述
October,2004
推论若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则该数列必发散。
例 4 数列 1{ ( 1 ) }n 有两个子数列：
,1,,1,,1111 1,,1,.,,
,,,1111,.,,
收敛于 1
1,1,1,1,.,,
收敛于 -1
所以
1{ ( 1 ) }n
发散
October,2004
21l i mk kx A
1 3 5 7 92 4 6 8,,,,,,,,,.,,x x x xxx x x x
2l im kk xA
l i m n
n
xA
教材 p.31,题 6
证明？,学习指导,p.18，问 1.21,命题 2
值得一读。涉及两个过程,N = max{ N1,N2 }。
命题若数列的奇次项子数列和偶次项子数列都收敛于同一极限，则该数列也收敛于同一极限。
一个众所周知的结论
October,2004
函数极限与数列极限的关系定理 4 （函数极限与数列极限的关系） p.37
0l i m nn xx
则若
0
l im ( )
xx
f x A
且
l i m ( )n
n
f x A
若 x 以任意方式趋于 x0 (x?x0) 时,f(x)?A。
则 x 以特殊方式趋于 x0 (xn?x0) 时,f(xn)?A。
即详见,学习指导,p.13,问 1.11
October,2004
函数极限与数列极限的关系海涅定理 （函数极限与数列极限的关系）
0l i m nn xx
0
l im ( )
xx
f x A
的充分必要条件是
l i m ( )n
n
f x A
详见,学习指导,p.13,问 1.11
{ },nx
证明必要性是显然的：定理 4
October,2004
0l i m nn xx
0
l im ( )
xx
f x A
的充分必要条件是
l i m ( )n
n
f x A
{ },nx?
充分性用反证法设
0
l im ( )
xx
f x A
定义则 0 使得对 1
n
nx?
有
0
1
nx x n
但是
()nxfA
0
0
l i m ( ) 0,0,
,0 b u t ( )
xx
xx
f x A
x f Ax
( 1,2,...)n?于是尽管 0l i mn n xx 但 l i m ( )
n n
f x A
矛盾！
October,2004
若 x 以两种方式趋于 x0 时，相应的函数值 f(x)
趋于两个不同的极限，则极限不存在 。 0l im ( )xx f x A
推论但即若
0
l i m ( )
xx
fx
l i m ( )n
n
fx
0{ },nxx 0
{}nux?
l i m ( )n
n
fu
则极限 不存在。
海涅定理常用来证明某个极限不存在而不是某个极限存在
October,2004
例 设 1
( ) s i nfx
x
一个经典的例子是：
证明：极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在。
详见,学习指导,p.14,问 1.11
证 利用海涅定理取 xn 使得 1
2
n
n
x
1
2n
x
n?
0?则有
l i m ( )n
n
fx
1
l im s in
n
nx
li m 0n
0?
October,2004
取 xn 使得 1
2
n
n
x
1
2n
x
n?
0?则有
l i m ( )n
n
fx
1
l im s in
n
nx
li m 0n
0?
另取 un 使得
0?
则有
l i m ( )n
n
fu
1
l im s in
n
nu
lim 1n
1?
1
2
2n
n
u
1
2
2
n
u
n
October,2004
所以极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在。
详见,学习指导,p.14,问 1.11
l im ( ) 0n
n
fx
l i m ( ) 1nn fu
October,2004
1si n ( 1 1 )yx
x
with(plots):plot(sin(1/x),x=-1..1,y=-1.1..1.1,color=red,thickness=2,style=line);
October,2004
1si n ( 0.1 0.1 )yx
x
October,2004
1
2
2
n
u
n
nu
1
2n
x
n?
nx
October,2004
1
s i n y
x
在原点附近无限振荡
1.2 数列的极限
Limits of Sequences
October,2004
一、数列极限的定义数列,按某种顺序排列出来的无穷多个数。
1x 2,x 3,x,...,nx,...
一般项数列可简记为
{}nx
Sequence
October,2004
数列的例子
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n 自然数列
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
常数列
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
October,2004
:f?NR
数列 {xn} 可以看成自然数集 N 到实数集 R
的映射：
,nf n x?
()nx f n? ( 1,2,3,.,,)n?
1 2 3 4 n
2x 4
x
1x 3x nx
整标函数
October,2004
单调数列递增数列 {xn},
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
递减数列 {xn},
1 2 3 1.,,,,,nnx x x x x
2x 4x1x 3x nx
...
2x4x 1x3xnx
...
October,2004
讨论下列数列的单调性：
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
递增递减递增
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
无单调性无单调性无单调性在严格的意义下
October,2004
有界数列数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM? ( 1,2,3,.,,)n?
nM x M ( 1,2,3,.,,)n?
数列 {xn} 有界当且仅当
0,( )nM n x MN
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM?
( 1,2,3,.,,)n?
nM x M
或 ( 1,2,3,.,,)n?
2x 4x1x 3x nx MM?
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
( 1,2,3,.,,)n?
nM x M
数列 {xn} 有界当且仅当存在 A,B 使得
A,{xn} 的下界
B,{xn} 的上界
nA x B
( 1,2,3,.,,)n?
2x 4x1x 3x nx BA
October,2004
数列 {xn} 有界,0M 使得
nxM?
( 1,2,3,.,,)n?
数列 {xn} 无界,0M
0n
xM?
0n N
使得
0,( )nM n x MN
0,( )nM n x MN
October,2004
讨论下列数列的有界性：
{}n 1,2,3,.,,,,.,,n
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...,...
{}
1
n
n?
无界有界有界
1
1
n
1
1
n
n
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
,,,...,,...a a a a{}a
1,1?,1,1?,..,1,( 1 ) n,...1{ ( 1 ) }n
有界有界有界
1M?
2M?
Ma?
October,2004
数列的极限
l i m n
n
xA
观察,n 时，下列数列的变化趋势：
{}
1
n
n?
1
{}
n
1( 1 )
{}
nn
n
October,2004
1
2
2
,
3
3
,
4
,
1
n
n?
,...
{}
1
n
n?
1
{}
n
1 1 1
1,,,..,,,..,
23 n
,...
l i m 1
1n
n
n
1
l im 0
n n
October,2004
2 1
,
2
4
,
3
1( 1 )
,
nn
n
,...,...1( 1 )
{}
nn
n
1( 1 ) nn
n
1( 1 )
1
n
n
1( 1 )
l im 1
n
n
n
n
October,2004
因为 xn = f(n) 是定义在自然数集 N 上的函数
li m n
n
x
l i m ( )
n
fn
A?
可视为特殊的函数极限
l i m ( )
x
f x A
的定义稍加修改，可得数列极限的定义。
将函数极限
October,2004
回忆使得当
l i m ( )
x
f x A
是指,0 0X
xX? 时，就有 ()f x A
使得当是指,0
(N? 自 然 数 ）
nN? 时，就有
nxA
l i m n
n
xA
数列极限的定义 N 定 义
X 定 义
October,2004
l i m n
n
xA
0,,,nN n n N x AN
0,0,,( )X x x X f x A
l i m ( )
x
f x A
October,2004
lim n
n
x
如果极限则称数列 {xn} 收敛 (convergent).
lim n
n
x
如果极限则称数列 {xn} 发散 (divergent).
存在，
不存在，
October,2004
极限 的几何解释
l i m n
n
xA
0,,,nN n n N x AN
,.,,),3
0,
( 1,2n N
N
A x A n N N
N
3Nx?1Nx? 2Nx?
AA
1x 2x
A
即数列 { xn } 的项最终将进入 A 的任何事先给定的 ε 邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
October,2004
3Nx?1Nx? 2Nx?
AA
1x 2x
A
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
October,2004
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
推论（逆否命题） 无界数列必发散 。
例如 数列 {n} 无界，故其发散。
li mn n
不存在。
问题（逆命题）,有界数列必收敛” 成立吗？
成立？证明之！
不成立？举反例！
October,2004
命题 （ 收敛数列的有界性 ） 收敛数列必有界 。
问题（逆命题）,有界数列必收敛” 成立吗？
成立？证明之！ 不成立？举反例反驳之！
不成立！
反例：
1{ ( 1 ) }n 有界但不收敛见,学习指导,p.14，问 1.13
教材 p.28，例 4
October,2004
观察：
l i m?
21n
n
n
证明,1
l i m
2 1 2n
n
n
例分析
1
2 1 2
n
n
1
42n
0
1
42n
11
( 2 )
4
n
为保证 11
( 2 ) 0
4?
限制 1
0
2
此限制是否合理？
October,2004
证明,1
l i m
2 1 2n
n
n
1
2 1 2
n
n
1
42n
11( 2 )
4
n
10
2
0证 1
(0 )
2
取 11
[ ( 2) ]
4
N
则当 nN? 时，就有
1
2 1 2
n
n
所以 1
l i m
2 1 2n
n
n
October,2004
注 也可以不限制 ε,而取
11m a x {[ ( 2 ) ],1 }
4
N
0 (0 1 ) 取 11
[ ( 2) ]
4
N
则当 nN? 时，就有
1
2 1 2
n
n
所以 1
l i m
2 1 2n
n
n
October,2004
法适当放大另证：
1
2 1 2
n
n
1
42n
1
4 n
1
4
n
1
4n
1
[]
4
N
再证：
1
2 1 2
n
n
1
42n
1
n
1
4n
1[]N
1
n
干脆一不做，二不休 ！再狠狠地放它一把，
好漂亮！
October,2004
0.01
0.001
比较三种方法得到的 N
11[ ( 2 )]
4?
1[]
4?
1[]
24N? 25N? 100N?
249N? 250N? 1000N?
评注最小的 N
一点都没浪费但很辛苦有一点浪费但不太辛苦很浪费但很轻松评价 好 ! 也好 ! 不错 !
October,2004
有关适当放大法的技巧见,学习指导,p.19,例 1.15
October,2004
证明：例 1 1( 1 )
l im 1
n
n
n
n
例 2 证明,1
2
( 1 )
l i m 0
( 1 )
n
n n
自学
1[]N
1[ 1 ]N
对 ε 作了限制合理性？教材 p.27
October,2004
等比数列的极限证明：
l i m 0n
n
q
例 3
证
( 1 )q?
若 q = 0,则
lim n
n
q
li m 0n
0?
现设
01q
0, 0nq? nq l n l nnq
l n l nnq
ln
ln
n
q
( l n 0 )q?
教材有遗漏？
October,2004
证明：
l i m 0n
n
q
( 1 )q?
0, 0nq? nq ln
ln
n
q
为使
ln
0
ln q
应使 ln 0 故限制 1
0 (0 1 ) 取则当 nN? 时，就有所以
ln
[]
ln
n
q
0nq l i m 0n
n
q
于是
October,2004
l i m 0n
n
q
( 1 )q?
例如
1l i m ( )
2
n
n
1lim
2 nn
0?
5l i m ( )
7
n
n
0?
October,2004
二、数列极限的性质定理 1 （极限的唯一性）
如果极限 存在，则极限值是唯一的。 lim nn x
数列极限有与函数极限相同或类似的性质
October,2004
定理 2 （ 收敛数列的有界性 ）
收敛数列必有界。
定理 3 （ 收敛数列的保号性 ）
以正数（负数）为极限的数列从某一项起的各项必为正（负）的。
前面已讲过了
October,2004
子数列 (Subsequence)
{}nx 1 1,
2
1
,
3
1
,
4
1
,
5
1
,
6
1
,
7
1
,
8
1
,
9
,...
子数列,
1 1,
3
1
,
6
1
,
7
1
,
9
,...
{}knx
1nx 2nx 3nx 4nx
5nx
1x 3x 6x 7x 9x
,...
数列,
October,2004
1 1
,
2
,
1
3
1
,
4
1
,
5
,
1
6
,
1
7
1
,
8
,
1
9
,...
子数列,
1,1
3
,
1
6
,
1
7
,
1
9
,...
数列,
{}nx 1 3 6 7 92 4 5 8,,,,,,,,,.,,x x x xxxx x x
1 2 3 4 5,,,,,.,,n n n n nx x x x x
{}knx
October,2004
lim n
n
x
lim
knk
x
与 的关系定理 4 （数列极限与子数列极限之间的关系）
l i m n
n
xA
l im
knk
xA
证明 （自学）
问题：以上定理的逆命题是否成立？
l im
knk
xA
l i m?n
n
xA
,学习指导,p.19,问 1.21 有详尽论述
October,2004
推论若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则该数列必发散。
例 4 数列 1{ ( 1 ) }n 有两个子数列：
,1,,1,,1111 1,,1,.,,
,,,1111,.,,
收敛于 1
1,1,1,1,.,,
收敛于 -1
所以
1{ ( 1 ) }n
发散
October,2004
21l i mk kx A
1 3 5 7 92 4 6 8,,,,,,,,,.,,x x x xxx x x x
2l im kk xA
l i m n
n
xA
教材 p.31,题 6
证明？,学习指导,p.18，问 1.21,命题 2
值得一读。涉及两个过程,N = max{ N1,N2 }。
命题若数列的奇次项子数列和偶次项子数列都收敛于同一极限，则该数列也收敛于同一极限。
一个众所周知的结论
October,2004
函数极限与数列极限的关系定理 4 （函数极限与数列极限的关系） p.37
0l i m nn xx
则若
0
l im ( )
xx
f x A
且
l i m ( )n
n
f x A
若 x 以任意方式趋于 x0 (x?x0) 时,f(x)?A。
则 x 以特殊方式趋于 x0 (xn?x0) 时,f(xn)?A。
即详见,学习指导,p.13,问 1.11
October,2004
函数极限与数列极限的关系海涅定理 （函数极限与数列极限的关系）
0l i m nn xx
0
l im ( )
xx
f x A
的充分必要条件是
l i m ( )n
n
f x A
详见,学习指导,p.13,问 1.11
{ },nx
证明必要性是显然的：定理 4
October,2004
0l i m nn xx
0
l im ( )
xx
f x A
的充分必要条件是
l i m ( )n
n
f x A
{ },nx?
充分性用反证法设
0
l im ( )
xx
f x A
定义则 0 使得对 1
n
nx?
有
0
1
nx x n
但是
()nxfA
0
0
l i m ( ) 0,0,
,0 b u t ( )
xx
xx
f x A
x f Ax
( 1,2,...)n?于是尽管 0l i mn n xx 但 l i m ( )
n n
f x A
矛盾！
October,2004
若 x 以两种方式趋于 x0 时，相应的函数值 f(x)
趋于两个不同的极限，则极限不存在 。 0l im ( )xx f x A
推论但即若
0
l i m ( )
xx
fx
l i m ( )n
n
fx
0{ },nxx 0
{}nux?
l i m ( )n
n
fu
则极限 不存在。
海涅定理常用来证明某个极限不存在而不是某个极限存在
October,2004
例 设 1
( ) s i nfx
x
一个经典的例子是：
证明：极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在。
详见,学习指导,p.14,问 1.11
证 利用海涅定理取 xn 使得 1
2
n
n
x
1
2n
x
n?
0?则有
l i m ( )n
n
fx
1
l im s in
n
nx
li m 0n
0?
October,2004
取 xn 使得 1
2
n
n
x
1
2n
x
n?
0?则有
l i m ( )n
n
fx
1
l im s in
n
nx
li m 0n
0?
另取 un 使得
0?
则有
l i m ( )n
n
fu
1
l im s in
n
nu
lim 1n
1?
1
2
2n
n
u
1
2
2
n
u
n
October,2004
所以极限
0
1l i m s i n
x x?
不存在。
详见,学习指导,p.14,问 1.11
l im ( ) 0n
n
fx
l i m ( ) 1nn fu
October,2004
1si n ( 1 1 )yx
x
with(plots):plot(sin(1/x),x=-1..1,y=-1.1..1.1,color=red,thickness=2,style=line);
October,2004
1si n ( 0.1 0.1 )yx
x
October,2004
1
2
2
n
u
n
nu
1
2n
x
n?
nx
October,2004
1
s i n y
x
在原点附近无限振荡
