October,2004
1.7 无穷小的比较
Ranks of Infinitesimals
October,2004
无穷小的比较设
li m 0 li m 0
(1)
l i m 0?
高 阶是 比 的 无 穷 小
()o记
l i m?
也 说 是 比 低 阶 的 无 穷 小此时注意,()
l i m 0o?
October,2004
(2)
l i m 0c?
同与 是 阶 无 穷 小
()O记
(3)
lim 1?
等与 是 价 无 穷 小
记等价无穷小也是同阶无穷小但同阶无穷小一般不是等价的
October,2004
设
0
l im 0
x
0
l i m 0k
x
c
x
且
( 0 )k? kx?即 与 同 阶
kx?则 称 是 的 阶 无 穷 小定级别 (rank)
October,2004
l i m 0?
高 阶是 比 的 无 穷 小()o
l i m 0c?
同与 是 阶 无 穷 小
lim 1?
等与 是 价 无 穷 小
0
l i m 0k
x
c
x
kx? 是 的 阶 无 穷 小无穷小的比较
October,2004
例 比较无穷小,23,( 0 )x x x?
解
2
0
3l i m
x
x
x? 0
li m 3
x
x
0?
23 xx? 是 的 高 阶 无 穷 小即
23 ( )x o x? 定性
2
0 2
3l i m
x x
x
3? 0?
23 xx? 是 的 2 阶 无 穷 小定量
October,2004
例 比较无穷小,12
,( )
1 3 2
n
nn
解
1
1
l im
2
31
n
n
n
31l im
2 ( 1 )n
n
n
3
2
0?
12
1 3 2nn
与 是 同 阶 无 穷 小 （ 不 等 价 ）
October,2004
例 比较无穷小,21 c o s,( 0 )x x x
解
20
1 c o sl im
x
x
x?
1
2
21 c o s ( 0 )x x x与 是 同 阶 无 穷 小
p.51
1 c o s 2 ( 0 )x x x是 的 阶 无 穷 小
0 2
1 c o s
l i m 1
1
2
x
x
x
2
1 c o s
2
xx? 与 是 等 价 无 穷 小
2
1 c o s
2
xx?
October,2004
例 23,,,.,,,,.,,( 0 )nx x x x x?
均为无穷小，且阶数递增后面的无穷小是前面的无穷小的高阶无穷小
( ) ( )nmx o x n m
2 ()x o x? 3 ()x o x? 32()x o x?
53()x o x?
如
October,2004
例 比较无穷小：
2 3 2,( 0 )x x x x
解
0
lim
x
23
20l imx
xx
x?
3
20l im( 1 )x
x
x?
0
l i m (1 )
x
x
1?
2 3 2x x x?
低阶无穷小 ＋ 高阶无穷小 等价于 低阶无穷小
()o
October,2004
2 3 2x x x?
低阶无穷小 ＋ 高阶无穷小 等价于 低阶无穷小为什么？
因为 高阶无穷小 远小于 低阶无穷小
()o
230,0 1 0,0 1
0.01x?
20.0 1
如
October,2004
例 1 证明：
1 1 ( 0)n xxx
n
解 令
1n xt 1nxt
0x 1t?
0
11
l i m
n
x
x
x
n
1
1
l i m
1
( 1 )
t n
t
t
n
1
1l i m
1nt
tn
t?
October,2004
1 1 ( 0)n xxx
n
0
11
l i m
n
x
x
x
n
1
1
l i m
1
( 1 )
t n
t
t
n
121
1l im
( 1 ) (,,,1 )nnt
tn
t t t t
1n
n
1?
1 1 ( 0 )n xxx
n
1
1l i m
1nt
tn
t?
October,2004
无穷小的等价关系具有以下性质
(1) 自反性
(2) 对称性
(3) 传递性
如 0x? 时
si n ta nx x x si n t a nxx?
October,2004
定理 1 设 li m 0
li m 0
则
()o ()o?或即两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。
原因？
它们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。
October,2004
定理 1 设 li m 0
li m 0
则
()o ()o?或证
lim 1?
l i m ( 1 ) 0?
l i m 0
()o
例如 sin xx 所以
s i n ( )x x o x
3
s in
6
xxx? 是 x 的 3 阶无穷小很简单
October,2004
定理 2（无穷小的等价替换定理）
设 li m 0
l i m ( ) l i m ( )f x f x
li m 0
则证
不难
li m 1?
已知：
l i m ( )fx?
l im ( )fx
l im ( ) l imfx
l i m ( ) 1fx l i m ( )fx
October,2004
定理 2（无穷小的等价替换定理）
设 li m 0
l i m ( ) l i m ( )f x f x
li m 0
则
替换定理的意义？
l i m ( ) l i m ( )f x f x
复杂 简单
October,2004
''
( ) ( )l im l i
'( ) ( ) '
mf x f x
g x g x
若则即极限式中分子、分母的等价无穷小乘积因子 可以相互替换。
October,2004
常用的等价无穷小
0x?
sin xx
0
sinl im 1
x
x
x?
a r c sin xx
0
ar cs i nl i m 1
x
x
x?
t a n xx
0
ta nl im 1
x
x
x?
arct an xx 0
a r c ta nl im 1
x
x
x?
2
1 c o s
2
xx?
20
1 c o sl im 1
/2x
x
x?
,学习指导,22页
October,2004
l n (1 )xx?
0
l n ( 1 )l im 1
x
x
x?
1xex?
p.68
0
1l im 1x
x
e
x?
( 1 ) 1xx
0
( 1 ) 1
l im 1
x
x
x
11n xx
n
p.57
11
2
xx
October,2004
例 3 计算：
0
t an 2l i m
s i n 5x
x
x?
解 因为 x?0 时
ta n 2 2xx s i n 5 5xx
所以
0
t an 2l i m
s i n 5x
x
x? 0
2l i m
5x
x
x?
2
5
October,2004
课内练习 计算：
2
0
l n ( 1 )l im
1 c o sx
x
x?
解 因为 x?0 时
22l n (1 )xx? 2
1 c o s
2
xx?
所以
2
0
l n ( 1 )l im
1 c o sx
x
x?
2
2
0
l i m
2
x
x
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2?
1.7 无穷小的比较
Ranks of Infinitesimals
October,2004
无穷小的比较设
li m 0 li m 0
(1)
l i m 0?
高 阶是 比 的 无 穷 小
()o记
l i m?
也 说 是 比 低 阶 的 无 穷 小此时注意,()
l i m 0o?
October,2004
(2)
l i m 0c?
同与 是 阶 无 穷 小
()O记
(3)
lim 1?
等与 是 价 无 穷 小
记等价无穷小也是同阶无穷小但同阶无穷小一般不是等价的
October,2004
设
0
l im 0
x
0
l i m 0k
x
c
x
且
( 0 )k? kx?即 与 同 阶
kx?则 称 是 的 阶 无 穷 小定级别 (rank)
October,2004
l i m 0?
高 阶是 比 的 无 穷 小()o
l i m 0c?
同与 是 阶 无 穷 小
lim 1?
等与 是 价 无 穷 小
0
l i m 0k
x
c
x
kx? 是 的 阶 无 穷 小无穷小的比较
October,2004
例 比较无穷小,23,( 0 )x x x?
解
2
0
3l i m
x
x
x? 0
li m 3
x
x
0?
23 xx? 是 的 高 阶 无 穷 小即
23 ( )x o x? 定性
2
0 2
3l i m
x x
x
3? 0?
23 xx? 是 的 2 阶 无 穷 小定量
October,2004
例 比较无穷小,12
,( )
1 3 2
n
nn
解
1
1
l im
2
31
n
n
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31l im
2 ( 1 )n
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3
2
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12
1 3 2nn
与 是 同 阶 无 穷 小 （ 不 等 价 ）
October,2004
例 比较无穷小,21 c o s,( 0 )x x x
解
20
1 c o sl im
x
x
x?
1
2
21 c o s ( 0 )x x x与 是 同 阶 无 穷 小
p.51
1 c o s 2 ( 0 )x x x是 的 阶 无 穷 小
0 2
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l i m 1
1
2
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2
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2
xx? 与 是 等 价 无 穷 小
2
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2
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October,2004
例 23,,,.,,,,.,,( 0 )nx x x x x?
均为无穷小，且阶数递增后面的无穷小是前面的无穷小的高阶无穷小
( ) ( )nmx o x n m
2 ()x o x? 3 ()x o x? 32()x o x?
53()x o x?
如
October,2004
例 比较无穷小：
2 3 2,( 0 )x x x x
解
0
lim
x
23
20l imx
xx
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3
20l im( 1 )x
x
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0
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x
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1?
2 3 2x x x?
低阶无穷小 ＋ 高阶无穷小 等价于 低阶无穷小
()o
October,2004
2 3 2x x x?
低阶无穷小 ＋ 高阶无穷小 等价于 低阶无穷小为什么？
因为 高阶无穷小 远小于 低阶无穷小
()o
230,0 1 0,0 1
0.01x?
20.0 1
如
October,2004
例 1 证明：
1 1 ( 0)n xxx
n
解 令
1n xt 1nxt
0x 1t?
0
11
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October,2004
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October,2004
无穷小的等价关系具有以下性质
(1) 自反性
(2) 对称性
(3) 传递性
如 0x? 时
si n ta nx x x si n t a nxx?
October,2004
定理 1 设 li m 0
li m 0
则
()o ()o?或即两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。
原因？
它们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。
October,2004
定理 1 设 li m 0
li m 0
则
()o ()o?或证
lim 1?
l i m ( 1 ) 0?
l i m 0
()o
例如 sin xx 所以
s i n ( )x x o x
3
s in
6
xxx? 是 x 的 3 阶无穷小很简单
October,2004
定理 2（无穷小的等价替换定理）
设 li m 0
l i m ( ) l i m ( )f x f x
li m 0
则证
不难
li m 1?
已知：
l i m ( )fx?
l im ( )fx
l im ( ) l imfx
l i m ( ) 1fx l i m ( )fx
October,2004
定理 2（无穷小的等价替换定理）
设 li m 0
l i m ( ) l i m ( )f x f x
li m 0
则
替换定理的意义？
l i m ( ) l i m ( )f x f x
复杂 简单
October,2004
''
( ) ( )l im l i
'( ) ( ) '
mf x f x
g x g x
若则即极限式中分子、分母的等价无穷小乘积因子 可以相互替换。
October,2004
常用的等价无穷小
0x?
sin xx
0
sinl im 1
x
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,学习指导,22页
October,2004
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p.57
11
2
xx
October,2004
例 3 计算：
0
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s i n 5x
x
x?
解 因为 x?0 时
ta n 2 2xx s i n 5 5xx
所以
0
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October,2004
课内练习 计算：
2
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